数学实验“线性方程组的J迭代,GS迭代,SOR迭代解法”实验研究报告(内含matlab程序代码)
西京学院数学软件实验任务书
实验四实验报告
一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。 二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线
性方程组121231
235210
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x x x x x x x x +=??++=??++=-?的根，提高matlab 编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。 四、实验原理：
1、雅可比迭代法（J-迭代法）：
线性方程组b X A =*，可以转变为：
迭代公式(0)(1)()
k 0,1,2,....k k J X
X
B X f +???=+=?? 其中b M f U L M A M I B J 111),(---=+=-=，称J B 为求解
b X A =*的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的
分量计算公式，令),....,()()(2)(1)(k n k k k X X X X =，由雅可比迭代公式有
b X
U L MX
k k ++=+)
()
1()(，既有i n
i j k i ij
i j k i
ij k i
ij b X a
X
a X a +-
-=∑∑+=-=+1
)(1
1
)()
1(，于
是，解b X A =*的雅可比迭代法的计算公式为
??
???--==∑∑-=+=+)(1),....,(111)
()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i
T
n X a X a b a X X X X X 2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：
GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了
迭代公式：??
???--==∑∑-=+=+++)(1)
,....,(111)
1()1()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i
T
n X a X a b a X X X X X 其余部分与雅克比迭代类似。 3、逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：
选取矩阵A 的下三角矩阵分量并赋予参数w ，将之作为分裂矩阵M ，)(1
wL D w
M -=
，其中，w>0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为A wL D w I B s 1)(---≡从而得到解b X A =*的逐次超松弛迭代法。
(0)(1)()
k 0,1,2,....k k s X
X
B X f +???=+=?? 其中：
b
wL D w f wU D w wL D B s 1
1)())1(()(---=+--=
由此，解b X A =*的SOR-迭代法的计算公式为
??
???--+==∑∑-=+=+++)(),....,(111)1()1()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i k i
T
n X a X a b a w X X X X X X （2） 观察（2）式，可得结论：
（1）、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。
（2）、当w>1时，称为超松弛迭代法，当w<1时，称为低松弛迭代法。
五、实验内容：
%1.J-迭代
function x1=jacobi(A,b,y);
m=input('请输入迭代次数m:');
eps=input('请输入精度eps:');
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
M=D\(L+U);
g=D\b;
a=1;
k=0;
while a>eps
x2=M*x1+g;
a=norm(x2-x1,inf);
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp('近似解：');
disp(x1);
x2=x1-y;
a=norm(x2,inf);
fprintf('误差：%.6f;迭代次数：%d\n',a,k);
%2.GS-迭代
function x1=G_S(A,b,y)
n=100;
m=input('请输入迭代次数m:');
eps=input('请输入精度eps:');
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
%生成矩阵M,向量g
M=(D-L)\U;
g=(D-L)\b;
%迭代首项
x1=eye(n-1,1);
x2=eye(n-1,1);
for i=1:n-1
x1(i)=1;
x2(i)=0;
end
a=1;
k=0;
while a>eps
x2=M*x1+g;
a=norm(x2-x1,inf); x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp('近似解：')；
x2=x1-y;
a=norm(x2,inf);
fprintf('误差：%.4f;迭代次数：%d\n',a,k);
%3.SOR-迭代
function a=p(A)
[n,n]=size(A);
x=eig(A);
a=0;
for i=1:n
b=abs(x(i));
if b>a
a=x(i);
end
end
a=abs(a);
function x1=SOR(A,b,y) %y为精确解
%超松弛迭代
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
%求最佳松弛因子w
M=D\(L+U);
w=p(M);
w=2/(1+sqrt(1-w^2));
if w<0||w>2
disp('迭代不收敛'); return;
end
%生成矩阵M,向量g
M=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); g=(D-w*L)\b*w;
%进行迭代
w=1;
k=0;
%x1=eye(n,1);
while w>1e-6
x2=M*x1+g;
w=norm(x2-x1,inf);
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp('近似解：');
disp(x1);
x2=x1-y;
w=norm(x2,inf);
disp('误差:');
disp(w);
disp('迭代次数：');
disp(k);
六、实验结果：
A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];b=[10 18 -14]';
X1= G_S (A,b,[0 0 0]')
X1 =
-0.8750 7.1874 -5.5000