中考数学总复习三元一次方程组的解法(重点讲义)
初中数学知识点精讲精析 三元一次方程组
*5.8 三元一次方程组学习目标1.了解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．知识详解1．三元一次方程及三元一次方程组（1）三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程．（2）三元一次方程组：①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组．a．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；b．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．2．三元一次方程组的解（1）三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解．和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解．（2）三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数．（3）检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解．检验三元一次方程组的解：三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解．3.三元一次方程组的解法（1）解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．（2）步骤：①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；⑤写出三元一次方程组的解．（3）注意点：①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确．4．运用三元一次方程组解实际问题（1）方法步骤：①审题：弄清题意及题目中的数量关系；②设：设三个未知数；③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；⑤答：回答说明实际问题的答案．列三元一次方程组：同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组．5．三元一次方程组的解法技巧解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考．（1）先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程．（2）先消某个方程中缺少的未知数．若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解．（3）先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数。
《三元一次方程组的解法》PPT教学课文课件
思考1：题目中有几个未知数，怎么表示？ 三个，设 1 元的纸币 x 张，2 元的纸币 y 张，5 元的纸币 z 张. 思考2：有哪些数量关系？
a 1 0,
解：由题意得 b 1 1，解得 a 1,
2 a 1.
b 0.
【小结】 （1）三元一次方程的条件： ①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是 1 次. （2）三元一次方程的一般形式： ax + by + cz + d = 0，其中 a、b、c 不为零．
课堂总结
三元一次 方程组
D. 满足三元一次方程组的定义，故 D 选项错误；程组的定义进行判断.
典例精析
例2
解方程组：
3 x＋4 z＝7， 2x 3y z
① 9，②
5x - 9 y 7z＝8. ③
解：②×3＋3，得 11x+10z=35. ④
①与④组成方程组 3x＋4z＝7，
11x 10z 35.
解这个方程，得 x＝5，
z -2. 把 x=5，z=-2代入 ②，得 y
并且一共有三个方程，像这样义，故 A 选项错误；【总结升华】三元一次方程组中的方
B. x2 - 4 = 0，未知量 x 的次数为 2 次，
程不一定都是三元一次方程，并且有
∴不是三元一次方程，故 B 选项正确；
时需对方程化简后再根据三元一次方
C. 满足三元一次方程组的定义，故 C 选项错误；
解：把①代入②，得 11x+2z = 23. ④
③与④组成二元一次方程组 3x - 4z 4,
三元一次方程组的解法原创初中数学课件
z
2．
x x
y z 12， ① 2 y 5z 22，②
x 4 y.
③
把 y=2 代入③，得 x=8.
x 8，
因此，这个三元一次方程组的解为
y
2，
z 2．
还有其他方法 吗？
答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张．
x x
y z 12， ① 2 y 5z 22，②
4 辆汽车装运 C 种脐橙，才能使此次销售获利达到 14.08 万元
脐橙品种 每辆汽车运载量/吨 每吨脐橙获利/百元
A
B
C
6
5
4
12
16
10
解：设装运 A，B，C 三种脐橙的车辆数分别为 x，y，z 辆，
x＋y＋z＝20， 依题意，得6x＋5y＋4z＝100，
x＝4， 解得y＝12，
72x＋80y＋40z＝1 408.
z＝4.
答：4 辆汽车装运 A 种脐橙，12 辆汽车装运 B 种脐橙，
程
利用三元一次方程组解决实际问题
某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1 件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各 一件，共需( )元． A．31B．32 C．33 D．34
一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标 1、使学生通过探索，加深对消元思想的理解。 2、利用二元一次方程组的解法类比三元一次方程组的解法。 3、建立三元一次方程（组）模型。 重点 解三元一次方程组。 难点 利用三元一次方程解决简单实际问题。
《三元一次方程组的解法》课件完整版PPT初中数学2
第八章 二元一次方程组
1．比较三元一次方程组与二元一次方程组的概念与解法，它们之 间有哪些相同点？有哪些不同点？
【答案】相同点，一是次数相同，即方程组中含未知数的项的次数 都是1；二是解题思路相同，即都是通过代入法或加减法进行消元；三 是方程组的解的表示方法相同，都是用大括号联立的形式．
不同点，一是方程组中方程的个数不同；二是方程组中未知数的个 数不同，因而方程组的解的个数也不同．
x＝1
所以原方程组的解是y＝2. z＝1
第八章 二元一次方程组
2x＋y＋z＝－1
2．三元一次方程组3y－z＝－1
的解是
3x＋2y＋3z＝－5
x＝1
A．y＝－1 z＝2
x＝1
B．y＝－1 z＝－2
x＝－1
C．y＝1 z＝－2
x＝1
D．y＝1 z＝－2
(B)
第八章 二元一次方程组
方法总结：因为解三元一次方程组的基本思想是消元，所以解三元 一次方程组时首先应认真观察，观察的重点是怎样才能消去一个未知 数，从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组．
x－2y＋3z＝0① 当x＝5时，y＝60；
(1)三元一次方程组：如果一个方程组满足下列条件：①方程组中含有______个未知数；
【例】 解三元一次方程组：3x＋2y＋5z＝12②. (2)解三元一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元把三元一次方程组转化为__________________，进而转化为________________.
三元一次方程组的概念与解法 ②每个方程中含有未知数的项的次数是_____ ；
2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想． 二是解题思路相同，即都是通过代入法或加减法进行消元；
《三元一次方程组及其解法》课件
02
三元一次方程组的解法
利用消元法解三元一次方程组
消元法原理
通过消元将三元一次方程组转化成二元一 次方程组，再逐步消元，最终求得方程组 的解。
VS
消元法步骤
• 先将三元一次方程组中的某个方程用 两个未知数表示，另一个方程用未知 数表示，得到两个二元一次方程组。 再通过消元法求解二元一次方程组， 得到两个未知数的值，然后代入其中 一个二元一次方程中，求解第三个未 知数。
学会利用已知条件和方程组的性质，如对称性、 奇偶性等，简化计算过程，提高解题速度。
06
三元一次方程组在数学中的应用
在几何中的应用
确定多面体和旋转体的体积
利用三元一次方程组可以方便地解决多面体和旋转体的体积计算问题。例如 ，通过确定长方体的长、宽、高，可以求出其体积。
证明几何定理
三元一次方程组可以用来证明一些几何定理。例如，通过建立三个方程，可 以证明三角形三个角的和等于180度。
03
三元一次方程组的实际应用
在物理学中的应用
自由落体运动
自由落体运动公式是三元一次方程组的一种应用，通过求解方程可以得到物 体下落的时间、速度和位移等物理量。
力学系统
在力学系统中，三元一次方程组可以用来描述物体的运动状态和受力情况， 例如物体在重力场中的运动、弹性力学问题等。
在化学中的应用
化学反应平衡
利用加减法解三元一次方程组
加减法原理
通过加减消元，将三元一次方程组转化成二元一次方程组， 再逐步求解，最终得到方程组的解。
加减法步骤
• 先将三元一次方程组中的两个方程相加或相减，消去其中 一个未知数，得到一个二元一次方程组。再通过求解这个 二元一次方程组，得到两个未知数的值，然后代入原方程 组中另外一个方程中，求解第三个未知数。
初中数学《三元一次方程组解法》知识全解
《三元一次方程组解法》知识全解课标要求掌握三元一次方程组的解法，理解解三元一次方程组的思想是将它转化为二元一次方程进而转化为一元一次方程，即消元的思想。
会根据实际问题列三元一次方程，会用三元一次方程解决实际问题。
知识结构本节在学生对一元一次方程和二元一次方程组的求解已有认识的基础上，学习讨论三元一次方程组及解法．由此为今后进一步学习不等式组以及二次函数奠定基础．为二次函数中利用待定系数法确定二次函数的表达式做一定的准备．内容解析本节主要是利用消元思想和代入法、加减法将三元一次方程组消元化为二元一次方程组并进而再次消元化为一元一次方程进行求解．消元的思想体现的十分充分．本节在实际问题的基础上，引入三元一次方程组．三元一次方程组含有三个未知数，如何消元，先消哪个元是需要认真思考的．重点难点重点：运用消元思想和代入法、加减法解三元一次方程组；并使学生经历建立二（三）元一次方程组这种数学模型并应用它们解决实际问题．难点：从三元到二元或一元的消元过程；由于含有两（三）个以及多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点．教法导引1．教师要注意以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型．2．教学过程中注意让学生了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”的思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．3．教学过程中通过探究实际问题，注意引导学生进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高学生分析问题、解决问题的能力．学法建议学生在解三元一次方程组时，消元，先要考虑好消去哪一个未知数．开始练习时，可以先把要消去的未知数写出来，然后再进行消元．。
《三元一次方程组的解法》Ppt精品实用课件初中数学1
依照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①、②，得到两个只含y，z方程：
4y+y+z=12
4y+2y+5z=22
把它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而可求出x．
下面这个方程就是含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程
组．
答：种植水稻15公蔬顷菜，棉花20公顷，蔬菜为16公5顷人．
2万元
，表示出x，y，z，代入第二个方程求出k的值，即可确定出x，y，z的值．
（2）如果三个一元已一知次方该程农合起场来计共有划三在个未设知备数，投它入们就6能7万组成元一，个三应元该一次怎方样程组安. 排这三种作 解小：结设 ：种谈植谈水你稻对三x公物元顷一的，次棉种方花程植y公组面顷的，解积蔬法，菜的为认才z识公能顷，使由所题意有得职：工有工作，而且投入的资金正
的方程组叫做三元一次方程组. 依照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①、②，得到两个只含y，z方程：
4y+y+z=12 4y+2y+5z=22
把它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而可求出x．
类比二元一次方程组的概念，聪明的你想想三元一次方程组的概念会是什么？
解析：方程
为一个连比式，
解比稻析赛： 看、方谁程能先棉解出花方程和组 蔬为一菜个连，比式，已知种植农作物每公顷所需的 劳动力人数及投入的设备资金如下表： 三元一次方程组在生活中的实际应用
则有x=2k，y=3k，z=4k， 代入x+y+z=18得：2k+3k+4k=18，
解得：k=2，
三元一次方程组知识讲解
三元一次方程组知识讲解a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中，a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃,c₁,c₂,c₃为系数，d₁,d₂,d₃为常数。
解方程组的目标是找到x,y,z的值，使得方程组中的每个方程都得到满足。
解三元一次方程组的方法有很多种，下面将介绍其中的两种常用方法。
1.消元法：消元法是通过变换方程组中的方程，逐步去除未知数的系数，从而得到最终结果。
首先，我们可以使用第一个方程来消去x，方法是将第一个方程乘以a₂/a₁，再与第二个方程相减，得到一个新的方程，其未知数中x的系数为0。
这样，我们得到了一个新方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁(0)x+(b₂-(a₂/a₁)b₁)y+(c₂-(a₂/a₁)c₁)z=d₂-(a₂/a₁)d₁a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，我们可以使用第三个方程再次消去x，方法是将第三个方程乘以a₁/a₃，再与第一个方程相减，得到一个新的方程，其未知数中x的系数为0。
这样，我们得到了一个新方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁(0)x+(b₂-(a₂/a₁)b₁)y+(c₂-(a₂/a₁)c₁)z=d₂-(a₂/a₁)d₁(0)x+(b₃-(a₃/a₁)b₁)y+(c₃-(a₃/a₁)c₁)z=d₃-(a₃/a₁)d₁在这个新的方程组中，已经消去了x，我们可以将其简化为两元一次方程组，然后使用二元一次方程组的解法来求解y和z的值。
最后，再将y和z的值带入原方程组中的任一方程，求解x的值。
2.矩阵法：矩阵法是通过将方程组转化为矩阵的形式来求解。
将方程组表示为如下的增广矩阵：┌┐a₁b₁c₁，d₁a₂b₂c₂，d₂a₃b₃c₃，d₃└┘首先，我们对矩阵进行初等行变换，使得矩阵的左上角的元素为1，其它行的第一列元素为0。
得到一个新的矩阵：┌┐1**，*0**，*0**，*└┘接下来，我们使用行变换将矩阵的左下角和右上角的元素变为0。
《三元一次方程组》 讲义
《三元一次方程组》讲义在数学的世界里，方程是我们解决问题的有力工具。
而当我们面对涉及三个未知数的情况时，三元一次方程组就登场了。
今天，咱们就一起来深入了解一下三元一次方程组。
一、什么是三元一次方程组三元一次方程组，简单来说，就是由三个方程组成的一组方程，每个方程都含有三个未知数，并且未知数的最高次数都是 1。
举个例子，像下面这样的就是三元一次方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＋ z ＝ 6 ＼＼2x y ＋ 3z ＝ 14 ＼＼3x ＋ 2y z ＝ 7＼end{cases}＼在这个方程组中，x、y、z 就是我们要去求解的未知数。
二、三元一次方程组的解满足三元一次方程组中所有方程的一组未知数的值，就是这个三元一次方程组的解。
比如说，如果 x ＝ 1，y ＝ 2，z ＝ 3 能够同时让上面的三个方程都成立，那么（1, 2, 3) 就是这个三元一次方程组的一组解。
三、解三元一次方程组的基本思想解三元一次方程组的基本思想和我们解二元一次方程组是类似的，那就是消元。
通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后再进一步转化为一元一次方程，从而求解出未知数的值。
那怎么消元呢？常见的方法有代入消元法和加减消元法。
四、代入消元法代入消元法，就是从一个方程中求出一个未知数用另外两个未知数表示的式子，然后把这个式子代入到另外的方程中，消去这个未知数，从而得到一个二元一次方程组。
比如说，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＋ z ＝ 6 ＼＼2x y ＋ 3z ＝ 14 ＼＼3x ＋ 2y z ＝ 7＼end{cases}＼我们可以从第一个方程中得到 x ＝ 6 y z ，然后把这个式子代入到第二个和第三个方程中，就可以消去 x ，得到关于 y 和 z 的二元一次方程组。
五、加减消元法加减消元法呢，就是通过把方程组中的两个方程相加或者相减，消去一个未知数。
比如对于上面的方程组，如果我们把第一个方程乘以 2 ，得到 2x＋ 2y ＋ 2z ＝ 12 ，然后用这个式子减去第二个方程 2x y ＋ 3z ＝ 14 ，就可以消去 x ，得到 3y z ＝－2 。
人教版初中数学8.4 三元一次方程组的解法 课件
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们 自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、 z 张，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法/
对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因 此，我们把三个方程合在一起写成
巩固练习
8.4 三元一次方程组的解法/
解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.
依题意,得
x y z 51, 4x 8y 5z 300, x y 2z 67.
x 15, 解得： y 20,
z 16.
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
连接中考
8.4 三元一次方程组的解法/
下列方程组不是三元一次方程组的是( D)
x1
A.
x
y
2
x z 10
x y 10
C.
x
z
2
y z 15
x3y 2z 1
B. 2x y 4z 0
3x 2y z 3
x yz 1
D. x 3y 4z 7
xyz 12
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要
巩固练习
8.4 三元一次方程组的解法/
x 1
已知
y
2
z 3
是方程组
ax by 2 by cz 3 cx az 7
的解,则a+b+c的值是___3_________.
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法/
素养考点 3 利用三元一次方程组解答实际问题 例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应 包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营