空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案
向量数量积的运算律练习题含答案
向量数量积的运算律练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在边长为3的等边三角形ABC 中， BM →=12MC →，则BA →⋅BM →=( ) A.√32 B.32C.34D.122. 设向量a →=(cos α,sin α)，b →=(−sin α,cos α)，向量x 1，x 2，…，x 10中有4个a →，其余为b →，向量y 1，y 2，…，y 10中有3个a →，其余为b →，则x 1y 1+x 2y 2+...+x 10y 10的所有可能取值中最小的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.53. 正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP →⋅AD →的最大值为（ ） A.2 B.2√3 C.4 D.4√34. 设向量a →=(−1,2)，b →=(m +1,−m ) ，且a →⊥b →，则实数m 的值为( ) A.−13 B.13C.2D.−25. 若向量a →b →的夹角为120∘，|a →|=1，若|a →+b →|=√3，则|b →|=( ) A.1 B.2 C.√3D.326. 已知|a →|=1，|b →|=2，且a →⊥(a →+b →)，则a →在b →方向上的投影为( ) A.−1 B.1C.−12D.127. 已知两个单位向量，满足，则与的夹角是（ ）A. B. C. D.8. 已知A ，B 是圆O:x 2+y 2=16的两个动点，|AB →|=4，OC →=53OA →−23OB →，若M 分别是线段AB 的中点，则OC →⋅OM →=( ) A.8+4√3 B.8−4√3 C.12 D.49. 已知a →与b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，则|a →−3b →|=( ) A.2√3 B.√13 C.√6 D.√710. 已知e 1→，e 2→，e 3→是空间单位向量，且满足e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12，若向量b →=3λe 1→+(1−λ)e 2→，λ∈R ．则e 3→在b →方向上的投影的最大值为（ ） A.√22 B.√23C.√32D.√3311. 在平面直角坐标系中，A(1,√3)，若|OB →|=|OC →|=|OD →=1，OB →+OC →+OD →=0→（O 为坐标原点），则AD →⋅OB →的取值范围为________．12. 已知向量a →和b →满足|a →|=|a →−2b →|=√2，|a →−b →|=1，则a →⋅b →=________．13. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点，则AG →⋅DF →的值为________．14. 若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →+2b →|=√21，记a →与b →的夹角为θ，则θ＝________．15. 已知e →为单位向量，平面向量a →,b →满足|a →+e →|＝|b →−e →|＝1，a →⋅b →的取值范围是________．16. 已AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)，|BC →|＝1，则AB →⋅BC →=________．17. 已知向量a →,b →的夹角为60∘，且|a →|=1，|b →|=2，设m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →． （1）试用t 来表示m →⋅n →的值；（2）若m →与n →的夹角为钝角，试求实数t 的取值范围．18. 已知函数f(x)＝A sin (ωx +θ)(A >0, ω>0, |θ|<π2)的图象与y 轴交于点(0,32)，它在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为M(x 0, 3)、N(x 0+2π, −3)，点P 是f(x)图象上任意一点． （1）求函数f(x)的解析式；（2）已知j →=(0,1)，求j →⋅(MP →+NP →)的取值范围．19. 已知向量a →=(cos x,cos 2x)，b →=(sin (x +π3),−√3)．设函数f(x)=a →⋅b →+√34，x ∈R ．（1）当x ∈[−π6,π3]时，方程2f(x +π4)=2a −3有两个不等的实根，求a 的取值范围；（2）若方程f(x)=13在(0, π)上的解为x 1，x 2，求cos (x 1−x 2)．20. 已知平面向量a →=(2, 2)，b →=(x, −1) (Ⅰ)若a → // b →，求x(Ⅱ)若a →⊥(a →−2b →)，求a →与b →所成夹角的余弦值参考答案与试题解析 向量数量积的运算律练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ） 1.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 【解析】用CA →，CB →表示出BM →，再计算BA →⋅BM →. 【解答】解：∵ △ABC 是边长为3的等边三角形， BM →=12MC →，∴ BM →=13BC →，∴ BA →⋅BM →=BA →⋅13BC →=13×3×3×cos π3=32. 故选B . 2.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先由平面向量数量积的运算可得：又a →•⋅a →=cos 2α+sin 2α＝1，b →⋅b →=(−sin α)2+cos 2α=1，a →⋅b →=−sin αcos α+sin αcos α=0，再结合分类讨论的数学思想方法分别讨论向量x 1，x 2，…，x 10中的向量与向量y 1，y 2，…，y 10中的向量相乘求其和即可得解． 【解答】因为向量a →=(cos α,sin α)，b →=(−sin α,cos α)，向量x 1，x 2，…，x 10中有4个a →，其余为b →，向量y 1，y 2，…，y 10中有3个a →，其余为b →，又a →•⋅a →=cos 2α+sin 2α＝1，b →⋅b →=(−sin α)2+cos 2α=1，a →⋅b →=−sin αcos α+sin αcos α=0，要使x 1y 1+x 2y 2+...+x 10y 10的值最小，则向量x 1，x 2，…，x 10中的4个a →与向量y 1，y 2，…，y 10中的4个b →相乘，其和为0， 向量x 1，x 2，…，x 10中的3个b →与向量y 1，y 2，…，y 10中的3个a →相乘，其和为0，向量x 1，x 2，…，x 10中剩下的3个b →与向量y 1，y 2，…，y 10中剩下的3个b →相乘，其和为3，综上可知：x 1y 1+x 2y 2+...+x 10y 10的所有可能取值中最小的值是3， 3. 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】设BC 的中点为O ，则AP →=AB →+BO →+OP →，运用数量积公式代入计算可得AP →⋅AD →=2+2cos <OP →,AD →>，由余弦函数的有界性，即可求得最值． 【解答】 如图，设BC 的中点为O ，则O 为球心，AP →=AB →+BO →+OP →，易知<AB →,AD →>=60,AD ⊥BC ， ∴ AP →⋅AD →=(AB →+BO →+OP →)⋅AD →=AB →⋅AD →+BO →⋅AD →+OP →⋅AD →=2×2×cos 60+0+1×2×cos <OP →,AD →>=2+2cos <OP →,AD →>， 当cos <OP →,AD →>=1，即OP →,AD →方向相同时，取得最大值4． 4.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=0， 即−(m +1)−2m =0，解得m =−13.故选A . 5.【答案】 B【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据向量数量积的应用，求出b →的模长即可得到结论． 【解答】设向量a →b →的夹角为θ，|b →|=x ，∴ θ＝120∘，∵ |a →+b →|=√(a →+b →)2=√(a →)2+(b →)2+2a →⋅b →=√|a →|2+|b →|2+2|a →|⋅|b|→⋅cos θ 即：√3=√12+x 2+2⋅1⋅x ⋅cos 120， 从而解得：x ＝2或x ＝−1（舍）， ∴ |b →|=2， 6.【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】通过向量的垂直，得到向量的数量积的值，然后求解a →在b →方向上的投影． 【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，且a →⊥(a →+b →)， 可得a →2+a →⋅b →=0，所以a →⋅b →=−1． 则 a →在b →方向上的投影a →⋅b →|b →|=−12=−12．故选C . 7.【答案】 C【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】M 是线段AB 的中点⇒OM →=12OA →+12OB →，从而OC →⋅OM →=(53OA →−23OB →)⋅(12OA →+12OB →)=56OA →2−13OB →2+12OA →⋅OB →，再结合题意，可知<OA →，OB →>=60∘，|OA →|＝|OB →|＝4，故OA →⋅OB →=8，OC →⋅OM →=12． 【解答】解：因为M 是线段AB 的中点，所以OM →=12OA →+12OB →，从而OC →⋅OM →=(53OA →−23OB →)⋅(12OA →+12OB →)=56OA →2−13OB →2+12OA →⋅OB →，由圆的方程可知圆O 的半径为4， 即|OA →|=|OB →|=4， 又因为|AB →|=4， 所以<OA →，OB →>=60∘， 故OA →⋅OB →=8，所以OC →⋅OM →=56×16−13×16+12×8=12．故选C . 9. 【答案】 D 【考点】 向量的模 【解析】先根据a →，b →的大小和夹角，求向量|a →−3b →|的平方，再开方即可 【解答】解：∵ a →与b →均为单位向量，它们的夹角为60∘∴ |a →−3b →|2=|a →|2−6a →⋅b →+9|b →|2=1−6×1×1×12+9=7∴ |a →−3b →|=√7 故选D 10. 【答案】 D平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据投影的计算公式，将投影化为关于λ的函数，然后再求函数的最大值即可． 【解答】因为e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12， ∴e 3→⋅b →=e 3→•[3λe 1→+(1−λ)e 2→]=3λe 3→⋅e 1→+(1−λ)e 3→⋅e 2→=3λ2+1−λ2=λ+12．|b →|=√(3λe 2→)2+[(1−λ)e 2→]2+2⋅3λ(1−λ)e 1→⋅e 2→=√7λ2+λ+1． ∴e 3→⋅b →|b →|=λ+12√7λ2+λ+1⋯①，因为要求最大值，故不妨取λ+12>0，且令t =λ+12，则λ=t −12， 代入①式得√7(t−12)2+t−12+1=√7t −6t+94=√94t 2−6t+7⋯②，令y =94t 2−6t +7=94(1t −43)2+3≥3， 故②式≤√3=√33． 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 11.【答案】[−52,32] 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 12.【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的模【解析】把所给向量的模长平方，整理即可求得结论． 【解答】解：∵ 向量a →和b →满足|a →|=|a →−2b →|=√2，|a →−b →|=1， ∴ a →2−4a →⋅b →+4b →2=2①，a →2−2a →⋅b →+b →2=1②，a →2=2③，联立①②③可得：a →⋅b →=1． 故答案为：1. 13.【答案】 0【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】直接根据向量的三角形法则以及其数量积整理即可求出结论 【解答】∵ 窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点； 设小正方形EFGH 的边长为2，则EF ＝GF ＝1；∴ AG →⋅DF →=(AF →+FG →)⋅(DE →+EF →)=AF →⋅DE →+AF →⋅EF →+FG →⋅DE →+FG →⋅EF →=AF →⋅EF →+FG →⋅DE →=2×1×cos 0∘+2×1×cos 180∘＝0； 14. 【答案】 π3【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】对式子平方，计算a →⋅b →的值，再根据数量积的定义式计算cos θ得出答案． 【解答】∵ |a →+2b →|=√21，∴ a →2+4a →⋅b →+4b →2＝21，即1+4a →⋅b →+16＝21， ∴ a →⋅b →=1， ∴ 1×2×cos θ＝1， ∴ cos θ=12，又0≤θ≤π， ∴ θ=π3． 15. 【答案】 [−4, 12]【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】取单位向量e →=OC →，以点C 为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A 、B ，令a →=AO →，b →=OB →，由此表示单位向量，|a →|＝x ，计算a →⋅b →的取值范围． 【解答】取单位向量e →=OC →，以点C 为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点A 、B ， 令a →=AO →，b →=OB →，如图所示；设|a →|＝x ，则x ∈[0, 2]； 作圆C 的垂直于OA 的切线分别交直线OA 于B 1、B 2两点， 易得a →⋅b →≥AO →⋅OB 1→=−x(1+x2)=−x 22−x ，x ∈[0, 2]；所以a →⋅b →≥−4，当且仅当x ＝2时等号成立；a →⋅b →≤AO →⋅OB 2→=x(1−x 2)=12x(2−x)≤12⋅(x+2−x 2)2=12，当且仅当x ＝1时等号成立，即a →⋅b →≤12；综上知，a →⋅b →的取值范围是[−4, 12]． 16.【答案】 2【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的坐标运算求出t ，然后求解向量的数量积． 【解答】AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)，BC →=AC →−AB →=(1, t −3) |BC →|＝1，可得t ＝3，则AB →⋅BC →=(2, 3)⋅(1, 0)＝2．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 17.【答案】∵ m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →∴ m →⋅n →=3ta →2+(6−t)a →⋅b →−2b →2=3t +(6−t)−2×4＝2t −2； 夹角为钝角，于是m →⋅n →<0且m →与n →的不平行． 其中m →⋅n →<0⇒t <1，而m → // n →⇒t ＝−6，于是实数t 的取值范围是t ∈(−∞, −6)∪(−6, 1)． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据已知中m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →，结合向量a →,b →的夹角为60∘，代入向量数量积公式，即可表示出结论；（2）若m →与n →的的夹角为钝角，于是且m →与n →不平行，根据（1）中结论，构造关于t 的不等式组，解不等式组，即可得到实数t 的取值范围 【解答】∵ m →=3a →−b →，n →=ta →+2b →∴ m →⋅n →=3ta →2+(6−t)a →⋅b →−2b →2=3t +(6−t)−2×4＝2t −2； 夹角为钝角，于是m →⋅n →<0且m →与n →的不平行． 其中m →⋅n →<0⇒t <1，而m → // n →⇒t ＝−6， 于是实数t 的取值范围是t ∈(−∞, −6)∪(−6, 1)． 18.【答案】由题意f(x)的图象在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为M(x 0, 3)、N(x 0+2π, −3)，有A ＝3，T2=2π，即ω=2πT=12，又f(0)=32，所以3sin θ=32， 即sin θ=12，又， 所以θ=π6，即f(x)=3sin (12x +π6) 由（1）可得： 2x 0+π6=2kπ+π2， 解得x 0＝4kπ+2π3，k ∈Z又x 0>0，则x 0的最小值为2π3， 即M(2π3, 3)，N(8π3, −3)，3又j →=(0,1)，所以j →⋅(MP →+NP →)=2y ＝6sin (12x +π6)， 即j →⋅(MP →+NP →)的取值范围为：[−6, 6]， 故答案为：[−6, 6]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）由三角函数的图象得：由已知有A ＝3，T2=2π，即ω=2πT=12，又f(0)=32，所以3sin θ=32，即sin θ=12，又，所以θ=π6，即f(x)=3sin (12x +π6)（2）由平面向量数量积的性质及其运算得：由（1）可得x 0的最小值为2π3，即M(2π3, 3)，N(8π3, −3)，所以j →⋅(MP →+NP →)=2y ＝6sin (12x +π6)，即j →⋅(MP →+NP →)的取值范围为：[−6, 6]，得解 【解答】由题意f(x)的图象在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为M(x 0, 3)、N(x 0+2π, −3)，有A ＝3，T2=2π，即ω=2πT=12，又f(0)=32，所以3sin θ=32， 即sin θ=12，又， 所以θ=π6，即f(x)=3sin (12x +π6)由（1）可得： 2x 0+π6=2kπ+π2， 解得x 0＝4kπ+2π3，k ∈Z又x 0>0，则x 0的最小值为2π3， 即M(2π3, 3)，N(8π3, −3)，3又j →=(0,1)，所以j →⋅(MP →+NP →)=2y ＝6sin (12x +π6)， 即j →⋅(MP →+NP →)的取值范围为：[−6, 6]， 故答案为：[−6, 6]． 19. 【答案】由已知，有f(x)=cos x ⋅(12sin x +√32cos x)−√3cos 2x +√34=12sin x ⋅cos x −√32cos 2x +√34=14sin 2x −√34(1+cos 2x)+√34 =14sin 2x −√34cos 2x =12sin (2x −π3)．令g(x)=2f(x +π4)=sin (2x +π6)当x ∈[−π6,π3]时，令t =2x +π6，则t ∈[−π6,5π6]，且y ＝sin t 在区间[−π6,π2]上单调递增，在区间[π2,5π6]上单调递减，故2a −3∈[12,1]，a ∈[74,2)． x ∈(0, π)，令t =2x −π3，则t ∈(−π3,5π3)， 所以y =12sin (2x −π3)=12sin t,t ∈(−π3,5π3)，又因为y =12sin t,t ∈(−π3,4π3)时图象关于t =π2对称，且y ∈(−√34,12)，t ∈(4π3,5π3)时图象关于t =3π2对称，且y ∈(−12,−√34)， 所以f(x)=13等价于12sin t =13,t ∈(−π3,4π3)，则t 1+t 2＝π，且sin (2x 1−π3)=23，2x 1−π3+2x 2−π3=π， 即x 1+x 2=5π6，x 2=5π6−x 1；cos (x 1−x 2)=cos (2x 1−5π6)=cos ((2x 1−π3)−π2)=sin (2x 1−π3)=23． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）先化简解析式转化为g(x)=2f(x +π4)=sin (2x +π6)，利用整体代换求出其范围再结合单调性即可求而出结论； （2）结合三角函数的性质得到x 1+x 2=5π6，x 2=5π6−x 1；再结合余弦函数的性质即可求解 【解答】由已知，有f(x)=cos x ⋅(12sin x +√32cos x)−√3cos 2x +√34=12sin x ⋅cos x −√32cos 2x +√34=14sin 2x −√34(1+cos 2x)+√34 =14sin 2x −√34cos 2x =12sin (2x −π3)．令g(x)=2f(x +π4)=sin (2x +π6)当x ∈[−π6,π3]时，令t =2x +π6，则t ∈[−π6,5π6]，且y ＝sin t 在区间[−π6,π2]上单调递增，在区间[π2,5π6]上单调递减，故2a −3∈[12,1]，a ∈[74,2)． x ∈(0, π)，令t =2x −π3，则t ∈(−π3,5π3)， 所以y =12sin (2x −π3)=12sin t,t ∈(−π3,5π3)，又因为y =12sin t,t ∈(−π3,4π3)时图象关于t =π2对称，且y ∈(−√34,12)，t ∈(4π3,5π3)时图象关于t =3π2对称，且y ∈(−12,−√34)， 所以f(x)=13等价于12sin t =13,t ∈(−π3,4π3)，则t 1+t 2＝π，且sin (2x 1−π3)=23，2x 1−π3+2x 2−π3=π， 即x 1+x 2=5π6，x 2=5π6−x 1；cos (x 1−x 2)=cos (2x 1−5π6)=cos ((2x 1−π3)−π2)=sin (2x 1−π3)=23． 20. 【答案】（1）平面向量a →=(2, 2)，b →=(x, −1) 若a → // b →，则2×(−1)−2x ＝0， 解得x ＝−1；（2）若a →⊥(a →−2b →)，则a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=0， 即(22+22)−2(2x −2)＝0，解得x ＝3，∴ b →=(3, −1)，∴ a →与b →所成夹角的余弦值为 cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=√22+22×√32+(−1)2=√55． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角【解析】(Ⅰ)由平面向量的共线定理列方程求出x 的值； (Ⅱ)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x ， 再计算a →与b →所成夹角的余弦值． 【解答】（1）平面向量a →=(2, 2)，b →=(x, −1) 若a → // b →，则2×(−1)−2x ＝0， 解得x ＝−1；（2）若a →⊥(a →−2b →)，则a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=0， 即(22+22)−2(2x −2)＝0， 解得x ＝3， ∴ b →=(3, −1)，∴ a →与b →所成夹角的余弦值为 cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=√22+22×√32+(−1)2=√55．。
空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案
3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ， 则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。
3.1.3 空间向量的数量积运算(一)
a、 b a b cos a , b 叫做 a 、 b 的数量积,记作 a b 即 a的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量
, 则 .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
课堂练习
1. 已 知 a 2 2 , b 2 2 ,a b
2
,
则a 与b
135 的夹角大小为_____.
0, b 0
2.判断真假: 1)若 a b 0 , 则 a
2) (a b ) c a (b c ) 2 2 2 3) p q ( p q) 2 2 4) p q p q p q
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴、⑵是显然成立的 思考：你能证明分配律成立吗？
另外 a b a 及a b 0 ¿ c ¿ b c a 0或 b 0
练习运算
数量积不满足结合律即 （a b ) c a ( b c ) 注意：
A'
B'
D C
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 )
2 2 2
A B
85 | A C |
85
空间向量的数量积运算(一)
引 入 数量积运 算定义 课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
1.1.2 空间向量的数量积运算 人教A版-选择性必修第一册
图(2)
2.如图,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A', B',得到向量 A'B',向量 A'B'称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a, A'B的' 夹角就是向 量a所在直线与平面β所成的角.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”.
1.对于非零向量a,b,〈a,b〉与〈a,-b〉相等. ( ✕ ) 提示:〈a,b〉与〈a,-b〉互补. 2.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c). ( ✕ ) 提示:(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,但c与a不一定共线. 3.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ✕ ) 提示:由a·b=b·c知b·(a-c)=0,即b与a-c垂直或a=c,故a=c不一定成立. 4.若a·b=0,则a=0或b=0. ( ✕ )
所以|CD |2=CD ·CD =(CA +AB +BD )2=|CA |2+|AB |2+|BD |2+2CA ·AB +2CA ·BD +2AB ·BD =b2+a2+b2 +2b2cos 120°=a2+b2,故CD= a2 b2.
利用空间向量的数量积证明垂直
利用空间向量的数量积判断或证明线线、线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量,只 要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然 后利用向量法证明线线垂直即可. 用向量法证明垂直关系的步骤: ①把几何问题转化为向量问题; ②用已知向量表示所证向量; ③结合数量积公式和运算律证数量积为0; ④将向量问题回归到几何问题.
空间向量的数乘、数量积运算(含解析)
【答案】 60
7
10．已知正方体
的棱长为 ，则
_________________.
【答案】
【解析】
11 ． 已 知 空 间 向 量 a ， b ， c 满 足 a b c 0 ， a 3 ， b 1 ， c 4 ， 则 a b bc c a _________________．
9
15．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点
P( 3, 1) 在椭圆 C 上． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设点 Q 是椭圆 C 上的动点， F1 为椭圆的左焦点，求线段 F1Q 的中点 M 的轨迹方程；
（3）直线 l 过定点 N (0, 2) ，且与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ，若 AOB 为钝角（ O 为坐标原点），求
A.在平面 BAD1 内 C.在平面 BA1D1 内
B.在平面 BA1D 内 D.在平面 AB1C1 内
5．在正方体
中，有下列命题：
为空间任意两点,如果有
①
；②
；③ 与 的夹角为 .
其中正确命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
6．已知 a，b 是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且 AB＝4，CD＝2，则直线 a 与 b 所成
空间向量的数乘、数量积运算
班级：____________ 姓名：__________________
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 ++k
《空间向量的数量积运算》课件与同步练习
×
135
巩固练习 如图，已知空间四边形ABCD
的每条边和对角线长都等于1，点E、
F、G分别是AB、AD、DC的中点。
求下列向量的数量积：
A
(1) AB AC;(2) AD DB; E
F
(3)GF AC;(4)EF BC. B
（5）EF BA (6) EF BD
D
G C
(7) EF DC (8) EF AC (9) GE GF .
学习新知 (2)两个向量的数量积
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a
已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积，
记作：a b,即
a b a b cosa,b
A
a B1
A1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的投影向量.
第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量的数量积运算
学习新知
两个向量的夹角的定义
a
A
a
B
O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向量
的夹角就被唯一确定了，并且a,b＝b, a
a,b＝a, b a,b
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
＝0时，两向量同向共线；当θ＝____π____时，两向量反向共线，
所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝
π 2
时，两向量
__垂__直____，记作__a_⊥__b___．
[方法技巧] 对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点： (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为 0； 反向时，夹角为π.故〈→a ，→b 〉＝0 或π⇔→a ∥→b (→a ，→b 为非零向量)．
人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量的数量积运算-课时作业【含解析】
课时作业2空间向量的数量积运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于()A ．0B ．1C.12D ．－12．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为()A ．－6B ．6C ．3D ．－33．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于()A.97B ．97C.61D ．614．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．05．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是()A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能6.如图所示，在三棱锥A BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于()A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．14．(多选题)下列命题中不正确的是()A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为16.如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD.(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?课时作业2空间向量的数量积运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则AC →·AD 1→等于(B )A ．0B ．1C.12D ．－1解析：AC →·AD 1→＝(AB →＋AD →)·(AD →＋AA 1→)＝AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →2＋AD →·AA 1→＝0＋0＋1＋0＝1.故选B.2．已知m ，n 是异面直线，且m ⊥n ，e 1，e 2分别为取自直线m ，n 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为(B )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵m ⊥n ，∴e 1⊥e 2，即e 1·e 2＝0，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.故选B.3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于(C )A.97B ．97C.61D ．61解析：|2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.故选C.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中真命题的个数为(B )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：①②正确；∵AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确．故选B.5．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是(A )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能解析：由题意知|a |＝|b |，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．故选A.6.如图所示，在三棱锥A BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →等于(A)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →)＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB →，又易知DB →·DC →＝0，DA →·DC →＝0，DA →·DB →＝0，|DB →|＝|DC →|，∴AE →·BC →＝0.故选A.7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则〈a ，b 〉等于(B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据a ·(2b －a )＝0，即2a ·b ＝|a |2＝4，解得a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22，〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝45°.故选B.8．(多选题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是(ACD )A ．四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→|B.AD 1→与A 1B →的夹角为60°C ．(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2D.A 1C →·(A 1B 1→－A 1D 1→)＝0解析：如图．由AB ⊥平面BB 1C 1C 得AB ⊥BC 1，所以四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故B 错误；由向量加法的运算法则可以得AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝AC 1→，∵AC 1→2＝3A 1B 1→2，∴(AA 1→＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2，故C 正确；由向量运算可得A 1B 1→－A 1D 1→＝D 1B 1→，∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→＝0，故D 正确．故选ACD.二、填空题9．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝3π4.解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.10.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝2，EF ＝4，CA ＝CB ＝3，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，则EF →与BC →的夹角的余弦值等于16.解析：由题意可得BC →2＝9＝(AC →－AB →)2＝AC →2＋AB →2－2AC →·AB →＝9＋4－2AC →·AB →，∴AC →·AB →＝2.由AB →·AE →＋AC →·AF →＝7，可得AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝AB →2＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝4＋AB →·(－BF →)＋2＋AC →·BF →＝6＋BF →·(AC →－AB →)＝6＋12EF →·BC →＝7.∴EF →·BC →＝2，即4×3×cos 〈EF →，BC →〉＝2，∴cos 〈EF →，BC →〉＝16.11．已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为－310.解析：由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×515，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310.三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.13．在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.14．(多选题)下列命题中不正确的是(ACD )A ．|a |－|b |<|a ＋b |是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝0C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →·BC →＝12D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →＝13OA →＋23OB →＋OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面解析：由|a |－|b |<|a ＋b |，知向量a ，b 可能共线，比如共线向量a ，b 的模分别是2,3，故A 错误；在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝(AC →＋CB →)·CD →－CB →·AD →－AC →·BD →＝AC →·(CD →－BD →)＋CB →·(CD →－AD →)＝AC →·CB →＋CB →·CA →＝0，故B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝1×1×cos120°＝－12，故C 错误；由13＋23＋1＝2≠1可知P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选ACD.15．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →，则实数λ的值为1－22.解析：如图，CP →＝－AC →＋AP →＝－AC →＋λAB →，故CP →·AB →＝(λAB →－AC →)·AB →＝λ|AB →|2－|AB →||AC →|cos APA →·PB →＝(－λAB →)·(1－λ)AB →＝λ(λ－1)|AB →|2，设|AB →|＝a (a ＞0)，则a 2λ－12a 2＝λ(λ－1)a 2，解得λ＝1＝1＋22舍16.如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD .(2)试求当CDCC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD?解：(1)证明：设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .由题意得|a |＝|b |，BD →＝CD →－CB →＝a －b .CD →，CB →，CC 1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0，∴CC 1⊥BD .(2)要使A 1C ⊥平面C 1BD ，只需A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1.由CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝a 2－a ·c ＋a ·b －b ·c ＋c ·a －c 2＝|a |2－|c |2＋|a |·|b |cos θ－|b |·|c |cos θ＝(|a |－|c |)(|a |＋|c |＋|b |cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1.而由(1)知CC 1⊥BD ，又BD ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴A 1C ⊥BD .综上可得，当CDCC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .。
1.1.2 空间向量的数量积运算(分层练习)(人教A版2019选择性必修第一册)
1.1.2 空间向量的数量积运算 基 础 练巩固新知 夯实基础1.若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2.已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为 ( )A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°3.已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a 等于( )A ．12B ．8＋13C ．4D ．134.(多选)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积为0的是( )A.AD 1-→·B 1C -→B.BD 1-→·AC →C.AB →·AD 1-→D.BD 1-→·BC →5.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 6.已知空间向量a ，b ，|a |＝32，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，若m ⊥n ，则λ的值为________．7.如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .8.已知四面体OABC 的所有棱长均为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.能 力 练综合应用 核心素养9.已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( ) A. 3 B ．2 C. 5 D.610.若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能11.设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12.设a ，b ，c 是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0B ．|a |－|b |<|a －b |C ．(b ·a )c －(c ·a )b 一定不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |213在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题，其中真命题的个数为( )①(AA 1-→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C -→·(A 1B 1-→－A 1A -→)＝0；③AD 1-→与A 1B -→的夹角为60°.A ．1B ．2C ．3D ．014.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B -→·B 1C -→＝________.15.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．16.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值；(2)求FH 的长．【参考答案】1.A 解析a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时,不能成立．2. D 解析∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 3.D 解析 (2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13. 4.ABC 解析 A,当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，所以AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1-→·B 1C-→＝0；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，又AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时BD 1-→·AC →＝0；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，所以AB ⊥AD 1，所以AB →·AD 1-→＝0.5.7 解析 |a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×1×2×cos π3＋22＝7，∴|a ＋b |＝7. 6.－310 解析 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝32×5×⎝⎛⎭⎫－22＝－15，由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－310. 7. 证明 设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |.∵BD →＝CD →－CB →＝b －a ，∴BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝|b||c |cos 60°－|a||c |cos 60°＝0，∴CC 1→⊥BD →，即CC 1⊥BD .8.解 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC →2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.9.D 解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6.10.B11.B 解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，得|AB →|＝|AC →|，故△ABC 为等腰三角形．12.DB 解析 根据向量数量积的定义及性质，可知a ·b 和c ·a 是实数，而c 与b 不共线，故(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，故A 错误；因为[(b·a )c －(c·a )b ]·c ＝(b·a )c 2－(c·a )(b·c )，所以当a ⊥b ，且a ⊥c 或b ⊥c 时，[(b·a )c－(c·a )b ]·c ＝0，即(b·a )c －(c·a )b 与c 垂直，故C 错误；易知BD 正确．13.B 解析 ①②正确；∵AD 1-→与A 1B -→的夹角为120°，∴③不正确，故选B.14.a 2 解析 如图，A 1B -→＝AB →－AA 1-→，B 1C -→＝BC →－BB 1-→＝AD →－AA 1-→，∴A 1B -→·B 1C -→＝(AB →－AA 1-→)·(AD →－AA 1-→)＝AB →·AD →－AB →·AA 1-→－AA 1-→·AD →＋|AA 1-→|2＝0－0－0＋a 2＝a 2.15.解 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝P A →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A →·DA →＝P A →·AB →＝P A →·BC →＝0，∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0，∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(P A →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →)＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°， ∴PB 与CD 所成的角为60°.16. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，C ′G →＝C ′C →＋CG →＝－c －14a ， ∴EF →·C ′G →＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF →|2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34， |C ′G →|2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF →|＝32，|C ′G →|＝174， cos 〈EF →，C ′G →〉＝EF →·C ′G →|EF →||C ′G →|＝5117，所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH →＝FB →＋BC →＋CC ′→＋C ′H →＝12(a －b )＋b ＋c ＋12C ′G →＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a )＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH →|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164，∴FH 的长为418.。
人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算课后·训练提升基础巩固1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=√2,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案:B解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,所以cos<a,b>=a·b|a||b|=2×√2=√22,又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.3.已知四面体ABCD 的所有棱长都等于2,E 是棱AB 的中点,F 是棱CD 靠近C 的四等分点,则EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-12B.12C.-52D.52答案:D解析:由题意知EF ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ +14CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=-2,所以EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12×2+2+14×(-2)=52,故选D. 4.已知A,B,C,D 是空间中不共面的四点,若(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案:B解析:∵(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即AB=AC.故△ABC 为等腰三角形.5.(多选题)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,关于下列四个结论,正确的是( )A.(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2B.A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°D.正方体的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:AB解析:如图所示,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,故A 中结论正确;A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 中结论正确;AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的补角,而D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°,故AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,故C 中结论错误;正方体的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故D 中结论错误.6.已知空间向量a,b,|a|=3√2,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),<a,b>=135°,若m ⊥n,则λ的值为 . 答案:-310解析:由题意知a·b=|a||b|cos<a,b>=3√2×5×(-√22)=-15.由m ⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-310.7.如图,四面体ABCD 的每条棱长都等于2,点E,F 分别为棱AB,AD 的中点,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |= ,EF ⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为 .答案:√3π2解析:因为EF ⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos π3=2, 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ +14|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4-2+14×4=3. 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |=√3.因为EF ⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. 又<EF ⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[0,π],所以<EF ⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π2. 8.已知空间向量a,b 满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b 在a 上的投影向量为 . 答案:59a解析:∵(a-2b)·(a+b)=5, ∴|a|2-a·b -2|b|2=5,∴a·b=-4.∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=√|a |2+2a ·b +|b |2=√5. ∴cos<a,a+b>=a ·(a+b )|a ||a+b |=√53, ∴a+b 在a 上的投影向量为|a+b|cos<a,a+b>·a |a |=√5×√53×13a=59a.9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=4,E 为侧面ABB 1A 1的中心,F 为A 1D 1的中点.试计算: (1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)BF ⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)EF ⃗⃗⃗⃗ ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)∵ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b·(12c -12a +b)=|b|2=16.(2)∵BF ⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-a+12b,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c,∴BF ⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a +12b)·(a+c)=|c|2-|a|2=0.(3)∵EF ⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a+12b,FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b+a, ∴EF ⃗⃗⃗⃗ ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12c -12a +12b)·(12b +a)=14|b|2-12|a|2=2.10.如图,在四面体OACB 中,OB=OC,AB=AC,求证:OA ⊥BC.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以△OAB ≌△OAC,所以∠AOB=∠AOC.所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOC-|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOB=0,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OA ⊥BC. 能力提升1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则这两条异面直线所成的角为( ) A.30° B.60°C.120°D.150°答案:B2.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( )A.√5B.2√2C.√14D.√17答案:A解析:∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =9+1+1-2×3×1×cos60°-2×3×1×cos60°=5, ∴|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.3.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA 1=√2,则BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为( )A.-√22B.-√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.-12D.-12AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:∵BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1. 又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+2=√3, ∴cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√66, ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√22×√2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 4.如图,两条异面直线a,b 所成的角为60°,在直线a,b 上分别取点A',E 和点A,F,使AA'⊥a 且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=√23,则线段AA'的长为 .答案:4或2解析:由题意知FE ⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以FE ⃗⃗⃗⃗ 2=(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵异面直线a,b 所成的角为60°,A'E=2,AF=3,EF=√23, ∴23=9+AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4+0±2×2×3cos60°+0,∴|AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4或|AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 5.已知正三棱柱ABC-DEF 的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点,若CF 上有一点N,使MN ⊥AE,则CNCF = .答案:116解析:设CN CF=m.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×1×1×(-12)+4m=0. ∴m=116.6.在四面体OABC 中,棱OA,OB,OC 两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的重心,则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )= . 答案:143解析:由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.如图,取BC 的中点D,连接OD,AD,则AD 经过点G,且AG=23AD,所以OG⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=13(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=13×(1+4+9)=143. 7.如图,在四面体ABCD 中,AB=CD,AC=BD,E,F 分别是AD,BC 的中点,求证:EF ⊥AD,且EF ⊥BC.证明:∵F 是BC 的中点,∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又E 是AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 同理AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ∴2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴EF ⊥AD,且EF ⊥BC.8.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,∠BAA 1=∠DAA 1=π3,AC 1=√26.(1)求侧棱AA 1的长;(2)若M,N 分别为D 1C 1,C 1B 1的中点,求AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及异面直线AC 1和MN 的夹角. 解:(1)设侧棱AA 1=x,由题意知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x 2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2.∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26, 即x 2+2x-24=0. ∵x>0,∴x=4. 故侧棱AA 1=4.(2)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),第11页 共11页 ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×(1-1+2-2)=0, 故异面直线AC 1和MN 的夹角为90°.。
3.1.3 空间向量的数量积运算
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第三章
空间向量与立体几何
想一想 1.〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉相等 吗？
提示：相等；不相等．
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第三章
空间向量与立体几何
2．空间向量的数量积 (1)定义：
|a||b|cos〈a，b〉 已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的 数量积，记作a· b. |a||b|cos〈a，b〉 即a· b＝_________________．
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空间向量与立体几何
→ → 又∵|BC1 |＝ 2，|AC|＝ 2， → → BC1 · AC 1 1 → → ∴cos〈BC1 ，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2× 2 2 |BC1||AC| → → ∵〈BC1 ，AC〉∈[0° ，180° ]， → → ∴〈BC1 ，AC〉＝60° . → → ∴BC1 与AC夹角的大小为 60° .
答案：1
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ __________． 2 2 ，a· b＝－ ，则 a 与 b 的夹角为 2 2
答案：135°
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空间向量与立体几何
典题例证技法归纳题型探究来自题型一 空间向量数量积的运算 例1 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2， AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点． 求下列向量的数量积． → → (1)BC· 1； ED → → (2)BF· 1 . AB
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空间向量与立体几何
→ 1 (2)由(1)知MN＝ (q＋r－p)， 2 → 2 1 ∴|MN| ＝ (q＋r－p)2 4 1 ＝ [q2＋r2＋p2＋2(q· r－p· q－r· p)] 4 a2 a2 a2 1 2 ＝ [a ＋a2＋a2＋2 2 － 2 － 2 ] 4 1 a2 ＝ ×2a2＝ . 4 2 2 2 → ∴|MN|＝ a，∴MN 的长为 a. 2 2
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3.1.3空间向量的数量积运算（11月24日）一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ）①22AB BC CD DC +++②2233AB BC CD DA AC ++++③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a = ，BD b = ，AC c = ，则CD等于 ( ）A ．()a b c --B ．()c b a --C ．a b c --D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( ) A.(0，2π) B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为 5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠= ，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ） =BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 12、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅，所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC∙ +AC BD∙ 的值等于（ B ）DCBAA ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ，则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2B 、22C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =| MN |=31|BD |=31BD =34。