第十八章 勾股定理小结与复习

第十八章 勾股定理小结与复习知识梳理1.勾股定理（1）内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么________，即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________.（2）表示方法：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2. 温馨提示：①勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系；②勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. （3）应用：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边. 2.勾股定理的逆定理（1）内容：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是直角三角形.（2）应用：判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为_________.考点呈现考点1 勾股定理例1 （2011年贵州遵义）如图1，由四个边长为1的小 正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上的高是错误！未找到引用源。

___________. 解析：由题意知，B ，C 分别为EF ，FD 的中点，所以S △ABC =S 正方形AEFD ﹣S △AEB ﹣S △BFC ﹣S △CDA =2×2-2121⨯⨯-1121⨯⨯-2121⨯⨯=23.又BC=21122=+，所以△ABC 中BC 边上的高是23．故填23或错误！未找到引用源。

．考点2 勾股定理的逆定理例2 （2011年四川眉山）如图2，每个小正方形的边长为1， A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 ( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接AC ，因为每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方 形的顶点，所以分别由勾股定理求得AC 2＝5，BC 2＝5，所以AC ＝BC .又AB 2＝10，所以AC 2+BC 2＝AB 2，所以△ABC 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°，图1 CBA图2故选C.考点3 勾股定理的实际应用例3 （2011年浙江丽水）如图3，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．600 mB ．500 mC ．400 mD ．300 m解析：因为BC ∥AD ，所以∠DAE=∠ACB. 因为BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，所以∠ABC=∠DEA=90°. 又AB=DE=400，所以△ABC ≌△DEA. 所以EA=BC=300. 在Rt △ABC 中，AC=50022=+BCAB，所以CE=AC ﹣AE=200.从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700；②BC+CE= 500.所以最近的路程是500 m ．故选B ． 考点4 确定最短线路例4 (2011年湖北荆州，改编)如图4，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为5 cm ，若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm ；如果从P 点开始经过4个侧面绕n 圈到达Q 点，那么所爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm.图4 图5分析：这是求立体图形上两点间的最短路线问题，需要将立体图形展开，转化为平面图形，然后利用两点之间线段最短求解．解：如图5是长方体的侧面展开图，其中OP =4×2+2×2=12，OQ =5．在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ =22O P O Q +=22125+=13(cm )；如果从P 点开始经过4个侧面绕n 圈到达Q 点，则OP =（4×2+2×2）n=12n. 在 Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ =22O P O Q +=251445)12(222+=+n n （cm ）.故填13，251442+n .图3误区点拨一、错在添加条件例1 在△ABC 中，三边的长分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，c 为质数，求c. 错解:由勾股定理，得.5432222=+=+=b a c剖析:因△ABC 是一般三角形，故不能用勾股定理来解，只能根据三角形的三边关系定理来解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的.造成错解的原因是受“勾3股4弦5”思维定势的影响.正解：由三角形的三边关系定理，得b-a ＜c ＜b+a ，即4-3＜c ＜4+3，则1＜c ＜7.因为c 为质数，所以c=2，或c=3，或c=5.二、未弄清最大边，出现错判例2 △ABC 中，已知a=n 2-1,b=n 2+1,c=2n(n ＞1)，试判断△ABC 是否为直角三角形. 错解:因为a 2+ b 2=（n 2-1）2+（n 2+1）2=n 4-2n 2+1+n 4+2n 2+1=2n 4+2,而c 2=(2n)2=4n 2,所以a 2+ b 2≠c 2.故这个三角形不是直角三角形.剖析：错因在于没有弄清楚哪条边是最大边,只是简单地考查了其中两边的平方和是否等于第三边的平方就得出结论.在运用勾股定理的逆定理判断能否组成直角三角形时,应先确定最大边,再考查最大边的平方是否等于其他两边的平方和.正解: 因为n ＞1，所以b ＞a ，b ＞c. 又a 2+c 2=（n 2-1）2+(2n)2=n 4+2n 2+1，b 2=（n 2+1）2=n 4+2n 2+1，所以a 2+c 2=b 2.故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.三、忽视分类讨论，出现漏解例3 等腰三角形中，一边长是6，另一边长是8，求一腰上的高．错解：如图1，作BD ⊥AC 于点D ，则在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD)2，所以82－AD 2＝62－(8－AD)2，则AD ＝234，所以BD ＝22A B A D -＝222384⎛⎫- ⎪⎝⎭＝16495．剖析：对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因是只对图1中的一种情况计算，而忽视了如图2的情形．正解：分两种情况讨论：①若以6 cm 为底，8 cm 为腰，则如图1，得BD ＝16495；②若以8 cm 为底，6 cm 为腰，则如图2，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD)2，所以62－AD 2＝82－(6－AD)2，则AD8图1ADCB6 图2B DC68 A＝23，所以BD ＝22A B A D -＝22263⎛⎫- ⎪⎝⎭＝9320．所以一腰上的高为16495或9320.勾股趣题一、鸟儿捉鱼（11世纪阿拉伯民间趣题）小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵棕榈树之间的距离是50尺，每棵树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离较高的棕榈树根有多远？分析：在Rt △ABE 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2，AE 2＋BE 2＝AB 2．于是，由AB ＝AC ，即AB 2＝AC 2可列方程求解．解：如图1，CD ＝20尺，BE ＝30尺，DE ＝50尺．设所求的距离AE=x 尺，则AD=（50－x ）尺.根据勾股定理，得AB 2＝302＋x 2，AC 2＝202＋（50－x ）2．因为飞行速度相同，又同时到达，所以AB ＝AC ． 所以302＋x 2＝202＋（50－x ）2，解得x ＝20．所以这条鱼出现的地方与较高的棕榈树根的距离为20尺． 二、孔雀捕蛇（12世纪印度趣题）有一根木柱，木柱下有一个蛇洞．柱高15尺，柱顶站有一只孔雀，孔雀见一条蛇正向洞口游来，现在与洞口的距离还有三倍柱高．就在这时，孔雀猛地向蛇扑过去．问在离蛇洞多远处，孔雀与蛇相遇？（假定孔雀与蛇的速度相同）分析：如图2，假设蛇自D 点向洞口C 爬去，孔雀从柱顶B 向蛇扑去，它们相遇于A 处，若设蛇与孔雀相遇时离洞口x 尺，则AD ＝3×15－x ＝45－x ．由AB ＝AD ，在Rt △ABC 中应用勾股定理便可列方程求解．解：如图2，设离蛇洞x 尺处孔雀与蛇相遇，则AD=（45－x ）尺，AB ＝AD ．由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋152＝（45－x ）2，解得x ＝20． 所以在离蛇洞20尺处孔雀与蛇相遇．三、折竹抵地（源自《九章算术》）今有竹高一丈（1丈=10尺），末折抵地，去本三尺（竹尖与根之间相距三尺）．问折者高几何（即折后直立的竹子高为多少）？分析：将问题转化为图3，在Rt △ABC 中，应用勾股定理求解．解：因为AB 2－AC 2＝BC 2＝32＝9，所以（AB ＋AC ）（AB －AC ）＝9．因为AC ＋AB ＝10，所以AB －AC ＝109，即AB ＝109＋AC ．所以AC ＋109＋AC ＝10，解得AC ＝4.55．所以折后直立的竹子高为4.55尺．B CEDA 图1BCDA 图 2CB A图3跟踪训练1.三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是 （ ）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形2.一个直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长是 （ ）A.5B.13C.7D. 5或133.Rt△ABC 中，∠C =90°，若a+b=14 cm ，c=10 cm ，则Rt△ABC 的面积是 （ ） A.24 cm 2B.36 cm 2C.48 cm 2D.60 cm 24.在△ABC 中，∠C=90°，（1）已知 a=2.4，b=3.2，则c= ；（2）已知c=17，b=15，则△ABC 面积等于 .5.如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5 cm ，BC=6 cm ，则AD= cm ．6.要做一个如图2所示的零件，按规定∠B 与∠D 都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？7.两种规格的钢板原料，图3-（1）的规格为1 m ×5 m ，图3-（2）是由5个1 m ×1 m 的小正方形组成.电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）， 分别在图3-（1）和图3-（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）.（1）（2）图3AC DB图1 2471520DC BA第十八章勾股定理小结与复习知识梳理：1. a2+b2=c2 平方和平方2. a2+b2=c23. 逆命题逆定理跟踪训练：1.C 2.D 3.A4.（1）4 （2）605.46.解：符合要求.理由是：因为AB=24，BC=7，AC=25，所以AB2+BC2=242+72=252=AC2，则△ABC是直角三角形，且∠B是直角；因为AD=20，DC=15，AC=25，所以AD2+CD2=202+152=252=AC2，所以△AC D 是直角三角形，且∠D是直角.所以这个零件符合要求.7.解：。