江苏省扬州中学2021届高三数学10月月考试题

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )

．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}

2．点P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动2

弧长到达Q 点，则Q 的坐标为

（）

A．(

-，

B．(

，

-) C．(

，

D．

(

3. 若幂函数f x的图象过点(

，则函数g x

()

e x

f x

的递增区间为（）A.(0,2) B.(-∞,0)?(2,+∞) C.(-2,0) D. (-∞,-2)?(0,+∞)

4．已知函数f (x) 的部分图象如图所示，则f (x) 的解析式可能为（）

A．f (x)

sin | x

| 2

cos x

B．f (x)

sin x ln | x |

2 cos x

C．f (x)

cos x ln

| x |

2 cos

D．f (x)

cos x

5．2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联

M 2 M 1 M 2 2M 1

系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M 1 ，月球质量为 M 2 ，地月距离为 R ， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程：

121223()()M M M R r R r r R +=++. 设

α=，由于的值很小，因此在近似计算中

3453

333(1)

ααααα++≈+，则r 的近似值为( ) A ． R

B ． R

6.已知函数,01,

()ln(2),12,

x x f x x x ≤≤?=?<≤?若存在实数 x 1，x 2 满足0 x 1x 22，且

f x 1

f x 2 ，则 x 2 x 1 的最大值为（）

A ．

e B ．

1 C.1ln

D. 2ln

7.若2x 2y <3

3 y

，则（

） A. ln( y x 1) 0 B. ln( y x

0 C.ln | x y |

0 D.ln

| x y | 0

8.设平行于 x 轴的直线l 分别与函数 y 2x 与 y 2x 1 的图像相交于点 A , B ,若函数 y

x 的图像上存在点C ,使得ABC 为等边三角形，则这样的直线l （）

A.不存在

B.有且只有一条

C.有且只有两条

D.有无数条

二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.

9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产岀做出预测，由图提供的信息可知（）

C 3

3M 2 R

M 1

D 3

M 2

3M 1

A．运营商的经济产出逐年增加

B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势

10.下列说法正确的是（）

A.“a 1”是“a2 1”的充分不必要条件

B. “

a 2 ”是“(a 1) 2 (2a 3) 2 ”的充要条件3

C.命题“x R, x2 1 0 ”的否定是“x R ,使得x2 1 0 ”

D. 已知函数y f (x) 的定义域为R ,则“f (0) 0 ”是“函数y f (x) 为奇函数”的必要不充分条件

11.已知函数y f (x) 是奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1x) f

(1x) ，当x (2, 3) 时，f (x) log2 (x 1) ，以下4 个结论正确的有（

）

A.函数y f (x) 的图像关于点(1, 0) 成中心对称；

B.函数y f (x) 是以 2 为周期的周期函

数； C.当x (1, 0) 时，f (x)

log2 (1x) ; D.函数y f (| x |) 在

(1, 0) 上单调递增.

12.关于函数f x a ln x 2

，下列判断正确的是（）

A.当a 1时，f x ln 2 1；

B. 当a 1时，不等式f 2x 1 f x 0 的解集为

(,1)

;

C.当a e 时，函数f x有两个零点；

D.当f (x) 的最小值为2 时，a 2 .

三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.

13.已知f (x) 为偶函数，当x 0 时，f (x ) ln(x ) 3x ，则曲线y f (x) 在点(1, 3) 处的切线斜率是 .

14.函数f (x) cos 2x cos x 的最小值等于.

15.设a log4 9 ，b 2 1.2 ，c

()

，则将a, b, c 按从大到小排序：.

16．设函数f (x) x(x 1)(x a) （其中a 1）有两个不同的极值点x1, x2 ，若不等式

f (x1 ) f (x2 ) 0 成立，则实数a 的取值范围是．

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. .在①A B ；②C R B C R A ;③A B A; 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中

。若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由。

问题：已知集合A {x | log2 (x 1) 1, x R}, B x | (x a)(x 4 a) 0, x R, 是否存在

实数a，使得？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．已知f =

sin(5)cos()cos()

cos()tan(3)sin()

παπαα

ππαπαα

-++

+--

（1）化简f ；

（2）若是第三象限角，且cos

()

+=-,求f 的值.

19.随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以 5 年为一个研究周期，得到机动车每 5 年纯增数据情况为：年度周期1995~2000 2000~2005 2005~2010 2010~2015 2015~2020

时间变量x i 1 2 3 4

纯增数量y i

（单位：万辆

）

3 6 9 15 27

其中i 1, 2, 3,鬃，时间变量x i 对应的机动车纯增数据为y i ，且通过数据分析得到时间变量x 与对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系.

（1）求机动车纯增数量y （单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测 2025~2030 年间该市机动车纯增数量的值；

附：回归直线方程y bx a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了 220 名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2 2 列联表：

赞同限行不赞同限

行

合计

没有私家

车

90 20 110

有私家车70 40 110 合计160 60 220

附：K 2

n ad bc

a b c d a

c b d

，n a b c d .

P K 2 k

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.70 6

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

20. 如图，三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，平面 AA 1C 1C 平面 AA 1B 1B ， BAA 1 45 ， CA CB ,

点O 在棱 AA 1 上， CO AA 1

（1）求证： AA 1 BC ；

（2）若 BB 1 2AB 2 ，直线 BC 与平面 ABB 1 A 1 所成角为45 ， D 为CC 1 的中点，求二面角 B 1 A 1D C 1 的余弦值.

21．已知函数 f (x )

x | 2a x | 2x , a R

(1)若函数 f (x ) 在

R 上是增函数，求实数a 的取值范围（直接写出结果，不需要解题过程)；

(2)若存在实数a [2, 2]，使得关于 x 的方程 f (x )

tf (2a ) 0 有三个不相等的实数根

，求实数

t 的取值范围.

22.若函数 f (x ) e

x e x mx (m R ) 在 x x 0时 f (x )有极小值 f (x 0

) ．

（1）求实数m 的取值范围；（2）若02

()e

f x ≥-

恒成立，求实数m 的最大值．

一、单项选择题： 1—5.ACABD 6—8.BAB 二、多项选择题：

9．ABD 10.ACD 11.ABC 12. ABD 三、填空题：

13.2- 14. 98

- 15. a ＞c ＞b 16． 2a ≥

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解：由2log (1)1x ->得12x ->即3x >，故()3+A =∞，

选①：A B ?

当2a >时，()(),4,,

B a a =-∞-+∞23A B a ?∴<≤；

当2a <时，()(),4,,

B a a =-∞-+∞43A B a ?∴-≤即12a ≤<；

当2a =时，()(),22,,B =-∞+∞此时A B ?

综上：13a ≤≤ 选②③：答案同① 18．解：（1）

()()()()()()()3sin 5cos cos sin cos sin 2cos 3sin tan cos cos tan 3sin 22f ππαπαααααααππααααπαα??

-++ ?

-??===---???

?+-- ? ?

???

?；

（2）

α是第三象限角

3+22,2k k k Z ππαππ∴<<+∈,75

22,663

k k k Z πππαππ∴+<+<+∈，

又63cos 05πα??

+=-<

???

，所以7322,662k k k Z πππαππ∴+<+<+∈

，所以

sin 654πα??+==- ???

故()cos cos 6

ππααα??

??=-=-+-

???????cos cos sin sin 6666ππππαα????=-+-+ ? ?????

3414

525210????=--?--?=

? ?????

19. 解：（1）由

132639415527237i i

i x y

==?+?+?+?+?=∑.

所以1

i i

i n

i i x y nx y

b x nx

==-=

-∑∑()222222

237531257

5.75545

1234553-??=

==-++++-?. 因为y bx a =+过点()

,x y ，所以 5.7y x a =+，

5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.

2025~2030年时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =?-=，所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.

（2）根据列联表，计算得()

()()()()2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++的观测值为

2220(90402070)55

9.167110110160606

k ??-?==≈???，

6.6356

>，所以有99%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”. 20. 解：（1）

，当时，的对称轴为：

；

当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数；

（2）方程的解即为方程的解．

①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；

②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．

设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调增

∴∴；

③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；

即，∵∴，设

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，又可证在上单调减∴

∴；

综上：．

21．

（1）

因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，1CO AA ⊥ 所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥，

又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=?，所以Rt AOC Rt BOC ???，故OA OB =，因为145A AB ∠=?，所以1AA OB ⊥，

又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥.

（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，

因为CO ⊥平面11AA B B ，

所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=?，

所以AB =

，1AO BO CO ===，

()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D -，

设平面11A B D 的法向量为()111,,n x y z =，则

110

n A D n B D ??=??

?=??，所以111100z x y z =??-+=?，令11x =，得()1,1,0n =，因为OB ⊥平面11AA C C ，

所以OB 为平面11AC D 的一条法向量，

()0,1,0OB =，

cos ,2

n OB n OB n OB

?，

所以二面角111B A D C --的余弦值为

22. 解：（1）方法一：由（1）可得f (x )＝e x －e －x －mx ，所以f '(x )＝e x ＋e －x

－m ＝e 2x －m e x ＋1e

x ． ①当m ≤2时，由于e 2x －m e x ＋1≥0恒成立，即f '(x )≥0恒成立，故不存在极小值．

②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不等的正根t 1，t 2 (t 1＜t 2)，故可知函数f (x )＝e x －e －x －mx 在(－∞，ln t 1)，(ln t 2，＋∞)上单调递增，在(ln t 1，ln t 2)上单调递减，即在ln t 2处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．

方法二：由（1）可得f (x )＝e x －e －x －mx ，令g (x )＝f '(x )＝e x ＋e －x

－m ，则g′ (x )＝e x －e －x

＝e 2x

－1e x ．

故当x ≥0时，g′(x )≥0；当x ＜0时，g′(x )＜0，

故g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g (x )min ＝g (0)＝2－m ． ①若2－m ≥0，则g (x )≥0恒成立，所以f (x )单调递增，此时f (x )无极值点． ②若2－m ＜0，即m ＞2时，g (0)＝2－m ＜0．取t ＝ln m ，则g (t )＝1

m ＞0．

又函数g (x )的图象在区间[0，t ]上不间断，所以存在x 0∈ (0，t )，使得 g (x 0)＝0．又g (x )在(0，＋∞)上递增，

所以x ∈(0，x 0)时，g (x )＜0，即f '(x )＜0；x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＞0，即f '(x )＞0，所以f (x 0)为f (x )极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．

（2）由x 0满足e x 0＋e －x

0＝m ，代入f (x )＝e x －e －x －mx , 消去m ，可得f (x 0)＝(1－x 0)e x 0－(1＋x 0)e －x 0

．

构造函数h (x )＝(1－x )e x －(1＋x )e －x ，所以h′(x )＝x (e －x －e x )．当x >0时，e －x －e x

＝1－e 2x

e x ≤0，所以当x >0时，h′(x )≤0恒成立，故h (x )在(0，＋∞)上为单调减函数，其中h (1)＝－2

e , 则

f (x 0)≥－2

e 可转化为h (x 0)≥h (1)，故0

由e x 0＋e －x 0＝m ，设y ＝e x ＋e －x ，

可得当x >0时，y’＝e x －e －x ≥0，所以y ＝e x ＋e －x

在(0，1]上递增，故m ≤e ＋1e ．综上，m 的最大值为e ＋1

e ．