2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科

AB 1
消x得：y 2 2 py p2 0
y1 y2 2 p
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
y1 y2 p2
p 2
1 2 ( y y ) 4 y1 y2 1 2 2 k
2 8 p2 4 p 8
所求抛物线方程：y 2 4 x
A
l
B
变1: 已知抛物线y2=4x截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值. y x b 消y得：x2 (2b 4) x b2 0 x1 x2 4 2b 解: 2 2 设 A ( x , y ), B ( x , y ) x x b y 4 x 1 1 2 2 1 2
x2 y 2 1 1）直线3x－y +２=0与椭圆 16 4 x2 y 2 2）直线2x－y －10 = 0与双曲线 1 20 5
3）直线x－y －1 = 0与抛物线 y =4 x
2
你的思路是什么？
还有其他方法吗？
弦长公式：
弦长公式：
设A x1, y1 、B x2 , y2 是直线与曲线的两个交点,则
48 x 37 或 y 70 2 2 37
x 3 y 2 3
, 2 4
2 y =4 x 例3：判断直线x－y －1 = 0与抛物线
位置关系，若相交求出交点坐标。 x 3+2
y 2+2 2
2
x 3 2 2 或 y 2 2 2
1 | AB | 1 k | x1 x2 | 1 2 | y1 y2 | k
2
或 AB 1
1 2 ( y y ) 4 y1 y2 1 2 2 k
注:当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
典例精析：题型二：弦长问题 问题：分别求出上述的直线与相应的曲线 相交弦的长度
题型二：抛物线最值问 题 2
例3．在抛物线 y =8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。 解： p4 2p 8， 由 y2 8x 知：
此抛物线的焦点坐标是:F (2 ， 0)
y
准线l方程是:x 2 .
由定义知： PF dPl 即 | PF || PK | .
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 (4 2b) 2 4b 2 4 1 b 2 变式2：经过焦点且斜率为 1 的直线被抛物线y 2 2 px( p 0)
所截得的弦长为8，求抛物线方程
p y x 解: 2 y 2 2 px
y kx b 4 2 2 y y ky 4 y 4b 0 1 2 k y 4x
设l AB : y kx b
4b y1 y2 k
1 16 16b 由弦长 | AB | 1 2 5 2 k k k
25k 4 16(1 k 2 ) kb 16(1 k 2 )k 2
题型三：中点弦问题
例6：已知椭圆 过从点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
题型三：中点弦问题
例6已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
x1 x2 6 法3 ：
AB AF BF x1 1 x2 1 8
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 计算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
x2 y 2 1 1）直线3x－y +２=0与椭圆 16 4 x2 y 2 2）直线2x－y －10 = 0与双曲线 1 20 5
3）直线x－y －1 = 0与抛物线 y =4 x
2
例 5. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点,且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
例4：课本P71例6：
变式：已知直线 l：y＝kx＋1 和抛物 2 线 C：y ＝4x，试判断当 k 为何值时， l 与 C 有： ① 一个公共点；②两个不同公共点； ③没有公共点.
典例精析：题型二：弦长问题 问题：分别求出上述的直线与相应的曲线 相交弦的长度
想 一 想
这是一道简单，但解法 丰富的典型的抛物线问题， 你能给出它的几种解法吗？
l
A
B
焦点弦：
y
A ( x1 , y1 )
F
通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的
O
线段叫做抛物线的焦点弦。
焦点弦长度公式： p x1 x2
B ( x 2 , y2 )
x
请同学自己推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦长度公式。
y1 y2 2b 4 2bk x1 x2 k k2 2 bk 16(1 k 2 ) 25k 4 2 1 25 1 1 25 k x0 2 1 2 1 2 2 2 k 2 1 16(1 k )k k 16 1 k 16(1 k ) 2 5 3 k 2 1
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
K
P Q O 2 F 4
x
显然，当Q， P， K 三点共线时，
| PK | | PQ | 有最小值.
( | PF | | PQ | )min dQl 4 (2) 6 . 此时 P ( 1 ， 1) 8
解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点P( x0 . y0 )
l
A
法1：解得：x1 3 2 2，x2 3 2 2 y1 2 2 2，y2 2 2 2 B
AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 8 x1 x2 1 法2： x1 x2 6
2 2
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 36 4 8
则：y 2 3x, 或y 2 3x. 练习:已知抛物线y2＝4x， 设A（2，0），P是抛物线 上的点，求︱PA︱的最小值。
解: PA = (x 2) +y ,
2 2
A
O B x
又y 2 4 x
2
则： PA = (x 2) +4x x 4 2.
2
PA min =2.
又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22 即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0, o
A (x1,y1)
x (x2,y2)
x1=x2.
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
x1>0，x2>0，2p>0,
B
由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。 y1 3 所以 AOX 30 tan 30 因为x轴垂直于AB，且 ， x1 3 2
2.3.2抛物线的简 单几何性质（2）
高二数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线与方程
复习：
图 形
y
l
O F
1、抛物线的几何性质
方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
4
2
3 线段AB中点M 到y轴的最短距离为 . 2
1 25 1 ，即k 2时，取等号 2 k 16 1 1 k2
当且仅当1
题型一：弦长问题 例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个 顶点在抛物线 y2 2 px( p 0) 上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在 y 抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 y22 2 px2 y12 2 px1 ,
O
.
F
x
另解：设直线4 x 3 y m 0与抛物线相切
例 5. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点,且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长. 解:F(1,0), 直线l:y=x-1
y x 1 2 消 y 得： x 6x 1 0 2 y 4 x 设A( x , y ), B( x , y ) 1 1 2 2
小结：直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的位置 关系的判断方法：
1、根据几何图形判断的直接判断
形
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
注意：判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）