6.3三重积分的计算

Ω
z
z=z2( x, y) =
P 2
P 1
z=z1( x, y) =
将积分区域
向 oxy 平面
o
Dxy
( x, y)
y
投影, 得投影区域 D xy .
x
xy 型区域
= {( x , y , z ) z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D xy },
2
π
例3. 计算 ∫∫∫ yzdxdydz , 其中 Ω 由 z =
Ω
R2 − x2 − y2 ,
x 2 + y 2 = Ry 及 z = 0 所围成 .
z
R
解： Ω 在 oxy 面上的投影 区域为 区域为 D xy ： x + y ≤ Ry ，
2 2
o
R
y
x
Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D xy .
第三节 三重积分的计算 3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分
∫∫∫ f ( x , y , z）dV = λlim0 ∑ f（ξ i ,η i , ς i）⋅ ∆V i →
Ω i =1
n
其中 d V 称为体积元素 .
三重积分必定存在. 若 f ∈ C (Ω) ，则 f 在Ω上 的三重积分必定存在.
Ω
c2
c1
dz
D( z )
∫∫ f ( x, y, z)dxdy . (先二后一法)
x y . 类似地有 型和 型空间区域
例4. 计算 ∫∫∫ z dxdydz , 其中
2 Ω
c
D(z)
z
z
Ω 是椭球体
x a
2 2
+
y b
2 2
+
z c
2 2
o
≤ 1.
y
x −c
, z) ( 解： 被积函数仅与 x , y ) D( z ),− 分析：被积函数仅与变量 ∈有关， c ≤ z ≤ c oxy 分析：Ω = {( x , y仅与变量 z 有关，用平行于} ， 平面
Ω
b
y2 ( x)
z 2 ( x, y )
f ( x, y, z )dz
的三次积分. 上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分. ， ，
注:
类似地， 型的. 类似地，空间区域 Ω 还有 yz 型和 zx 型的.
型空间区域时， 当 Ω 是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都 可以把三重积分按先“定积分” 二重积分” 可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算. 的步骤来计算.
x
∫∫∫ x d x d yd z = ∫0 d x ∫
Ω
1
1− x 2 0
dy
∫0
1− x − 2 y
xdz
1− x = xdx 2 (1 − x − 2 y)dy 0 0
∫
1
∫
1 1 1 2 3 . ( x − 2 x + x )dx = = 48 4 0
∫
例 2. 计算三重积分 I = 其中 Ω 是由抛物柱面 y =
Ω D xy
z 2 ( x, y)
f ( x , y , z )dz
( 先一后二法)
若 D xy = {( x , y ) y 1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ), a ≤ x ≤ b}, 则
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz =∫a dx ∫ y1 ( x) dy∫z1 ( x, y)
∫∫∫
Ω
z 2 dxdydz ，
I=
∫∫∫
Ω
2 z dxdydz = 2
2
∫
1 2 z dz −1
∫∫ dxdy
x 2 + y 2 ≤1− z 2
2 4
8 = 2 z ⋅ π(1 − z )dz = 4π ( z − z )d z = π. −1 0 15
∫
1
2
2
∫
1
9.3.3 用柱面坐标计算三重积分
x+z=
∫∫∫ ycos( x + z )d xd yd z ，
Ω
x 及平面 y = 0 , z = 0 ,
π
2
π
2
z
所围成的区域. 所围成的区域
解： Ω 在 oxy 面上的投影区域为
D xy : 0 ≤ x ≤
π
2
, 0≤ y≤
π
o
y
x.
2
x
π Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ 2
轮换对称性) 的值，与原积分的值相同. 轮换对称性 的值，与原积分的值相同. (轮换对称性
例6. 设有空间区域 Ω 1 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , z ≥ 0 ; Ω 2 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 , 则 (
( A)
Ω
x，y，z 为偶函数，即 f ( − x ,− y ,− z ) = f ( x , y , z ) 时， 为偶函数，
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz
Ω
等于其一半对称区域上三 等于其一半对称区域上三重积分
的两倍. 的两倍.
3．若将 x 换为 y，y 换为 z，z 换为 x，积分区域不变， ， ， ，积分区域不变， 则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分 则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分
其截面是椭圆. 截面法 的平面去截 Ω ，其截面是椭圆 故采用“截面法”. 2 2 2 x y z D( z ) = {( x , y ) + ≤ 1 − }. 2 2 a b c2
∫∫dxdy = π a
D( z)
1−
z2 c
2
⋅ b 1−
z2 c
2
= π ab(1 −
z2 c
2
),
椭圆的长半轴 椭圆的短半轴
z1 ( x , y ), z 2 ( x , y )∈C ( D xy ).
先固定 ( x , y ) ∈ D xy , 作定积分
F ( x, y) =
∫z ( x , y )
1
z2 ( x, y)
f ( x , y , z )dz ,
再计算 F ( x , y )在 D xy 上的二重积分
D xy
∫∫ F ( x, y ) dxdy = ∫∫ [∫z1 ( x , y )
D xy
z 2 ( x, y)
f ( x , y , z )dz ]dxdy .
当 f ( x , y , z ) ∈ C ( Ω )时 , 则得
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdy ∫z 1 ( x , y )
Ω
h
zd z
∫∫ d x d y
D(z)
=
∫0 z ⋅ π
R2 h
2
h
R2z2 h2
dz
=π
∫
h 3 z dz 0
1 = πR 2 h 2 . 4
三、利用对称性简化三重积分的计算
设 f ( x , y , z )在有界闭区域 Ω 上连续 .
对称，则当被积 关于 1. 若 Ω关于oyz面 (或oxy面,或oxz面) 对称，则当被积 函数 f ( x , y , z ) 关于变量 x(或 z，或 y)是奇函数时, ( ， )是奇函数时
解： Ω = {( x, y, z ) ( x, y) ∈ D( z ), 0 ≤ z ≤ h} ，
D( z ) = {( x , y ) x 2 + y 2 ≤ R2z 2 h
2
z
h
z= h 2 2 x +y R
}
D(z)
∫∫ dxdy = π
D( z)
R2 z 2 h2
.
x
o
y
∫∫∫ z d x d y d z = ∫ 0
D(z)
D( z )
再将 ϕ ( z ) 在 [c1 , c 2 ]上作定积分
z
c1
∫c1 ϕ (z)dz = ∫c1 ( ∫∫ f ( x, y, z)dxdy)dz,
D( z )
c2
c2
当 f ( x , y , z ) ∈ C ( Ω )时 , 则得
o
x
y
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz =∫
∫
π
1 3 1 π 1 5 3 1 π π 5 R . = R ( ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ )= 3 4 2 2 5 6 4 2 2 32
5
截面法) 二、坐标轴投影法 (截面法)
将空间闭区域 Ω 向 z 轴投影 , 得投影区间 [c1 , c 2 ].
设 D( z ) 是过点 ( 0, 0, z ) 且平行于 oxy面的平面截 Ω 所得的平面区域 .
∫∫∫ z dxdydz =
2 Ω
∫− c
c
z 2 dz
∫∫ dxdy
D( z )
4 = πab ∫ z (1 − )dz = πabc 3 . −c 15 c2
2
c
z2
例 5. 计算三重积分 I = h z= R
∫∫∫ zdxdydz , 其中 Ω 由锥面
Ω
x 2 + y 2 与平面 z = h 围成 .
∫∫∫ yzdxdydz = ∫∫ ydxdy ∫0
Ω D xy
R2 − x2 − y2