091 第九章线性相关与回归
线性相关与回归
建立直线回归方程旳环节
1．用实测数据绘制散点图 2．计算回归系数b与截距a，
下面以例9-1资料阐明建立直线回归 方程旳详细环节：
lxx 24.9040, lXY 5.9396, X 13.44, Y 5.7266 b lXY 5.9396 0.2385
lXX 24.9040 a Y bX 5.7266 0.2385 13.44 2.5212 Yˆ 2.5212 0.2385X 取X 12, Yˆ 2.5121 0.2385 12 5.3832 取X 15, Yˆ 2.5212 0.2385 15 6.0990
等级有关
等级有关
第一节简介旳积差有关系数合用于 双变量正态分布旳资料，但有时其中一 种甚至两个变量都不服从正态分布，这 时需用非参数有关分析措施。
本节简介由spearman提出旳秩有 关分析措施。本措施合用于下列情况：
①不服从双变量正态分布而不宜作 积差有关分析旳资料；
②总体分布类型未知旳资料；
（6） 1 0 .5 24.0 21.0 14.0 42.5 51.0 24.5 28.0 31.5 35.0 115.5 42.0 ΣRXRY =439.5
d
d2
（7） -9.5 -10.0 -4.0 +0.5 -3.5 -2.5 +3.5 +4.5 +5.5 +6.5 +0.5 +8.5
（8） 90.25 100.00 16.00 0.25 12.25 6.25 12.25 20.25 30.25 42.25 0.25 72.25 Σd2=402.50
总体中抽取样本，因为存在抽样误差， 其b不一定等于0。所以，得到b≠0后，
必须检验b是否来自β=0旳总体，以鉴
第九章 相关和回归分析
3．相关系数的判断 相关系数的取值范围在-l和+1之间，即： -l≤r≤+1。 当r=0时，说明x与y之间没有线性相关。 当r=1时，说明x与y之间完全正相关。 当0＜r＜1时，说明x与y之间不完全正相关。 当r=-1时，说明x与y之间完全负相关。 当-1＜r＜0时，说明x与y之间不完全负相关。 r值的趋势规律表明，|r|值越接近于1，则相关 程度越高；|r|值越趋近于0，则相关程度越低。
当两个变量互为因果关系时，如某企 业某种产品的生产量与销售量，可以用两 个直线回归方程式表示。 一为y对x的直线回归方程式： yc＝a+bx，我们可设生产量为自变量x， 销售量为因变量y，yc为y的估计值，用x 推算y； 另一为x对y的直线回归方程式： xc＝c+dy，我们可设销售量为自变量y， 生产量为因变量x，xc为x的估计值，用y 推算x。
三、 回归分析 （一）回归分析的概念和种类 1．回归分析的概念 “回归”（Regression）一词原来是生 物学的词汇，是由英国科学家葛尔顿提出 的，用来描述父母的体高或体矮在遗传学 上有趋于一般的现象，这种现象便叫做回 归，后来这个名词被广泛用来表示变量间 的数量关系。
回归分析是一种建立在数学模型基 础上的，对两个或两个以上具有相关关 系的变量，将一个或一个以上自变量作 为依据，来计算和预测因变量发展水平 和发展趋势的统计分析方法。也称回归 预测法。 由于相关系数，只能说明因变量和 自变量相关关系的密切程度和方向，而 为了能根据某一已知因素的数值推算， 另一未知因素的数值，就需要进行回归 分析。
散点图
(scatter diagram)
第九章 线性回归和相关分析
第九章 线性回归和相关分析9.1 什么叫做回归分析？直线回归方程和回归截距、回归系数的统计意义是什么，如何计算？如何对直线回归进行假设测验和区间估计？9.2 a s 、b s 、x y s /、y s 、y s ˆ各具什么意义？如何计算(思考各计算式的异同)？ 9.3 什么叫做相关分析？相关系数、决定系数各有什么具体意义？如何计算？如何对相关系数作假设测验？9.4 什么叫做协方差分析？为什么要进行协方差分析？如何进行协方差分析（分几个步骤）？为什么有时要将i y 矫正到x 相同时的值？如何矫正？9.5 测得不同浓度的葡萄糖溶液(x ，mg /l )在某光电比色计上的消光度(y )如下表，试计算：(1)直线回归方程yˆ=a +bx ，并作图；(2)对该回归方程作假设测验；(3)测得某样品的消光度为0.60，试估算该样品的葡萄糖浓度。
x 0 5 10 15 20 25 30 y0.000.110.230.340.460.570.71[答案：(1)y ˆ=-0.005727+0.023429x ，(2)H0被否定，(3)25.85mg/l]9.6 测得广东阳江≤25oC 的始日(x)与粘虫幼虫暴食高峰期(y)的关系如下表(x 和y 皆以8月31日为0）。
试分析：（1）≤25oC 的始日可否用于预测粘虫幼虫的暴食期；(2)回归方程及其估计标准误；（3）若某年9月5日是≤25oC 的始日，则有95％可靠度的粘虫暴食期在何期间？年份 54 55 56 57 58 59 60 x 13 25 27 23 26 1 15 y50555047512948[答案：(1)r=0.8424；(2)y ˆ=33.2960+0.7456x ，x y s /=4.96；(3)9月22日～10月23日]9.7 研究水稻每一单茎蘖的饱粒重(y ，g)和单茎蘖重(包括谷粒)(x ，g)的关系，测定52个早熟桂花黄单茎蘖，得：SSx=234.4183，SSy=65.8386，SP=123.1724，b=0.5254，r=0.99；测定49个金林引单茎蘖，得SSx=65.7950，SSy=18.6334，SP=33.5905,b=0.5105，r=0.96。
统计学课件之线性相关与回归
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
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第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
线性相关
5
第一节 线性相关
一、线性相关的概念： 如果两个随机变量中，一个变量由小到大变
化时，另一个变量也相应地由小到大(或由大到 小 )地变化，并且测得两变量组成的坐标点在直 角坐标系中呈线性趋势，就称这两个变量存在 线性相关关系。 其中，X和Y无主次之分。
6
7
相关分析的资料获取：
从研究总体随机抽取 n个对象，每个对象观察X
3
•
线性相关分析是研究两个变量间是否有线性
关系以及线性关系的方向和密切程度的方法。
•
线性回归分析是描述两个变量间依存变化的 方法。
本章介绍两个变量间的线性回归与相关， 及等级相关。
4
第一节 线性相关
一、线性相关的概念 二、相关系数的意义及计算 三、相关系数的假设检验 四、总体相关系数的区间估计 五、线性相关分析时的注意事项
H1 ： ρ≠0， 正常成年男性的血浆清蛋白含量与血红蛋 白含量之间有线性相关关系。
α=0.05
21
三、相关系数的假设检验：
（ 2）计算检验统计量
r0 tr Sr
1 r / n 2
2
r
Sr为相关系数 r的标准误 自由度为
n2
2
tr
0.756 1 0.756 15 2
1 (1 r ) 1 1 0.756 z ln ln 0.987 2 (1 r ) 2 1 0.756
z的95％置信区间（0.421,1.553）
r1 e 1 e 1 0.398 2 z1 20.421 1 e 1 e
2 z1 20.421
e 2 z2 1 e 21.553 1 r2 2 z2 21.553 0.914 1 e 1 e
《线性相关与回归》课件
非线性回归
1 模型定义及分类
介绍非线性回归模型的定义和分类，探索常见的非线性回归模型。
2 优化方法
学习非线性回归模型的优化方法，如梯度下降、遗传算法等。
3 应用示例
通过实际案例演示非线性回归模型的应用，提供灵感和实践指导。
结论
总结
总结线性相关与回归的核心内容，强调关键概念和技巧。
展望未来研究方向
探讨线性相关与回归的前沿研究方向，鼓励学习者深入挖掘。
参考
相关书籍和论文
推荐学习资料和经典论文，提供更多深入学习的机会。
相关网站和工具
介绍在线学习资源和实用工具，帮助学习者深入学习和实践。
掌握线性回归模型的实现步骤，包括数 据预处理、模型训练和预测等。
多元线性回归
模型表达式
了解多元线性回归模型的表达式 和参数解释，掌握多个自变量的 回归建模方法。
最小二乘法实现
学习如何使用最小二乘法求解多 元线性回归模型的参数，提高模 型拟合的准确性。
应用场景和优缺点
探索多元线性回归在实际问题中 的应用，以及模型的优点和局限 性。
实际应用场景
了解线性相关在实际问题中 的应用，如数据分析、金融 建模等。
线性回归
1
定义原理
深入探讨线性回归的定义和基本原理，
最小二乘法
2
理解回归问题的本质。
学习最小二乘法的求解过程和应用，掌
握常见回归模型的生成方法。
3
模型评价方法
了解如何评价线性回归模型的优劣和拟
实现步骤
4
合效果，包括R-squared、残差分析等。
《线性相关与回归》PPT 课件
欢迎来到《线性相关与回归》的PPT课件！本课程将介绍线性相关和回归的概 念，包括应用场景和最小二乘法等相关内容。
091 第九章线性相关与回归
解：某工业企业的某种产品产量与单位成本资料如下：年份 产品产量（万件）Xi 单位成本（元/件）YiXiYi 2Xi2Yi1998 2 73 146 4 5329 1999 3 72 216 9 5184 2000 4 71 284 16 5041 2001 3 73 219 9 5329 2002 4 69 276 16 4761 2003 5 68 340 25 4624 2004 6 66 396 36 4356 2005 7 65 455 49 4225 合计34557233216438849（1）设产品产量为X ，单位成本为Y ，建立直角坐标，绘制相关图。
由散点图形看出两者为线性关系，可以配合简单直线回归方程。
某工业企业的某种产品产量与单位成本关系图6466687072742468产品产量（万件）单位成本（元/件）年份1998-2005年(2)建立简单直线回归方程：bXi a Yi +=^8077.1-156282-3416485573423328)(21122111==⨯⨯⨯=--=∑∑∑∑∑=====－－ni ni n i n i ni Xi Xi n Yi Xi XiYi n b 3077.77834)8077.1(8557na 11=⨯-==∑∑==－－nXibYini ni∴Xi Yi 8077.13077.77^－=（3）每当产品产量增加1万件时，单位成本减少1.8077元/件。
（4）9689.05573884983416485573423328)i (2212121212111-=⨯⨯⨯⨯==∑∑∑∑∑∑∑=======－－－－（）－－ni n i n i n i ni ni ni Yi Yi n X Xi n YiXi XiYi n R当显著性水平α=0.05时,自由度=n-m=8-2=6时,查相关系数临界值表得:707.0)6(05.0=R∵）（＞，6707.09689.0050R R ==，故在α=0.05显著水平上，检验通过，说明两变量之间相关关系显著。
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解：某工业企业的某种产品产量与单位成本资料如下：年份 产品产量（万件）Xi 单位成本（元/件）YiXiYi 2Xi2Yi1998 2 73 146 4 5329 1999 3 72 216 9 5184 2000 4 71 284 16 5041 2001 3 73 219 9 5329 2002 4 69 276 16 4761 2003 5 68 340 25 4624 2004 6 66 396 36 4356 2005 7 65 455 49 4225 合计34557233216438849（1）设产品产量为X ，单位成本为Y ，建立直角坐标，绘制相关图。
由散点图形看出两者为线性关系，可以配合简单直线回归方程。
某工业企业的某种产品产量与单位成本关系图6466687072742468产品产量（万件）单位成本（元/件）年份1998-2005年(2)建立简单直线回归方程：bXi a Yi +=^8077.1-156282-3416485573423328)(21122111==⨯⨯⨯=--=∑∑∑∑∑=====－－ni ni n i n i ni Xi Xi n Yi Xi XiYi n b 3077.77834)8077.1(8557na 11=⨯-==∑∑==－－nXibYini ni∴Xi Yi 8077.13077.77^－=（3）每当产品产量增加1万件时，单位成本减少1.8077元/件。
（4）9689.05573884983416485573423328)i (2212121212111-=⨯⨯⨯⨯==∑∑∑∑∑∑∑=======－－－－（）－－ni n i n i n i ni ni ni Yi Yi n X Xi n YiXi XiYi n R当显著性水平α=0.05时,自由度=n-m=8-2=6时,查相关系数临界值表得:707.0)6(05.0=R∵）（＞，6707.09689.0050R R ==，故在α=0.05显著水平上，检验通过，说明两变量之间相关关系显著。
（5）6946.0282332)8077.1(5573077.7738849m1112=-⨯--⨯-==∑∑∑===－－－n XiYib Yi a Yi S n i n i ni y （6）当80=X 万件时，代入简单直线回归方程得：件）元/(8461.6288077.13077.77^=⨯-=Yi当概率为95.45%时，该方程的置信区间为：6946.028461.622i ^⨯±=±y S Y即当产量为8万件时，在95.45%的概率保证程度下，单位成本的置信区间为61.4569—64.2353元/件。
简单直线回归方程计算表 单位：（万元） 序号固定资产原值（万元）y i原材料加工量（万吨）y x iix2iy2ix i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 300 400 400 500 500 500 600 600 600 700 700 1.0 3.0 2.1 1.0 3.5 6.3 1.4 1.8 3.3 0.9 7.7 300 1200 840 500 1750 3150 840 1080 1980 630 5390 1.0 9.0 4.41 1.0 12.25 39.69 1.96 3.24 10.89 0.81 59.29 90000 160000 160000 250000 250000 250000 360000 360000 360000 490000 490000 合计 58003217660117.943220000建立简单直线回归方程i x b +=a y ^i估计参数。
列表计算有关数据（见表18-1），计算结果得：b=68.634.1297866034.129758003219426012111≈=⨯-=-∑∑∑∑==-=ni i ni in i i n i i i x n y x y x na=84.507113268.611580011≈⨯-=-∑∑==nxbnyni ini i所求简单直线回归方程为：x i i y 68.684.507^+=上式表明原材料加工量每增加1万吨，固定资产将增加6.68万元，二者为正相关关系。
（2）计算相关系数：R=39.0178000034.27386603364000035420000102434.129786605800322000011)32(94.117115800321766011)()(n 222121221121n 1≈=--=-⨯-⨯⨯-⨯=----∑∑∑∑∑∑======ni ini ini i ni i ni ii ii i y y x x yx y x n n当显著性水平05.0=a 、自由度=n-m=11-2=9时，查相关系数临界值表得：602.0905.0=）（R 判别。
因R =0.39<0.602=）（905.0R ,故在05.0a =显著性水平上，检验不通过。
（1）估计参数：b=0344.01764006069189053550073.31189093187)(n 21122111==-⨯⨯-⨯=--∑∑∑∑∑=====n i ni i i ni in i i n i i i x x n y x y x a=8166.4718900344.073.3111-=⨯-=-∑∑==nxbnyni ini i所以y 与x 的简单直线回归方程为：i i x y0344.08166.4ˆ+-= （2）计算相关系数:R=∑∑∑∑∑∑∑=======---n i ni i i n i n i i i ni ni ii i y y n x x n y x y 11221122n1i 11i )()(x n=223.3115.1747189053550073.31189093187-⨯-⨯⨯-⨯=02.165316069=0.9340在显著性水平1.00=∂，自由度=527n =-=-m 时，查相关系数临界值表得：874.0)5(01.0=R 。
因)5(874.09340.0R 01.0R =>=，故在01.0=∂显著性水平上，检验通过，说明两变量之间相关关系显著。
（3）计算估计标准误差：y S =mn y x b y a yni n i ni ii i i---∑∑∑===1112=2793180344.03.31)8166.4(15.174-⨯-⨯--=537038.4=0.9350（4）置信区间。
当概率为95.45%时，该方程的置信区间为：9350.020344.08166.42yˆ⨯±+-=±i y x S即在95.45%的概率保证程度下，该方程的置信区间为[ix 344.00866.66+－，i x 344.00466.92+－]设：某产品的产量为x ，生产费用为y ，依题意得： （1）试确定该简单直线回归方程i bx a y +≡∧b=26216⨯+=a a=4i x y 24+=∧（2）试求该产品产量与生产费用之间的相关系数 92x =σ 3x =σ492y =σ 7y =σ2x2x y b σσ=922xy σ=182xy =σ7673182=⨯==Y X XY R σσσ所以该产品产量与生产量之间的相关系数为6/7题21：某企业某产品1996—2005年利润与单位成本统计数据如下： 年份 利润率（%）Y 单位成本（元/件）X 'X =X1'X Y2Y2'X1996 9 100 0.01 0.09 81 1×4_101997 10 95 0.0105 0.105 100 1.1025×4_10 199811880.01140.12541211.2996×4_101999 13 84 0.0119 0.1547 169 1.4161×4_10 2000 15 80 0.0125 0.1875 225 1.5625×4_10 2001 16 79 0.0127 0.2032 256 1.6129×4_10 2002 17 75 0.0133 0.2261 289 1.7689×4_10 2003 20 70 0.0143 0.286 400 2.0449×4_10 2004 22 68 0.0147 0.3234 484 2.1609×4_10 2005 25 66 0.0152 0.38 625 2.3104×4_10合计1588050.12652.081327501.62787×3_10要求：（1）根据上述数据绘制相关图，判别该数列相关与回归的种类。
解：某企业某产品1996--2005年利润与单位成本统计数据如下：051015202530020406080100120单位成本(元/件)利润率(%)系列1从图判别该数列属于负相关，回归的种类是：双曲线回归。
（2）配合适当的回归方程。
解：建立双曲线回归方程:yˆ=a+b X1，令'X =X1，得：yˆ= a+b 'X b =∑∑∑∑∑=====--ni ni ni ni n i X X n YXYX n 1122'2'11'1')(=23-1265.0-1062787.1101581265.0-0813.210⨯⨯⨯⨯=2987.88a=nXbnYni ni ∑∑==-1'1=101265.088.298710158⨯-=-21.996682≈-21.997得：双曲线回归方程：Yˆ=-21.997+2987.88X1 （3）在显著性水平01.0=∂时，对回归方程进行显著性检验。
解：1.计算相关指数：R=211221'12'11'1')()(∑∑∑∑∑∑∑==+====---ni ni n i n i ni ni n i y y n x x n yxy x n=2231582750101265.01062787.1101581265.00813.210-⨯-⨯⨯⨯-⨯-=0.9882.显著性检验:取显著水平01.0=∂时，自由度n-m=10-2=8 查相关系数临界值表得：765.0)8(01.0=R由于随单位成本的减少，利润率增加，所以两者之间为负相关关系。
相关指数取负值为-0.988。
因为|R|>765.0)8(01.0=R ，故在01.0=∂显著性水平上，检验通过，说明两变量之间相关关系显著。
（4）若该企业2006年产品单位成本降至60元/件，产量为8万件时，预期可获得多少利润？解：因为Yˆ=-21.997+2987.88X1代入60元/件，得：Yˆ=-21.997+2987.88601=27.801% 故当产量为8万件时，得：80000⨯27.801%=22240.8（元）答：预期可获得22240.8元的利润。