高中数学排列组合专题复习
高中数学排列与组合复习(题型完美版)
第十讲排列与组合课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀本章主要内容：1.加法计数原理与乘法计数原理；2.排列数与组合数；3.排列的综合应用；4.组合的综合应用.本章教学目标：1.掌握分类用加法分步用乘法两类计数原理；2.掌握排列数与组合数的运算方法；3.掌握排列与组合的综合应用.第一节计数原理【知识与方法】一．分类加法计数原理1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．二．分步乘法计数原理1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n 步有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．授课班级授课日期学员高二数学16班5月25日D组杨佩云晓明同学准备周六从射洪到成都去玩，他可选择乘坐汽车，一天有4班，也可选择火车，一天有3班，那么晓明从射洪到成都共有多少中选择？若晓明到了成都之后有准备去都江堰，从成都到都江堰的汽车有6班，火车有2班，那么晓明从射洪到都江堰共有多少种选择？课前导入题型一计数原理【例1】某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步，为什么？【例2】nba)( 展开后共有多少项？【例3】甲、乙、丙准备周末出去郊游，问共有多少种情况？【变式1】(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【变式2】将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）A．53种 B．35种 C．3种 D．15种【变式3】某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班．现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法____________种．【变式4】（2016•新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．9【例4】有一个圆被两相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？【例5】（2018•南开区一模）如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现注意：1.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．2.在分步乘法计数原理中，事情是分多步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事．用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A．6种 B．9种 C．12种 D．36种【变式5】（2017•泸州模拟）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．12 B．24 C．18 D．6【变式6】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【例6】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【变式7】3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【例7】用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？【变式8】（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个 B．120个 C．96个 D．72个1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（）A．6种 B．7种 C．8种 D．9种2．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.3．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．4. 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？1.实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.2.授课及学员问题总结：第二节排列与组合的应用【知识与方法】一．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质(1)0！＝1；A n n＝n!(2)C m n＝C n－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n二．排列与组合的应用1.特殊元素与特殊位置需要_____________.2.相邻问题用_____________.3.不相邻问题用_____________.4.定序问题用_____________.5.平均分组问题用_____________.6.元素相同问题用_____________.三．排列组合综合应用的常用策略1.正难则反策略.2.若题中有多个需要满足的要求，则逐个击破，并优先考虑特殊元素. 【例题与变式】类型一特殊元素和特殊位置优先策略【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.1 43413晓明同学准备周天用自己存了很久的零花钱买一注七星彩，你能帮他算算他中一等奖的概率大概是多少吗？（假定每个数字只能出现一次）课前导入位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
高考数学排列与组合知识点
高考数学排列与组合知识点在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点。
它涉及到集合中元素的选择和排列方式，充满了逻辑思维和计算技巧。
掌握好这个知识点对于高考数学的考试是至关重要的。
下面我将从几个重要方面介绍排列与组合的基础知识和解题技巧。
一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素，按照一定的顺序排列起来。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行排列，那么排列的数目用P(n, m)表示，其计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘运算，即n! = n(n-1)(n-2)...1。
2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选择一部分元素，不考虑顺序的方式。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行组合，那么组合的数目用C(n, m)表示，其计算公式为：C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]二、排列与组合的性质和定理1. 重复排列：当元素中有重复的情况时，排列的计算公式需要进行相应的修正。
假设有n个元素中有r1个元素相同，r2个元素相同......ri个元素相同，排列的数目可以通过以下公式计算：P(n, m) = n! / (r1! * r2! * ... * ri! * (n-m)!)2. 求整数解的排列：当要求整数解的排列时，我们可以使用分别代表每个数位的元素进行排列的方法。
比如，要求x、y、z三个整数之和为10，且满足x>0，y>0，z>0，我们可以将它们看作是从[1, 10]的元素集合中选取的排列。
3. 禁忌排列：禁忌排列是指排列中出现某些特殊情况需要剔除的情况。
比如，要求三个不同字母A、B、C排列成3位数，且BC不得出现，那么我们可以通过计算总的排列数减去BC出现的排列数得到最终的结果。
三、解题技巧1. 确定问题类型：在解决排列与组合问题时，首先需要明确题目中给出的要求是排列还是组合。
排列要考虑元素顺序，组合则不考虑。
高中数学一轮复习：排列组合
高中数学一轮复习：排列组合一、单选题（共10题；共20分）1.某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A. 120种B. 48种C. 36种D. 18种2.（2019高二下·蓝田期末）18×17×16×⋯×12×11等于（）A. A188B. A189C. A1810D. A18113.（2018高二下·河北期中）老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n=（）A. 7B. 8C. 11D. 154.若C82x−1=C8x+3，则x的值为（）A. 1或2B. 3或4C. 1或3D. 2或45.（2017高三上·长沙开学考）若二项式（x2+ a）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为x（）A. 560B. ﹣560C. 280D. ﹣2806.（2018高二下·西安期末）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A. 288种B. 144种C. 720种D. 360种7.（2017高二下·桂林期末）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）A. 20B. 21C. 22D. 248.从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（ ）A. 180B. 360C. 480D. 7209.（2019·台州模拟）已知 (x −1)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 5(x +1)5 ，则 a 2= （ ） A. 20 B. −20 C. 80 D. −8010.（2018高二下·黑龙江月考）学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种二、填空题（共10题；共10分）11.（2019高二下·延边月考）3名男生，2名女生排成一排，女生不排两端，则有________种不同排法. 12.（2019高二下·牡丹江月考）从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________13.（2020·安阳模拟）(ax +1)(x −1)5 的展开式中， x 3 的系数是20，则 a = ________. 14.（2019高三上·沈阳月考）（1+2x ）8（1 +y4 ）4的展开式中x 2y 2的系数是________． 15.（2020高三上·泸县期末）(1+x)(1−x)5 的展开式中含 x 2 项的系数为________.16.（2020·江西模拟）已知 (x 2−1)2(x +1)96=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 100(x +1)100 ，则 2a 1+22a 2+⋯+2100a 100= ________． 17.观察下列各式：C 10=40 C 30+C 31=41C 50+C 51+C 52=42C 70+C 71+C 72+C 73=43……照此规律，当n ∈N 时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+···+C 2n−1n−1=________ .18.（2020高三上·浦东期末）在 (x +√x )6 的二项展开式中，常数项的值为________19.（2020高三上·闵行期末）已知 (x 2−1)8=a 0+a 1x 2+a 2x 4+⋅⋅⋅+a 8x 16 ，则 a 3= ________ （结果用数字表示） 20.已知 (x 2√5x 3)5的展开式中的常数项为 T ， f(x) 是以 T 为周期的偶函数，且当 x ∈[0,1] 时，f(x)=x ，若在区间 [-1,3] 内，函数 g(x)=f(x)-kx-k 有4个零点，则实数 k 的取值范围是________三、解答题（共30题；共360分）21.（2016高二上·衡水期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果： （1）4只鞋子没有成双的； （2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．22.（2015高二下·福州期中）已知 (√x −√x 3)n 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512， （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．（2）求（1﹣x ）3+（1﹣x ）4+…+（1﹣x ）n 展开式中x 2项的系数．23.（2016高二下·张家港期中）已知在（ √x 3 ﹣ 2x 3）n 的展开式中，第6项为常数项． （1）求n ；（2）求含x 2项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．24.（2019高二下·佛山月考）已知二项式 (2√x −1x )6 . （1）求展开式第4项的二项式系数. （2）求第4项.25.（2016高二下·鹤壁期末）已知f （x ）=（2x ﹣3）n 展开式的二项式系数和为512，且（2x ﹣3）n =a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a n （x ﹣1）n （1）求a 2的值；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a n 的值．26.（2016高二下·姜堰期中）有4名男生，5名女生，全体排成一行． （1）其中甲不在中间也不在两端，有多少种排法？ （2）男女生相间，有多少种排法？27.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）（1）男甲必排在首位； （2）男甲、男乙必排在正中间； （3）男甲不在首位，男乙不在末位； （4）男甲、男乙必排在一起； （5）4名女生排在一起； （6）任何两个女生都不得相邻； （7）男生甲、乙、丙顺序一定．28.（2018高二上·南通月考）已知函数 f(x)=(1+x)n ,n ∈N ∗ . （1）当 n =8 时，求展开式中系数的最大项；（2）化简 C n 02n−1+C n 12n−2+C n 22n−3+⋯+C n n 2−1 ；（3）定义： ∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ，化简： ∑(i +1)C n i ni=1 .29.（2017·泰州模拟）已知恒等式（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ． （1）求a 1+a 2+a 3+…+a 2n 和a 2+2a 3+22a 4+…+22n ﹣2a 2n 的值；（2）当n≥6时，求证： A 22 a 2+2A 32a 3+…+22n ﹣2 A 2n 2 a 2n ＜49n ﹣2． 30.（2016高二下·泰州期中）在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项． （1）求它是第几项； （2）求 ab 的范围．31.（2016高二下·黄骅期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答） 32.（2016高二下·晋江期中）已知 (x 2-2x -3)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+⋯+a 20(x -1)20 （1）求a 2的值（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19的值 （3）求a 0+a 2+a 4+…+a 20的值．33.由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ （3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．34.（2016高二下·高密期末）已知（x+ 2√x ）n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等． （1）求n 的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和； （3）求展开式中所有的有理项．35.（2016高二下·晋江期中）有4名男生，3名女生排成一排： （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？36.（2016高二下·辽宁期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字． （1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答） 37.（2016高二下·福建期末）已知二项式（ √x 3 ﹣ 1x ）n 展开式中的各项系数的绝对值之和为128． （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项．38.（2016高二下·清流期中）若二项式 (√x +2√x4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（1）展开式中含x的项；（2）展开式中所有的有理项．39.（2016高二下·通榆期中）用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？（1）奇数；（2）比21034大的偶数．40.（2016高二下·南安期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．（1）可以组成多少个不同的四位数？（2）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？41.（2017高二上·湖北期末）已知(3x2+√x)n的展开式各项系数和为M，(3x2−√x)n+5的展开式各)2n的展开式项系数和为N，（x+1）n的展开式各项的系数和为P，且M+N﹣P=2016，试求(2x2−1x2中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．42.（2017高二上·襄阳期末）设（x+2）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*，n≥2），且a0，a1，a2成等差数列．（1）求（x+2）n展开式的中间项；（2）求（x+2）n展开式所有含x奇次幂的系数和．43.（2016高二上·弋阳期中）某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？44.（2016高二下·邯郸期中）从1到9这9个数字中任取3个偶数和3个奇数，组成无重复数字的六位数，（1）有多少个偶数？（2）若奇数排在一起且偶数排在一起，这样的六位数有多少个？（3）若三个偶数不能相邻，这样的六位数有多少个？（4）若三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小，这样的六位数有多少个？45.（2019高二下·涟水月考）请阅读：当x>1时，在等式1+x+x2+⋯+x n=1−x n的两边对x求1−x导，得1+2x+3x2+⋯+nx n−1=1−nx n−1+(n−1)x n，利用上述方法，试由等式(1+x)n=C n0+C n1x+(1−x)2⋯+C n n−1x n−1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2）.（1）证明： n[(1+x)n−1−1]=∑n k=2kC n k x k−1 ；（注： ∑ni=1a i =a 1+a 2+⋯+a n ）（2）求 C 101+2C 102+3C 103+⋯+10C 1010 ； （3）求 12C 1001+32C 1003+52C 1005+⋯+992C 10099 . 46.（2016高二下·抚州期中）已知 (x 2√x )n 的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为 314 ． （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．47.（2015高二下·椒江期中）设m ，n ∈N ，f （x ）=（1+x ）m +（1+x ）n ．（1）当m=n=5时，若 f(x)=a 5(1−x)5+a 4(1−x)4+⋯+a 1(1−x)+a 0 ，求a 0+a 2+a 4的值； （2）f （x ）展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值．48.（2016高二下·三门峡期中）二项式 (√x 3x2)r 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．求： （1）n ；（2）展开式中的所有的有理项．49.（2017·南京模拟）设n ∈N * ， n≥3，k ∈N * ． （1）求值： ①kC n k ﹣nC n ﹣1k ﹣1； ② k 2C nk−n(n −1)C n−2k−2−nC n−1k−1 （k≥2）； （2）化简：12C n 0+22C n 1+32C n 2+…+（k+1）2C n k +…+（n+1）2C n n ． 50.（2019高二下·上海月考）（1）在 (ax−√x2)9 的二项展开式中 x 3 的系数为 94 ，求实数 a 的值；（2）若 (3x −1)7=a 7x 7+a 6x 6+⋅⋅⋅+a 1x +a 0 ，求 a 1+a 3+a 5+a 7 .答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】B二、填空题11.【答案】3612.【答案】6013.【答案】−114.【答案】4215.【答案】516.【答案】017.【答案】4n−118.【答案】1519.【答案】-56]"20.【答案】"(0,14三、解答题21.【答案】（1）解：先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）解：4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）解：先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．22.【答案】（1）解：C n0+C n2+…=2n﹣1=512=29∴n﹣1=9，n=10= （r=0，1，10）∵5﹣ Z ，∴r=0，6有理项为T 1=C 100x 5 ， T 7=C 106x 4=210x 4（2）解：∵C n r +C n r ﹣1=C n+1r ，∴x 2项的系数为C 32+C 42+…+C 102=（C 43﹣C 33）+…+（C 113﹣C 103） =C 113﹣C 33=16423.【答案】 （1）解：根据题意，可得（ √x 3 ﹣ 2√x3 ）n 的展开式的通项为 T r+1=C n r (x 13)n -r (-12x -13)r = (-12)r C n r x 10-2r3，又由第6项为常数项，则当r=5时， n -2r 3=0 ，即 n -103=0，解可得n=10（2）解：由（1）可得，T r+1=（﹣ 12 ）r C 10r x 10-2r3 ， 令 10-2r3=2，可得r=2， 所以含x 2项的系数为 (-12)2C 102=454（3）解：由（1）可得，T r+1=（﹣ 12 ）r C 10r x 10-2r3 ， 若T r+1为有理项，则有 10-2r3∈Z ，且0≤r≤10， 分析可得当r=2，5，8时， 10-2r 3 为整数， 则展开式中的有理项分别为454x 2,-638,45256x -224.【答案】 （1）解：由已知得 (2√x −1x )6 的展开式的通项是T k+1=C 6k (2√x)6−k(−1x)k=C 6k 26−k(−1)k x 6−3k2(k =0,1,2,⋯,6)展开式第4项的二项式系数为 C 63=20 .（2）解：展开式的第4项为 T 4=−160x −32 .25.【答案】 （1）解：（1）由）=（2x ﹣3）n 展开式的二项式系数和为512，可得2n =512，∴n=9． ∵（2x ﹣3）9=[﹣1+2（x ﹣1）]9=a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 9（x ﹣1）9 ，∴a 2= C 92 •（﹣1）7•22=﹣144．（2）解：在（2x ﹣3）9=a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 9（x ﹣1）9中，令x=1，可得a 0=﹣1．再令x=2，可得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a n =1， ∴a 1+a 2+a 3+…+a n =2．26.【答案】 （1）解：其中甲不在中间也不在两端，则甲6种选择，其余的任意排，故有6A 88=241920种排法（2）解：先排4名男生形成了5个空，把5名女生插入，故有A 44A 55=2880种排法 27.【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A 99种，（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A 22A 77种， （3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A 1010﹣2A 99+A 88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 22A 88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 44A 77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A 66A 74种，（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，"A 1010A 33"=A 107种28.【答案】 （1）解： f(x)=(1+x)8 ∴ 系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5=C 84x 4=70x 4（2）解： f(x)=(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯C n n−1x n−1+C n n x n ∴ 原式 =12(C n 02n +C n 12n−1+C n 22n−2+⋯+C n n 20)=12(1+2)n =3n 2（3）解： ∑(i +1)ni=1C n i =2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ① ∑(i +1)ni=1C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1 ② 在①、②添加 C n 0 ，则得1+ ∑(i +1)n i=1C n i =C n 0+2C n 1+3C n 2+⋯nC n n−1+(n +1)C n n ③ 1+ ∑(i +1)n i=1C n i =(n +1)C n n +nC n n−1+⋯3C n 2+2C n 1+1C n0 ④ ③+④得：2（1+ ∑(i +1)ni=1C n i ） =(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1+C n n )=(n +2)2n ∴ ∑(i +1)ni=1C ni= (n +2)2n−1−1 29.【答案】 （1）解：令x=0，则a 0=1．令x=1，则a 0+a 1+a 2+…+a 2n =3n ， ∴a 1+a 2+…+a 2n =3n ﹣1． ∵（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ．∴两边对x 求导可得：n （1+x+x 2）n ﹣1=a 1+2a 2x+…+2na 2n x 2n ﹣1 ． 令x=0，则n=a 1 ，由（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ．令x=2，则 14 ×7n = 14a 0 + 12a 1 +a 2+2a 3+…+22n ﹣2a 2n ． ∴a 2+2a 3+…+22n ﹣2a 2n = 14×7n ﹣ 14 ﹣ 12n（2）证明：∵（1+x+x 2）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n ．∴两边对x 求导可得：n （1+x+x 2）n ﹣1（1+2x ）=a 1+2a 2x+…+2na 2n x 2n ﹣1 ，再一次求导可得：n[（n ﹣1）（1+2x ）2+2]（1+x+x 2）n ﹣2=2a 2+3×2a 3x+…+2n （2n ﹣1）a 2n x 2n ﹣2 ，A k 2 =k （k ﹣1）， 令x=2可得： A 22 a 2+2A 32 a 3+…+22n ﹣2 A 2n 2 a 2n =n[25（n ﹣1）+2]×7n ﹣2， n≥6时，n[25（n ﹣1）+2]＜7n ﹣2 ，∴ A 22 a 2+2A32a 3+…+22n ﹣2 A 2n 2 a 2n =n[25（n ﹣1）+2]×7n ﹣2＜49n ﹣2 ． 30.【答案】 （1）解：设T r+1=C 12r （ax m ）12﹣r •（bx n ）r =C 12r a 12﹣r b r x m （12﹣r ）+nr 为常数项， 则有m （12﹣r ）+nr=0，即m （12﹣r ）﹣2mr=0，∴r=4，它是第5项（2）解：∵第5项又是系数最大的项，∴有 {c 124a 8b 4≥c 123a 9b 3①c 124a 8b 4≥c 125a 7b 5②由①得a 8b 4≥ 49 a 9b 3 ，∵a ＞0，b ＞0，∴ 94 b≥a ，即 ab ≤ 94 ． 由②得 ab ≥ 85 ， ∴ 85 ≤ ab ≤ 9431.【答案】 （1）解：符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有A 53个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A 41种），十位和百位从余下的数字中选（有A 42种），于是有 A 41⋅A 42 个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 A 41⋅A 42个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数： A 53+A 41⋅A 42+A 41⋅A 42=156 个（2）解：符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A 54个；个位数上的数字是5的五位数有 A 41⋅A 43 个．故满足条件的五位数的个数共有 A 54+A 41⋅A 43=216 个（3）解：符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共 A 41⋅A 53 个；第二类：形如14□□，15□□，共有A41⋅A42个；第三类：形如134□，135□，共有A21⋅A31个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：A41⋅A53+A41⋅A42+A21⋅A31=270个．32.【答案】（1）解：令x﹣1=t，则已知条件即（x2﹣2x﹣3）10=[t2﹣4]10=a0+a1(t2-14)10=a0+a1t+a2t2+⋯+a20t20．可得a2=c109⋅(-4)9=-49×10（2）解：令t=1可得a0+a1+a2+⋯+a20=310；再令t=﹣1可得a0-a1+a2-a3⋯+a20=310，∴a1+a3+a5+…+a19=0（3）解：由（2）可得a0+a2+a4+…+a20=31033.【答案】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，即能被5整除的三位数共有6个；（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，此时三位偶数一共有6+8=14个，（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，故x=0不成立；当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了"724"=18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．34.【答案】（1）解：二项式（x+2√x）n展开式的通项公式为T r+1= C n r•x n﹣r• (2√x )r= C n r• (12)r• x n−32r，（r=0，1，2，…，n）；根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C n1• 12= C n2• (12)2，即12n= 14• n(n−1)2，解得n=5；（2）解：展开式中所有二项式系数的和为C 50 + C 51 + C 52 +…+ C 55 =25=32（3）解：二项式展开式的通项公式为T r+1= C 5r • (12)r • x 5−32r ，（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为T 1= C 50 • (12)0 •x 5=x 5 ， T 3= C 52 • (12)2 •x 5﹣3= 52x 2 ， T 5= C 54 • (12)4 x 5﹣6=516x35.【答案】 （1）解：由题意可得从中选出3人排成一排的方法种数为 A 73 =210 （2）解：间接法：总的方法种数共 A 77 =5040，去掉男生甲站排头，女生乙站在排尾共2 A 66 =1440，而其中重复的为男生甲站排头，同时女生乙站在排尾的 A 55 =120故总的方法种数为：5040﹣1440+120=3720（3）解：捆绑法：把3名女生看作1个元素与其它排列共 A 55 =120种， 再对3名女生作调整共 A 33 =6种，由分步计数原理可得共120×6=720（4）解：插空法：先排4名男生共 A 44 =24种，在把3名女生插到所产生的5个空位， 共 A 53 =60种，由分步计数原理可得共24×60=144036.【答案】 （1）解：能够组成四位数的个数为：5×6×6×6=1080（2）解：能组成没有重复数字的五位数的个数为： A 51⋅A 54 =600（3）解：比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，其中：六位数有： C 51⋅A 55=5×5×4×3×2×1=600 ； 五位数有： A 51⋅A 54 =600；四位数有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有 C 51⋅A 53=2×5×4×3=120 ；千位是3的分为百位是2、4、5的与百位是1的，百位是2、4、5的有 C 31⋅A 42=3×4×3=36 ，百位是1的分为十位是4和5两种情况，十位是5的有3种，十位是4的有1种， 所以共有600+600+120+36+3+1=1360．答：能组成四位数1080个；没有重复数字的五位数600个；比3142大的数1360个 37.【答案】 （1）解：二项式（ √x 3 ﹣ 1x ）n 展开式中的各项系数的绝对值之和为128， 即为各项二项式系数之和为128，即2n =128得n=7，则二项式（ √x 3 ﹣ 1x ）7展开式的通项为（﹣1）r C 7r x 7−4r3，∵C 73=C 74=35，∴当r=4时，展开式中系数最大， ∴展开式中系数最大的项为35x ﹣3 ，（2）解：当7−4r 3为整数时，即r=7，4，1∴展开式中所有的有理项（﹣1）7C 77x ﹣7=﹣x ﹣7 ， 或35x ﹣3 ， ﹣7x38.【答案】 （1）解：二项式的展开式的通项公式为： T r+1=C n r (√x)n -r (2√x4)r=C n r 12x 2n -3r4前三项的r=0，1，2得系数为 t 1=1,t 2=C n 1⋅12=12n ,t 3=C n 2⋅14=18n(n -1) 由已知： 2t 2=t 1+t 3,n =1+18n(n -1) 得n=8通项公式为 T r+1==C 8r 12rx 16-3r4令16﹣3r=4，得r=4，得 T 5=358x（2）解：当r=0，4，8时，依次得有理项 T 1=x 4,T 5=C 84124x =358x ,T 9=C 88128x -2=1256x 239.【答案】 （1）解：先排个位，再排首位，其它任意排，可组成奇数个数为 A 21A 31A 33=36 个奇数（2）解：①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A 33=18个． ②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A 33=12个．③当末位数字是4时，首位数字是3的有A 33=6个，首位数字是2时，有3个，共有9个． 综上知，比21034大的偶数共有18+12+9=39个40.【答案】 （1）解：用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A 64种情况，但其中包含0在首位的有A 53种情况， 依题意可得，有A 64﹣A 53=300个，（2）解：先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意，故有A 51C 53A 22=100个，（3）解：千位是1的四位数有A 53=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A42=24个，∴第85项是230141.【答案】（1）解：∵M+N﹣P=4n+2n+5﹣2n=（2n）2+31•2n=2016，∴（2n）2+31•2n﹣2016=0，∴（2n+63）（2n﹣32）=0，∴2n=32，∴n=5，∴的展开式的通项，的展开式共有11项，二项式系数最大的项为中间项第6项，其值为（2）解：第r+1项T r+1的系数的绝对值为，若第r+1项T r+1的系数的绝对值最大，则{ ，可得，又r∈N*，∴r=3，故系数的绝对值最大的项为42.【答案】（1）解：，∴，∵a0，a1，a2成等差数列，∴解得：n=8或n=1（舍去）∴（x+2）n展开式的中间项是（2）解：在(x+2)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8中，令x=1，则38=a0+a1+a2+a3+…+a7+a8令x=﹣1，则1=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7+a8两式相减得：∴43.【答案】（1）解：把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，且甲、乙的位置还可以互换 ∴不同站法有A 44•A 22=48种．（2）解：除甲乙两人外其余3人的排列数为A 33 ， 而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻； 且甲、乙位置可以互换．故有C 42A 22种排列方式． ∴不同站法有A 33•C 42A 22=72种．（3）解：优先考虑甲：若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A 44种； 若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲， 再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C 31C 31A 33种； ∴不同站法有A 44+C 31C 31A 33=78种．44.【答案】 （1）解：先从4个偶数中选一个为偶数，在从剩下3个偶数选2个和从5个奇数中选3个，把这5个数全排，故有C 41C 32C 53A 55=14400种，（2）解：把所选的3个奇数，和3个偶数分别捆绑在一起，再全排，故有A 43A 53A 22=2880种， （3）解：把所选的三个偶数插入到所选的3个奇数所形成的4个空中，故有C 43A 53A 43=5760种， （4）解：所选的3个偶数共有6种顺序，其中三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小是其中一种，故有 16 C 43C 53A 66=4800种45.【答案】 （1）证明：由 (1+x)n =C n 0+C n 1x +⋯+C n n−1x n−1+C n n x n ， 两边对 x 求导得 n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+⋯+nC n n x n−1 •, 所以 n[(1+x)n−1−1]=2C n 2+3C n 3x 2+⋯+nC n n x n−1=∑n k=2kC n k xk−1 .（2）解：在①式中，令 n =10,x =1 得C 101+2C 102+3C 103+⋯+10C 1010=10(1+1)10−1 =10⋅29=5120 .（3）解：将•式两边同乘以 x 得 nx(1+x)n−1=C n 1x +2C n 2x 2+3C n 3x 3+⋯+nC n n x n 两边对 x 求导得， n[(1+x)n−1+x(n −1)(1+x)n−2]=C n 1+22C n 2x +32C n 3x 2+⋯+n 2C n n x n−1 ， 取 n =100 得， C 1001+22C 1002x +32C 1003x 2+⋯+1002C 100100x 99=100[(1+x)99+99x(1+x)98] =100(1+100x)(1+x)98 ， 令 x =1 得， C 1001+22C 1002+32C 1003+⋯+1002C 100100=100×101×298 ，令 x =−1 得， C 1001−22C 1002+32C 1003+⋯−1002C 100100=0 ，两式相加得， 2(C 1001+32C 1003+52C 1005⋯+992C 10099)=25×101×2100 ， 所以 12C 1001+32C 1003+52C 1005⋯+992C 10099=2525×299 . 46.【答案】 （1）解：由题设，得 c n 2(-1)2:c n 4(-1)4 = 314 ，则 n(n -1)2n(n -1)(n -2)(n -3)4⋅3⋅2= 314 ⇒ 4(n -2)(n -3)=114 ⇒n 2﹣5n ﹣50=0⇒n=10或n=﹣5（舍）（2）解： T r+1=c 10r(x 2)10−r (-1)r (√x)r = c 10x r 20-2r -12r(-1)r 当 20-2r -12r =0即当r=8时为常数项 T 9=c 108(-1)8r =c 102=4547.【答案】 （1）解：当m=n=5时，f （x ）=2（1+x ）5 ， 令x=0时，f （0）=a 5+a 4+…+a 1+a 0=2， 令x=2时，f （0）=﹣a 5+a 4+…﹣a 1+a 0=2×35 ， 相加可得：a 0+a 2+a 4= =244（2）解：由题意可得： ∁m 1+∁n 1=m+n=9． x 2系数= ∁m 2+∁n 2 =m 2−m+n 2−n2= == (m −92)2 +634．又m ，n ∈N ，∴m=4或5，其最小值为16． 即或时，x 2系数的最小值为1648.【答案】 （1）解：开式的通项为 T r+1=(−12)r C n r x4r−n3，据题意有C n 4=4× (−12)2 •C n 2 ， ， 解得n=6（2）解：展开式的通项为 T r+1=(−12)r C 6r x 4r−63= (−12)r C 6r x 4r−63−2 ，当r 是3的倍数时，为有理项， 所以r=0，3，6，T 1=x −2,T 4=−52x 2,T 7=x 66449.【答案】 （1）解： ① =② k 2C nk−n(n −1)C n−2k−2−nC n−1k−1 = k 2×n!k!(n−k)!−n(n −1)×(n−2)!(k−2)!(n−k)!= = ．（2）解：方法一：由（1）可知当k≥2时 (k +1)2C n k =(k 2+2k +1)C n k =k 2C n k +2kC n k +C n k = [n(n −1)C n−2k−2+nC n−1k−1]+2nC n−1k−1+C n k =n(n −1)C n−2k−2+3nC n−1k−1+C nk ． 故==（1+4n ）+n （n ﹣1）2n ﹣2+3n （2n ﹣1﹣1）+（2n ﹣1﹣n ）=2n ﹣2（n 2+5n+4）．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有 (1+x)n =1+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n k x k +⋯+C n n x n ， 两边同乘以x ，得 (1+x)n x =x +C n 1x 2+C n 2x 3+⋯+C n k x k+1+⋯+C n n xn+1 ， 两边对x 求导，得 (1+x)n +n(1+x)n−1=1+2C n 1x +3C n 2x 2+⋯+(k +1)C n k x k +⋯+(n +1)C n n x n ，两边再同乘以x ，得 (1+x)n x +n(1+x)n−1x 2=x +2C n 1x 2+3C n 2x 3+⋯+(k +1)C n k x k+1+⋯+(n +1)C n n x n+1 ，两边再对x 求导，得（1+x ）n +n （1+x ）n ﹣1x+n （n ﹣1）（1+x ）n ﹣2x 2+2n （1+x ）n ﹣1x= 1+22C n 1x +32C n 2x 2+⋯+(k +1)2C n k x k +⋯+(n +1)2C n n xn ． 令x=1，得2n +n2n ﹣1+n （n ﹣1）2n ﹣2+2n2n ﹣1=，即=2n ﹣2（n 2+5n+4）50.【答案】 （1）解： (ax −√x2)9 的二项展开式通项为： T r+1=C 9r (a x )9−r (−√x2)r =√2)r a 9−r C 9r x 3r−182当3r−182=3 ，即 r =8 时， T 9=√2)8aC 98x 3=9a 16x 3又 x 3 的系数为 94 ， ∴9a16=94 ，解得： a =4（2）解：令 x =1 得： a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=27 ……① 令 x =−1 得： −a 7+a 6−a 5+a 4−a 3+a 2−a 1+a 0=−47 ……② ① − ②得： 2a 7+2a 5+2a 3+2a 1=27+47=16512 ∴a 1+a 3+a 5+a 7=8256。
完整)高中数学排列组合专题复习
完整)高中数学排列组合专题复习本文介绍了解决排列组合问题的方法和策略。
首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
文章提供了分类计数原理和分步计数原理两种常用的解题方法，并指出了它们的区别。
在解决排列组合综合性问题时，需要确定分多少步及多少类，以及每一步或每一类是排列问题还是组合问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
文章还介绍了一些常用的解题策略，如特殊元素和特殊位置优先策略。
最后，文章以一个例子展示了如何使用分步计数原理解决一个排列组合问题。
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
如果以元素分析为主，需要先安排特殊元素，再处理其他元素；如果以位置分析为主，需要先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。
如果有多个约束条件，往往需要同时考虑这些条件。
练题：有7种不同的花种要排成一列的花盆里，要求两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里。
问有多少种不同的排法？相邻元素捆绑策略是解决要求某几个元素必须排在一起的问题的方法。
可以将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起进行排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。
练题：某人射击8枪，命中4枪，其中有恰好3枪连在一起的情况有20种不同的排列方式。
不相邻问题插空策略是先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两侧的方法。
练题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，后来又增加了两个新节目。
如果将这两个新节目插入原节目单中，且这两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30.定序问题倍缩空位插入策略是对于某几个元素顺序一定的排列问题，先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
另一种方法是设想有空位，让其他元素先坐下，再让这几个元素坐下。
练题：7个人排队，其中甲乙丙三人的顺序一定，共有多少不同的排法？可以使用倍缩法、空位法或插入法来解决。
高三排列组合知识点大全
高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。
在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。
在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。
组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。
二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。
这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。
2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。
比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。
四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。
下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。
1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。
比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。
高中数学排列与组合部分重要知识点总结
高中数学排列与组合部分重要知识点总结高中数学排列与组合部分重要知识点总结①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 kk!=(k+1)!－k!排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把详细问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，防止“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m最大二项式系数在中间。
（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的`和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn ９+…=2n -1③通项为第r+1项： Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
高中数学排列组合专项练习(后附答案)
排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用____表示.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用____表示.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+）m n n n C C =二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （ ） （2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ） （4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）题组二 教材改编2.[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.3.[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）三、课中讲解题型一排列问题1.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）2.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法.例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b.对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.2.有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.4.方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.5.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_____个.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.16. 设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有多少个？排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+C m －1n__ 二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （）（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ）（4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）【答案】×；×；√；√；×；√题组二教材改编2. [P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.【答案】24“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3. [P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.【答案】48末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48（种）排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种. 【答案】216第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120（种）排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96（种）排法.所以共有120＋96＝216（种）排法.5. 为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.【答案】540②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33＝360（种）；③每个国家各派6. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）【答案】45设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45（种）.三、课中讲解题型一排列问题1. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）【答案】1 560由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560（条）留言.2. 用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.【答案】432根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法. 综上，共有C23A22A33 A24＝3×2×6×12＝432（种）排法.3. 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________. 【答案】864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种排法，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A44×3×A24＝864（种）排法.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4）选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555（种）.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.（5）方法一（间接法）选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二（直接法）选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.【答案】30因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种.其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30（种）.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种. 【答案】66共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66（种）.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.【答案】602位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72（种），女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12（种），所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.【答案】24根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12（种）乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12（种）乘坐方式，故共有12＋12＝24（种）乘坐方式.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.【答案】90例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.【答案】36则共有6×6＝36（种）不同的保送方案.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a. 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b. 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c. 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.【答案】36由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）【答案】660方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C12C36A24＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C26A24＝180（种）选法. 所以依据分类计数原理知，共有480＋180＝660（种）不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660（种）.练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.【答案】36将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C 捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法. 于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36（种）.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.【答案】18为A25－2＝18.2. 有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.【答案】12A33A22＝12.3. 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.【答案】24将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6种排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24（种）方法.4. 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.【答案】62a，b均不为0，且b取互为相反数的两数时抛物线相同，故分a取1与a不取1两类：①a取1时，b2取值为4,9两类，当b2＝4和b2＝9时，c都有5种情况，此时有2×5＝10（种）；②a不取1时有C14种，不妨设a取2，则b2取值有1,4,9三类，当b2＝1时，c有4种，当b2＝4时，c有4种，当b2＝9时，c有5种，此时有C14（4＋4＋5）＝52（条）不同的抛物线.故共有10＋52＝62（种）不同的抛物线.5. 有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.【答案】18由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.6. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.【答案】72由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72（个）.7. 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）【答案】11把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11（种）.8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）【答案】60分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60（种）.9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.【答案】362名内科医生的分法为A22，3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23，共有A22（C23C13＋C13C23）＝36（种）不同的分法.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.【答案】240由题意，知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A35＝60个，根据分步计数原理知，有60×4＝240（个）.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.【答案】120先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空. 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36（种）安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48（种）安排方法. 由分类计数原理知，共有36＋36＋48＝120（种）安排方法.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）【答案】1145个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有C35·A33＝90种，A，B住同一房间有C23·A33＝18种，故有90－18＝72（种），根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114（种）.13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.【答案】360前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13（A25＋C15A22）＝360（种）.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.【答案】150标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成（3,1,1）和（2,2,1）15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.【答案】150这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：满足题意的安排方法共有90＋60＝150（种）.。
高中数学专项排列组合题库(带答案)
排列组合排列组合问题的解题思路和解题方法解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( ）A．120种B．96种C．78种D．72种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A 44=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
二、特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有14C种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有35A种不同的选法，所以不同的选派方案共有14C35A=240种，选B。
三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有A 44=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C 35=10种方法，这样共有24*10=240种不同排法。
高中数学排列组合必考知识点经典练习题(完整版)
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同3. 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合知识点归纳总结高考题
排列组合知识点归纳总结高考题编号一：排列组合基础知识在高考数学中，排列组合是一个重要的考点。
掌握排列组合知识对于解决相关题目至关重要。
本文将对排列组合的基础知识进行归纳总结，并配以高考题进行实例分析。
1. 排列排列是从若干个元素中取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列，形成不同的序列。
排列有两种情况：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列当从 n 个元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则排列的总数为 P(n;r) = n! / (n1! × n2! × ... × nr!)，其中 ni 表示第 i 个元素的个数。
【例题1】：某班上有 10 名学生，其中 5 名男生和 5 名女生，现要从这 10 人中选出 3 人组成一支足球队。
求不同的组队方案数。
解：由于男生和女生分别占一定数量，该问题属于有重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(5;3) = 5! / (2! × 3!) = 10 种。
1.2 无重复元素的排列当从 n 个不同元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），排列的总数为P(n;r) = n! / (n-r)!。
【例题2】：有 9 个不同的球队参加一场篮球比赛。
其中第一名和第二名分别获得冠军和亚军。
请问这 9 支球队的比赛有多少种可能的结果？解：由于每个球队的位置是不同的，问题属于无重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(9;2) = 9! / 7! = 72 种。
2. 组合组合是从若干个元素中取出一部分元素，不考虑顺序，形成不同的组合。
同样地，组合也有两种情况：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合当从 n 个元素中取出 r 个进行组合时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则组合的总数为 C(n;r) = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)。
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高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：N m m m12n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：N m m m12n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.C14A34C13先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！HFD C AA B C D E AB E GH G F 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mnAn练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种前 排后 排练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法.1524练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
一班二班三班四班五班六班七班练习题：1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？49C2 .100xyzw求这个方程组的自然数解的组数3103C十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C CC练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法。
练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544213842/C C C A ）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（22224262/90C C A A ）十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有22112223353455C CC C CC C种。