高中数学第三章《3.1直线的倾斜角与斜率》学案(扫描版)新人教A版必修2
新课标人教A版必修二3.1直线的倾斜角与斜率导学案(含答案)
直线的倾斜角与斜率一、要点精讲 1、倾斜角和斜率 ⑴倾斜角与斜率⑵直线的倾斜角与斜率的对应关系2、斜率公式当直线l 经过两点()()11111,,,y x P y x P 时，l 的斜率：().121212x x x x y y k ≠--=题型一：直线的倾斜角1、已知直线l 过原点，将直线l 绕原点沿顺时针方向旋转α角（1800<<α）后，恰好与y 轴重合，求直线l 转动前的倾斜角是多少？2、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为A. 45+αB. 135-αC.α- 135D.当 1350<≤α时，为 45+α，当 180135<≤α时，为 135-α 3、已知直线l 的倾斜角为15-α，则下列结论正确的是A. 1800<≤αB. 1350<≤αC. 1350≤<αD. 19515<≤α4、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l 的倾斜角为45+α，则A. 900<≤αB. 18015<<αC. 18015<≤αD. 1350<<α 5．已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ） A ．14B ．34C ．45D ．25试题分析：22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.6．已知点()1P ，，点Q 在y 轴上，且直线PQ 的倾斜角为120︒，则Q 的坐标为（ ）A ．()0 2，B ．()0 2-，C ．()2 0，D ．()2 0-，试题分析：设(0,)Q b ，因为y 轴上一点Q M ，它的点()1P ，连成的直线的倾斜角为120︒，所以tan120︒=，解得2b =-，即(0,2)Q -，故选B.7．已知,,a b c 是两两不等的实数，点(),P b b c +，点(),Q a c a +，则直线PQ 的倾斜角为 _________. 试题分析：因为直线经过(),P b b c +，点(),Q a c a +两点，所以直线AB 的斜率()1c a b c k a b+-+==-，所以直线AB 的倾斜角为45α=.8．已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A （非坐标原点O ），直线l 上有一点()00cos130,sin 50P ，且030APO ∠=，则α等于（ ）A ．100°B ．160°C ．100°或160°D ．130° 试题分析：因为()()0000cos130,sin50cos130,sin130P P =，所以0130POx ∠=，因此1303013030α=+-或，即160100α=或，选C. 题型二：直线的斜率和倾斜角的相互转化9.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m ＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.10．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0解：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0.11、下列说法中正确的是A. 若直线l 的倾斜角为α，则直线l 的斜率为αtanB.若直线l 的斜率为αtan ，则直线l 的倾斜角为αC. 若直线l 的倾斜角为90=α，则直线l 必平行于y 轴D.每一条直线l 都存在它的倾斜角α，但并非每一条直线l 都存在它的斜率k12．已知直线PQ 的斜率为，将直线绕点P 顺时针旋转60，所得的直线的斜率是（ ）A ．0B ．试题分析：斜率为，倾斜角为120，P 顺时针旋转60，倾斜角为60.13、如果直线l 经过点()0,1-，倾斜角为150, 将直线l 绕点()0,1-逆时针旋转60后，得到直线l '，求直线l '的倾斜角和斜率.解：∵直线l 的倾角为150°，∴直线的倾斜角α=(150°＋60°)－180°=30°，14．已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为（） A. 60 B. 30060或 C. 30D. 33030或 试题分析：由直线方程为,3300sin 300cos =+y x所以直线的斜率为3360sin 60cos )60sin()60cos()60360sin()60360cos(300sin 300cos ==---=---=-= k因为直线倾斜角的范围)180,0[ 所以倾斜角为 30故答案为C 15．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标． (1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角． 解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1. 又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．16、已知一条光线从点A （-1，3）发出，射到x 轴上，又经x 轴反射到点B （2，7），求x 轴上的光点的坐标。
高中数学 311(直线的倾斜角与斜率)导学案 新人教A版必修2 学案
3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案【学习目标】知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．【重点难点】学习重点：直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点：直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.【学法指导】1、认真研读教材82---85页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）3、A：自主学习；B：合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.【知识链接】：1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）【学习过程】问题的导入：大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木，会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题. A问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）B问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？A问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！当直线L与x轴垂直时, =αA问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？B问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）【温馨提示】（1）时，斜率不存在。
高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。
在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。
这是解析几何的创始。
新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_3
直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标1.知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。
2.过程与方法：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。
3.态度情感与价值观：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。
二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1（出示幻灯片）过一点能确定一条直线吗？引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。
问题2 这些直线有怎样的区别？倾斜程度不一样.由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度怎样准确的表示它们的区别呢？观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。
给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。
1.倾斜角的定义:直线与x 轴相交时，直线向上的方向与x 轴正方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？（二）巩固旧知，同化新知日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？当坡角α增大时，坡度如何变化？坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。
即)90(tan k ≠αα=问题3 所有的直线都有倾斜角和斜率吗练习已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：（1）α ＝30︒； （2）α ＝45︒；（3）α ＝120︒； （4）α ＝135︒．（三）尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_5
《3.1.1直线的倾斜角和斜率》教学设计【教学目标】知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）会求过两点的直线的斜率；过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟数形结合的解析几何思想；（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类讨论思想；情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用于生活，从而激发学生的学习激情.通过数学概念的学习，体会到数学中的严谨治学的态度和数学结论中的美。
通过数学史的渗透，初步体会到数学文化的魅力【教学重点和难点】重点:直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式难点:（1）倾斜角和斜率之间的关系（2）过两点的直线斜率公式的推导过程关键点：借助问题情境的创设，设置学生活动；借助几何画板的演示，体验知识的形成过程.【教学方法】教法:情境教学法问题驱动法演示实验法学法: 观察讨论法自主探究法类比归纳法【教学用具】多媒体、几何画板【授课类型】新授【设计理念】本节课以一个情境贯串教学始终，层层深入，采用问题引领的探究式教学法，借助一个教学平台，贯串两条教学主线，再现三次教学情境，设置多次学生活动，根据“情境创设生活化，问题探究活动化，辨析质疑及时化，习题设置梯度化”的原则，让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，从而将本节课的教学步步推向高潮.【内容解析】本节课选自人教A版《数学》必修2第三章第一节《直线的倾斜角和斜率》.直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点.因此，本节起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课内容在平均变化率，导数的学习上起着至关重要的作用.【学情简析】本节课的授课对象是高一年级1720班.学生数学基础一般，已初步具备解析几何的基本思想.学生思维较活跃，善于交流，动手操作能力较强，但也有部分学困生，对高中数学的抽象性，符号化特点不太适应，对数学有畏难情绪。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》教案_17
《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、内容及其解析《线的倾斜角与斜率》是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。
本节内容是:直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。
其核心内容是:直线倾斜角的概念和斜率的求法。
理解它的关键是:在平面直角坐标系中,直线向上的方向与X轴正方向所成的角,和角的正切值。
之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、教学目标（一）知识与技能1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、斜率公式的推导过程，掌握过两点的斜率公式（二）过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”思想。
（三）情感态度与价值观1、通过直线倾斜角概念的引入学习，直线的斜率的定义，以及直线的倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流和评价能力。
2、通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合思想，树立辩证统一观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
三、学情与重难点分析本次授课班级为重点班，相对来说，学生基础较好。
本节课中教师主要采用问答式与学生分组讨论的形式进行，再由教师协助学生归纳总结的授课方式。
教学重点：直线的倾斜角，斜率的概念与公式。
教学难点：斜率的计算方法教学关键：直线斜率的两种计算方法教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法。
高中数学 3.1.1 直线的倾斜角与斜率学案 新人教A版必修2
3.1.1 直线的倾斜角与斜率课前预习学案一、预习目标（1）知道确定直线的要素（2）知道直线倾斜角的定义（3）知道直线的倾斜角与斜率的关系二、预习内容1、 在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？要想确定一条直线，的给出什么条件呢？2、 通过咱们的预习，什么是直线的倾斜角？倾斜角的范围是什么？3、 什么是直线的斜率？它与直线的倾斜角的关系是什么？4、 如果知道了直线上的两个点，直线已经确定了，那么如何求直线的斜率？5、练习：①倾斜角为︒30，求斜率 ②倾斜角为︒150，求斜率③直线过点（18， 8）（4， -4）求斜率④直线过点（0， 0）（-1， 3）求斜率课内探究学案一．学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习重点：倾斜角与斜率的概念学习难点：直线的斜率与倾斜角的关系二、学习过程1、探究一：直线的倾斜角的定义及范围（1）倾斜角的定义：（2）倾斜角的范围：（3）倾斜角与斜率的关系例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 。
30=a ；(2) 。
135=a ；(3) 。
60=a ; (4)。
90=a变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.（1）k =0； （2）k = 1 ； （3）k =3- ； ⑷k 不存在.2、探究二：由直线上的两点求直线的斜率（阅读课本8483P P -的推导过程）思考：（1）已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 AB 两点坐标的顺序有关吗？（2）当直线平行于 y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么?例2：求经过两点 (2,3), (4,7) A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.变式：1、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1） A(2,3),B ( 1,4) ； （2） A (5,0), B(4, 2) .2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.3．判断 A( -2,12),B (1,3), C(4, -6) 三点的位置关 系，并说明理由.3、当堂检测（1） 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 °或90°D ．若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tana（2） 经过A ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 （ ）.A ．45°B ．135°C ．90 °D ．60 °（3） 过点 P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ).A.1B.4C.1 或 3D.1 或 4（4） 直线经过二、三、四象限， 的倾斜角为α ，斜 率为k ，则α 为 角；k 的取值范围 .（5） 已知直线 1l 的倾斜角为1a ，则1l 关于 x 轴对称 的直线2l 的倾斜角2a 为________.课后巩固提升学案1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线斜率是0,则AC 、AB 所在的直线斜率之和为（ ）A.-B.0 D. 2.过点（0，73）与点（7，0）的直线1l ，过点（2，1）与点（3，1k +）的直线2l ，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k 为（ ） A.3-B.3C.6-D.6 3.经过两点A （2,1），B （1,2m ）的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是（ ） Ａ.1m < Ｂ.1m >- Ｃ.11m -<< Ｄ.1m >或1m <-4.若三点A （2 , 2）,B （,0a ）,C （0，b ）（0ab ≠）共线，则11a b +的值等于________。
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率导学案(无答案)新人教A版必修2
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率导学案（无答案）新人教A版必修2学习目标1．理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2．理解直线倾斜角的唯一性和斜率的存在性； 3．掌握过两点的直线的斜率公式； 自学探究阅读课本82页-86页，完成下列任务1. 什么叫直线的倾斜角？任何一条直线都有倾斜角吗？当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴＿＿＿与直线l ＿＿＿方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？2. 什么叫直线的斜率？任何一条直线都有斜率吗？一条直线的倾斜角的＿＿＿叫做这条直线的斜率。
即斜率k =＿＿＿ 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 （1）α=时，k =α时，k =α时，k = α=，k =α=时，k =α =时，k =（2）当0o α=时，则k ；当090o o α<<时，则k ；当90o α=时，则k ；当090180o α<<时，则k .3.对于平面直角坐标系内的一条直线l ,它的位置由哪些条件确定的？4.平面直角坐标系下，直线l 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2) （其中x 1≠x 2），则直线l 的斜率 k= ? *（1）当x 1=x 2时，该公式还适用吗？此时直线的倾斜角如何？斜率如何？（2）当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，该公式适用吗？直线的倾斜角等于多少？斜率等于多少呢？ 自学检测1.完成课本86页练习1，2，3 课本89页习题A 组1，2，3,4 课本90页B 组52. 直线AB 过A (－1,0)和B (2，－3)两点，则AB 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3.已知点P(31)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°, 求点Q 的坐标4.已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74， 求点P 的坐标5.若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标理解从代数的角度判定两直线平行或垂直的方法； 会运用条件判定两直线是否平行或垂直； 复习回顾1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠， 则直线的斜率为.2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为,倾斜角为.3．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m =.自主学习阅读课本86页--89页，完成下列任务 （一）两直线平行1.特殊情况下的两直线平行．当两条直线中有一条直线没有斜率时，另一条直线的斜率，两直线的倾斜角为， 两直线位置关系是.2.斜率都存在时两直线的平行 设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？12//l l ⇔（二）两直线垂直1.特殊情况下的两直线垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时（即倾斜角为），则另一条直线的倾斜角为，斜率为，两直线的位置关系是.王新敞2.斜率都存在时两直线的垂直 设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k . 12l l ⊥⇔王新敞自学检测1.课本89页练习1,2 习题A 组5,6,7 课本90页B 组1,2,3l 2l 1α2α1xOy。
2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.1.1倾斜角与斜率
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．[重点] 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题．[难点] 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解．知识点一直线的倾斜角[填一填]1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x 轴平行或重合时，规定α＝0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．[答一答]1．每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了．2．若0°≤α<180°，任给定一个角α，有多少条直线与之对应？ 提示：有无数条，这无数条直线互相平行． 知识点二 直线的斜率[填一填]1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系3.经过两点的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[答一答]3．是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么？提示：当直线与x 轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x 轴的倾斜程度．4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？ 提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k ＝0，当0°<α<90°时，k >0，并且随α的增大，k 也增大，当α＝90°时，k 不存在；当90°<α<180°时，k <0，并且随α的增大，k 也增大．5．斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？ 提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，但只颠倒其中一个的顺序是不行的．6．过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的所有直线都有斜率吗？ 提示：不是，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.类型一 直线的倾斜角 [例1] 给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．[答案] A根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类.[变式训练1](1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(C)A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°≤α<180°解析：如图所示，α为钝角，即90°<α<180°.(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为120°.类型二直线的斜率命题视角1：直线斜率的定义[例2]已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．[分析]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanα可求．[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，∴k＝tanα＝tan120°＝－ 3.∴直线l2的斜率为－ 3.直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：①当0°≤α<90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；②当90°<α<180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.[变式训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.命题视角2：直线的斜率公式[例3]求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不相等的实数．(1)(a ，c )，(b ，c )； (2)(a ，b )，(a ，c )； (3)(a ，a ＋b )，(c ，b ＋c )．[分析] 先确定斜率，再由公式k ＝tan α确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在．[解] (1)k ＝c －cb －a ＝0，倾斜角为0°.(2)∵直线所经过的两点的横坐标相同， ∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (3)k ＝(b ＋c )－(a ＋b )c －a＝1，倾斜角为45°.只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.[变式训练3] (1)已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( A )A.33B.3C.32 D ．1解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝3，∴α＝60°，故直线l 的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l 的斜率为33.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 命题视角3：斜率公式的应用[例4] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.[变式训练4] 点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，则y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．解析：如图，设P 坐标(－1，－1)，A ，B 坐标分别为(2,4)，(5，－2)，k P A ＝4－(－1)2－(－1)＝53，k PB ＝－2－(－1)5－(－1)＝－16，所以y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( B ) A ．0 B.33 C. 3D ．1解析：k ＝tan30°＝33.2．若直线l 经过点M (2,3)，N (2，－1)，则直线l 的倾斜角为( D )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( D )A ．－45°<α<45°B ．－45≤α<45°C ．0°<α<45°或135°<α<180°D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°4．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为(3＋23，0)．解析：设Q (x,0)，则由tan150°＝－2x －3＝－33可求之．5．如下图，已知△ABC 三个顶点坐标A (－2，1)，B (1,1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－(－2)＝0.直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1. 由于点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在．又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°， ∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC 的倾斜角为135°.∴直线AB 的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率为－1，倾斜角为135°；直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.——本课须掌握的两大问题1．倾斜角理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_2
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。
难点：倾斜角与斜率的关系的探究。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。
于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。
桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。
（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。