高三上第三次月考数学试卷(附答案)

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郑州市第十六中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

郑州市第十六中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z 的虚部为（） A ．1- B ．54 C ．i - D ．i 54 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.2．已知命题p 和命题，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（）A ．p ⌝是真命题B ．q ⌝是真命题C ．p q ∨是真命题D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题3．已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（）A ．1B ．2C ．-1D ．-25．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2D ．2 56．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -=7．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如下：由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④8．执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（）A ．2015B ．2016C ．2116D ．20489． “1ab >”是“10b a>>”（） 3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10．已知集合，则A0或 B0或3C1或则几何体的体积为（）34意在考查学生空间想象能力和计算能()2log f x x =的图象（）．向上平移1个单位 D ．向下平移1个单位分.把答案填写在横线上）上到顶点和准线距离相等的点的坐标为．1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S =，15．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________．【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．16．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）三、解答题（本大共6小题，共70分。

高三第三次月考数学试卷(文科)答案

银川一中高三第三次月考数学（文科）参考答案一．DBBAA ， DACBB ，CA二．13．π， 14。

9，15。

（1）（4）， 16。

（-∞，1） 17．解：（1）4πθ=（2）|)4sin(223)cos 1()1(sin |22πθθθ++=+++=+|当4πθ=时，|||b +max =12+18.解：（1）设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则依题意有q>0,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1341212124q d q d解得d=2,q=2. 所以a n =2n-1, b n =2n-1((2)1212--=n n n n b a , S n =1+12212122322523---+-+++n n n n 2S n =2+3+2523212232---+-++n n n n两式相减得：S n =2+2(122212)2121211----++++n n n =2+11123262122112112---+-=----⨯n n n n n19解：（I ）由余弦定理及已知条件ab b a -+224 ,3sin 21,4===ab C ab 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a解得.2,2==b a （II ）由题意;332,334,6,2,0cos ,cos sin 2cos sin ,cos sin 4)sin()sin(=======-++b a B A A A A A B A A A B A B ππ时当即当,sin 2sin 0cos A B A =≠时，得由正弦定理得,2a b =联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a解得.334,332==b a 所以.332sin 21==∆C ab S ABC 的面积 20．解：（1）设隔热层厚度为()x cm ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+．再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+，而建造费用为1()6C x x = 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （2）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+．解得5x =，253x =-（舍去）．当 05x <<时，'()0f x <，当510x <<时， '()0f x >，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+。

高三上学期第三次月考数学(文科)试卷(普通班)(含答案与解析)

)A 为（ 12i -+12i -．设向量,a b 满足：||1,||2a b ==，()0a a b +=，则a 与b 的夹角是（B ．60°C ．90°n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则（两点且0OA OB =，则8a ，则1边上的高，给出下列结论：①()0AD AB AC -=；②||2||AB AC AD +≥；③||sin ||ADACAB B AD =其中结论正确的个数是（A ．0B ．．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为，该几何体的体积为()()f x f x '=x ()f x ()g x x =()ln(1)h x x =+，求AB AC 的值．则||||cos==AB AC AB AC A cb ．（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为1(1n ++--ADC 平面ABC ，AC OD O =，平面ACD中，由题意，得ADC平面ABC ACD 的高，且1Sh ==OP OQ<，即为直径的圆的内部，故0，高三上学期第三次月考数学（文科）试卷（普通班）解析1．【分析】由全集I，以及B，求出B的补集，找出B补集与A的交集即可．【解答】解：∵全集I={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，5}，集合B={1，2}，∴∁I B={3，4，5}，则（∁I B）∩A={3，5}．2．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式===﹣1﹣2i，3．【分析】由已知中向量，满足||=1，||=2，且•（+）=2，我们易得到•=1，结合向量夹角公式，求出与的夹角的余弦值，进而求出与的夹角．【解答】解：∵||=1，||=2，∴（）2=1，又∵•（+）=（）2+•=1+•=0∴•=﹣1∴cos＜，＞==﹣∴＜，＞=120°4．【分析】A．若m∥α，m∥β，则α∥β，可由面面平行的条件判断；B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n⊂α；C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β，可由面面垂直的判断定理作出判断；D．m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面．【解答】解：A．若m∥α，m∥β，则α∥β；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故不正确；B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n⊂α，故不正确；C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，因为m∥β，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，正确；D．m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故不正确．5．【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，6．【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，7．【分析】由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10++），由基本不等式求最值可得．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，∴q2a5=qa5+2a5，即q2﹣q﹣2=0，解得公比q=2，或q=﹣1（舍去）又∵a m，a n满足=8a1，∴a m a n=64a12，∴q m+n﹣2a12=64a12，∴q m+n﹣2=64，∴m+n﹣2=6，即m+n=8，∴+=（+）（m+n）=（10++）≥（10+2）=2当且仅当=即m=2且n=6时取等号，8．【分析】由题意作出其平面区域，求出目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，a+4b=8，则由2≤=4得，ab≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．9．【分析】①利用向量垂直与数量积的关系即可判断出；②利用向量的平行四边形法则、中线长和高的关系即可得出；③利用数量积的定义、直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：①∵AD是BC边上的高，∴•（﹣）==0，因此正确；②取线段BC的中点M，则，．∴=2≥，因此正确；③===．因此正确．综上可知：①②③正确．10．【分析】先根据函数的最小正周期为π求出ω的值，再由平移后得到y=为偶函数可知，即可确定答案．【解答】解：由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D11．【分析】设双曲线方程为﹣=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a．b．c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1，a＞b＞0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）12．【分析】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察[﹣5，1]上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【解答】解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．13．【分析】令分母不为0，被开方数大于等于0，真数大于0，得到不等式组，求出x的范围写出区间形式．【解答】解：要使函数有意义，需满足，即解得1＜x＜1+e14．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由直线倾斜角求出斜率，写出直线方程，和抛物线方程联立求得M的坐标，再由抛物线焦半径公式得答案．【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得F（1，0），∵直线FM的倾斜角为60°，∴，则直线FM的方程为y=，联立，即3x2﹣10x+3=0，解得（舍）或x2=3．∴|FM|=3+1=4．15．【分析】几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为4，高都为2，把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体为圆柱挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，∴几何体的体积V1=π×22×2﹣×π×22×2=．16．【分析】分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=﹣sinx，由题意得：α=1，ln（β+1）=，cosγ=﹣sinγ，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；则||||cos AB AC AB AC A cb ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22n S n n =+，可得S n ==，利用“裂项求和”即可得出．1(1n ++--ADC平面ABC，ACOD O =，平面ACD中，由题意，得ADC 平面ABC ACD 的高，且1Sh ==OP OQ<，即为直径的圆的内部，故0当(e )x ∈+∞，时()0g x >，即2(2)ln x e x ->-，∴2e 2e x x >﹣﹣．综上所述，当e)[2a ∈，时，2e 2e a a <﹣﹣；当e a =时，2e 2e a a =﹣﹣；当(e )a ∈+∞，时，2e 2e a a >﹣﹣。

湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题

又，故，即，故D正确；
又，， … ，累加可得，故正确，故B正确；
故选：ABD
12.已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造
，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造
有图可得出，由可得计算即可.
【详解】由题图可知，，由，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
14.已知等边三角形的边长为6，点P满足，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示可求得P点坐标求得答案.
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知平面，直线、，若，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图，边长为2 正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，再分别写出和的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，， … ，累加可得，所以，故A正确，C错误；

高中高三数学上学期第三次月考试题理试题 (2)(共10页)

普集高中(gāozhōng)2021-2021学年度第一学期高三年级第三次月考数学〔理〕试题考试范围：集合、函数、导数、三角函数时间是：120分钟总分：150分一、单项选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

〕1．的值等于( )A． B． C． D．2．集合，那么中元素的个数为〔〕A．9 B．8 C．5 D．43．函数的单调递减区间是 ( )A. B.C. D.4．锐角满足，那么的值是〔〕A． B． C． D．5．是上的减函数，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.6. 函数(hánshù)f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，那么实数m的取值范围是( )A．[1，2] B．(0，1] C．(0，2] D．[1，＋∞)7.在△中，“〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件8. 角的终边上一点的坐标为〔sin，cos 23π〕，那么角α值为( )A. B.23πC. D.9. 奇函数在R上是增函数，.假设，，，那么a，b，c的大小关系为( )A． B. C. D.10．函数的局部图像大致为( )A．B．C．D．，那么(nà me)( )A ．在〔0，2〕单调递增B ．()f x 在〔0，2〕单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点〔1，0〕对称12. 对实数a和b ，定义运算“⊗〞：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，xy ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公一共点，那么实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞第二卷〔非选择题一共80分〕二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．函数为奇函数，那么a 的值是14. ，，那么__________．15．函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，那么不等式的解集是．16. 假设(jiǎshè)直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，那么b = .三、解答题〔一共70分。

高三数学上学期第三次月考试题文含解析 3

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期第三次月考试题文〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕()()2ln f x x x=-的定义域为A.()0,1B.(]0,1C.()(),01,-∞⋃+∞D.()[),01,-∞+∞【答案】C 【解析】2010x x x x ->⇒><或，故定义域为{|01x x <或经＞｝，应选C ． f 〔x 〕=cos x +b sin x 〔b 为常数〕，那么“b =0〞是“f 〔x 〕为偶函数〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进展判断.【详解】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=,()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =〞是“()f x 为偶函数〞的充分必要条件，应选C.【点睛】此题较易，注重重要知识、根底知识、逻辑推理才能的考察.U =R ，1{||1|1},|202⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭xA x xB x ，那么图中阴影局部所表示的集合〔〕A.()2,0-B.(]2,1--C.(1,0]-D.(1,0)-【答案】D 【解析】【分析】先将集合A B 、的表示元素范围求解出来，然后将阴影局部先用集合间的运算表示出来，最后再计算结果.【详解】因为11x +<，所以20x -<<，所以()2,0A =-；因为1202x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以1x ≤-，所以(],1B =-∞-；又因为阴影局部为：R A C B⋂，且()1,R C B =-+∞，所以()()()2,01,1,0R A C B =--+∞=-，应选：D.【点睛】此题考察根据集合的交并补计算Venn 图表示的阴影局部，难度较易.解指数不等式时注意利用指数函数单调性分析.4.将正方体〔如图1〕截去三个三棱锥后，得到〔如图2〕所示的几何体，侧视图的视线方向〔如图2〕所示，那么该几何体的侧视图为〔〕A. B. C.D.【答案】D 【解析】点,,,A B C E 在左侧面的投影为正方形，CA 在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE 在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知应选D.()()()()2log 8,55,5,2019x x f x f x x f -≤⎧⎪=->⎨⎪⎩则等于()A.2B.2log 6C.2log 7D.3【答案】A 【解析】【分析】利用推导出()()20194f f =，由此能求出结果．【详解】解：函数()()()2log 8,55,5x x f x f x x -≤⎧⎪=->⎨⎪⎩，()()220194log 42f f ∴===．应选：A ．【点睛】此题考察函数值值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．()())17020xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩,假设f(a)<1，那么实数a 的取值范围是()A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3,1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】C 【解析】【分析】0a <，()1f a <，即1712a⎛⎫-< ⎪⎝⎭，0a ≥1，分别求解即可【详解】0a <，()1f a <，即1712a⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得3a >-，那么30a -<<0a ≥1<，解得01a ≤<综上所述，那么31a -<< 应选C【点睛】此题主要考察了分段函数的应用，考察了分段函数的解析式求法，分类讨论思想的应用，较为根底。

高三第三次月考数学(理科)试卷答案(新)

银川一中2020届高三年级第三次月考（理科）参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AABBDBACDDCC二、填空题：13．}2123|{>-<x x x 或 14．4)1(22+n n 15. 231- 16. π+)2231(三、解答题：17．解：(1)由题意得1221a a 4,a 2a 1,⎧+=⎪⎨=+⎪⎩则12a 1,a 3.⎧=⎪⎨=⎪⎩-----------------------------------2分又当n≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1)-(2S n-1+1)=2a n ,得a n+1=3a n ,-------4分所以数列{a n }是以1为首项,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1,n ∈N *.---6分 (2)记S n =(a 1-1-2)+(a 2-2-2)+(a 3-3-2)+……+(a n -n-2) ------8分 =(a 1+a 2+……+a n )-[3+4+5+……+(n+2)] ------10分 =2513252132)23(313122nn n n n n n n n ---=+--=++--------12分 18．解(1)根据题意，距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元800,513100=∴+⨯=k k-------------3分 80,6553800)(≤≤+++=∴x x x x f-------------6分 (2)5805)53(253800)(-≥-+++=x x x f =75-------------8分当且仅当)53(253800+=+x x 即x ＝5时75)(min =x f -------------11分答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用f(x)最小为75万元. ------12分 19.（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π，-----------------2分整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==---------------------------------------------------4分由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= .......................6分（Ⅱ）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠，化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠ ------------------------------8分所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=--------------------------------------------------10分因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以227cos 1sin 7CAD CAD ∠=-∠=.----------------------------12分因此7.AB = ...............12分 20．21．解：（1）函数的定义域为，'(1)()a x f x x-= , 2分当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,)+∞； 3分当0a <时，()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为(0,1]； 4分（2）令()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-, 则'()a x F x x +=，令'()0a xF x x+==，则x a =- 5分（a ）若a e -≤,即a e ≥- 则()F x 在2[,]e e 是增函数,22max()()210F x F e a e e ==++-≤ 212e e a --≤无解. 6分（b ）若2a e -≥即2a e ≤-，则()F x 在2[,]e e 是减函数,max ()()10F x F e a ==+≤ 1a ≤- 所以2a e ≤- 7分（c ）若2e a e <-<,即2e a e -<<-，()F x 在[,]e a -是减函数, 在2[,]a e -是增函数,22()210F e a e e =++-≤可得212e e a --≤ ()10F e a =+≤可得1a ≤-所以2212e e e a ---≤≤综上所述212e e a --≤ 8分（3）令1a =-（或1a =）此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在[1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， 9分∵*2,n n N ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 10分所以 22221111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)234n++++++++ 1111111(1)()()...()223341n n <-+-+-+--111n=-< 12分22.(1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= ，极坐标方程为2cos ρθ= ------4分(2)设11(,)P ρθ，则有2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,3πρθ== --6分设22(,)Q ρθ，则有2sin()3333πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得223,3πρθ==--8分所以2PQ = . --10分23.解：（1）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．……………………………………………4分所以，不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．……………………………5分（2）f (ab )＞|a |f ( ba )，即|ab －1|＞|a －b |． …………………………………………6分∵因为|a |＜1，|b |＜1，∴|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以，|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………………………………10分。

高三数学上学期第三次月考试卷文含解析试题

一、单项选择题
1．在复平面内，复数 z 满足 z 1 i 2 ，那么 z 的一共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．集合
，集合
，那么
A．
B．
C．
D．
3．角的终边经过点
，且
，那么
A．
B．
C．
D．
4．数列的通项公式为
，那么“
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
样本.样本数据的茎叶图如下图.己知 A 药店根据中药材的质量〔单位:克〕的往定性选择药厂
创作；朱本晓
〔i〕估计药店所购置的件中药材的总质量;
〔ii〕假设药店所购置的件中药材的总费用不超过
35．在三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
的最大值. ，
且
，
，为的中点，为上一点，
．
〔1〕假设三棱锥
〔2〕证明：
〞是“数列单调递增〞的
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．假设当时,函数
获得最大值,那么
创作；朱本晓
2022 年元月元日
A． B． C．
D．
6．?周碑算经?中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春
分、清明、谷雨、立夏、小满、种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日
影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,那么小满日影长为
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
7．函数
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
8．向量满足
，
，假设与的夹角为，那么的值是
A．2 B．

炎德英才大联考2025届高三上学期月考数学试卷(三)

大联考长郡中学2025届高三月考试卷（三）数学本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{1,2}A =，{2,3}B =，{1,2,3,4}C =，则（） A ．A B =∅B ．A BC =C ．A C C =D ．A C B =2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．5B C ．34i −−D ．34i −+3．已知向量a ，b满足3a = ，b = ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 方向上的投影向量为（）A ．3B ．3−C ． 3a −D ．a −4．已知函数()f x 的定义域为()(),54,3f f x =+R 是偶函数，12,x x ∀∈[3,)+∞，有()()12120f x f x x x −>−，则（） A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（） A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π02αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ42ββ <<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △，则B 点的纵坐标为（）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左顶点为(),,0A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠，则双曲线C 的离心率是（）A ．B ．C ．4+D ．2二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则下列匀选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f是()f x 的最小值 C ．()f x 在区间π0,2上的值域为33,22−D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象 10．在长方体1111ABCD A B C D −中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成的角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λµ=时，1B P ∥平面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2µλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线()2:20C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90,180,270°°°后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x = B ．4AB =C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长的最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若()523450123451x a a x a x a x a x a x −=+++++，则2a =_____．13．已知函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ++<=+≥ 若函数()2y f x =−有3个零点，则实数a 的取值范围是_____． 14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T为等差数列，则m =_____．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）记ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +−++=．（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠=∠=sin B ． 16．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C −中，11160,,,1,2A AC AC BC A C AB AC AA ∠=°⊥⊥==．（1）求证：1A C ⊥平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面11BCC B ，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为()*m m ∈N 分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当0X =时，答题也结束，机器人挑战失败．（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率． 18．（本小题满分17分）．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3．,A B 是椭圆的左、右顶点，过,A B 分别做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过P ，Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值；（3）求证：IK IA JKJB=．19．（本小题满分17分）对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．已知0a ≥，且()21ln 12f x x ax a =++−的不动点的集合为A ．以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素．（1）若0a =，求A 的元素个数及max A ；（2）当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B ．（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足()112,n n nf a a a a +==，集合n C =*141,,3nk k a n = −∈∑N ．求证：*4,max 3n n C ∀∈=N ．长郡中学2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011答案CADBCBBDBD BCD ABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】由题意，{2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2}A B A B A C C A C ===== ，对比选项可知只有C 选项符合题意．2．A 【解析】因为复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，所以112i z =−，所以()()1212i 12i 5z z =−+=． 3．D 【解析】因为()a ab ⊥+，则()290a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= ，故9a b ⋅=− ，所以b 在a 方向上的投影向量为299a b a a a a⋅−⋅=⋅=−．4．B 【解析】因为12,[3,)x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x −>−，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增，又()3f x +是偶函数，则()3f x+的图象关于0x =对称，所以()f x 的图象关于3x =对称，则()()()0654f f f =>=，A 错误；()()154f f ==，故选项B 正确；()()()2454f f f =<=，故选项C 错误；()3f的正负不能确定，故选项D 错误．5．C 【解析】如图，设P 在底面的投影为G ，易知正四棱锥P ABCD −的外接球球心在PG 上，由题意，球O 的半径5,853PO AO OG ====−=，所以4,8AG PA AB === 故PAB △中，边AB所以该正四棱锥的侧面积为14962××=．6．B 【解析】由e x y =得e xy ′=，又切点为（1，e ），故e k =，切线l 为e y x =，设l 与曲线ln y a x =+的切点为()001,e ,x x y x ′=，所以01e x =，解得切点为1,1e，所以1ln11ea a +=−=，解得2a =． 7．B 【解析】由A 点的纵坐标为1213，得125sin ,cos 1313αα==，显然ππ42α<<，而()111sin 2AOB S αβ=×××+=△()sin αβ+，又ππ42β<<，因此ππ2αβ<+<，3π4αβ+=，有3π4βα=−，)3π512sin sin cos sin 41313βααα=−=+=+=显然B 点在第四象限，所以B 点的纵坐标为 8．D 【解析】如图，设直线2x c =与x 轴交于点,H PH m =，则tan ,tan 2m mPFH PAH c a c∠=∠=+．因为APF PFH PAH ∠=∠−∠，所以()tan tan tan tan 1tan tan PFH PAHAPF PFH PAH PFH PAH∠−∠∠=∠−∠=+∠⋅∠()22222212m m m a c a c c a c m m ac c ac c m m c a c m−+++==++++⋅++．因为22ac c m m++≥m =时，等号成立，所以tan APF ∠≤，整理得22430c ac a −−=，则2430e e −−=，解得2e =+．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BD 【解析】∵()()3sin f x x ωϕ=+，由题图知33π44T =，∴πT =，2ω=，故A 错误； ∵π2π623T +=，∴可得2π3f是()f x 的最小值，故B 正确； ∵ππ3sin 2366f ϕ=×+=，∴πsin 13ϕ+=，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π3sin 26f x x =+，∵π0,2x∈ ，∴ππ7π2,666x +∈ ， ∴()π33sin 2,362f x x=+∈−，故C 错误；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象为πππ3sin 23sin 212126f x x x−=−+=，故D 正确．10．BCD 【解析】对于A 中，连接BP ，在长方体1111ABCD A B C D −中，可得1BB ⊥平面ABCD ，所以1B PB ∠即为1B P 与平面ABCD 所成的角，即1π4B PB ∠=，在直角1BB P △中，可得11BP BB ==，所以点P 的轨迹为以B 为圆心，半径为1的14圆，其周长为1π2π142××=，所以A 错误；对于B 中，当λµ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+，所以点P 在线段AC 上，连接11,,AC AB B C ，在长方体1111ABCD A B C D −中，可得1111,AC A C B C A D ∥∥，因为AC ⊄平面11AC D ，且11A C ⊂平面11A C D ，所以AC ∥平面11AC D ，同理可证1B C ∥平面11A C D ，又因为1AC B C C = ，且1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ∥平面11A C D ，因为1B P ⊂平面1AB C ，所以1B P ∥平面11A C D ，所以B 正确；对于C 中．当12λ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，过接,,EF AF BF ，可得点P 在线段EF 上运动，若1A P BP ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD 且BP ⊂平面ABCD ，所以111111,,,AA BP A P A A A A P A A ⊥=⊂ 平面1A AP 、故BP ⊥平面1A AP ，又AP ⊂平面1A AP ，故BP AP ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆上，又因为22AB AD ==，可得线段EF 与以AB 为直径的圆只有一个交点F ，所以当点P 与F 重合时，即当且仅当P 为CD 的中点时，能使得1A P BP ⊥，所以C 正确；对于D 中，当2µλ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，连接,AF EF ，可得点P 在线段AF 上运动，沿着AF 将直角1AA F △和平面ADF △展开在一个平面上，如图所示，在1AA D △中，113π1,1,4AA AD A AD ==∠=，由余弦定理得2221113π2cos24A D AA AD AA AD =+−⋅=+，所以1A D =1A P DP +的最小值为，所以D 正确．11．ABD 【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11,02F，将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为210,2F，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确；对于B ，根据A 项分析，由222,2y x x y = =可解得0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，由图象对称性，可得()()2,2,2,2A B −，故4AB =，即B 正确；对于C ，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ，由2,2,y x t y x =−+ =解得11,M M x t y =+− =− 由2,2,y x t x y =−+ =解得1,1N N x y t = =+− ，即得()11,1,1M t N t +−−+，则弦长为2MN =−由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <<，不妨设u=13u <<，且212u t −=，代入得，)()222113MNu =+−−−<<，由此函数的图象知，当2u =时，MN取得最大值为，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值．如图：在抛物线()2102yx x ≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x ′==可得切点坐标为11,2P，因为:0OA l x y −=，则点P 到直线OA的距离为d =于是1122OPA S ==△，由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842×=，故D 正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．10−【解析】()51x −的展开式通项是：()55C 1kk k x −−，依题意，得52k −=，即3k =，所以()3325C 110a =−=−． 13．（－3，6）【解析】函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ++<=+≥ 当1x ≥时，方程ln 12x +=，解得e x =，函数()2y f x =−有一个零点，则当1x <时，函数()2y f x =−须有两个零点，即242x x a ++=在1x <时有两个解．设()242g x x x a =++−，对称轴为()2,x g x =−在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，∴()10g >，且()20g −<，即1420,4820,a a ++−> −+−< 解得36a −<<，所以a 的取值范围是（－3，6）．14．1或2【解析】当2n ≥时，111,11n n n n n n n n m mT a T a a m a T m a −−−+=+===++−，所以()1211111111111121n n n n n n n n a n m T T m a m a m a m ma m m a −−−−−−−−=−=−=≥−−−−−+−．由数列1n T为等差数列，则1211n n a m ma −−−−为常数d ，①若0d =，则()112n a n −=≥恒成立，即()11n a n =≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则2111n n a dm dma −−−=−，∴21,1,dm dm = = 解得1,1,m d = =综上所述，1m =或2m =．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1）()()()222222b c a b c a b c a b bc c a bc +−++=+−=++−=，则222b c a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−，因为0πA <<，所以2π3A =．（2）由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图，在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 31647CD AD AC AD AC DAC =+−⋅∠=+−=，即CD =，在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD DAC C =∠=，所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ，在ABC △中，()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=−．16．【解析】（1）在1A AC △中，由余弦定理可得2221111cos 2AC A A A C A AC AC A A +−∠=⋅⋅，则222112cos 60212A C +−°=××，解得213A C =，由22211A C AC A A +=，则在1A AC △中，1A C AC ⊥，因为1,,A C AB AC AB ⊥⊂平面,ABC AC AB A = ，所以1A C ⊥平面ABC ．（2）易知1,,A C AC BC 两两相互垂直，分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设BC k =，则(()()(11,0,,0,0,0,0,,A B k C C −(()(110,,0,,0,,BA k CB k CC −=−设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z = ，则10,0,n CB n CC ⋅= ⋅=可得0,0,ky x = −+=令x =0,1y z ==，所以平面11BCC B的一个法向量)n =，设直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为θ，则11sin BA n BA n θ⋅=⋅，可得=1k =，易知(11BB CC ==−，设平面11A BB 的法向量()000,,m x y z = ，则110,0m BA m BB ⋅=⋅=可得00000,0,y x −+= −+=令01z =，则00x y =，所以平面11A BB的一个法向量)m =，设平面11A BB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos n m n mα⋅==⋅17．【解析】（1）当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，()()()1111111114,32,2,224222224P X P X P X ==×===××===×=所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：所以()1114323424E X =×+×+×=．（2）当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分，所以()3232335411111111C C 4244441024P A =××+××= ． 18．【解析】（1）由题意：22222,2,3, 1.a b a a c bc a b c ==+=⇒= = =+ 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．4分（2）设过点R 的切线方程为()21y k x −=−，即()2y kx k =+−，由()222,1,43y kx k x y =+− += 消去y ，整理得()()()222438242120k x k k x k ++−+−−=，由()()()222206424434212kk k k ∆=⇒−=+−− ，整理得23410k k +−=，所以1213k k =−．（3）设()()000,0,R x y y RK >的延长线交x 轴于K ′点，如图：因为AI K K JB ′∥∥，则022IKAK x JKBK x ′+==′−．设P ，Q 两点处切线斜率分别为12,k k ，过R 点的椭圆的切线方程为()00y y k x x −=−，即()00y kx y kx =+−，由()0022,143y kx y kx x y =+−+= 消去y ，化简整理，得()()()22200004384120kx k kx y x kx y +−−+−−=，由0∆=，得()()()2222000064443412kkx y k kx y −=+−−，化简整理，得()22200004230x k x y k y −−+−=，由韦达定理，得20001212220023,44x y y k k k k x x −+==−−，所以()()1002002,2l J y k x y y k x y =−−+=−+，所以要证明IK IA JKJB=，只需证明()()100002002222k x y x x k x y −−++=−−+，即()()()()()()()()22222000100012001201200042424242,k x y x k x y x k k x y k k x k k x x y −++=−+−⇔++=+⇔+−=因为00122024x y k k x +=−，所以上式成立，即IK IA JK JB =成立． 19．【解析】（1）当0a =时，()1ln 12f x x =+，其定义域为()0,+∞．由()f x x =得1ln 102x x −+=．设()1ln 12g x x x =−+，则()122xg x x −′=，当10,2x∈ 时，()0g x ′>；当1,2x ∈+∞ 时，()0g x ′<，所以()g x 在10,2上单调递增；在1,2 +∞上单调递减，注意到()10g =，所以()g x 在 +∞上恰有一个零点1x =，且()1102g g>=，又()22e e 0g −−=−<，所以()21e 02g g −<，所以()g x 在10,2 上恰有一个零点0x ，即()f x 在1,2 +∞上恰有一个不动点1,x =在10,2上恰有一个不动点0x x =，所以{}0,1A x =，所以A 的元素个数为2，又因为01x <，所以max 1A =．（2）（i ）当0a =时，由（1）知，A 有两个元素，不符合题意；当0a >时，()21ln 12f x x ax a =++−，其定义域为()0,+∞，由()f x x =得21ln 102x ax x a +−+−=．设()()21ln 1,0,2h x x ax x a x =+−+−∈+∞，则()214212122ax x h x ax x x −+′=+−=，设()2421F x ax x =−+，则416a ∆=−，①当14a ≥时，()()0,0,0F x h x ′∆≤≥≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，所以()h x 在()0,+∞上恰有一个零点1x =，即()f x 在()0,+∞上恰有一个不动点1x =，符合题意； ②当104a <<时，0∆>，故()F x 恰有两个零点()1212,x x x x <．又因为()()010,1410F F a =>=−<，所以1201x x <<<，当()10,x x ∈时，()()0,0F x h x ′>>；当()12,x x x ∈时，()()0,0F x h x ′<<；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x ′>>，所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，注意到()10h =，所以()h x 在()12,x x 上恰有一个零点1x =，且()()()()1210,10h x h h x h >=<=，又0x →时，()h x →−∞，所以()h x 在()10,x 上恰有一个零点0x ′，从而()f x 至少有两个不动点，不符合题意；所以a 的取值范围为1,4 +∞ ，即集合1,4B=+∞ ．（ii ）由（i ）知，1,4B=+∞ ，所以1min 4aB =，此时，()()22113113ln ,ln 244244f x x x h x x x x +++−+，由（i ）知，()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，当1x >时，()()10h x h >=，所以()f x x >，即()1f x x>，故若1n a >，则11n a +>，因为，若存在正整数N 使得1N a ≤，则11N a −≤，从而21N a −≤，重复这一过程有限次后可得11a ≤，与12a =矛盾，从而，*,1n n a ∀∈>N ，下面我们先证明当1x >时，()3ln 12x x <−，设()()33ln ,1,22G x x x x =−+∈+∞，所以()1323022x G x x x ′−=−=<，所以()G x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10G x G <=，即当1x >时，()3ln 12x x <−，从而当1x >时，2211311ln 24444x x x x x ++−<−，从而()2113ln 1244114xx x x x ++−<−，即()()1114f x x x −<−，故()()1114n nn f a a a −<−，即()11114n n a a +−<−，由于11,1n n a a +>>，所以110,10n n a a +−>−>，故11114n n a a +−<−，故2n ≥时，121211111111114444n n n n n a a a a −−−−−<−<−<<−= ，所以*1111114144,111434314n n nk k n k k n a −==− ∀∈−≤==−< −∑∑N ，故4max 3n C =．。

重庆市第八中学校2023届高三上学期适应性月考(三)数学试题含答案

秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合,A B 满足{}{}{}0,2,4,6,8,10,2,8,2,6,8A B A B A ⋃=⋂==，则集合B 中的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.52.复数12i3i z -=+的虚部为（）A.710- B.7i 10- C.75- D.7i5-3.圆22:(1)(1)2C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的圆的方程为（）A.22(2)2x y -+=B.22(2)2x y ++=C.22(2)2x y +-=D.22(2)2x y ++=4.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点,2O AE EO =，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（）A.1B.1-C.23-D.185.已知0,0a b >>，则242ba b a++的最小值为（）A.B.C.1D.1+6.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆222:116x y C a +=的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于,P Q 两点，若MPQ 面积的最大值为34，则椭圆C 的长轴长为（）A.B.C.D.7.已知数列{}n a 满足21121411,,32n n n n a a a a a a +++===，则5a =（）A.122-B.102-C.92-D.82-8.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()43y f x =+为偶函数，()41y g x =++为奇函数.对x R ∀∈，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g ⋅=（）A.575B.598C.621D.624二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<，曲线()y f x =关于点7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（）A.将该函数向左平移6π个单位得到一个奇函数B.()f x 在37,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在7,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点D.曲线()y f x ='关于直线6x π=对称10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（）A.790a a +=B.610S S >C.数列{}n a 是递减数列D.使0n S >的n 的最大值为1511.已知点P 为圆22:(2)(3)1(C x y C -+-=为圆心）上的动点，点Q 为直线:350l kx y k --+=上的动点，则下列说法正确的是（）A.若直线:350l kx y k --+=平分圆C 的周长，则2k =B.点C 到直线lC.若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离为12k <<D.若1k =-，过点Q 作圆C 的两条切线，切点为,A B ，当QC AB ⋅最小时，则直线AB 的方程为33170x y +-=12.已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的动点，F 为抛物线C 的焦点，若PF 的最小值为1，点()0,1A -，则下列结论正确的是（）A.抛物线C 的方程为24x y =B.PF PA的最小值为12C.点Q 在抛物线C 上，且满足2PF FQ = ，则92PQ =D.过()2,1P -作两条直线12,l l 分别交抛物线（㫒于点P ）于两点,M N ，若点F 到12,l l 距离均为12，则直线MN 的方程为1515110x y --=三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足()()20sin 1xf x e f x '=-+，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________.14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2105,δ.若()1901202P X =……，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.15.已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ得到点P .已知平面内点()2,1A ，点(2B +，把点B 绕点A 沿逆时针4π后得到点P ，向量a为向量PB 在向量PA 上的投影向量，则a =__________.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若32624,2S S S a =+=，数列n b 满足1n a n n b a =，当n b 最大时，n 的值为__________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在①2cos22cos12BB +=；②2sin tan b A a B =；()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若__________.（1）求角B ；（2）若2b =，且ABCABC 的周长.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且111321,1,2log 33n n n n a a S b a +==-+=+.（1）求数列{n a ∣和{}n b 的通项公式；（2）若1n n nc a T =+，设数列{}n c 的前n 项和为n R ，证明：3n R <.19.（本小题满分12分）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x ，和年销售额y ，的数据（i =1，2，…，12），该团队建立了两个函数模型：①2y x αβ=+②x t y e λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图2令()2,ln 1,2,,12i i i i u x v y i === ，计算得如下数据：xy()1221ii x x =-∑()1221ii y y =-∑()()121iii x x v v =--∑206677020014uv()1221ii uu =-∑()1221ii v v =-∑()()121iii u u y y =--∑4604.2031250000.30821500（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为{1,i r x ∣和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（ii ）若下一年销售额y 需达到80亿元，预测下一年的研发资金投人量x 是多少亿元？附：①相关系数nx y r =ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x==--==--∑∑②参考数据： 4.3820308778.9443,80e =⨯≈≈.20.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11,33D D D C AB BC ===.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BDD 所成的角为60 ，求三棱锥1C BD D -的体积21.（本小题满分12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点⎛ ⎝.（1）求12,C C 的方程；（2）设A 是1C 与2C 在第一鲧限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥.（i ）求证：直线MN 过定点；（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没韦，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x a =-+.（1）若存在()0,x e ∞∈+使()00f x <，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：2122x x e +>.秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学1-8DAACBCDC 9.BC 10.AC11.ABD 12.ABD13.213e π+14.53215.216.319.（1）121500430.862500050r =====214100.91770.211r ====≈⨯则12r r <，因此从相关系数的角度，模型21x y e +=的拟合程度更好（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程.由x t y e λ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+.由于()()()1211221140.018770iii i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.02 3.84vx =+，所以ˆln 0.02 3.84yx =+，则0.02 3.84ˆx y e +=.（ii ）下一年销售额y 需达到80亿元，即80y =，代入0.02 3.84ˆx ye +=得，0.02 3.8480x e +=，又 4.38280e ≈所以0.02 3.84 4.382x +=27.1x =。

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高三上第三次月考数学试卷总分150分一、选择题(本大题包括10小题，每小题5分，共50分。每小题恰有一个选项最符合题意。) 1、直线x=－1与直线3x+y=0的夹角为:

A.6 B. 3 C. 23 D. 56 2、已知)40sin,40(cosa，)20cos,20(sinb，则ba的值为

A．22 , B.21 , C.23, D.1 3、将函数xy2sin的图象按向量)0,6(a平移后的图象的函数解析式为 A．)32sin(xy B．)32sin(xy C.)62sin(xy D.)62sin(xy

4、已知双曲线191622yx，则双曲线上的点P到左焦点的距离与点P到左准线的距离之比等于 A．54 B．34 C．47 D．45 5、4)2(xx的展开式中x3的系数是 A．6 B．12 C．24 D．48 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．1yx，B．2xy，C．1lg1xyx，D．||yx 7、将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3 层，…，则第6层正方形的个数是 A．28 B．21 C．15 D．11．

8、设，，为两两不重合的平面，,mn为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

① 若,//则；②若//,//,则//； ③若//,//,mn则//mn； ④若,,m,则m。其中真命题的个数是 A．1 B．2 C. 3 D．4

9、若21:20,:0,|1|xpxxqx则p是q的 A．充分不必要条件，B．必要不充分条件，C．充要条件，D既不充分也不必要条件。 10、如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平面构成一个“平行线面对”。在一个平行六面体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面对”的个数是 A．60 B．48 C．36 D．24 二、填空题(本大题包括6小题，每小题5分，共30分。)

11、设a 、b为实数,集合M＝{ba,1},N={a,0}, f：x→x表示把集合M是的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b的值等于。

12、已知OFQ的面积为S,1OFFQ,若1322S,则向量OF与FQ的夹角的范围是 . 13、已知圆222440xyxy关于直线2yxb成轴对称，则b . 14、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b{0,1,2,3,…,9},若|a－b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 . 15、一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为1，高为2，则此球的表面积为

16、已知抛物线22,xy过点(0,1)P的直线与抛物线相交于1122(,),(,)AxyBxy两点，则y1+y2的最小值是。三、解答题（5小题共70分） 17、（本小题12分，第一、二两小问满分各6分）

已知数列na是等差数列，nb是等比数列，且112,ab 454b,

12323aaabb,(I)求数列nb的通项公式；（II）求数列na的前10项和10S。

18、（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。（I）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？（II）如果摸到的两个球都是红球，那么就中大奖。在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？ 19、（本小题满分15分，第一小问满分5分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在五棱锥PABCDE中，2PAABAEa，PB=PE

22a, BC=DE=a,90EABABCDEA。

（I）求证：PA平面ABCDE；（II）求二面角APDE的大小。（III）求点C到平面PDE的距离。

20．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点)2,3(P，且与x轴交于点).0,2(F (I)求直线l的方程； (II)如果一个椭圆经过点P,且以点F为它的一个焦点,求椭圆的标准方程;

(III)若在(I)、（II）、情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且PMPQ，当||OM 最小时，求对应的值。 21、（本小题满分15分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）

设不等式组003xyynxn所表示的平面区域为Dn ,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(nN*). (1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；

(2)记Tn=()(1)2nfnfn,若对于一切正整数n,总有Tn≤m,求实数m的取值范围；

(3)设Sn为数列{bn}的前n项和,其中bn=()2fn,问是否存在正整数n、t,使11116nnnnStbStb





成立?若存在,求出正整数n , t；若不存在,说明理由. 高三上第三次月考数学试卷参考答案

一选择题 ACADC CBCDB 二、填空题 11、1；12、（π4，π3）；13、4；14、725；15、6；16、2。三、解答题

17、解（I）nb是等比数列，且54,241bb， 27143bbq………3分

,3q 11132nnnqbb……………………6分

（II）数列na是等差数列，12323aaabb，又,2418632bb2432321aaaa 82a 从而62812aad…9分 56692)110(110daa

290210)562(210)(10110aaS……………………12分

18、解：（I）记“从袋中摸出的两个球中含有红球”为事件A。则

752)(141323CCCAP（或“不含红球即摸出的两个球都是黑球”为事件A。

72)(2724CCAP

75721)(1)(APAP……5分答：此人中奖的概率是7

5。

（II）记“从袋中摸出的两个球都是红球”为事件B，则71)(2723CCBP…10分由于有放回的3次摸球，每次是否摸到两个红球之间没有影响。所以3次摸球恰好有两次中大奖相当于作用于次独立重复试验，根据n次独立重复

试验中事件恰好发生k次的概率公式得，34318)711()71(232233CP……13分答：此人恰好两次中大奖的概率是34318……………………………………14分 19、（I）证明：aABPA2，aPB22222PBABPA，90PAB 即ABPA 同理AEPAAAEABPA平面ABCDE………………5分（II）解：90AED,EDAE

ABCDEPA平面EDPA

PAEED平面

过A作PEAG于G，则AGDE，AG平面PDE。过G作PDGH于H，连,AH由三垂线定理得 PDAH。 AHG为二面角EPDA的平面角……………………8分

在PAERt中，aAG2 在PADRt中，

aAH352，在PHGRt中，10103sinAHAGAHG，

10103arcsinAHG。二面角EPDA的大小为

10103arcsinAHG………………10分

（III）90DEAABCEAB， aAEAB2，

取AE中点F，连CF， BCAFBCAF,|| 

四边形ABCF为平行四边形。

.||DECF而DE平面PDE，CF平面PDE

||CF平面PDE

点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离。

PA平面ABCDE DEPA 又AEDE，DE平面PAE

平面PDEPAE平面。 PDEFGG，PEFGF平面则于作过。

FG的长即为F点到平面PDE的距离。…………………………13分在PAE中，aAEPA2，F为AE中点，PEPG aFG22 点C到平面PDE的距离为a2

2。……………………15分。

20、),0,2(),2,3(FP 根据两点式得，所求直线l的方程为 232020xy

即 )2(2xy。 直线l的方程是)2(2xy…………………………4分

（II）解：设所求椭圆的标准方程为12222byax)0(ba 一个焦点为)0,2(F 2c 即 422ba ①…………6分

点)2,3(P在椭圆1

222

2bya

x()0ba上，

12922ba ②

由①②解得 8,1222ba

所以所求椭圆的标准方程为 181222yx………………………………9分（III）由题意得方程组







1812

)2(222yxxy 解得 23yx或220yx

)22,0(Q )23,3(OP



)23,3(QPMP )232,33(MPPOMO