微分方程题
微分方程题
一、一阶方程
1． 求22y xy y x =+'满足1)1(=y 的特解。
解：齐次方程，令x y u =，代入2
2x xy y y -='，整理得 x dx
u u du =-)2(
积分得
1ln ]ln )2[ln(21C x u u +=--，即 22
Cx u
u =-，所以 y Cx x y 22=- 将1)1(=y 代入得1=C ，所求特解为 y x x y 22=-。
又解：方程化为22
1x y y x y =+'——贝努利方程，将方程两边同除以2y 得
21211x
y x y y =+
'--——（2），令 dx dz dx dy y z y =-=--21, 代入（2）可化为
211x z x dx dz -=-，)1(1
21
C dx e x
e z dx
x dx x
+-=⎰-⎰--⎰=)11(2C dx x x x +⋅-⎰)21(2C x x +=，即
Cx x
y +=21
1，将1)1(=y 代入得 21=C ，所求特解为 y x x y 22=-。
2．求
y
e y x y
dx dy 3+=
的通解。 解：y
e y x dy dx y
3+=
，即 y e y x y dy dx 21=-，通解 ][C e ye y x y y +-=。
3．设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)1(=f ，对任意0,0≠≠y x 有
⎰⎰
⎰
+=2
21
1
4
1
)()()(x y
y
x dt t f y dt t f x
dt t f ， （1）
求)(x f 。
解：对（1）两边对x 求导：)(2)(4)(221
3
2
x xyf dt t f x y x xyf y
+=⎰
令1=x ，得)1()(2)(1
yf dt t f y yf y
+=⎰
，两边对y 求导：)1()(2)()(f y f y f y y f +='+
即y y f y y f 2)(1)(=-
'，解此方程得：)2
()(y
C y y f -=，由2)1(=f 得4=C ，所以 24)(-=x x f 。
4．设)(x f 在0=x 处可导，且2)0(='f ，对任意x ，y 有)()()(x f e y f e y x f y x +=+ 求)(x f 。
解：令0=x 0=y ，得0)0(=f ，由导数定义得
h
x f x f e y f e h f h x f x f y x h h )
()()(lim )0()(lim )(00-+=-+='→→
=)()0(]
1)[()]0()([lim
0x f f e h
e x
f f y f e x y x h +'=-+-→ 即x e x f x f 2)()(=-'，解此方程得所求解。
5．当0>x 时，求连续函数)(x f ，使
⎰
=1
)(2)(x f dt xt f 。
解：当0>x 时，令u xt =，则等式化为
)(2)(0
x xf du u f x
=⎰
求导得0)()(2=+'x f x f x ，通解为 x
C x f =
)(。
6．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是
)
(1
x f 的一个原函数，又1)()(-=x G x F ，1)0(=f ，求)(x f 。
解：由1)()(-=x G x F 两边求导，得0)()()()(='+'x G x F x G x F ，化简得)()(x F x F ±=' 解之得 x
e C x F 1)(= 或 x
e
C x F -=2)(，故x e C x f 1)(= 或 x
e
C x f --=2)(
由1)0(=f 得11=C ，或12-=C ，所以x e x f =)( 或 x
e x
f -=)(。
7．一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为每小时700km ，经测试减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机速度成正比（比例系数6
100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
解：由牛顿定律知kv dt
dv
m -=，得t m k
Ce v -=，由700)0(0==v v ，0v C =故t m k
e v v -=0 所以飞机滑行的最长距离是km e
k
mv dt t v x t
m k
o
05.1)(0
0=-==
∞+-∞
+⎰
。
8．在xoy 平面的第一象限求一条曲线，使由其上任一点P 处的切线，x 轴，与线段OP 所围三角形的面积为常数k ，且曲线过点)1,1(。
解：设点P 的坐标为),(y x ，所求曲线方程为)(x f y =，则曲线在点P 的切线方程是
)(x X y y Y -'=-，与x 轴的交点Q 的坐标为)0,(y y
x '
-
，三角形OPQ 的面积为 k y y y x ='-)(21，即221y
k
x y dy dx -=-，解之得y k Cy x +=。将1)1(=y 代入得k C -=1 于是所求曲线为k y k xy +-=2)1(。
9．求曲线)(x y y =，使它正交于圆心在x 轴上且过圆点的任何圆。
解：圆心在x 轴上且过圆点的圆的方程为222)(a Y a X =+-，求导：02)(2='+-Y Y a X 在交点),(y x 处，y a x Y y x --
='),(，由已知条件：1-='⋅--y y
a
x ，与222)(a y a x =+-
联立，消去a ，得2
22y
x xy
y -=
'——齐次方程，解之得：222)(C a y x =-+。 10．设曲线过点)1,0(，且位于x 轴上方，就数值而言，曲线上任意两点间的弧长等于该弧以及它在x 轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求该曲线方程。 解：设所求曲线方程为)(x f y =，),(00y x 在曲线上，则
⎰⎰
='+x
x x
x dx x f dx x f 0
)()(12
求导：)(1)(2x f x f '+=，即21y y '+=，12
-±='y y ，分离变量，积分得
12)1ln(C x y y +±=-+
， x Ce y y ±=-+
12。将)1,0(代入得1=C ，所以
2
x
x e e chx y -+==。当1=y 也是解。
11．一污水处理池容量为10000立方米，开始时池中全是清水，污染物的质量浓度为
3/3
1
m kg 的污水流经处理池，水流速度为min /503
m ，污水通过处理池时每分钟可处理掉00/2的污染物，求从池中流出的水的污染物的质量浓度。 解： 污染物的质量浓度=
容积
总污染物的质量
设在时刻t ，池中污染物的总质量为)(t y ，此时从池中流出的水的污染物的质量浓度为
10000
)
(t y 。在],[t t t ∆+内，池中污染物的改变量为
y ∆=进入的污物—流出的污物—处理掉污物
=
dt t y dt t y dt )(100
25010000)(5031-⋅⋅-⋅⋅dy ≈ 整理得：350401=+'y y ，解之得3
2000401
+=-t Ce y ，0)0(=y 代入32000-=C ， 故)1(3
2000
40
1t e y --=，所求浓度为
)/(15
110000)(340
1
m kg e
t y t --=。
12．设)(x f 为连续函数，
（1）求初值问题⎩
⎨⎧==+'0)0()
(y x f ay y 的解)(x y ，其中a 是常数；
（2）若k x f ≤)(（k 为常数），证明当0≥x 时，有)1()(ax e a
k
x y --≤。 解：（1）原方程通解为 ])([))(()(C x F e C dx e x f e
x y ax ax adx
+=+=-⎰-⎰
其中)(x F 是ax
e x
f )(的任意一个原函数。由0)0(=y ，得)0(F C -=，故
⎰--=-=x
at ax ax dt e t f e F x F e x y 0
)()]0()([)(
（2）)1()1()()(0
ax ax ax x
at ax x
at ax
e a
k
e e a k dt e ke dt e t
f e x y -----=-≤
≤≤⎰⎰
。
13．设)(x f 在),0[+∞上连续，且k x f x =+∞
→)(lim （k 为正常数），证明：对方程
)(x f y y =+'的所有解)(x y ，都有k x y x =+∞
→)(lim 。（考研指南336页）
解：方程通解为 ))((
)(0
C dx x f e e x y x
x x
+=⎰
-，问题转化为证明
k e
C
dt t f e x y x
x
t x x =+=⎰+∞
→+∞
→0
)(lim
)(lim ，由+∞=+∞
→x
x e lim ，故证明+∞=⎰+∞→x
t x dt t f e 0
)(lim 。
由)(x f 在),0[+∞上连续，且k x f x =+∞→)(lim ，有极限定义对20k
=
ε知，存在0>X ，使当
X x >时，有2)(k k x f <-，即23)(2k x f k <<，即x x
e k x
f e 2
)(>。由于
+∞=-=+∞
→+∞→⎰
)(lim 22lim
X
x x x x
X
x e e k dx e k ，故+∞=⎰+∞→dx x f e x x X x )(lim 。而)(x f e x 在]
,0[X 上连续，
⎰
X
x dx x f e 0
)(有界，所以+∞=⎰
+∞→dx x f e x X
x )(lim 0
，
k x f e x f e e C
dt t f e x y x x
x x x
x t x x ===+=+∞→+∞→+∞
→+∞
→⎰)(lim )
(lim )(lim
)(lim 0
。
二、高阶方程
1．写出以x x xe y e y ==-21,为特解的最低阶的常系数线性齐次微分方程。
解：特征方程根为1,1321==-=r r r ，故特征方程为0)1)(1(2
=-+r r ，所求方程为
0=+'-''-'''y y y y
2．写出以i r r +==1,021为特解的最低阶的常系数线性齐次微分方程的通解。
3．设)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个特解为x x e y e y x y 3321,,===，求此方程满足
3)0(,4)0(='=y y 的特解。
4．设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为x x e x e y )1(2++=，试确定γβα,,，并求该方程的通解。
解：有特解的形式可得x x e y e y ==221,是对应齐次方程的两个特解，而x
xe y =*是原方程的一个特解，于是1,2=λ是两个特征根，特征方程为0232
=+-λλ，故2,3=-=βα，
x xe y =*代入方程x e y y y γ=+'-''23得1-=γ，原方程通解为x x x xe e C e C y ++=221
（13。设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''有特解)1(2x
x xe e y +=-，求此微分方程及通解。
解：1=λ是一个特征单根，且1-=λ是另一个特征单根，故特征方程为012
=-r ，对应
齐次方程为0=-''y y ，x xe 是非齐次方程)(x f y y =-''的一个解，将x
xe 代入方程可求得x
e x
f 2)(=，故所求方程是x
e y y 2=-''，通解为x x
x
xe e C e C y ++=-21。
）
5．设方程)()(x f y x y ='+''φ有一特解x y 1
=，对应齐次方程有一特解2x y =，求原方程通解
解：将2x y =代入0)(='+''y x y φ得x
x 1)(-=φ。 将x y 1=
代入)(1x f y x y ='-''得33)(x
x f =
由非齐次方程解的结构知，只要再求出齐次方程一个与2x y =线性无关的特解即可，故令
22)(x x u y =代入01
='-
''y x
y 得032='+''u x u x ——欧拉方程 令t
e x =代入得02='+''u u ，解之得2211x C C u +=，取21x
u =，12=y
原方程通解为 x
C x C y 122
1++=。
6．火车沿水平轨道运动，其重量为P ，机车的牵引力为F ，运动阻力bv a W +=（b a ,为正常数）， v 为火车速度。假定0=t 时，0=s ，0=v ，求火车的运动规律。 解：由牛顿运动定律知
)(s b a F s g
P
'+-=''，即 P g a F s P bg s )(-='+'' 先求 0='+''s P bg
s 通解为 t P bg
e c c S -+=21。 又0=λ是特征单根，故令At s =*
代入非齐次方程，得b
a
F A -=
，非齐次通解为 t b
a
F e
c c s t P
bg -+
+=-
21 将0=t 时，0=s ，0=v 代入，得g
b P
a F c c 221)(--
=-=，所求解为
t b a F e g
b P a F s t P bg
-+--=-)1()(2
7．设)(x f 连续，且满足方程⎰--+
=x dt t f t x x x x f 0
2
)()(2sin )(，求)(x f 。 解：⎰
-
+='x
dt t f x x x f 0
)(cos )(， )(1s i n
)(x f x x f -+-='' 对应齐次方程通解 x c x c F sin cos 21+=。 令A x b x a x f
++=*
)cos sin (入非齐次方程，得2
1
,0=
=b a ，1=A
非齐次通解为1cos 2
sin cos )(21++
+=x x
x c x c x f ，将0)0(=f ，1)0(='f 代入，得21,121=-=c c 。所以 1c o s 2
s i n 21c o s )(+++-=x x
x x x f 。
8．设微分方程0)(3='++''y e x y y ，求出以y 为自变量，x 为因变量的通解。
解：dy
dx dx dy 1=，32222y dy x d dx y d '⋅-=代入原方程得y
e x dy x d =-2
2，解之得 y y y ye e C e C x 2
121+
+=- 9．设
⎰
=x
x g dt t f 0
)()(，⎰=x
x h dt t tf 0
)()(，其中)(x g ，)(x h 为已知函数，)(x f 为连续
函数，试解方程⎩⎨
⎧='==''0
)0()0()
()(y y x f x y 。（要求解中不含积分号）
解：将方程两边从0到x 积分，得⎰
==-'x
x g dx x f y x y 0
)()()0()(
两边再从0到x 积分，得⎰⎰⎰
==-t
x
x
du u f dt dt t g y x y 0
)()()0()(
右边交换积分次序得⎰⎰⎰
-==x
u
x
x
du u x u f dt u f du y 0
))(()(⎰⎰-=x
x
du u uf du u f x 0
)()(
=)()(x h x xg -。
微分方程数值解习题(李立康)
常微分方程习题 《李立康》 习题 1.用Euler 方法求初值问题 ⎩ ⎨ ⎧=-='0)0(21u tu u 在1=t 时的近似解（取4 1= h ）。 2.初值问题 1 3 00 u u u()⎧⎪'=⎨ ⎪=⎩ 有解32 23/u(t )t ⎛⎫ = ⎪ ⎝⎭ 。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H T h = ,都只能得到N t u t , (2) 1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算 ⎩⎨ ⎧=='1 )0(u u u 在1=t 处的值，取16 1 和41= h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12 43 h O t u h -'''- ； （2）当1 ⎩⎨ ⎧=='1 )0(u u u 计算公式 m m h h u ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+=22 取4 1 = h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题 ⎩⎨ ⎧=+='0 )0(u b at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解 bt t a u += 22 相比较。 7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re( 一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +=' 的通解是( ). (A)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)???=-dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(； (C)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (D)? =-dx x P ce y )(. 2、方程y y x y x ++='22是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 3、2)1(,022==+y x dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ； (C)133=+y x ； (D)13 333=+y x . 4、方程 x y sin ='''的通解是( ). (A) 322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212 1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=； (D)x y 2sin 2=. 5、方程0='+ '''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y +-=； (B)321cos sin C x C x C y +-=； (C)1cos sin C x x y ++=； (D)1sin C x y -=. 6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ). (A)P y P y '=''='则,； (B) dy dP P y P y =''='则,； (C)dx dP P y P y =''='则,； (D)dy dP P y P y '=''='则,. 8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ). (A)221x C x C y +=； (B)x C x C y 121+=； (C)x e C x C y 21+=； (D)x e C x C y -+=21. 9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ??=- dx e y y y dx x P )(21 121； (B) ??=dx e y y y dx x P )(21 121 ； (C) ??=-dx e y y y dx x P )(1 121； (D) ??=dx e y y y dx x P )(1 121. 10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ). (A) x e A y x 2cos 1=； (B) x xe B x xe A y x x 2sin 2cos 11+=； (C) x e B x e A y x x 2sin 2cos 11+=； (D) x e x B x e x A y x x 2sin 2cos 2121+=. 微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x =+。 2. 求解微分方程22 '0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3 223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2242。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2 ''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。 微分方程题 一、一阶方程 1． 求22y xy y x =+'满足1)1(=y 的特解。 解：齐次方程，令x y u =，代入2 2x xy y y -='，整理得 x dx u u du =-)2( 积分得 1ln ]ln )2[ln(21C x u u +=--，即 22 Cx u u =-，所以 y Cx x y 22=- 将1)1(=y 代入得1=C ，所求特解为 y x x y 22=-。 又解：方程化为22 1x y y x y =+'——贝努利方程，将方程两边同除以2y 得 21211x y x y y =+ '--——（2），令 dx dz dx dy y z y =-=--21, 代入（2）可化为 211x z x dx dz -=-，)1(1 21 C dx e x e z dx x dx x +-=⎰-⎰--⎰=)11(2C dx x x x +⋅-⎰)21(2C x x +=，即 Cx x y +=21 1，将1)1(=y 代入得 21=C ，所求特解为 y x x y 22=-。 2．求 y e y x y dx dy 3+= 的通解。 解：y e y x dy dx y 3+= ，即 y e y x y dy dx 21=-，通解 ][C e ye y x y y +-=。 3．设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)1(=f ，对任意0,0≠≠y x 有 ⎰⎰ ⎰ +=2 21 1 4 1 )()()(x y y x dt t f y dt t f x dt t f ， （1） 求)(x f 。 解：对（1）两边对x 求导：)(2)(4)(221 3 2 x xyf dt t f x y x xyf y +=⎰ 令1=x ，得)1()(2)(1 yf dt t f y yf y +=⎰ ，两边对y 求导：)1()(2)()(f y f y f y y f +='+ 即y y f y y f 2)(1)(=- '，解此方程得：)2 ()(y C y y f -=，由2)1(=f 得4=C ，所以 24)(-=x x f 。 微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 22 2t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 2 2 ==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2 )(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(2 2 =++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等 2 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉 微分方程例题选解 3 1. 求解微分方程 x ln xdy ( y ln x)dx 0 , y |x e 。 2 解：原方程化为 dy 1 y 1 dx ， xln x x 1 dx 1 e 1 dx y e C ] 通解为 x ln x [ xln x dx x 1 [ ln x dx C ] 1 [ 1 ln 2 x C ] ln x x ln x 2 由 x e ， y 3 ，得 C 1 ，所求特解 为 y 1 1 ln x 。 2 ln x 2 2. 求解微分方程 x 2 y ' xy y 2 0 。 解：令 y ux ， y u xu ，原方程化为 u xu u u 2 ， 分离变量得 du 1 dx ， 1 u 2 x 积分得 ln x C ， u x 原方程的通解为 y 。 ln x C 3. 求解微分方程 ( x 3 xy 2 ) dx ( x 2 y y 3 )dy 。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 x 3dx xy 2 dx x 2 ydy y 3 dy 由 x 3 dx xy 2 dx x 2 ydy y 3dy 1 dx 4 1 ( y 2 dx 2 x 2 dy 2 ) 4 2 1 d (x 4 2x 2 y 2 y 4 ) ， 4 得 d (x 4 2x 2 y 2 y 4 ) 0 ， 原方程的通解为x 4 2 x 2 y 2 y 4 C 。 注：此题也为齐次方程。 0 ， 1 dy 4 4 4. 求解微分方程 y '' 1 ( y ') 2 。 解：设 p y ，则 y dp ，原方程化为 dp 1 p 2 ， dp dx dx 分离变量得 dx ，积分得 arctan p x C 1 ， 1 p 2 于是 y p tan(x C 1 ) ， 积分得通解为 y ln cos(x C 1 ) C 2 。 5. 求解微分方程 解：特征方程为 通解为 y e x (C 1 y '' 2y ' 2 y 0 。 r 2 2r 2 0 ，特征根为 r 1 i ， cos C 2 sin x) 。 数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。 练习一：一阶线性微分方程 1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x 解答： 首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y 然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx 对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx 通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数) 将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x 其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数） 2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x 解答： 将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y 然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx 对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx 通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数） 再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x 其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数） 练习二：二阶微分方程 1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0 解答： 首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0 解特征方程，得到特征根为：r = -2 由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数） 2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0 解答： 首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0 解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2 微分方程的概念与基本解法练习题对于数学领域而言，微分方程是一类非常重要的数学工具，它用于 描述物理、工程学和其他科学领域中的各种变化和变化率。在本文中，将介绍微分方程的概念，并提供一些基本解法的练习题。 一、微分方程的概念 微分方程可以被定义为包含未知函数及其导数的方程。具体而言， 给定一个未知函数y(x)，微分方程将通过y(x)及其导数的函数关系来描述一个过程或现象。 微分方程可以分为几种类型，其中最常见的是常微分方程和偏微分 方程。常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。 二、基本解法练习题 下面将提供一些微分方程的基本解法练习题。请根据题目给出的微 分方程，找到其解析解，并进行验证。 1. 题目一：一阶线性微分方程 求解以下一阶线性微分方程： (dy/dx) + y/x = x 2. 题目二：二阶线性齐次微分方程 求解以下二阶线性齐次微分方程： d^2y/dx^2 - 4y = 0 3. 题目三：二阶线性非齐次微分方程求解以下二阶线性非齐次微分方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = e^(-x) 4. 题目四：一阶变量可分离微分方程求解以下一阶变量可分离微分方程：(dy/dx) = y/x 5. 题目五：一阶齐次微分方程 求解以下一阶齐次微分方程： (dy/dx) = (2x + y) / (x - y) 6. 题目六：一阶恰当微分方程 求解以下一阶恰当微分方程： x^3y dx - (x^4 + 5xy^2) dy = 0 三、解答与验证 1. 题目一解答： 将微分方程改写为标准形式： (dy/dx) = -y/x + x 乘以x并重排，得到： x(dy/dx) + y = x^2 微分方程习题之蔡仲巾千创作 §1基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2） ⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族, 求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导, 然后消去常数, 方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程. （1）曲线在()y x ,处切线的斜率即是该点横坐标的平方. （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,, PQ 为y 轴平分. （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q ,PQ 长度为2, 且曲线过点（2, 0）. §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1） 2 211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12==+'=x y y y y x 3.求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4.求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 2 2=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程, 并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线, 使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和 x 轴所围城三角形面积即是常数2a . 选择题（50） （1）知识、概念层次，难度等级1 1、 下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个. （1）43 322320d y d y y dx dx ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）3 36x dy dy x y e dx dx ⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭ （3）1 3 2 3y d y y e dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （4）3 3sin d y dx dy e y dx += （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案： C 难度等级1 知识点：常微分方程的阶的定义 分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C ） 2、 函数（）是微分方程42y y x '=-的通解. （） (A) 1 12 y x =+ (B) 2 x y Ce = （C ） 2 12 1 2 x y C e x C =++ (D) 2 1 12 x y Ce x =++ 答案 D 难度等级1 知识点：常微分方程通解的定义 分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A ）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C ）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B ）不满足方程，故应选（D ） 3、 下列等式中（）是线性微分方程. (A) 22y x y '=+ (C) 2x y y e ''+= (B) 20y x ''+= (D) 2y y xy '-= 答案： B 难度等级1 知识点：线性常微分方程的定义 分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2 y ,故应选（B ） 4、 微分方程(1)2(1) (2)(1) n n x x n n n x n n d y d y dy e e e e y e dx dx dx -++-++++= 是（）. 微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节) 题10.1(A) 1.指出下列微分方程的阶数： 1) x(y')-2yy'+x=； 2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x； 3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S； 4) 2d^2S/dt^2+S=0. 解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。 2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？ 1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）； 2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe； 3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）； 4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。 解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。 3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是 方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。 解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x- C2xe^-x。 将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以 C1=2C2. 所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。 将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为 y=(4+2x)e^-x。 4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标 与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。 解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题 意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。 题10.1(B) 1.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 1) 曲线上点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方； 微分方程期末试题及答案 1. 试题 （1）求解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x. （2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1. （3）求解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0. （4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2. 2. 解答 （1）解微分方程：dy/dx = x^2 + 2x. 对方程两边同时积分，得到: ∫dy = ∫(x^2 + 2x)dx. 得到 y = (1/3)x^3 + x^2 + C. 其中C为常数。 （2）求解初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1. 对方程两边同时积分，得到: ∫dy = ∫(2x - 3)dx. 得到 y = x^2 - 3x + C. 根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C = 1，因此 y = x^2 - 3x + 1. （3）解微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0. 首先求特征方程： r^2 + 4r + 4 = 0. 解此二次方程，得到 r = -2.（重根） 因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1，C2为常数。 （4）求解初值问题：y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2. 首先求特征方程： r^2 - 4r + 4 = 0. 解此二次方程，得到 r = 2.（重根） 因此通解为 y = (C1 + C2x)e^(2x)，其中C1，C2为常数。 根据初值条件 y(0) = 1，代入可得C1 = 1. 根据初值条件 y'(0) = 2，对通解求导得到 y' = (C1 + 2C2x)e^(2x) + C2e^(2x)，代入 x = 0 可得 C1 = 2C2 + 1. 解得 C1 = 1，C2 = 0，因此 y = (1 + x)e^(2x). 3. 答案 （1）微分方程：dy/dx = x^2 + 2x 的解为 y = (1/3)x^3 + x^2 + C. （2）初值问题：dy/dx = 2x - 3, y(0) = 1 的解为 y = x^2 - 3x + 1. （3）微分方程：y'' + 4y' + 4y = 0 的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x). 微分方程的应用题解析 微分方程是数学中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。本文将对微分方程的应用进行解析，介绍其中一些典型的应用场景和解决方法。 一、物理问题中的微分方程应用 物理学是微分方程应用的一个典型领域，例如描述运动的牛顿第二定律常常以微分方程的形式出现。以质点在空气中的自由下落为例，假设质量为m的物体所受到的空气阻力与其下落速度成正比，那么可以建立如下微分方程： m * g - k * v = m * a 其中，m是物体质量，g是重力加速度，v是速度，k是阻力系数，a是加速度。这个微分方程可以通过求解来得到物体下落的速度与位置随时间的变化规律。 二、生物学中的微分方程应用 生物学中有很多与生物体的增长、传播等相关的问题需要用到微分方程。以人口增长模型为例，假设某地人口增长速率与当前人口数量成正比，那么可以建立如下微分方程： dp/dt = k * p 其中，p是人口数量，t是时间，k是增长率常数。该微分方程可以用来预测未来人口数量的变化趋势。 三、工程学中的微分方程应用 工程学中的许多问题都可以用微分方程来描述，如电路中的电流、 振动问题等。以RLC电路为例，假设电路中的电阻、电感和电容分别 为R、L和C，那么可以建立如下微分方程： L * d^2i(t)/dt^2 + R * di(t)/dt + 1/C * i(t) = E(t) 其中，i(t)是电流随时间的变化，E(t)是电压源。通过求解该微分方程，可以得到电流随时间的变化规律，从而分析电路的性质和特点。 四、经济学中的微分方程应用 经济学中的一些经典模型也可以转化为微分方程求解，如供需平衡、增长模型等。以凯恩斯消费函数为例，假设消费支出与收入呈线性关系，那么可以建立如下微分方程： dC/dt = a * Y - b * C 其中，C是消费支出，Y是收入，a和b是系数。通过求解该微分 方程，可以分析消费支出随时间的变化和经济政策对经济增长的影响。 总结： 微分方程在不同领域中都有广泛的应用，包括物理学、生物学、工 程学和经济学等。通过建立适当的微分方程模型，可以对这些领域中 的问题进行分析和解决，从而提供科学依据和理论支持。微分方程的 应用使得我们得以更深入地了解自然界和人类社会，推动了科学技术 的进步和发展。 常微分方程期末考试题 以下是某校 ode 期末考试题 一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分） 1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1} 2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=0 3) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\- 1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵 4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法） 5) x''+2x'-3x=e^t+cost 二：解答题（每题10分，总50分） 6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解. 7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x \right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。 8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。 9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组 \frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a 常微分方程课后练习题含答案 练习1： 考虑动力学方程组： $$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x) \\end{align} $$ a)画出相图 b)确定方程组的固定点及其稳定性 c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为 答案1： a)相图如下所示： image-1 b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则： $$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0 \\end{aligned} $$ 由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1 •当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。 •当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。 综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。 c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。假设 (x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。 轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。 将方程组改写为 $$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$ 则在y=x处， $$ \\frac{dy}{dx}=1 $$ 这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。 由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。因此，在定点(1,1)的上方和右侧的所有点处，轨道将向该点移动；在下方和左侧的所有点处，轨道将远离该点。同理，在定点(0,0)的上方和右侧的所有点处，轨迹将远离该点，在下方和左侧的所有点处，轨迹将向该点移动。 在xy=0.5的中心附近，利用线性稳定性分析，可以得到轨迹向(1,1)或(0,0)移动，这取决于初始条件的选择。 《高等数学》第七章微分方程单元测试题 一、选择题 1、下列方程可分离变量的是 （ ） A. 0)sin(=+dy e dx xy y B. 02=++dy y dx xe y x C. 0)1(2=++dy y dx xy D. 0)(=+++dy e dx y x y x 2、下列方程中为常微分方程的是 （ ） A. 4 2 310x x x +-+= B. 2 "'y y x += C. 222222u u u t x y ∂∂∂=+∂∂∂ D. 2 u v w =+ 3、下列微分方程是线性的是 （ ） A. 2 y xy y x '''++= B. 22 y x y '=+ C. 2 ()y xy f x ''-= D. 3 y y y '''-= 4、微分方程230y y y '''--=的通解是y = （ ） A. 3 3x x ++ B. 2 13c c x x + C. 312x x c e c e -+ D. 312x x c e c e -+ 5、方程36916x y y y e '''-+=-特解的形式为 ( ) A. 31x y Ae = B. 231x y Ax e = C. 31x y Axe = D. 31(sin 3cos3)x y e A x B x =+ 6、方程 2dy xy dx =的通解为（ ） (A) 2e x y c =； （B ）e x y c =； (C) 2e x y =； (D) 2 e x y c =。 7、下列微分方程不能变量分离的是（ ） (A) 11+y y'= +x ； （B ）1y x y'=y --； (C) 220y dx+x dy =； (D) 0dx dy +=y x . 8．下列方程可分离变量的是 （ ） A. sin()0y xy dx e dy += B. ()0x y x y dx e dy +++= C. 2 (1)0xy dx y dy ++= D. 2()0x y xe dx y dy ++= 第7章微分方程练习题 习题7 .1 1 •选择题 (1)( )是微分方程 ((A )) d = (4x -1)d . ( (B ) ) y =2x 1 . ((C ) )y 2 一 3y 2 = 0 . ( (D ) ) sin xdx = 0. (2)( ) 不是微分方程 ((A )) y 3y =0 . ((B))亠4 = 3X + Sin X . dx ((C )) 3y 2 一 2x y = 0 . 2 2 2 2 ((D) ) (x y )dx (x - y )dy 二 0 (3)微分方程(y )2 3xy =4sinx 的阶数为( ) ((A ) ) 2 . ( (B ) ) 3. ( (C ) 1. ( (D ) ) 0 • 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否” ) ⑵ (x _2y)y =2x 2 -y, x -x y ⑶ dx . - sin y = 0, dy y 二 arccosx C ⑷ 井 2丄 2 y =X y , 1 y - x 习题7.2 1. 解微分方程 2 二 C ( ) (1) (1) xy =2y, y =5x . dy 1 dx x dy dx i-y 2 1 -x 2 (5) x 2 y xy y x =1_ 二4 - 2 •解微分方程 （1）（x y ）y （一八。• ⑵ y2 X 2/ y =e 2x_y ⑷ y(l _x 2)dy x(1 y 2)dx =0. dy xy - • dx 3 .解微分方程 (1) y y =e (2) y cosx y sin x = 1. 选择题 (1)( )是微分方程 ((A)) = (4x - 1)d . (B) ) y =2x 1 . ((C))(D) ) sinxdx = 0 . (2)() 不是微分方程 ((A)) y，+ 3y =0 . ((B)) =3x si nx . ((C) ) 3y2-2x y = 0 ((D))dx2 (x2y2 )dx (x2- y2)dy = 0 . (3)微分方程(y )2 3xy =4sinx的阶数为( ((A) ) 2 . ( (B) ) 3.((C) ) 1. (D) ) . 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否” (1)xy =2y, y =5x2. (X _2y)y =2X _ y, x2 _ X 鱼siny=0, dy y 二arccosx C 解微分方程dx x 习题7.2 dy dx 1-y2 1 -x2 微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）⎰'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11+-='y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 微分方程习题 §1根本概念 1. 验证以下各题所给出的隐函数是微分方程的解. 〔1〕y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 〔2〕⎰'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..曲线族，求它相应的微分方程〔其中21C , ,C C 均为常数〕 〔一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.〕 〔1〕1)(22=++y C x ； 〔2〕x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出以下条件确定的曲线所满足的微分方程。 〔1〕曲线在()y x ,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 〔2〕曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 〔3〕曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q ,PQ 长度为2，且曲线过点〔2，0〕。 §2可别离变量与齐次方程 1.求以下微分方程的通解 〔1〕2211y y x -='-； 〔2〕0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； 〔3〕23xy xy dx dy =-； 〔4〕0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求以下微分方程的特解 〔1〕0 ,02=='=-x y x y e y ； 〔2〕2 1 ,12==+'=x y y y y x 3. 求以下微分方程的通解 〔1〕)1(ln +='x y y y x ； 〔2〕03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求以下微分方程的特解 〔1〕1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； 〔2〕1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解以下方程 〔1〕2)(y x y +='； 〔2〕)ln (ln y x y y y x +=+' 〔3〕11+-='y x y 〔4〕0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开场下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉微积分微分方程练习题及答案
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