新人教版初中数学9年级下册27章精品导学案(52页)
人教版九年级数学下册导学案27.1.1相似图形
第二十七章相像27.1 图形的相像第 1 课时相像图形一、新课导入1.课题导入情形：挨次展现每组图片，供学生赏识 .问题：每组图片中的两张图片有何关系？由此导入新课.2.学习目标（1）联合详细实例认知趣像图形,理解相像图形的观点,会判断两个图形能否相像 .（2）知道成比率线段，会求线段的比，知道相像多边形的对应角相等，对应边的比相等 .3.学习重、难点要点：图形相像及相像多边形的性质 .难点：线段成比率的意义.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P24~P25思虑 .（2）自学时间： 5 分钟 .（3）学习方法：联合实质说说自己对相像图形的理解, 并达成自学参照纲要 .（4）自学参照纲要：①形状同样的图形叫做相像图形. 两个图形相像 ,此中一个图形能够看作由另一个图形放大或减小获得. 举例说明（能够是书上的图片） . ②用一个放大镜察看一个图形 , 经过放大镜看到的图形与原图形相像 .( 填“相像”或“不相像”)③全等的两个图形是相像的.( 填“相像”或“不相像”)④假如两个图形相像 ,那么它们的形状同样,而与它们的大小没关.⑤同一个人在平面镜中的像与哈哈镜中的像相像吗？为何？不相像 . 哈哈镜中的像的形状发生了变化.2.自学：学生参照自学指导进行自学 .3.助学（1）师助生：①了然学情：经过实例了然学生对相像图形的理解状况.②差别指导：对分不清相像图形的学生进行指导.（2）生助生：小组内互相沟通、商讨.4.增强（1）相像图形的观点及实例.（2）练习：①如图 1，放大镜里看到的三角尺和本来的三角尺相像吗？答案：相像 .②如图 2，图形 a~f 中，哪些图形是与图形（ 1）或（ 2）或（ 3）相像的？答案：与图形（ 1）相像的有 ac; 与图形（ 2）相像的有 d; 与图形（ 3）相像的有 g.1.自学指导（1）自学内容：教材P26 方框中的内容 .（2）自学时间： 5 分钟 .（3）自学方法：达成自学参照纲要.（4）自学参照纲要：①关于四条线段 a,b, c, d,假如此中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等, 即a c( 或ad=bc) ,那么这四条线段叫做成比率线段,简称b d成比率 .②什么是比率尺？③假如线段 a,b,c,d知足a∶ b=c∶d，a=3，b=4，d=8，则c=6.④一张桌面的长 a=1.25 m，宽 b=0.75 m，那么长与宽的比是多少？（a. 假如 a=125 cm， b=75 cm，那么长与宽的比是多少？（5∶3）b. 假如 a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的比是多少？（5∶ 3）5∶3）⑤在比率尺是 1∶10000000 的地图上，量得甲乙两地的距离是30 cm，求两地的实质距离 .30×10000000=300000000（ cm）=3000(km).即两地的实质距离为3000 km.⑥已知a ba cbc k ，求k的值.c b a∵a+b=kc,a+c=kb,b+c=ka,a+b+a+c+b+c=k(a+b+c),即 2（ a+b+c）=k(a+b+c), ∴k=2.2.自学：学生参照自学指导进行自学 .3.助学（1）师助生：①了然学情：认识学生如何理解线段成比率.②差别指导：依据学情进行指导.（2）生助生：小组间互相沟通、商讨.4.增强：线段的比与成比率线段及等比式的办理 .三、评论1.学生学习的自我评论：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评论：（1）表现性评论：从学生回答以下问题，讲堂的注意力等方面进行评论.（2）纸笔评论：讲堂评论检测.3.教师的自我评论（教课反省） .本课时作为“图形的相像”的开端课，先经过大批的实例、图片来激发学生的学习兴趣，发动学生去发现、去参加找寻相像图形，给学生供给展现自我的时间和时机 . 学生经过绘图、着手操作等实践活动增强对相像图形的理解，并能娴熟判断图形的相像 .一、基础稳固（ 70 分）1.(10 分) 以下说法正确的选项是（ D）A.小明上少儿园时的照片和初中毕业时的照片相像B.从商铺新买来的一副三角板的两块三角板是相像的C.全部的课本都是相像的D.国旗的五角星都是相像的2.(10 分) 已知线段 a，b，c，d 知足 ab=cd，把它改写成比率式，错误的选项是（ B）A. ac B.a c C.db D.a dd b b d a c c b3.(10分) 以下图形中不必定是相像图形的是（ C）A. 两个等边三角形B. 两个正方形C.两个菱形D.两个圆4.(10分) 已知 a，b，c，d 是成比率线段，此中 a=3 cm， b=2 cm，c=6 cm，则 d=4cm.5.(10 分) 如图，放大镜里看到的的角与本来的角的关系是相等.6.(20 分) 察看以下图形，指出哪些是相像图形，用“线”将相像的图形连接起来 .二、综合应用（ 20 分）7.(10分) 以下各组中的四条线段成比率的是（C）A.a= 2 ,b=3,c=2,d=3B.a=4，b=6， c=5，d=10C.a=2,b= 5 ,c=23,d=15D.a=2，b=3，c=4，d=18.(10 分) A 、B 两地的实质距离为2500 m，在一张地图上的距离是 5 cm，那么这张地图的比率尺是1∶50000.三、拓展延长（ 10 分）9.(10 分) 已知xy z，求x2 y的值 . 234z解： x 2 y x 2 y 123 1 .zz z24。
九年级数学下册第二十七章相似位似导学案新人教版
位似一、【自主学习】1.什么是相似图形？2.相似图形有哪些性质？3．图形的变换有哪些形式学习课本47---48页的内容，填空：1、概念：（1）位似图形定义：两个多边形不仅，而且的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做。
（位似变换是一种特殊的相似变换，位似是一种具有特殊位置关系的相似，所以位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形）（2）位似中心：。
2、位似图形的性质：（1）两个位似的图形上任意一对对应点到位似中心距离之比等于_____________，（2）位似图形对应点连线或延长线二、【合作探究】1.下列图形中位似中心在图形上的是( )D.C.B.A.2.下列说法中正确的是( )A、位似图形可以通过平移而相互得到B、位似图形的对应边平行且相等C、位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离科目数学班级学生姓名课题 27.3 位似1 课型新授课时 1 主备教师高俊强范俊姣备课组长杨理学习目标 1、了解位似图形、位似中心的概念。
2、了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质3掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小学习重点位似图形的有关概念、性质与作图学习难点利用位似将一个图形放大或缩小12OC'B'A'CB A 之比都相等3. 如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若:2:3AB FG =，则下列结论正确的是( ) A.23DE MN = B.32DE MN =C.32A F =∠∠D.23A F =∠∠三、【展示交流】以点A 为位似中心，把图中的四边形ABCD 放大到原来的2倍。
四、[随堂检测]1、按如下方法将ABC ∆的三边缩小为原来的12,如图所示，任取一点O ，连AO ，BO ，CO ，并取 它们的中点D ，E ，F ，得DEF ∆，则下列说法中正确的个数是( )①ABC ∆与DEF ∆是位似图形；②ABC ∆与DEF ∆是相似图形； ③ABC ∆与DEF ∆的周长的比为2∶1; ④ABC ∆与DEF ∆面积比为4∶1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，点O 为位似中心，12'OD OD =，则''A B :AB =___________.1题图 2题图 3、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，且相似比为2，若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2， 周长为20 cm ，那么五边形'''''A B C D E 的面积为________，周长为________.4、如图，''A B ∥AB ，''B C ∥BC ，且'OA ∶'A A =4∶3，则ABC ∆与________是位似图形，相似比为________；OAB ∆与________是位似图形，相似比为________.G FNMHDCBA FED CBAO E'D'C'B'A'EDCBA OE'D'C'B'A'EDCBA3题图 4题图3中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD. ∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．2．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是( )A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+dD．a+d＝b+c4【答案】A【解析】观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．【详解】解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c ＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-3c，56再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23，结论②正确；③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确； ④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ）， ∴-2ba=1， ∴b=-2a ，∴4a+2b=0，结论①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴a -b+c=3a+c=0，∴a=-3c ．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴-1≤a≤-23，结论②正确； ③∵a＜0，顶点坐标为（1，n ）， ∴n=a+b+c，且n≥ax 2+bx+c ，∴对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．4．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵【答案】D【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；78C 、∵共有30个数，第15、16个数为5， ∴每人植树量的中位数是5棵，结论C 正确；D 、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵）， ∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D 不正确． 故选D ．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数． 5．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ） A ．13∠=∠ B ．11803∠=-∠ C ．1903∠=+∠ D ．以上都不对【答案】C【解析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算． 【详解】∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°-∠2 又∵∠2+∠1=90° ∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1． 故选C ． 【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．6．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】D【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m ＞1【答案】B【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，9解得：m＜1．故选B．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．9．cos30°=（）A．12B ．22C．32D．3【答案】C【解析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.【详解】3 cos302︒=故选C. 【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【答案】A10【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD 边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．【答案】±1．【解析】根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，即a1+b1=1，∵常数a与b互为倒数，∴ab=1，∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，∴a+b=±1，故答案为±1．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a1+b1=1和ab=1是解此题的关键．12．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是11【答案】4【解析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．【详解】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4.【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.13．分解因式：3x2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．1213【详解】()()22236332131x x x x x -+=-+=-.故答案是：3(x-1)2. 【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2＝_____． 【答案】3（m-n ）2【解析】原式=2232)m mn n -+（=23()m n - 故填：23()m n -15．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ． 【答案】10%．【解析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的售价是原来的()1x -，那么第二次降价后的售价是原来的()21x -，根据题意列方程解答即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，()2100181x ⨯-=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不符合题意，舍去）， 答：这个百分率是10%. 故答案为10%. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.16．如果抛物线y=（m ﹣1）x 2的开口向上，那么m 的取值范围是__．【答案】m＞2【解析】试题分析：根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣2＞2．解：因为抛物线y=（m﹣2）x2的开口向上，所以m﹣2＞2，即m＞2，故m的取值范围是m＞2．考点：二次函数的性质．17．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．【答案】1 【解析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BDEC CD=，即BD ECABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯=1（米）．故答案为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．18．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s （km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．14【答案】3.6【解析】分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．设乙的速度为xkm/h4.5×6+2.5x=36解得x=3.6故答案为3.6 点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．三、解答题（本题包括8个小题）19．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a 85b s初中2高中部85 c 100 16015（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．【解析】分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定.【详解】详解: （1）初中5名选手的平均分75808585100a855++++==，众数b=85，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3）22222 2++++=5S初中（75-85）（80-85）（85-85）（85-85）（100-85）=70，∵22S S初中高中＜，∴初中代表队选手成绩比较稳定．16【点睛】本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.20．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．【答案】证明见解析.【解析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【详解】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝FC+CD，∴AC＝FD，在△ABC 和△DEF 中，A DB EAC DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF（AAS）∴BC＝EF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数(本) 频数(人数) 频率175 a0.26 18 0.367 14 b8 8 0.16合计c 1(1)统计表中的a=________，b=________，c=________；请将频数分布表直方图补充完整；求所有被调查学生课外阅读的平均本数；若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数. 【答案】（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528 【解析】分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；（2）根据a的值画出条形图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；详解：（1）由题意c=180.36=50，a=50×0.2=10，b=1450=0.28，c=50；故答案为10，0.28，50；18（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：（0.28+0.16）×1200=528（人）．点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？【答案】（1）35元/盒；（2）20%．【解析】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．1920试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据题意得：3500240011x x =-，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为m ，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a ）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20%．考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题． 23．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）【答案】17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，21∴30,ACB ∠=︒ ∴20AB BC ==米， 在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CDCBD BC∠=∴sin60,CDBC︒=∴,20CD =∴CD = ∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键. 24．列方程解应用题：某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，求该市今年居民用水的价格． 【答案】2.4元/米3【解析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可． 【详解】解：设去年用水的价格每立方米x 元，则今年用水价格为每立方米1.2x 元 由题意列方程得：301551.2x x-= 解得x 2=经检验，x 2=是原方程的解1.2x2.4=(元/立方米)答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．25．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？【答案】 (1) 40%;(2) 2616.【解析】（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据：2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；（2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可．【详解】解：（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则2600(1)1176x+=．解之，得0.4x=或 2.4x=-（不合题意，舍去）．所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%．（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．A市三年共投资“改水工程”2616万元．26．如图，抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B （4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x 轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．求抛物线的解析式；当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD2223是平行四边形；在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1) 213222y x x =--;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2） 【解析】（1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=12x 2+bx+c 方程即可；（2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−12x+2，设点M(m ，−12m+2)，Q(m ，12m 2−32m −2)，可得MQ=−12m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−12m 2+m+4＝4可解得m=2；（3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出Q 3（3，-2）．【详解】（1）由题意知，∵点A （﹣1，0），B （4，0）在抛物线y ＝12x 2+bx+c 上， ∴210214402b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴所求抛物线的解析式为 213222y x x =--24（2）由（1）知抛物线的解析式为213222y x x =--，令x ＝0，得y ＝﹣2∴点C 的坐标为C （0，﹣2） ∵点D 与点C 关于x 轴对称 ∴点D 的坐标为D （0，2）设直线BD 的解析式为：y ＝kx+2且B （4，0）∴0＝4k+2，解得：1k 2=-∴直线BD 的解析式为：122y x =+ ∵点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交BD 于点M ，交抛物线与点Q∴可设点M 1m,22m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴MQ＝2142m m -++ ∵四边形CQMD 是平行四边形∴QM＝CD ＝4，即2142m m -++=4解得：m 1＝2，m 2＝0（舍去）∴当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形（3）由题意，可设点Q 213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且B （4，0）、D （0，2）∴BQ 2＝22213(4)222m m m ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭DQ 2＝22213422m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭BD 2＝20①当∠BDQ＝90°时，则BD 2+DQ 2＝BQ 2，∴2222221313204(4)22222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫++--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0）25②当∠DBQ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2，∴222222131320(4)242222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）． 【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．26中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B. 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.2．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B10cm C．10cmD．1010cm【答案】C【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．【详解】设母线长为R，则圆锥的侧面积=236360R=10π，∴R=10cm，27故选C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键. 3．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD. ∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．606030(125%)x x-=+B．606030(125%)x x-=+2829C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x ⨯+-= 【答案】C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数 B ．中位数C ．众数D ．方差 【答案】D【解析】解：A ．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A 与要求不符；B ．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B 与要求不符；C ．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C 与要求不符；D．原来数据的方差=222 (12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12，添加数字2后的方差=222 (12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25，故方差发生了变化．故选D．6．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．56【答案】B【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.7．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．BCD【答案】C30【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、15=55，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B 、0.5=22，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、5，是最简二次根式；故C选项正确；D．50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C．考点：最简二次根式．8．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．故选C．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．319．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2【答案】C【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．10．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )32。
人教版九年级数学下册导学案 第27章
27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线，BC = 6cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？BC AD 证明画出它们的高，由前面的结论，我们有k，k，B CA D1BC ADS BC AD2△ABCk k1S B C A D△A B C B C A D2 k 2【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比 2 k……周长比13……面积比10000 ……2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差 为 60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是.例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边BC 上的高为 6，面积为12 5 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较 小三角形对应边上的高为______.例 3 如 图 ， D ， E 分 别 是 AC ， AB 上 的 点 ， 已 知 △ ABC 的 面 积 为 100 cm 2， 且AE AC A D AB 3 5，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D 点为AB 中点时，求S四边形BFED : S△ABC 的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP＝2，则DQ 的值为( )A．2 B．4 C．1 D. 1 23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于___ ___，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE ∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE 与△DCE 是同高，得到AE 与CE 的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高AD 和A' D' ．则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' .ADAB∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k.A DA B【典例精析】BG BC例1 解：∵△ABC ∽△DEF，∴(相似三角形对应角平分线的比等于相似EH EF4 8 6.比)，∴，解得EH = 3.2.∴EH 的长为3.2 cm.EH 4【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cmAB BC CA思考解：等于，如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，那么k，A BB C C A因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，AB BC CA kA B kB C kC A从而k.A B B C A A B C C AC B探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1.相似比 2 13100 k……周长比 2 13100 k ……面积比 4 1910000 k2 ……2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm，40cm (2) 50cm2,8cm2DE DF 1例2解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴.AB AC 2 1又∵∠D=∠A，∴△DEF ∽△ABC ，相似比为.21∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为12 5 ，∴△DEF 的边EF 上的高为×6 = 3，2 21面积为12 5 3 5 .2【针对训练】14AE AD 3例3解：∵∠BAC = ∠DAE，且，∴△ADE ∽△ABC.AC AB 5∵它们的相似比为3 : 5，∴面积比为9 : 25.又∵△ABC 的面积为100 cm2，∴△ADE 的面积为36 cm2 .∴四边形BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).【针对训练】解：∵DE∥BC，D 为AB 中点，∴△ADE ∽△ABC ，AE AD 1∴，即相似比为1 : 2，面积比为1 : 4.AC AB 2CE 1又∵EF∥AB，∴△EFC ∽△ABC ，相似比为，AC 2∴面积比为1 : 4.设S△ABC = 4，则S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，1∴S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = .2当堂检测1. (1) √(2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 4 35. 解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，∴△ADE ∽△EFC.又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，∴AE : EC=2:3，则AE : AC =2 : 5，∴S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴S△ABC = 25.1AE DFS AE26. 解：过点D 作AC 的垂线，垂足为F，则 2 ，△ADE1S ECEC DF△DCE2AE 2∴. 又∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC.AC 32 2S AE 2 4∴，即S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.△ADES AC 3 9△ABC27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例学习目标：1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点)2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点)【自主学习】一、知识链接据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量的吗？【合作探究】二、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1 如图，木杆EF 长2 m，它的影长FD 为3 m，测得OA 为201 m，求金字塔的高度BO.【要点归纳】测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1 高：物2 高= 影1 长：影2 长【针对训练】1. 如图，要测量旗杆AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE 的长以及DE 和AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB 长的等式是（）AB AB ABEF DE BC A．B．C．D．DE BC EF BC DE EF ABDEA CDF第1 题图第2 题图2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6 米的楚阳同学站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_____米．思考还可以有其他测量方法吗？【要点归纳】测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.【针对训练】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知AB = 2 米，且测得BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是（）A. 6 米B. 8 米C. 18 米D. 24 米探究点2：利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线 a上选择适当的点T，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R. 已知测得QS =45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点 B 和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D．此时如果测得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离AB．【要点归纳】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m 和CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了?【分析】如图，设观察者眼睛的位置(视点) 为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD 于点H，K.视线FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区) 之内. 再往前走就根本看不到C 点了.二、课堂小结【达标练习】1. 小明身高1.5 米，在操场的影长为2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为60 米，则教学大楼的高度应为( )A. 45 米B. 40 米C. 90 米D. 80 米2. 小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )A. 0.5 mB. 0.55 mC. 0.6 m D . 2.2 m3. 如图，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且PC＝24 cm，则点光源S 到平面镜的距离SA 为.第3 题图第4 题图4. 如图，为了测量水塘边A、B 两点之间的距离，在可以看到A、B 的点E 处，取AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得CD∥AB. 若测得CD＝5 m，AD＝15 m，ED=3 m，则A、B 两点间的距离为m.5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点D 到地面的距离DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离DC = 20 米，求旗杆的高度.6. 如图，某一时刻，旗杆AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m，在墙面上的影长CD 为2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.BO OA EF201 2OA∴，∴BO=134 (m). EF FD FD 3因此金字塔的高度为134 m.【针对训练】1.C 2. 8【针对训练】B探究点2：利用相似三角形测量宽度例2 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.PQ PQQR QR PQ60∴，即，，PQ×90 = (PQ+45)×60.PS ST PQ QS ST PQ45 90解得PQ = 90.因此，河宽大约为90 m.例3 解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD.AB80BD AB∴，即，解得AB = 64.EC DC24 30因此，两岸间的大致距离为64 m.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点A，C 恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.EH EH8 1.AH 6 6.4∴，即，解得EH=8.EK CK EH 5 12 1.6 10.4由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C .当堂检测1. A2. A3. 12cm4. 20.DEEF5. 解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则，DC CA∵DE=0.5 米，EF=0.25 米，DG=1.5 米，DC=20 米，0.5 0.25∴，解得：AC = 10，故AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米).20 CA答：旗杆的高度为11.5 米.6. 解：如图：过点D 作DE∥BC，交AB 于点E，∴DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA : ED=1 : 1.2，∴AE = 8 m.∴AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，∴学校旗杆的高度为10 m.27.3 位似第1 课时位似图形的概念及画法学习目标：1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点)2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点)【自主学习】一、知识链接如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？【合作探究】三、要点探究探究点1：位似图形的概念观察与思考下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？【要点归纳】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是:这两个图形是相似的，二是:要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．【针对训练】1. 画出下列图形的位似中心：第1 题图第2 题图2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是( )A. 两个三角形是位似图形B. 点A 是两个三角形的位似中心C. B 与D、C 与E 是对应位似点D. AE : AD 是相似比探究点2：位似图形的性质OA OB AB观察与思考从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，则，OA OBA BAB∥A′B′.右图呢？你得到了什么？【要点归纳】1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）3. 对应线段平行或者在一条直线上．【针对训练】如图，四边形木框ABCD 在灯泡O 发出的光照射下形成的影子是四边形A′B′C′D′，若OB : O′B′＝1 : 2，则四边形ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为( )A．4∶1 B． 2 ∶1 C．1∶ 2 D．1∶4探究点3：画位似图形1例1 把四边形ABCD 缩小到原来的.2(1) 在四边形外任选一点O (如图)；(2) 分别在线段OA 、OB 、OC 、OD 上取点A' 、B' 、C' 、D' ，使得OA OAOBOBOCOCODOD12；(3) 顺次连接点A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形A' B' C' D' 就是所要求的图形．思考对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OA OB OC OD 1OB、OC、OD 的反向延长线上取A 、B′、C′、D′，使得呢？OA OB OC OD 2如果点O 取在四边形ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．【针对训练】如图，△ABC，根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为1 : 5.(1) 位似中心O在△ABC 的一条边AB 上；(2) 以点C 为位似中心.【要点归纳】画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.二、课堂小结【达标检测】1. 下列图形中，不是位似图形的是( )2. 如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是( )A. 2 DE = 3 MNB. 3 DE = 2 MNC. 3∠A = 2∠FD. 2∠A = 3∠F3. 下列说法：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC 与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等.其中正确的有.4. 如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2 : 3，已知AB＝4，则DE 的长为_____．5. 如图，以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍．6. 如图，F 在BD 上，BC、AD 相交于点E，且AB∥CD∥EF，(1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明；(2) 若AB=2，CD=3，求EF 的长.参考答案合作探究一、要点探究探究点1：位似图形的概念【针对训练】1.解：图略. 2. D探究点2：位似图形的性质【针对训练】D探究点3：画位似图形例1 解：如图所示：思考解：如图所示：【针对训练】解：（1）假设位似中心点O 为AB 中点，点O 位置如图所示. 根据相似比可确定A′，B′，C′的位置.（2）如图所示：当堂检测1. B2. B3.①③④4. 65. 解：①作射线OA 、OB 、OC；②分别在OA、OB 、OC 上取点A' 、B' 、C' 使得2 ；③顺次连接A' 、B' 、C' 就是所要求图形.OA OB OCOA OB OC6. 解：（1）△DFE 与△DBA，△BFE 与△BDC，△AEB 与△DEC 都是位似图形；证明略.（2）∵AB∥CD∥EF,∴△BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC，AB=2，CD=3，AB BE 2 BE EF 2 6∴，∴，解得EF= .DC EC 3 BC DC 5 5。
人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案
27.1图形的相像学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并掌握两个图形相像的观点；认识成比率线段的观点，会确立线段的比.2．知道相像多边形的主要特点，即：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等；会依据相似多边形的特点辨别两个多边形能否相像，并会运用其性质进行有关的计算．【要点难点】1．相像图形的观点与成比率线段的观点；相像多边形的主要特点与辨别．2．成比率线段观点；运用相像多边形的特点进行有关的计算．知识概览图相像多边形的特点：对应角相等，对应边的比相等图形的相像判断两个多边形相像：对应角相等，对应边的比相等比率线段：有四条线段，此中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比率线段新课导引【生活链接】以以下图所示，实用同一张底片洗出的不一样尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状同样的图形的形象．【问题研究】这类形状同样的图形叫做相像图形，两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．那么相像的图形拥有哪些性质呢?教材精髓知识点 1相像图形我们把形状同样的图形叫做相像图形．两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．比如：如图27－1 所示的几组图形都是形状同样、大小不一样的图形，所以这几组图形分别都是相像图形．1当两个图形的形状同样、大小也同样时，这两个图形也是相像图形，它们是特别的相像图形：全等形． 比如：如图 27－ 2 所示，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的形状同样，而且大小也同样，所以这两个三角形相像，而且这两个三角形全等．拓展 所谓“形状同样”，就是与图形的大小、地点没关，与摆放角度、摆放方向也没关．有些图形之间固然只有很小的差别，但也不可以以为是“形状同样”．知识点 2比率线段对于四条线段 a ，b ，c ，d ，假如此中两条线段的比 ( 即它们长度的比 ) 与另两条线段的比相等，如 a c b d( 即 ab ＝ bc) ，我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．(1) 式子ac也能够写成 a ： b=c ：d ，往常这里的 a 叫做第一比率项， b 叫做第二比率项， cb d叫做第三比率项， d 叫做第四比率项．(2) 有时在 ac 中， ＝ ，比如： 4 6， 的比率中项，此时 b 2 ad ． b d b c6 9，这时我们把 b 叫做 a d(3) 在式子ac的两边同时乘以，得＝ cb ，在与比率有关的计算中，我们常经过上述变bdbdad形转变字母之间的关系．拓展 往常状况下，四条线段 a ，b ，c ，d 的单位应当一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致， c ，d 的单位一致也能够．知识点 3相像多边形对应边成比率，对应角相等的两个多边形叫做相像多边形．拓展 在多边形中，只有当“对应边成比率”、 “对应角相等”这两个条件同时成即刻，才能说明两个多边形是相像多边形．知识点 4相像多边形的性质相像多边形的对应角相等，对应边的比相等．比如：若△ ABC 与△ A ′B ′C ′相像，则∠ A ＝∠ A ′，∠B ＝∠ B ′，∠ C ＝∠ C ′，ABACBC.2知识点 5相像比相像多边形对应边的比称为相像比．拓展相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结(1) 相像的两个图形之间大小、方向、地点能够同样，也能够不一样，但它们的形状一定同样．如：两张大小不一样的世界地图或中国地图；两面大小不一样的中国国旗；同一底片、尺寸不一样的两张照片．有些图形之间很相像，但不相像，如：哈哈镜中人的形象与自己不相像；阴历十五夜晚的月亮与十六夜晚的月亮固然很相像，但其实不相像．(2)学习本节知识时要充足运用转变思想，即把求证的线段之间的关系转变为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．研究沟通当相像比为 1 时，相像的两个图形之间有什么关系 ?点拨相像比为 1 的两个图形是全等形．讲堂检测基本观点题1、以下多边形中，必定相像的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形2、以下命题中，正确的选项是( )A．相像多边形是全等多边形B．不全等的多边形不是相像多边形C．全等多边形是相像多边形D．不相像的多边形可能是全等多边形3、假如线段 a 是线段 b、线段 c 的比率中项， b＝3，c＝12，那么线段 a 的长是多少 ?基础知识应用题4、假如两地的实质距离为750m，图上距离为 5 cm, 那么这张图的比率尺是多少?5、已知四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′相像，且 AB：BC：CD：DA＝20： 15：9：8，四边形 A′ B′ C′ D′的周长为 26，求四边形 A′B′C′D，的各边长．综合应用题6、等腰梯形 ABCD与等腰梯形 A′B′C′D′，相像，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′ B′＝ 6 cm，AD＝ 5 cm，求 A′D′的长及梯形 A′B′C′D′各内角的度数．7、已知同样时辰的物高与影长成比率，假如高为 1.5 m 的竹竿的影长为 2.5 m ，那么影长为30 m 的旗杆的高度为( )A． 20 m B．16 mC． 18 m D．15 m研究与创新题8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金切割点，求A C: BC的值．体验中考在同一时辰，身高为1．6 米的小强在阳光下的影长为0．8 米，一棵大树的影长为4．8 米，则这棵树的高度为( )A ．4．8 米B．6．4 米C ．9．6 米D．10 米学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析依据相像多边形的定义，两个矩形只知足对应角相等，而对应边不必定成比率；两个菱形只知足对应边成比率，而对应角也不必定相等；两个正方形的对应边成比率，对应角都是90°，必定相像；两个平行四边形的对应边不必定成比率，对应角也不必定相等．应选 C.【解题策略】判断两个多边形能否相像，一定同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不行．2、剖析全等多边形是特别的相像多边形．应选 C.【解题策略】假如两个多边形全等，则必定相像，可是假如两个多边形相像，则不必定全等．3、剖析四条线段 a，b，c，d 是成比率线段，若第二比率项和第三比率项是两条同样的线段，即 a： b＝ b：c，则把 b 叫做 a 和 c 的比率中项．将 a：b＝ c： d 变形，可获得 bc＝ ad，当 a：b＝b c 时，有 b2＝ac．:解：∵a是 b，c 的比率中项，且 b＝， c＝，312∴a2＝bc＝ 3× 12＝36，∴ a＝± 6．∵ a 是线段，∴线段 a 的长是 ．6【解题策略】假如线段 a 是线段 b ， c 的比率中项，那么 a 2 =bc ． ( 此中 a ，b ，c 均为正数 )4、剖析 图的比率尺是一种比率关系，是图上距离与实质距离的比，往常写成1：x 的形式，也就是说，图上的 1 cm 相当于实质的 x cm ，如某图的比率尺为 1：40000，就是说图上的 1 cm 相当于实质的 40000 cm ，即 400 m.解：∵ 750 m ＝75000 cm ，∴ 5:75000 ＝1:15000 ，即这张图的比率尺是 1:15000 ．【解题策略】 无论是将图形放大仍是减小，比率尺都是图上距离与实质距离的比．、剖析 依据四边形 ABCD 各边的比为 ： ： ： 8 可得四边形 A ′B ′C ′D ′各边的比也为 520 15 9 20： 15：9：8，再依据四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 26，可求出各条边的长．解：∵四边形 ABD 与四边形 A ′ B ′ C ′ D ′相像，且 AB: BC: CD: DA ＝ 20:15:9:8 ，∴ A ′ B ′： B ′C ′： C ′D ′： D ′A ′＝ 20： 15：9：8．又∵四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 ，26 ∴ A ′ B ′ =26×20=10，B ′C ′=26×15=7．5，20 15 9 15 98 20 8 C ′D ′ × 9 ． ，D ′A ′ × 20， =26 20 15 9 8 =4 5 =26 15 9 =420 8即四边形 A ′B ′C ′D ′的各边长分别为 A ′ B ′＝ 10，B ′C ′＝ 7．5，C ′D ′＝ 4．5，D ′A ′＝ 4．【解题策略】 相像多边形的相像比等于对应边的比．6、剖析 充足利用相像多边形的对应角相等、 对应边成比率的性质和等腰梯形的性质来解题．解：∵等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 A ′B ′C ′D ′相像，∴∠ A ＝∠ A ′=65°， AB AD，A BA D即85 ，∴ A ′D ′=15(cm) ，6 A D4∴ B ′ C ′＝ 15，∠ A ′＝∠ B ′＝ °，4 cm65∴∠ C ′＝∠ D ′＝ 180°－ 65°＝ 115°．【解题策略】 本题是一道综合性题目， 在运用相像多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．7、剖析 本题考察比率线段的基天性质．因为同一时辰物高与影长成比率，所以2.530，∴旗杆的高度＝30 1.5＝18(m)．应选 C．1.5旗杆的高度2.5【解题策略】解决此类问题时，也能够依据比率式列出方程，经过解方程求出旗杆的高度．8、剖析黄金切割点指的是线段上的某一点，它将线段所分红的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比率中项，此中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618 ，正确值是5 1．2解：当 AC＞ BC时，AC=5 1AB=4( 5－1) ，2∴BC=AB－AC=8－4( 5－ 1)=12－4 5 =4(3－5 ) ，∴AC：BC5－1)：4(3－ 5)=5 1 ．=4(25 1AB当AC＜ BC时， BC 5 －1)，=2=4(∴AC AB－BC－ 5)，==4(3∴ AC: BC=4(3 － 5 ):4( 5 －1)= 5 1 ．2【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．体验中考剖析设这棵树的高度为x 米，则 1.6 ：0.8 ＝x：4.8 ，解得 x＝9.6 ．应选 C．【解题策略】同样时辰的物高与影长成比率．27.2相像三角形应用举例学习目标、要点、难点【学习目标】1．进一步稳固相像三角形的知识．2．能够运用三角形相像的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实质问题．3．经过把实质问题转变成有关相像三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育分析问题、解决问题的能力．【要点难点】1．运用三角形相像的知识计算不可以直接丈量物体的长度和高度．2．灵巧运用三角形相像的知识解决实质问题（如何把实质问题抽象为数学识题）．知识概览图相像三角形的应用：灵巧掌握题意，把实质问题转变为数学识题，运用数学建模思想和数形联合思想灵巧地解决问题．新课导引【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她 2 m远的地上，而后球反弹遇到墙上，假如王芳跳起击排球时的高度是 1.8m，排球落地址离墙的水平距离是 6m，假定排球向来沿直线运动，那么排球能遇到墙上离地多高的地方?【问题研究】由题意可获得如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝，P ＝，PQ⊥2 m C 6 mAC，那么如何求DC的长呢 ?由已知可证 Rt△ APB∽Rt△ CPD，由相像三角形的性质可知即1.8 2，所以DC＝5.4(m)．利用相像三角形的知识还可以解决很多实质问题．DC 6教材精髓知识点应用相像三角形的知识解决实质问题AB AP， DC PC相像三角形的知识在实质生产和生活中有着宽泛的应用，这一应用是成立在数学建模思想和数形联合思想的基础上，把实质问题转变为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．拓展求线段的长度时，可依据已知条件并利用相像成立未知线段的比率关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实质问题抽象为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．讲堂检测基础知识应用题1、如图 27—38 所示，为了估量河的宽度，我们能够在河对岸选定一个目标 P，在近岸取点 Q和 S，使点 P， Q， S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适合的点T，确立 PT 与过点 Q且垂直 PS的直线 b 的交点 R，假如测得 QS＝45 m，ST＝90 m， QR＝60 m，求河的宽度 PQ．2 、古代一位数学家想出了一种丈量金字塔高度的方法，如图 27－39 所示，为了丈量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒 O′ B′，比较木棒的影长 A′B′与金字塔的影长 AB，即可近似地算出金字塔的高度 OB且已知 O′B′=1 米， A′ B′＝ 2 米， AB＝274 米，求金字塔的高度 OB．综合应用题3 、如图27－40 所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC上，其余两个极点分别在AB，AC上，则这个正方形部件的边长是多少 ?4、如图 27— 41 所示，在 Rt△ABC中，∠ B＝ 90°， BC=4 cm， AB＝8 cm，D，E，F 分别为 AB，AC，BC边的中点， P 为 AB边上一点，过 P 作 PQ∥BC交 AC于 Q，以 PQ为一边，在点 A 的另一侧作正方形 PQMN，若 AP＝3 cm，求正方形 PQMN与矩形 EDBF的公共部分的面积．研究与创新题5、教课楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0．9 m，在同一时辰他们丈量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教课楼的墙壁上，如图 27－ 42 所示，经过一番争辩，该小组的同学以为持续丈量也能够求出树高，他们测得落在地面上的影长为 2.7 m ，落在墙壁上的影长为 1.2 m ，请你计算树高为多少．体验中考小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪对准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图－45所示，在射击时，小明有稍微的颤动，以致准星 A 偏离到 A′，27若 OA＝0．2 m，OB＝40 m，AA′＝ 0．0015 m，则小明射击到的点 B′，偏离目标点 B 的长度 BB′为 ( )A．3 m B．0．3 m C．0．03 m D．0．2 m学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析可利用三角形相像的性质来求解．解：∵∠ PQR＝∠ PST＝90°，∠ P＝∠ P，∴ Rt△PQR∽ Rt△PST，∴PQQR ，PS ST即PQ QR ，∴PQ60 ，PQ QS ST PQ 4590PQ ×90=( PQ+45) ×60，解得 PQ ＝90．故河宽大概为 90 m ．【解题策略】利用相像三角形的性质能够丈量不方便抵达的两点间的距离．2、剖析 要求 OB 的长度，能够经过证明△ OAB ∽△ O ′A ′B ′，从而获得比率式从而求解．OB AB ， OBAB解：∵太阳光是平行光芒，∴∠ OAB ＝∠ O ′ A ′B ′．又∵∠ ABO ＝∠ A ′B ′ O ′＝ 90°，∴△ OAB ∽△ O ′ A ′B ′，∴ OB ：O ′B ′＝ AB ：A ′B ′，∴ OB=ABgO B 274 1=137(米) ．A B2故金字塔的高度为137 米．【解题策略】本题要点考察阅读理解能力和知识的迁徙运用能力， 从而计算出不可以直接丈量的物体的高度．3、剖析若四边形 PQMN 为正方形，则 AE ⊥PN ，这样△ APN 的高能够写成 A D －ED ＝ AD －PN ，再由△ APN ∽△ ABC ，即可找到 PN 与已知条件之间的联系．解：设正方形 PQMN 为加工成的正方形部件，边 QM 在 BC 上，极点 P ，N 分别在 AB ，AC 上，△ABC 的高 AD 与正方形 PQMN 的边 PN 订交于 E ，设正方形的边长为 x mm ．∵PN ∥ BC ，∴△ APN ∽△ ABC ，∴AE PN , AD BC ∴160 x= x, 解得 x=96(mm)，160240∴加工成的正方形部件的边长为96 mm ．【解题策略】 本题中相像三角形的知识有了一个实质意义，所以在解题时要擅长把生活中的问题转变为数学识题来解决．4、剖析因为 PQ ∥BC ，所以PQAP，从而可求出的长，而四边形是正方形，所以BC ABPQPQMNPN 的长及 DN 的长都能够求出来．因为正方形 FQMN 与矩形 EDBF 的公共部分是矩形，故只需求出 DN ，MN 的长，就能够求出矩形的面积．解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AB=8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ， F 分别为 AB ， AC ，BC 边的中点，则 AD ＝4 cm ，DE ∥ BC ，DE ⊥ AB ．又∵ PQ ∥BC ，∴△ APQ ∽△ ABC ， ∴ AP PQ ，即3 PQ ，∴ = 3 .AB BC8 4PQ 2由四边形 PQMN 是正方形，得 PN ＝ 3，2∴AN ＝ 9 ，DN ＝AN －AD ＝ 1，2 2∴正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为：DN ·MN=DN · PQ= 1 × 3 = 3(cm 2) ．2 2 4【解题策略】 本题考察了直角三角形、正方形与相像三角形知识的综合应用，要娴熟掌握每一种几何图形的性质．5、剖析 第一依据题意画出表示图 ( 如图 27－43 所示 ) ，把实质问题抽象成数学识题， 从而利用△ PQR ∽△ DEC ，△ PQR ∽△ ABC 求出树高 AB ．解：如图 27－43(1) 所示，延伸 AD ， BE 订交于 C ，则 CE 是树的影长的一部分．由题意可得△ PQR ∽△ DEC ，∴PQQR ，DEEC即10.9，∴ CE=1.08(m) ，1.2 CE∴ BC ＝BE+CE ＝2.7+1.08 ＝3.78(m) ． 又∵△ PQR ∽△ ABC ，∴PQQR ， ABBC即1 0.9 AB 3.78，∴ AB=4.2(m) ，故树高为 4．2 m ．体验中考剖析 由三角形相像可得OAAA，∴ BB ′ =OB gAA =400.0015=0.3(m) ．应选 B.OB BBOA0.2【解题策略】解决本题的要点是依据 AA ′∥ BB ′，从相像三角形的周长与面积学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相像三角形周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．【要点难点】1．相像三角形的性质与运用．2．相像三角形性质的灵巧运用，及对“相像三角形面积的比等于相像比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相像比”的理解．知识概览图相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比相像三角形的周长与面相像三角形周长的比等于相像比( 相像多边形周长的比等于相像比)积相像三角形面积的比等于相像比的平方( 相像多边形面积的比等于相像比的平方)新课导引【生活链接】假如两个三角形相像，那么它们的周长之间有什么关系 ?它们的面积之间有什么关系 ?两个相像多边形呢 ?【问题研究】前方我们已经学习了相像图形的性质：相像图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相像图形的周长与面积又拥有如何的性质呢?教材精髓知识点 1相像三角形对应高的比等于相像比如图－57所示，假如△ ABC∽△ A′B′C′，且AB＝ k，那么27A B△ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比 k ， A 作 AD ⊥BC ， A ′作 A ′D ′⊥ B ′C ′，垂足分 D ，D ′，在△ ABD 与△ A ′ B ′ D ′中，∠B ＝∠ B ′，∠ADB ＝∠ A ′D ′B ′＝ 90°，所以 Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′D ′，所以ADAB＝k ，即相像三角形 高的比等于相像比k ．A D A B知 点 2 相像三角形 中 的比、 角均分 的比都等于相像比如 27－ 58 所示，在△ ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′D ′分 △ ABC 和△ A ′B ′C ′的中 ， BE ，B ′E ′分 △ ABC 和△ A ′B ′ C ′的角均分 ，若△ ABC ∽△ A ′B ′ C ′，ADAB＝k ．A D A B知 点 3 相像三角形周 的比等于相像比假如△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，而且△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的相像比 k ，那么ABBC AC＝ k ，A BB CA CAB＝ k·A′B′ ， BC k·B′C′ ，AC＝k·A′C′，所以=△ ABC 的周AB BC CAkA B kB C kA Ck( A B B C C A )k ，即相像三角形周 的比△ABC 的周AB BC CAAB BC CAAB BC CA等于相像比．比如：已知△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，它 的周 分 60 cm 和 ，且 AB ＝，B ′C ′ 72 cm 15 cm＝24 cm ， 两个三角形的相像比 60 5 ，且 AB BC 5 ，因 AB ＝，B ′C ′＝ ， 726 A B B C 6 15 cm 24 cm 所以 A ′B ′＝ c ， BC ＝ c ，A ′ C ′＝18 20 ，所以 AC ＝ － － ＝ 25(cm) － － ＝ ．m m60 15 20 72 18 24 30(cm) 知 点 4 相像多 形周 的比等于相像比假如多 形A 1 A 2 ⋯ A n 与多 形A 1 ′ A 2′⋯ A n ′相像，而且多 形A 1A 2⋯ A n 与多 形A 1′2n′的相像比 k ，A 1A 2A 2A 3 ⋯A nA11 21 22 32 3A ′⋯ A A 1 A 2A 2 A 3A n A 1＝k ，∴ AA ＝ kA ′ A ′， A A ＝ kA ′ A ′，⋯，A A 1＝kAn ′ A 1 ′，∴A 1A 2 A 2A 3 ⋯ AA 1＝ k A 1′A 2′ A 2′A 3′ ⋯A ′A 1′ ) ，∴ A 1A 2 A 2A 3 ⋯A n A 1n+ + +n( + + +nA 1 A 2 A 2 A 3 A n A 1⋯＝k ，即相像多 形周 的比等于相像比.知 点 5相像三角形面 的比等于相像比的平方若△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比是 k ，AD ，A ′D ′分 是 BC 与 B ′C ′S △ ABC 1BC gADBCAD上的高，2 2S △ABCBC AD= k ·k=k , 即相像三角形面 的比等于相像比的平方．1g2 BC AD知识点 6相像多边形面积的比等于相像比的平方对于两个相像的四边形，能够把它们分红两对相像的三角形，能够得出这两个四边形面积的比等于相像比的平方．对于两个相像的多边形，用近似的方法，能够把它们分红若干对相像的三角形，从而得出相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结 (1) 假如两个三角形相像，那么它们对应高的比、对应角均分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相像比．(2)相像三角形的面积比等于相像比的平方．(3)类比相像三角形的性质可知，相像多边形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方．(4)本节内容中求相像三角形对应边的比和面积的比的问题能够相互转变，对于没有指明对应极点的相像三角形仍旧要分类议论．讲堂检测基本观点题1、 (1) 若两个相像三角形的面积比为 1：2，则它们的相像比为；(2)若两个相像三角形的周长比为 3：2，则它们的相像比为；(3)若△ ABC∽△ A′B′C′，且 AB＝ 5，A′B′＝ 3，△ A′B′C′的周长为 12，则△ ABC的周长为.基础知识应用题2、如图 27－59 所示，在△ ABC和△ DEF中， AB＝2DE，AC＝2DF，∠ A＝∠ D，△ ABC的周长是24，面积是 48，求△ DEF的周长和面积．3、如图 27－60 所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为 BC，AB边上的高，△ ABC和△BDE的面积分别为 18 和 2， DE＝2，求 AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ ABC与△ CAD中，AD∥ BC，CD交AB于点E，且AE：EB＝1:2，EF∥BC交 AC于点 F，且 S△ADE＝1，求 S△BCE和 S△AEF．5、如图 27－62 所示， AD是△ ABC的角均分线， BH⊥AD于点 H， CK⊥AD于点 K，求证AB· DK＝AC·DH．17综合应用题6、如图 27－63 所示，在梯形 ABCD中，对角线 AC， BD订交于点 O，若△ COD的面积为 a2，△AOB的面积为 b2，此中 a＞0，b＞0，求梯形 ABCD的面积 S．研究与创新题7、如图－64所示，ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O， E 是 AB延伸线上一点， OE交BC27于点 F，AB＝ a， BC＝b，BE＝c，求 BF 的长．8、如图 27－65 所示，在△ ABC中，D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB订交于点 E， EC与 AD订交于点 F.(2)若 S△FCD＝5，BC＝ 10，求 DE的长体验中考1、已知△ ABC与△ DEF相像且面积比为4：25，则△ ABC与△ DEF的相像比为．2、如图27－67所示，在△ ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的均分线 CF交 AD于 F，点 E 是 AB的中点，连结EF．(1)求证 EF∥BC；(2)若四边形 BDFE的面积为 6，求△ ABD的面积．学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测、剖析(1)∵两个相像三角形的面积比等于相像比的平方，∴k2＝1，且 k＞，∴k＝ 2 ．120(2)2∵相像三角形的周长比等于相像比，且周长比为3:2 ，∴相像三角形的相像比为3：2．(3) ∵相像比5：3，∴△ ABC的周长5. 又∵△ A′ B′ C′的周长为12，∴△ABC的周长＝5，∴△ ABC的周△A BC的周长3123长为 20．答案： (1) 2 ：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直策应用相像三角形的周长比、面积比与相像比的关系来求解．2、剖析先说明△ ABC∽△ DEF，再运用相像三角形的性质——相像三角形的周长比等于相像比、面积比等于相像比的平方进行求解．解：在△ ABC和△ DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DE DF 1.AB AC2又∵∠ D＝∠ A，∴△ DEF∽△ ABC，且相像比为1．2∴△ DEF 的周长1. 即△ DEF 的周长1，△ ABC的周长2242∴△ DEF的周长为 12．∴ S2，即S△DEF121，△ DEFS△ABC2482∴S△DEF＝12．即△ DEF的周长为 12，面积为 12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相像三角形周长的比等于相像比、相像三角形面积的比等于相像比的平方来求解．3、剖析若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，因为△ABC的面积为 18，所以只需求出 AC边的长，就能够求出AC边上的高．∵AD⊥BC，CE⊥ AB，∴∠ ADB＝∠ CEB＝ 90°，又∵∠ ABD＝∠ CBE，∴ Rt △ADB∽Rt △CEB．∴ BD AB,即 BD BE，且∠ ABC=∠ DBE，BE CBAB CB∴△ EBD∽△ CBA，∴S△BED2DE 2 ，S△BCA AC18又∵ DE＝ 2，∴ AC＝6．∵S△ABC＝1AC·BF＝ 18，∴ BF＝6．2【解题策略】解决本题的要点是依据已知条件说明△EBD∽△ CBA．4、剖析由 AD∥ BC，可得△ ADE∽△ BCE，求 S△BCE比较简单，而求 S△AEF不易利用相像三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出 EF： AD就能够求出△ AEF的面积．解：∵ AD∥BC，∴△ ADE∽△ BCE，2 2∴S△ADE：S△BCE＝AE：BE．又∵ AE: BE＝ 1： 2，∴ S△ADE: S△BCE＝1:4 ，∵S△ADE＝1，∴ S△BCE＝4．又∵ EF∥ BC，∴△ AEF∽△ ABC，∴EF: BC＝AE：AB＝1:3 ．又∵△ ADE∽△ BCE，∴ AD：BC＝ AE：BE＝1： 2，∴BC＝2AD，∴ EF：AD＝2：3．又∵ AD∥ EF，∴△ ADE与△ AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴ S△AEF＝2 .3【解题策略】利用相像三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底 ( 或等底 ) 三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、剖析由已知易证△ BHD∽△ CKD，△ ABH∽△ ACK，从而易得证明：∵ BH⊥ AD，CK⊥AD，∴ BH∥CK，AB BH DHAC CK DK, 即 AB·DK=AC·DH．∴△ BHD ∽△ CKD ，∴DHBH．①DK CK∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵∠ BHA=∠ CKA=90°，∴ R t △ ABH ∽Rt △ACK, ∴ AB BH．②ACCK由①②可知ABDH，∴ AB ·DK ＝AC ·DH ．AC DK【解题策略】在本题中，利用BH把AB和DH联系起来，往常把这里的BH叫做中间比， 它CKACDK CK起到桥梁的作用．、剖析 梯形的面积等于4 个三角形的面积之和，而△ AOB 和△ COD 的面积都已用 a ，b 表示6出来，所以要点是求出△ AOD 和△ BOC 的面积．由图可知△ AOD 和△ BOC 的面积相等，而△ AOD 和△ COD 在 AC 边上的高是同一条高， 所以△ AOD 和△ COD 的面积比就等于 AO ：OC ，这样就能够求出△ AOD 的面积．解：∵ AB ∥CD ，∴△ COD ∽△ AOB ，∴∴CO 2 S△ COD2a,AO 2S△ AOB2bCOa 2a2.AOb b又∵ S △ABC ＝ S △ ABD ，∴ S △ ABC －S △ AOB ＝S △ABD －S △ AOB ，即 S △BOC ＝ S △ AOD ．又∵S△ AOD=AOb ，S△ CODCO a∴ S △ AOD = b·S △COD = b· a 2=ab ．aa∴ S △ COB ＝S △ AOD ＝ab ．∴梯形 ABCD 的面积 S ＝ a 2+ab+ab+b 2＝ ( a+b) 2．【解题策略】 底在同一条直线上， 高同样的两个三角形面积的比等于底边长的比， 而相像三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意差别这两个性质．7、剖析 明显所求线段 BF 与已知线段 BE 在同一个三角形中，假如能找到一个与△ BEF 相像且有能直接找到，假如过 O 作 OC ∥BC 交 AB 于 G ，就能获得△ EBF ∽△ EGO ，本题可解．解：过点 O 作 OG ∥ BC 交 AB 于 G ，则△ EBF ∽△ EGO ．∵ ABCD 的对角线订交于点 O ，∴ OA ＝OC ，AG ＝ GB ．又∵△ EBF ∽△ EGO ，∴BFEB.GO EG∵ AG ＝GB ＝ 1AB ，∴ OG ＝ 1BC ．22又∵ AB ＝ a ， BC ＝b ，BE ＝ c ，∴ OG ＝ 1 b ，GB ＝ 1 a ，GE=1a+c ．2221∴ BFcBF bgc bc，∴ 2.1 1 =1a 2cccbaa222【解题策略】 解决此类题的要点是结构相像图形，而结构相像图形的一般方法是作平行线． 、剖析 由 E ⊥BC ， D 是 BC 的中点，可得∠ B ＝∠ ，由 AD ＝AC ，可得∠ ＝∠ ACD ，从而相8 D 1 2似可证．过 A 作 AM ⊥BC 垂足为 M ，求 DE 的长能够在 ED ∥M 的基础上利用比率线段求得．, A证明： (1) ∵DE ⊥ BC ，D 是 BC 的中点，∴EB ＝ EC ，∴∠ B ＝∠ 1．又∵ AD ＝AC ，∴∠ 2＝∠ ACB ，∴△ ABC ∽△ FCD ．解： (2) 过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，∵△ ABC ∽△ FCD ，BC ＝2CD ，2∴S△ABC=BC=4．S △ FCD CD又∵ S △FCD ＝ 5，∴ S △ABC ＝20．∵ S △ ABC ＝ 1BC ·AM ，且 BC ＝10，2∴ 20= 1×10· AM ，∴ AM ＝4．2又∵ DE ∥ AM ，∴DEBD．AMBM∵ BM ＝BD+DM ，BD ＝ 1 BC ＝5，DM ＝ 1 DC ＝ 5，22 2∴ BM ＝5+ 5 ＝15，22∴ DE 5．∴ DE= 8 .415 32体验中考1、剖析相像三角形的面积之比等于相像比的平方．故填 2：5．2、证明： (1) ∵CF 均分∠ ACB ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵ DC ＝AC ，∴ CF 是△ ACD 的中线，∴点 F 是 AD 的中点．又∵点 E 是 AB 的中点，∴EF ∥BD ，即 EF ∥BC解： (2) 由 (1) 知， EF ∥BD ，∴△ AEF ∽△ ABD ，2∴S△AEFAE．S △ ABDAB又∵ AE ＝ 1AB ，S △ AEF ＝S △ABD － S 四边形 BDFE ＝S △ ABD －6，2∴ S △ABD 61 2，S △ ABD2∴ S △ ABD ＝8，∴△ ABD 的面积为 8．27、 3 位似图形学习目标：1、能利用图形的位似将一个图形放大或减小.2、存心识地培育学生学习数学的踊跃感情，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯 .学习过程：一、课前准备1．知识链接（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的种类？（2）位似图形的性质是什么？2．预习检测（1）经过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？二、学习过程研究 1请同学们察看以下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为 2∶ 1，同学们在小组间相互沟通，看一看有几种方法？总结上述作法我们可概括出：（一）“利用位似将图形放大或减小的作图步骤. ”。
人教版九年级数学RJ下册精品教案 第27章 相似 27.3 位似
27.3 位似第1课时位似教师备课素材示例●情景导入 1.生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．2．如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2∶1，应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？【教学与建议】教学：从实际生活中具有位似特征的现象引入课题，感受位似的存在．建议：可以让学生寻找身边类似的图形，理解位似是一种特殊的位置关系．●归纳导入请观察下列图形，并回答问题．【归纳】1.每组图形内的两个图形是__相似__图形．2．对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线__相交于一点__，并且这点与对应顶点所连线段__成比例__，那么这两个多边形就是位似多边形．对应顶点的连线的交点叫做__位似中心__．【教学与建议】教学：通过几组位似图形的展示及问题的层层深入，对位似图形的概念和性质有初步的了解和认识．建议：强调抓住两个关键点：一是两个图形的对应顶点的连线相交于一点；二是这点与对应顶点所连线段成比例．两个图形位似需满足以下条件：①两个图形相似；②对应边互相平行或在同一条直线上；③两个图形的每对对应点所在直线相交于一点．【例1】下列各组图中，不是位似图形的是(B)A B C D【例2】已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′存在位似关系的是__①②③__．(填序号)①②③④位似中心是位似图形上对应点所在直线的交点，通过作直线找到交点，这个交点就是位似中心．【例3】如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)A．点PB．点OC．点MD．点N（例3题图）（例4题图）【例4】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2.若AB＝2cm，则A′B′＝__4__cm，并在图中画出位似中心O.位似是一种特殊的相似，故相似图形的一切性质都适用于位似图形．【例5】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A．1∶3B．1∶2C．1∶3D．1∶9（例5题图）（例6题图）【例6】如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为__1∶2__．通过作位似图形，可以将一个图形放大或缩小．作位似图形的关键是确定原图形中各顶点的对应点，原理是位似图形上各对应点到位似中心的距离之比等于相似比．【例7】如图，请在8×8的正方形网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图，△A′B′C′为所求的三角形．高效课堂教学设计1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握画位似图形的方法．▲重点理解并掌握位似图形的定义、性质及画法．▲难点位似图形的多种画法．◆活动1 新课导入在日常生活中，我们经常看到下面这些相似的图形，它们有什么特征呢？◆活动2 探究新知1．教材P47.提出问题：(1)观察图27.31和图27.32，两个图形中对应点的连线有什么共同特征？(2)位似图形和相似图形有什么联系与区别？(3)如何判断两个图形是否是位似图形？学生完成并交流展示．2．教材P47图27.32，P48第1个探究．提出问题：(1)如何利用位似将一个图形放大或缩小？(2)画位似图形的一般步骤是什么？(3)画位似图形时需要注意什么问题？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．这时的相似比又称为位似比．2．位似图的性质：(1)位似图形一定相似，位似比等于__相似比__；(2)位似图形对应点和位似中心在__同一条直线上__；(3)任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比；(4)对应线段__平行__或者在__同一条直线上__．3．总结画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．◆活动4 例题与练习例1 如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( B )A.2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F例2 如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．解：∵矩形ABCD的周长为24，∴AB＋AD＝12.设AB＝x，则AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x.∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，∴ABAB′＝ADAD′，即xx＋4＝12－x14－x，解得x＝8，∴AB＝8，AD＝12－8＝4.例3 如图，△ABC 与△A′B′C′关于点O 位似，BO ＝3，B ′O ＝6.(1)若AC ＝5，求A′C′的长；(2)若△ABC 的面积为7，求△A′B′C′的面积．解：(1)∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，BO ∶B ′O ＝3∶6＝1∶2，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为12，∴AC A′C′＝12，即5A′C′＝12，∴A ′C ′＝10；(2)由(1)，得S △ABC S △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即7S △A ′B ′C ′＝14，∴S △A ′B ′C ′＝7×4＝28.练习1．教材P 48 练习第1，2题．2．下列说法正确的是( C )A ．分别在△ABC 的边AB ，AC 的反向延长线上取点D ，E ，使DE∥BC，则△ADE 是△ABC 放大后的图形B ．两位似图形的面积之比等于相似比C ．位似多边形中对应对角线之比等于相似比D ．位似图形的周长之比等于相似比的平方3．已知四边形ABCD 和位似中心点O ，画出它的位似图形A′B′C′D′，且四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 的相似比为1∶2.(画一个)解：如图所示：◆活动5 完成附赠手册◆活动6 课堂小结1．位似图形的概念．2．画位似图形的一般步骤．1．作业布置(1)教材P51习题27.3第1，2题；(2)学生用书对应课时练习．2．教学反思。
新人教版九年级数学下册《第二十七章 相似 》全章教案
新人教版九年级数学下册《第二十七章相似》全章教案本文已经没有格式错误和明显有问题的段落了，但是可以对每段话进行小幅度的改写，以增强文章的流畅性和可读性。
第一节课重点讲解了相似图形的概念和运用方法。
通过一些日常生活中的例子，让学生们理解了相似图形的形状和大小可以不同，但是它们的形状相同。
同时，老师还通过线段的长度比例的例子，让学生们理解了相似图形的比例关系。
在例题讲解中，老师通过选择题的形式，让学生们运用相似图形的特征，判断哪个图形与左边的图形相似。
同时，老师还给出了一道关于比例尺的例题，让学生们运用相似图形的知识，计算出实际距离。
第二节课重点讲解了相似多边形的主要特征和识别方法。
老师让学生们了解到相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
通过一些实例，让学生们学会了如何识别相似多边形，并运用其性质进行计算。
总的来说，本章节的教学目标是让学生们掌握相似图形和相似多边形的概念和运用方法。
通过一些生动的例子和实例，让学生们更好地理解和掌握知识点。
在研究第26页的内容时，学生需要了解判别两个多边形是否相似的条件。
这些条件包括对应角是否相等，对应边的比是否相等，这两个条件缺一不可。
如果要说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或者举出合适的反例。
在解决这个问题时，依靠直觉观察是不可靠的。
课堂引入：1.对于图中的两个相似的四边形，它们的对应角和对应边的比是否相等。
2.相似多边形的特征是对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3.相似比是相似多边形对应边的比。
4.当相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形。
例1（补充）（选择题）：下列说法正确的是D。
因为任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似。
例（教材P26例题）：要求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可以根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题。
人教版九年级下册数学导学案 第二十七章 相 似
第二十七章 相 似第一课时 图形的相似课前自习1.同学们，我们以前学习过两个图形全等，如果两个图形可以完全重合，那么我们称这两个图形全等。
也就是说两个图形的 和 都相同。
2.那什么是相似呢？指的是两个图形的 相同，大小不一定相同的两个图形。
两个相似图形也可以看成是其中一个图形进行 或 得出另一个图形。
例如，在实际生活中我们都能抵到很我相似的例子，比如一个同学的相片与他本人，地球仪的现实的地球，请大家想想，说出一个与相似有关的例子：练习：P37第1、2题3.相似多边形是指形状相同的多边形，例如：边长为2cm 与一个边长为6cm 的正六边形，它们除了大小不一样外，形状都是一样的。
4.相似多边形的对应边成比例，这些线段是比例线段，对应角都 。
例如：4cm1.75cm 1cm 2cm 1.5cm8cm3.5cm2cm4cm3cmF'E'C'D'FBCDEB'这两个五边形的相似的，表示为：五边形'''''BC D E F BCDEF :五边形,其中“:”为相似符号，我们再不观察一下它们的边长，BF 的对应边是： BC 的对应边是： CD 的对应边是： DE 的对应边是： EF 的对应边是：''''''''''B F B C D C D E E F (____)=====BF BC DC DE EF (____)所以称这五条线段为比例线段。
我们报把这个对应边的比称为： ，例如这里的相似比为： 同学们也可以观察它们的对应角的关系。
对应角 。
5.同学们，我们以前学习的全等是用” ≅”表示的，从全等和相似的符号来看全等就比相似多了一个等号，它们是有一定关系的，例如，全等三角形对应边相等，对应用相等，而相似呢？是对应边成比例，对应角相等，如果两个图形的相似比为1时，就说时这两边也相等了，例如：''''''''''B F BCD C DE EF =====1BF BC DC DE EF那么就得出'''''''''',,,,BF B F BC B C DC D C DE D E EF E F =====，那么这两个五边形就全等了，所以全等可以视为相似比为 时的特殊情况。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案2
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案【明确目标】1．了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定方法．(平行线分线段成比例定理及预备定理)2．经历用类比三角形全等知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，进一步探索相似三角形的预备定理． 3．在观察、发现、探索相似三角形判定的过程中，感受在学习中合作交流的乐趣，增强学习数学的兴趣．【自主预习】1．阅读教材P29—31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理．并尝试完成自主预习区．2．预习反馈：学生独自完成集体订正．①如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，则△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为__________．第①题图 第②题图 第③题图②如图l 1、l 2分别被l 3、l 4、l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与_______对应，BC 与_______对应，DF 与_______对应；(___)(___)AB BC =，(___)(___)AB DF =，(___)(___)(___)(___)AB DE ==. ③如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=1．三个角分别__________，三条边__________的两个三角形相似．2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段__________.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形__________．4．如图，若AB ∥CD ，则△__________∽△__________，._________AB BO AO == 【合作探究】活动1 新知探究(预备定理)1．提出问题如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ，△ADE与△ABC有什么关系?2．合作探究分析：观察上图，易知AD=12AB，AE=12AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，从而得出△ADE≌△ABC，相似比为12．3．延伸问题改变点D在AB上的位置，先让学生猜想△ADE与△ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证．4．知识归纳平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．活动2 新知运用例如图所示，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，试求AE：EC 的值．【当堂反馈】教材P31页练习1、2知识点一相似三角形的定义1．已知△ABC∽△A'B'C'，当AB：A'B'=l时，△ABC∽△A'B'C'__________．若AB：A'B'=1：2，则△A'B'C'与△ABC的相似比为__________．2．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC=1，则EF的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4知识点二平行线分线段成比例3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=第3题图 第4题图 第5题图4．如图，直线l 交△ABC 的边AB 、AC 的延长线于点D 、E ，且l ∥BC ．若53AD AB ，且AE=10，则AC=__________，EC=__________. 知识点三 相似三角形判定的引理5．如图，BC ∥DE ∥FG ，图中有_______对相似三角形．6．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是( )A ．12B ．32C ．52D ．72【拓展提升】1．如图所示，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A ．1对B 2对C ．3对D ．4对2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ，点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1)直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝__________，PD ＝__________；(2)是否存在f 的值，使四边形PDBQ 为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【课后检测】一、选择题1．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ．则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对第1题图 第2题图2．如图，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1，则AE ：EC 为( )A ．5：2B ．4：1C ．2：lD ．3：2二、填空题3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__________.第3题图 第4题图4．如图所示，尹颖在打网球时，击球点距球网的水平距离为4m ，已知网高为0.4m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网2m 的位置，则球拍击球的高度h 为_______m ．三、解答题5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 在直线l 1上，D ，E 在直线l 2上，C 在直线l 3上，且AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ABAD 的值； (2)求BC 的长．6．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有几对相似三角形?分别是哪几对?。
2021年人教版九年级数学下册第二十七章《位似(二)》导学案.doc
新人教版九年级数学下册第二十七章《位似（二）》导学案 课题 27. 3 位似（二） 课 型 新授 主备人 备课组审核级部审核 学生姓名 教师寄语 学而不思则罔，思而不学则殆。
学习目标 1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．一、新知链接1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：二、合作探究例1（教材P63的例题）解：问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．三、课堂练习1．△ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO 与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．2．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．4．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．四、课堂小结：本节课你的收获是什么？自我评价专栏(分优良中差四个等级)自主学习：合作与交流：书写：综合：。
新人教版初中数学九年级下册27章精品导学案(52页)
课题 27.1 图形的相似 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数； （2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a cb d=或::a b c d =； （3）若四条线段满足a cb d=，则有ad bc =． 例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 4、填空题形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。
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课题 27.1 图形的相似 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念 ．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数； （2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a cb d=或::a b c d =； （3）若四条线段满足a cb d=，则有ad bc =．例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.4、填空题形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。
5．观察下列图形，指出哪些是相似图形：6．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；（大）长是_______cm，宽是_______cm ； （2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？7．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？8．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？课题 27.1 图形的相似 2班级：____________姓名：____________导学目标知识点：知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进 行相关的计算．课 时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程：一、自主探究（课前导学）1、观察图片，体会相似图形性质(1) 图中的111A B C ∆是由正ABC ∆放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？(2) 对于图中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？(3)什么叫成比例线段？(阅读课本回答)二、合作探究（课堂导学）实验探究：如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等． 结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______． 反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在ABC ∆和111A B C ∆中若111;;A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠．111111C A ACC B BC B A AB == 则ABC ∆和111A B C ∆相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．例1下列说法正确的是（ ）A ．所有的平行四边形都相似B ．所有的矩形都相似C ．所有的菱形都相似D ．所有的正方形都相似例2、如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）已知四边形ABCD 与四边形111A B C D 相似，且11111111:::7:8:11:14AB BC C D D A =，若四边形ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题． 解：拓展延伸（课外练习）：1．ABC ∆与DEF ∆相似，且相似比是23，则D E F ∆ 与ABC ∆与的相似比是（ ）．A ．23 B ．32 C ．25 D ．492．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．4．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．5．已知四边形ABCD 和四边形1111A B C D 相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形1111A B C D 的最短边的长是6cm ，那么四边形1111A B C D 中最长的边长是多少？6．如图，AB ∥EF ∥CD ，4CD =，9AB =，若梯形CDEF 与梯形FEAB 相似，求EF 的长．7．如图，一个矩形ABCD 的长A D a c m =，宽A B b c m =，,E F 分别是,AD BC AD 的中点，连接,E F ，所得新矩形ABFE A 与原矩形ABCD 相似，求:a b 的值．课后反思：小组评价： 教师评价：课题 27.2.1相似三角形的判定 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．理解掌握平行线 分线段成比例定理课 时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程：一、自主探究（课前导学）1、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k AC CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比．反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆， 则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． 问题：如果1k =，这两个三角形有怎样的关系？明确 （1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆∽'''A B C ∆; （3）相似比是带有顺序性和对应性的：当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k． 二、合作探究（课堂导学）实验探究：(1) 如图,任意画两条直线1l , 2l ,再画三条与1l , 2l 相交的平行线3l ,4l ，5l 分别量度3l , 4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l , 上截得的两条线段DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?任意平移5l , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?(2) 问题，()::AB AC DE =，()::BC AC DF =．强调“对应线段的比是否相等” (3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；做一做 如图，若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出EKKF= _____ =_____，ABAC=____=______。
求FK 的长?实验探究：(2) 平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如下左图，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？思考、如果把图中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图上右图，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？归纳总结：平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.做一做：三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.拓展延伸（课外练习）：1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．3 、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC，364EB=，153DF=，求：AE的长。