用反证法证明等式和不等式

摘 要 许多用中 值定理或泰勒 证明的 公式 等式或不等式也可以 直接用反证法证明， 一般的教科书上很少
提及这点， 这里加以介绍
关键词 中 值定理； 泰勒公式； 反证法
中图 分类号 ０７ １２
注意我们常常要利用下列定理
达布定理 若函 ） 在区间【， 数八ｘ ａ习上有有穷的导数， 且设了（ ＜ ‘ ）则对任意的常数 ‘ ） ａ ｆ（ ， ｂ
＜ｂ有Ｆ ａ ｅ ）Ｆｘ 〕 ｂ ５ ， （ 在【， 上的连续性， ＊０得Ｆ ａ ）Ｆｘ ） ， （＋ ） （ ｆ 一 由Ｆｘ ａｂ ） （ ） ） ］ 令８ ， （ ） （ ）
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例 ４ 设八ｘ ） 在【， 上存在二阶导数， ） ＝ ｌ ＝ ， 几ｘ ＝ １证明 日 一， 若。（ ， ０ ０１ ］ 且八０ ｆ） ０摆昌 （
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同理作辅助函数 Ｈ 劝 （
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高等数学研究
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用反证法证明等式和不等式‘
李 莉 （ 圳 学 学 计 科 学 广 深 ５０ 深 大 数 与 算 学 院 东 圳 １６ ８０ ）
明在（， 内至少存在一点若使尸（ ＝ １ ） ２ ， 妇 ０ ． 证明 用反证法． 假设对一切ｘ二（，） １２ 恒有Ｆ（ 笋０则对一切ｘＥ（， ， （ ＞ 或 ’幻 ， １ Ｆｘ ０ ） ２ ’）
Ｆ（）＜０ 即 ｘ ．
注意到不可能存在这样的 情况： 二， 。（， ， ’（，Ｆ（： ＜ ． ３ １ ： １ ）使得Ｆ ：） ｘ） ０否则， 达布定理在 ｘ ２ ’ 由 ｘ， 之间 ｌ ： 存在一点ｘ， ｘ ： 使得尸（３ ＝ ， ｘ） ０这与假设矛盾． 此， 因 对一切：。（，）Ｆ（ 保持定号． １ ， ｘ ２ ’） 不失一般性， 不妨设Ｆ（ ＞ 即Ｆ（ 在（， 内 ’ｘ ０ ’ｘ ） ） １ ） ２ 严格单调递增． ’（ 在〔，〕 由于Ｆ ｘ ） １２ 上连续， 事 实上Ｆ（） １ ］ ‘ 在［， 上也是严格单调递增的， 对一切ｘ。（， ，， ）＜ ‘ ）而Ｆ（） ｘ ２ 因此， １ ）Ｆ（ ２ １ Ｆ（ ， ‘ ＝ ｘ 二
由Ｃｘ 在［， 上的连续性ｆ ８叶 （） 。１ ］ 学
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收稿日 ２ 拓 １ ０ 期：洲 一 一 １ ３
万方数据
第 １ 卷第５ ０ 期
李
莉： 用反证法证明等式和不等式
证明
用反证法． 假设对一切ｘ二（ ， ，ｆ （ ｉ ａｂ Ｉ ’ 感 ） ） ｘ
不妨设ｆ乙 ） ａ ， （ ） ｆ ）即 （
ａ
应 若对一切ｘ。（ ， ， － 且 ａｂ 有 ， ） ｂ
中的重要性， 在此仅举四例起一个抛砖引玉的作用．
参考文献
【 ｒＭ ． ｌ． ． 菲赫金哥尔茨著． 微积分学教程． 人民教育出版社， ７ １９ ９ 【 复旦大学数学系． ］ ２ 数学分析． 高等教育出版社． ８ 年第二版． ９ １３
万方数据
＜ －二－ ＜ — －丁－
ａ＋ｂ
ａ＋３ ６
ａ ＋３ ｂ
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ａ ＋３ ｂ
矛盾， 故原假设不成立， 即在（， 内 ａｂ 至少存在一点若 ’ ＝０ ） ｆ 翻 ． ，（ ） 当（ ， 为无穷区间时可类似地证明． ａｂ 例 ３ 设八ｘ ） 在【， 上连续， ａｂ 上可导， ） 为非线性函 求证存在一点若 ａ ａｂ ］ 在（， ） 且八ｘ 数， 二（
２ｘ １ ｘ ＋ ｘ １丫‘ ） ， ） ０得到Ｆ（） ０同 （） １ 〕 也 严格 （一 ） ） （一） （ ，（ 二 ， （ ｆ ｘ尸１ ‘ ＞ ． 理Ｆ： 在〔， 上 是 单调 ｘ ２
递增函数， 故对一切ｘＥ（，） （）＜ （） Ｆ２ ， １ 有Ｆ １ 尸： ＜ （）但是尸 １ Ｆ２ ０即。＜ （）＜ ２ （）＝ （）＝ ， 尸ｘ ０显然这是不可能的 所以 ， ． 原假设不成立， 在（， 内 即 １ ） ２ 至少存在一点若使尸（ ＝ ， 翻 ０ ． 例２ 设函 （） 数ｆｘ 在有穷或无穷的区间（， 中的任意点ｘ ａｂ ） 处有有限的导数ｆ‘ ）且 ｘ （ ，
再考虑区间【， ， ０。 作辅助函数Ｈ ｘ 二８ｃ － ＋二用 似 方 可 到 ， ． 」 （ ） （ｘ 专） ｆ） 类 的 法 得 。 冬 （，
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显然这两个结果互为矛盾， 故原假设不成立， 一定存在一点若二（， ， 即 ０１ 使得ｆ （ ）８ ） ” 翻 ． 事实上大量类似的问题都可以直接采用反证法， 可见反证法在证明有关微分的等式或不等式
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ｂ， ） 用反证法假设对一切ｘＥ（， 有ｆ‘ 尹０则ｆ （ ＞ 或 ａｂ ） （ ） ｘ ， ’ ） ｘ ０由
对 ｅ０＜８＜ 妨设ｆ （ ＞０即ｆｘ 在（， 内是严格单调递增函 因此， Ｖ ： ’ ） ｘ ， （） 。ｂ ） 数 二厂，＜ ＋ ａ 。￡
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ｆ（ ＜ ． ‘ ） ｘ ０注意到 不可能 这样的 存在 情况： ｘ， 。（， ， ｆ（： ‘ Ｚ ＜ ， 日 ； Ｚ ａｂ 使得 ‘ ） （ ） ０如若不然， ｘ ） ：ｆ ｘ 不 ａｂ ｆ （ 保持定号， ） ｘ 达布定理 日 ３ ａｂ， ’ ３ ０这与假设矛盾． ｘ Ｅ（， ｆ （ ）＝ ． ） 二 所以 对一切ｘ二（， ， ’ ）
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