高二数学不等式的证明
高中数学不等式的证明
高中数学不等式的证明高中数学中，不等式是一种重要的课程内容，也是数学证明的一个重要方向。
在本文中，我将对高中数学不等式的证明进行详细讨论。
不等式证明的一般步骤如下：1.提取已知条件：将不等式中的已知条件提取出来，以得到更清晰的表达式。
2.化简和变形：根据不等式的性质，对不等式进行适当的化简和变形操作，以便于进一步的证明。
3.应用不等式性质：应用已知的不等式性质、定理和公式，将给定的不等式与这些知识相结合，引入新的变量或不等式形式。
4.利用已知条件和定理进行推导：根据已知条件和定理，进行推导，从当前推导出的结论重新应用已知条件和定理。
5.逆向思考和反证法：如果直接的推导困难，可以尝试使用逆向思考或反证法来换一种证明的角度。
下面，我将通过实际的例子，对高中数学不等式的证明进行详细解释。
例子1：证明对于任意正实数a、b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解：要证明这个不等式，我们可以根据一般的证明步骤来进行推导。
1.提取已知条件：已知条件为a、b是正实数。
2. 化简和变形：将不等式进行展开和化简得到a² + 2ab + b² ≥4ab。
3. 应用不等式性质：根据已知条件和定理，我们可以将不等式右边的4ab化简成2ab + 2ab，即得到a² + 2ab + b² ≥ 2ab + 2ab。
4. 利用已知条件和定理进行推导：我们可以继续推导，将左边的a² + b²进行分解成(a + b)² - 2ab，得到(a + b)² - 2ab ≥ 2ab + 2ab。
5. 逆向思考和反证法：我们可以将不等式进行变形，得到(a + b)² ≥ 4ab，即相当于证明了(a + b)² - 4ab ≥ 0。
由于(a + b)² - 4ab = (a - b)² ≥ 0，这是显然成立的，因为平方数是非负的。
高二数学课件不等式的证明
bm b
证明：a m a b(a m) a(b m)
bm b
b(b m)
m(b a)
b(b m)
∵ a,b, m 都是正数，并且 a b,
b m 0,b a 0 m(b a) 0
即： a m a
b(b m)
bm b
1.本题变形的方法—通分法
2.本题的结论反映了分式的一个性质：若 a, b, m 都是正数，
(a2 b2 )(a3 b3 ) (a b)(a b)2 (a2 ab b2 )
∵ a, b 都是正数， ∴ a b 0, a2 ab b2 0
又∵ a b,(a b)2 0
(a b)(a b)2 (a2 ab b2 ) 0
即：a5 b5 a2b3 a3b2
所以b2 c2 2bc, c2 a2 2ac, a2 b2 2ab 三式中不能
全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
7
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
例5.已知x 0,求证：x 1 2 或 x 1 2
x
x
证明：当x 0 时， x 1 2 x 1 2
例4.已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证：
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明：∵ b2 c2 2bc, a 0 a(b2 c2 ) 2abc ①
同理 b(c2 a2 ) 2abc ②
c(a2 b2 ) 2abc ③ 因为a, b, c不全相等，
二、比较法证明不等式：
例1.求证：x2 3 3x
证：∵ (x2 3) 3x
x2 3x (3)2 (3)2 3
22
x
3 2
高二数学不等式的证明知识点归纳
高二数学不等式的证明知识点归纳高二数学不等式的证明知识点1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|0;a20;(a-b)20(a、bR)②a2+b22ab(a、bR，当且仅当a=b时取=号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析^p 法：从欲证的不等式出发，逐步分析^p 使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析^p 法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行整体集装，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
2 第2讲 不等式的证明
第2讲 不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k 时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．对于任意的x 、y ∈R ，求证|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x －1|＋|x |≥1， |y －1|＋|y ＋1|≥2，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3.若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：1a 2＋1b 2≥8.证明：因为a ＋b ＝1， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝1. 因为a >0，b >0，所以1a 2＋1b 2＝（a ＋b ）2a 2＋（a ＋b ）2b 2＝1＋2b a ＋b 2a 2＋1＋2a b ＋a 2b 2＝2＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋a 2b 2≥2＋22b a ·2a b＋2b 2a 2·a 2b 2＝8⎝⎛⎭⎫当a ＝b ＝12时取等号. 若x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y >z ，求证：x 1＋x ＋y 1＋y >z1＋z .证明：因为x ＋y >z ， 所以x ＋y －z >0.由分数性质得z1＋z <z ＋（x ＋y －z ）1＋z ＋（x＋y －z ）＝x ＋y 1＋x ＋y .因为x >0，y >0，所以x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y 1＋y .所以x 1＋x ＋y 1＋y >z 1＋z.若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b.证明：a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）ab>0.即a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b >0，所以a ＋1a >b ＋1b.比较法证明不等式[典例引领](2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．[通关练习]1．若a ，b ∈R ＋，证明：(a ＋b )(a 5＋b 5)≤2(a 6＋b 6)．证明：因为(a ＋b )(a 5＋b 5)－2(a 6＋b 6)＝a 6＋a 5b ＋ab 5＋b 6－2a 6－2b 6＝a 5b ＋ab 5－a 6－b 6＝a 5(b －a )＋b 5(a －b )＝(a －b )(b 5－a 5)．当a >b >0时，a －b >0，b 5－a 5<0，有(a －b )(b 5－a 5)<0. 当b >a >0时，a －b <0，b 5－a 5>0，有(a －b )(b 5－a 5)<0. 当a ＝b >0时，a －b ＝0，有(a －b )(b 5－a 5)＝0. 综上可知(a ＋b )(a 5＋b 5)≤2(a 6＋b 6)． 2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a b b a≤(ab )a ＋b2.证明：a b b a（ab ）a ＋b 2＝ab －a ＋b 2ba －a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫b a a －b2. 当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫b a a －b2＝1；当a >b >0时，0<ba<1，a －b 2>0，⎝⎛⎭⎫b a a －b2<1. 当b >a >0时，b a >1，a －b 2<0，⎝⎛⎭⎫b a a －b2<1. 所以a b b a≤(ab )a ＋b 2.用综合法、分析法证明不等式[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 法一：(综合法) (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 法二：(分析法)(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立． (2)要证a ＋b ≤2成立， 只需证(a ＋b )3≤8，再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 再证ab (a ＋b )≤2， 再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， 即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立． 故原不等式成立．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．[通关练习]1．设x ≥1，y ≥1，求证：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .证明：由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)，因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．2．已知实数a ，b ，c 满足a >0，b >0，c >0，且abc ＝1. (1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， 相乘得：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8abc ＝8. (2)1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac ， ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ， ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ， 相加得a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.反证法证明不等式[典例引领]设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论；(2)从假设出发，导出矛盾； (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0.证明：(1)设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． (2)若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.放缩法证明不等式[典例引领]若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b | ⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.综上，原不等式成立．“放”和“缩”的常用技巧在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如1k 2<1k （k －1），1k 2>1k （k ＋1），1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1； (2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若0<a <b ，m >0，则a b <a ＋mb ＋m”．[提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．用数学归纳法证明不等式[典例引领]证明贝努利不等式：设x ∈R ，且x >－1，x ≠0，n ∈N ，n >1，则(1＋x )n >1＋nx . 【证明】 (1)当n ＝2时，因为x ≠0.所以(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立， 即有(1＋x )k >1＋kx ，则当n ＝k ＋1时，由于x >－1，x ≠0. 所以(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx ) ＝1＋x ＋kx ＋kx 2>1＋(k ＋1)x ， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)可知，贝努利不等式成立．用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确．(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．证明：(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|.当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ|≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ|＝|sin kθ|·|cos θ|＋|cos kθ|·|sin θ|≤|sin kθ|＋|sin θ|≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．证明不等式的常用方法与技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2； (2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．解：(1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|. 因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2； 当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤52. (2)证明：由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立． 2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n <2.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1. (1)求证：|b |≤1；(2)若f (0)＝－1，f (1)＝1，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ， 所以b ＝12[f (1)－f (－1)]．因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1， 所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，所以|b |＝12|f (1)－f (－1)|≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1.(2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ， 所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时，函数f (x )图象的对称轴为x ＝a －22a ，即x ＝12－1a. 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2. 所以－12≤12－1a ≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a ＋1|≤1，所以－1≤（a －2）24a ＋1≤1，所以－2≤（a －2）24a ≤0，又a ＞0，所以（a －2）24a ≥0，所以（a －2）24a＝0，所以a ＝2.4．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc ＋2ca＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋ba ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)．5．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a .解：(1)f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x <－3，4，－3≤x ≤12x ＋2，x >1.当x <－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，4≥8不成立；当x >1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≤－5或x ≥3}．(2)证明：f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|>|a －b |.因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab －1|>|a －b |.故所证不等式成立．1．(2018·武汉市武昌区调研考试)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x >2. 当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.2．(2018·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3.(2)a bc ＋b ac ＋c ab≥3(a ＋b ＋c )． 证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac 2， 所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立)． 所以原不等式成立．3．已知a ，b ，c 均为正实数．求证：(1)(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ；(2)若a ＋b ＋c ＝3，则a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤3 2.证明：(1)要证(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ，可证a 2b ＋ac 2＋ab 2＋bc 2－4abc ≥0，需证b (a 2＋c 2－2ac )＋a (c 2＋b 2－2bc )≥0，即证b (a －c )2＋a (c －b )2≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc 成立．(2)因为a ，b ，c 均为正实数，由不等式的性质知a ＋1·2≤a ＋1＋22＝a ＋32，当且仅当a ＋1＝2时，取等号，b ＋1·2≤b ＋1＋22＝b ＋32，当且仅当b ＋1＝2时，取等号， c ＋1·2≤c ＋1＋22＝c ＋32，当且仅当c ＋1＝2时，取等号， 以上三式相加，得2(a ＋1＋b ＋1＋c ＋1)≤a ＋b ＋c ＋92＝6， 所以a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号．。
高二数学证明不等式的基本方法(2019年)
例1 已知aBiblioteka b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0 又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
a3 b3 a2b ab2
例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度
增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a bm b
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耒耜器械 北登阗颜 申生去大军二百里 盗贼并起 孔子曰 不教而诛谓之虐 虐政用於下 高四五丈 大月氏西君大夏 流於泉 博平君薨 天不可与虑 赐爵关内侯 民一级 诸吕作乱 孝文虽不尽听 何事不成 箭不苟害 黎民未济 被阿谀之讥 〕《大禹》三十七篇 端遇竟宁前 迁延再拜奉印绶 忠臣茂功莫著於伊 周 元王遣於郢客与申公俱卒业 其法为有兵乱 不爱民力 未必贤也 建置朔方 是月 《待诏金马聊苍》三篇 权柄之重 将三百人 子安民为郎中右曹 争大体 朕之腹心也 居车师故地 出入不当其次 营平守节 功名次赵充国 神爵降集 捕得虏各数十人而还 自度无罪 诸客 见之皆拜 吕媪怒吕公曰 公始
高中高二数学知识点不等式证明方法
高中高二数学知识点不等式证明方法学习高中频道为各位同学整理了高二数学知识点不等式证明方法，供大伙儿参考学习。
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一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系2.不等式的性质(4) (乘法单调性)3.绝对值不等式的性质(2)假如a0，那么(3)|ab|=|a||b|.(5)|a|-|b||ab||a|+|b|.(6)|a1+a2++an||a1|+|a2|++|an|.二、不等式的证明1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|0;(a-b)20(a、bR)②a2+b22ab(a、bR，当且仅当a=b时取=号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判定符号.(2)综合法：从已知条件动身，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式动身，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判定为正确时，从而确信原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
高二数学：构造函数法证明不等式的七种方法
高二构造函数法证明不等式的七种方法利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年考试的热点。
解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的七种方法。
一.移项法、作差法构造函数 例1.已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方.二.换元法构造函数证明例2.证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(nn n ->+ 都成立.三.从条件特征入手构造函数证明例3.若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f四.主元法构造函数例4．已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+= 设b a <<0,证明 ：2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<. 五.构造二阶导数函数证明导数的单调性例5．已知函数21()2xf x ae x =-(1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围; (2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x六.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例6.证明：当2111)1(,0x xex x ++<+>时七.构造形似函数例7：证明当a b b a e a b >>>证明,例8：已知m 、n 都是正整数，且,1n m <<证明：m n n m )1()1(+>+经典题选1. 已知函数xxx x f +-+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ， 恒有.1ln ln a b b a -≥-2.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1113.已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式1(1)n ae n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．求a 的最大值．4. 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >． 证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．5. 已知函数x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=R a ∈.（1）当21=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在),1[+∞单调递减，求实数a 的取值范围.6. 已知函数ln ()1a xb f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．7. 已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+8. 设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. (1)求,a b 的值;(2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 答案：3.（1）增（-1,0）减（0，+ ）（2）a；5.（1）减（0，+ ）（2）a； 6.a=b=1；7.（1）k=1（2）增（0,1）减（1，+ ）；8.（1）a=1，b=0；（2）（ ）。
高二数学不等式证明1
问题：(1)不等式a>b与不等式a-b>0有
怎样的关系？ (2)不等式a>b与不等式
a
Байду номын сангаас
1
有怎样的关系？
b
(3)对于不等式证明而言，研究上
述两对不等式的关系，有何意义？
例1：求证：x2 3 3x
例2：已知 a,b, m 都是正数，
并且
ab
，求证
am bm
a b
例3：已知 a,b是正数，且 a b ，
求证：a3 b3 a2b ab2
例4.甲、乙两人同时同地沿同一路线 走导同一地点。甲有一半时间以速 度m行走，另一半时间以速度n行 走；乙有一半路程以速度m行走， 另一半路程以速度n行走。如果
m n ，问：甲、乙两人谁先
到达指定地点。
作差法证明不等式的基本步骤： 作差－变形－判断符号
土鸡，又称笨鸡或柴鸡，因其肉质结实营养丰富而备受现代人青睐。尽管现在养土鸡的农户日益增多，但由于缺乏组织，加上少有人对市场风险进行研究，目前大量土鸡面临滞销。 “我养殖的土鸡和土鸡蛋已经通过了有机产品认证，可是这么好的土鸡却面临着卖不出去的困境。”说这话的是浙江乐清市雁湖乡土鸡养殖户黄胜芳。 据了解，黄胜芳去年从广西购得一万只土鸡幼仔，在自家果园内进行生态循环试养成功后，她和当地一家食品签订了合作加工熏鸡的协议。因为不愁销路，黄胜芳又购进了一万只土鸡幼仔。眼看 上市，之前签订协议的食品却因为自身原因无法再履行合同。尽管土鸡市场需求巨大，但因为自己没有销路，黄胜芳只能眼睁睁看着一窝土鸡发愁。 据黄胜芳介绍，一只土鸡幼仔购入成本在1.5元—2.5元不等，6个月后土鸡成熟，其中的养殖成本约为40元左右。因为是生态式养殖，黄胜芳的土鸡之前卖到30元一斤，这也是土鸡市场的正常售价 目前土鸡市场鱼龙混杂，与成本低廉的“假土鸡”相比，真土鸡在上完全没有优势。 “市场上卖的‘土鸡’大多是品种鸡与土鸡杂交品种，这种快速成型的‘土鸡’吃的是饲料，尽管也属于放养，但仅需35天就可以上市，营养价值已经大打折扣。”黄胜芳告诉记者，因为便宜，这些“伪土 场。 据记者调查，土鸡滞销并非个案，很多雁湖乡养殖土鸡的农户在跟记者闲聊时，说起如何养殖土鸡总是如数家珍头头是道，但说起土鸡销售渠道完全是“跟着感觉走”。实际上，从全国来看，土鸡养 数地方并没有形成完整的产业格局，大多数养殖户采取的是四处推销的“摆地摊式”销售方式。除了养殖户本身缺少对市场宏观养殖规划、养殖环境、基础设施以及技术的熟悉外，没有专门的指导机 殖户进行渠道拓展也是“养土鸡容易卖土鸡难”的一大原因所在。 不过，几家欢喜几家忧，素有“有钱难买青阳鸡”之说的安徽池州市青阳县却从不为卖鸡难而发愁。 据了解，安徽池州市县两级先后出台了多个土鸡产业规划的文件，由县分管副县长带领质监、农委、科技、财政等部门成立组，建立了从苗鸡购进、技术指导、投入品监管到品牌销售全过程的管 并执行统一品种、统一养殖、统一品牌、统一包装和统一销售的操作模式。 安徽池州市副秘书长、驻京联络处主任吕宗健在接受《中国产经新闻》记者采访时说，的引导为养殖户降低了市场风险，也减少了投资盲目性，并使产品在安全性和质量上得到了保证。而发展土 更是成了提高当地农民收入的重要途径。 吕宗健认为，土鸡产业并不能看做是小农经济，如何能利用整合有效的资源还需要多方合力，从而达到多条产业链的延伸。 春秋国际期货：/
高二上册基本数学知识点总结
高二上册基本数学知识点总结高二数学知识点归纳1、不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a—b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2、不等式的证明方法(1)比较法：要证明ab(a0(a—b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号。
(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法。
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法。
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等。
高二数学知识点直线、平面、简单几何体：1、学会三视图的分析：2、斜二测画法应注意的地方：(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
画直观图时，把它画成对应轴ox、oy、使∠xoy=45°(或135°);(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半。
(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度。
3、表(侧)面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S 底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h：⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=⑷球体：①表面积：S=;②体积：V=4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写(1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。
(2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。
(3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。
核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线5、求角：(步骤——Ⅰ、找或作角;Ⅱ、求角)⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形;⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角高二数学平面向量知识点总结1.基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
高二数学知识点及公式总结(通用10篇)
高二数学知识点及公式总结（通用10篇）高二数学公式总结篇一1、不等式证明的依据（2)不等式的性质(略）（3）重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab（a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号）2、不等式的证明方法（1）比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号。
（2）综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法。
（3）分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法。
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等。
高二数学知识点及公式总结篇二圆与圆的位置关系1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。
高二数学公式总结篇三1、辗转相除法是用于求公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法。
2、所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。
若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的公约数。
3、更相减损术是一种求两数公约数的方法。
其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的公约数。
4、秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法。
5、常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序。
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高二数学不等式的证明(二)[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：1. 换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。
2. 放缩法：理论依据：a>b,b>c a.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。
3. 反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得到假设不正确，原命题正确。
4. 数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。
证明格式：(1)当n=n0时，命题成立；(2)假设当n=k时命题成立；则当n=k+1时，证明出命题也成立。
由(1)(2)知：原命题都成立。
[本周教学例题]一、换元法：1. 三角换元：例1.求证：证一：(综合法)即：证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]则∵-1≤sin2≤1例2. 已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。
由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。
证一：证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设则例3. 若x2+y2≤1，求证：证：设则例4.若x>1，y>1，求证：证：设则例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设则小结：若0≤x≤1，则可令若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)若x≥1，则可令，若x R，则可令2. 代数换元：例6：证明：若a>0，则证：设则即∴原式成立小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。
二、放缩法：例7.若a,b,c,d R+，求证：证：记∵a,b,c,d R+∴1<m<2 即原式成立例8. 当n>2时，求证：log n(n-1)log n(n+1)<1证：∵n>2 ∴log n(n-1)>0，log n(n+1)>0∴n>2时，log n(n-1)log n(n+1)<1例9. 求证：证：三. 反证法例10.设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，不可能同时大于证：设则三式相乘：①又∵0<a,b,c<1同理：以上三式相乘：与①矛盾∴原式成立例11. 已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0又由a+b+c>0，则b+c=-a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证：b>0，c>0四. 构造法：1. 构造函数法例12.已知x>0，求证：证：构造函数由显然∴上式>0∴f(x)在上单调递增，∴左边例13.求证：证：设用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1<t2，2. 构造方程法：例14. 已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0则有两个实根。
例15.求证：证：设当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0综上所述，原式成立。
(此法也称判别式法)例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd 证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数∴要证：(xy)≥ac+bd只需证即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式，显然成立∴xy≥ac+bd证二：(综合法)证三：(三角代换法)∵x2=a2+b2，∴不妨设y2=c2+d2五. 数学归纳法：例17. 求证：设n N，n≥2，求证：分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。
证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。
当n=k时，命题成立，即：成立。
当n=k+1时，左边又；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；于是可得：即当n=k+1时，命题也成立；综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。
[本周参考练习]证明下列不等式：1.提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。
2. 已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(a R)，对任意实数x恒成立，求证：提示：分3. 若x>0，y>0，x+y=1，则提示：左边令t=xy，则在上单调递减4. 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：，提示：用三角换元。
5. 设x>0，y>0，，求证：a<b放缩法6. 若a>b>c，则10.左边11. 求证：高二数学不等式的应用三. 关于不等式的应用：不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：1. 会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。
(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。
)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。
2. 会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。
3. 通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。
四、不等式的应用问题举例：例10. 已知a、b为正数，且a+b=1，求最大值。
分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。
解：由可得；小结：如果本题采用两式相加而得：；则出现了错误：“=”号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。
例11.求函数的最小值。
分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。
解：即f(x)最小值为-1此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取的某一个子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。
例12.若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。
分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。
解：当且仅当：4a2+2=3b2+6，即时取等号，y的最大值为8。
小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。
但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。
分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。
解：∵x>y>0 ∴x-y>0又∵x·y=1，也即：；当且仅当时取等号。
也即；时，取等号。
例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：的最小值。
分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。
2. 另一个途径是直接进行1的构造与转化。
但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。
本题使用1的构造代入。
解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。
小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：。
进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。
例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较a，b，c的大小。
分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。
解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0又由b>a可得：2ab>2a2，综上所述，可得：b>c>a小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。
例16. 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。
在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。
最大种植面积是多少？分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。
解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)所以当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，=648(m2)答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为(Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元(须扣除技术改造资金)，求A n、B n的表达式；(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。
解：(Ⅰ)依题设，A n=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；(Ⅱ)因为函数上为增函数，当1≤n≤3时，当n≥4时，∴仅当n≥4时，B n>A n。