东南大学-高数(上)-03至10年-期末试卷(附答案)
东南大学高数复习题
1. 函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ ] (A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在2. 交换积分次序0242000d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +-+=⎰⎰⎰； 3.交换积分次序:()()1220010d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分d z =；5.设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,z z x y ∂∂∂∂. 6. 计算二重积分2223d D x y x yσ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤>>. 7. 求幂级数()()1211121n n n x n n ∞-=--∑的收敛域与和函数。
1.改变积分次序212d (,)d ________.x x f x y y -=⎰ 2.二次积分1120sin _____.ydy x dx =⎰⎰ 3.设12111(1)2,5,n n n n n u u +∞+∞--==-==∑∑则1______.n n u +∞==∑3.设212,x x y e y e -==是二阶常系数齐次常微分方程的两个解， 求该方程。
4.求幂级数411 41n n x n ++∞=+∑的收敛域与和函数。
5.将函数21()12f x x x=+-展开为x 的幂级数。
6.将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数.7.求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处 与直线32y x =相切。
东南大学高等数学(A)期末03-13试卷
f ( z) =
1 z ! 4z + 3
2
1< z < 3
Laurent
(cos x + 2 xy + 1)dx + ( x 2 ! y 2 + 3)dy
.
+! 0
"
1 dx 1 + x4
v( x, y, z) = { y3 ! z 3 , z 3 ! x3 , 2 z 3}
z = 1 + 1 ! x2 ! y 2
2
1< z ! 2 < 3
2 ydx + ( y 2 ! 6x)dy = 0
2 8 9
y!! + 4 y = 8 x " 4sin 2 x
y(0) = 0, y!(0) = 5
!
I = ## x2 dy " dz + y 2 dz " dx + ( z 3 + x)dx " dy
!
z = x2 + y 2 (0 ! z ! 1)
! n
!
"a x
k k =1
k +1
[0,1]
f ( x)
(f$ % &n'
n =1
!
"1#
2005
1+ 1! x2 x
A
"
1
0
dx "
f ( x, y)dy =
e z + z + xy = 3
M (2,1, 0) (2,1,1)
divA =
A = 3x 2 yz 2i + 4 xy 2 z 2 j + 2 xyz 3k
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷8套
东南大学高等数学（A ）期末试卷03年——10年2003级高等数学（A ）（下）期末试卷一. 填空题（每小题3分，满分15分）：1．幂级数11(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
2．当常数p 满足条件时，级数1(1)n n ∞=-∑绝对收敛。
3．设2sin ()(1)zf z z z=-，则()f z 在0z =的留数Re [(),0]s f z = 。
4．微分方程()9()0y x y x ''''-=的通解为 。
5．设C 为抛物线21y x =-上自点A （-1，0）到点B （1，0）的一段弧，则曲线积分22()()()C AB x y dx x y dy ++-⎰的值为 。
二.单项选择题（每小题4分，满分12分）：1．微分方程356x y y y xe '''-+=的特解形式为（其中A 、B 为常数） （ ） （A ）3x y Ae *= （B ）3x y Axe *= （C ）3()x y Ax B e *=+ （D ）3()x y x Ax B e *=+2．设2,02()0,24x x f x x +≤<⎧=⎨≤<⎩，1()sin ()4n n n xS x b x π∞==-∞<<+∞∑，其中 401()sin (1,2,)24n n xb f x dx n π==⎰，则(2)(9)S S +-等于 （ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）5 （D ）73．设级数1(1)n n n a ∞=-∑条件收敛，则必有 （ ）（A ）1n n a ∞=∑收敛 （B ）21n n a ∞=∑收敛（C ）11()n n n a a ∞+=-∑收敛 （D ）21n n a ∞=∑与211n n a ∞-=∑都收敛三．（每小题7分，满分35分）：1．计算积分10xydx dy y⎰。
2． 计算复积分2221(1)x ce dz z z --⎰，其中c 为正向圆周：3z =。
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案
2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。
解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。
或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。
2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。
解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。
121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。
∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。
∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。
3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。
东南大学《高等数学》2010-2011学年期中试卷B卷 (1)
东南大学成贤学院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B(下)期中 适 用 专 业 工科各专业考试学期 10 - 11 - 3 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、选择题(每题 3 分,共 5 题)1、点 M (−3,−7,− 1) 关于（ ）的对称点是 M ′ 3(,7,− 1)。
（A ） 原点 O ； （B ） Oxy 平面； （C ） z 轴； （D ）平面 x + y − z = 0。
2、直线 = = 与直线 = = 的夹角是（ ）。
1 − 4 12 − 2 − 1 （A ） ； 6 （B ） ； 4 （C ） ；3 （D ） 。
43、为使二元函数 f (x , y ) = 当 (x , y ) 沿着某一特殊路线趋于 0(,0) 时的极限为 2， 这条路x − y线应选择（ ）。
（A ） y = ；（B ） y = ；（C ） y =4、二元函数 z = 3(x + y ) − x 3 − y 3 的极值点是（（A ） 1(,− 1)； （B ） (− 1,1)； （C ） (− 1,− 1)；； （D ） y = 。
）（D ） 0(,0)。
5、设 D = {(x , y ) 1≤ x ≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 4 }，则积分的值为（ ）。
4（A ） ln ；3 （B ） ln ； 2 （C ） ln ； 3（D ） ln 。
二、填空题(每题 3 分,共 5 题)1、直线 = = 在 Oxy 平面上的投影直线为 。
- 1 -x = 0 sin(xy )(x ,y )→0(,0)2 −。
4、设z = x y ，则 dz 1(,1) = 。
5、交换积分次序： ∫dy∫yf (x , y )dx = 。
三、计算题(每题 7 分,共 5 题)1、已知某球面的中心在 3(,−5,2) 且与平面 2x − y +3z = 3相切，求球面方程。
高等数学测试卷(上)+答案
高等数学测试卷（上）一、填空题：（每小题2分，共20分）1．一切初等函数在其 内都是连续的。
2．若y x ,满足方程xyy x arctan ln22=+，则=dy 。
3．已知)100()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f 。
4．当0→x 时，x x x f -=sin )(是3x 的 阶无穷小。
5．已知C xxdx x f +-=⎰21)(，则=⋅⎰dx x f x )(cos sin 。
6．=-⎰-dx x 312 。
7．若)(x f 在[]a a ,-上连续且为奇函数，则⎰-=aadx x f )( 。
8．曲线x y =2和2x y =所围成的平面图形的面积是 。
9．已知向量)1,2,1(),1,1,2(-=-=b a，单位向量e 同时垂直于a 与b ，则e= 。
10．通过点)5,0,3(0M 与坐标原点的直线的对称式方程为 。
二、选择题：（每小题2分，共20分） 1．下列极限存在的是：（ ）)A 2)1(lim x x x x +∞→ )B 121lim 0-→x x )C x x e 10lim → )D xx x 1lim 2++∞→2．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f ，其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ） )A 极限不存在 )B 极限存在，但不连续 )C 连续，但不可导 )D 可导高等数学测试卷（上）-答案一、 填空题：（每小题2分）1． 定义区间 2．dx yx yx -+ 3． 100！ 4． 同5． C x x +⋅-csc cot 6． 5 7． 0 8．31 9． )355,353,351(-±10． ⎪⎩⎪⎨⎧==053y z x二、 选择题：（每小题2分） 1).A 2).D 3).C 4).D 5).D6).A 7).A 8).D 9).C 10).B三、 计算题：（每小题7分）1．3162sin lim 52202==→x x x ex x x e x 原式 2．x x f xxx x x dx dy x 2sin )(sin )sin ln (cos 2sin '++= 3．C x x dx xx dx x x +++=+++=⎰⎰]arctan )1[ln(211arctan 12222原式 4．3821)1()(221210=++==⎰⎰⎰dx x dx x du u f 原式5．由2222222)1()1)(1(2)1(4)1(2,12x x x x x x y x x y ++-=+-+=''+='得拐点坐标为：)2ln ,1(),2ln ,1(-在),1[],1,(+∞--∞上凸，在[-1，1]上凹。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e12确定，则==0x dxdy（ ）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin3. 计算积分dx e x x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,000='===x x y y 的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=tt y tt x 2522与x 轴所围成，试求其质量m七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一点],[a a -∈ξ，使得)(3)(3ξ''=⎰-f a dx x f aa2004级高等数学（A ）（上）期末试卷一. 填空题（每小题4分，共20分）1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21x x xF x f +=,则()=x f .3.()()=-+⎰--x x x x x d e e 1112005 .4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ](A)()()x x βα2 (B)()()x x x 1sin 22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane212+-++=x x x x y x 的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*y [ ](A) ()xx b ax 22e+ (B) xax 2e (C) ()xb ax 2e+ (D) ()xx b ax 2e+4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()32d cos ln limx t t t xx ⎰+→2. 设函数()x y y =是由方程2e22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.3. x x x x d cos cos 042⎰-π4. ⎰∞+13d arctan x xx5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln .xln六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证: 当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .2005级高等数学（A ）（上）期末试卷一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1． 2206sin d limx x t t x→=⎰ ；2．曲线322(1)x y x =+的斜渐近线方程是 ；3．设()y y x =是由方程ln ln y y x =所确定的隐函数，则d d yx= ； 4．设f 在区间[0,]π上连续，且0()sin ()d f x x f x x π=+⎰，则()f x = ；5．设21,0()e ,0x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰ ；6．2sin d cos xx x xππ-=+⎰ ； 7．曲线ln y x =相应于13x ≤≤的一段弧长可用积分 表示；8．已知1e x y -=与22e xy =分别是微分方程0y ay by '''++=的两个特解，则常数a = ，常数b = ；9．0()0f x ''=是曲线()y f x =以点00(,())x f x 为拐点的 条件。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．设0()x f x t t =⎰，求()f x '2．2e 1d e 4x xx -+⎰ 3．0x π⎰4．1+∞⎰三．（本题满分9分）设有抛物线2:(0,0)y a bx a b Γ=->>，试确定常数a 、b 的值，使得（1）Γ与直线1y x =-+相切；（2）Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。
四．（本题共2小题，满分14分） 1．（本题满分6分）求微分方程()222e 1d e d 0x x x y x y -+=的通解。
2．（本题满分8分）求微分方程22e xy y x '''-=+满足初始条件9(0)2,(0)4y y '==的特解。
五．（本题满分7分）试证：（1）设e u >，方程ln x x u =在e x >时存在唯一的实根()x u ；（2）当u →+∞时，1()x u 是无穷小量，且是与ln u u等价的无穷小量。
六．（本题满分6分）证明不等式：111113521n <++++<+-L ， 其中n 是大于1的正整数。
2006级高等数学（A ）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．2e d lim(cos 1)xt x x tx x →-=-⎰ ；2．曲线231x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =对应的点处的切线方程为 ； 3．函数()ln(1)f x x x =-+在区间 内严格单调递减； 4．设()y y x =是由方程ln 1xy y -=所确定的隐函数，则(0)y '= ；5．51241d 1x x x x -⎛-= ++⎝⎰ ； 6．设)(x f 连续，且201(2)d arctan 2xtf x t t x -=⎰，已知1)1(=f ,则21()d f x x =⎰ ； 7．已知)(x y y =在任意点x 处的增量α++∆=∆21xxy y ，当0→∆x 时，α是x ∆的 高阶无穷小，已知π=)0(y ，则_____)1(=y ；8．曲线1ln e y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的斜渐近线方程是 ； 9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e ,e x xy y ==，则该方程为.二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．计算不定积分x 2．计算定积分20sin d x x x π⎰3．计算反常积分()211d 1x x x +∞+⎰4．设1()x G x t =⎰，求 10()d G x x ⎰三．（本题满分7分）求曲线ln cos 1sin 2x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩自0t =到4t π=一段弧的长度。
（第3页）四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分） 1．求微分方程()2sin cot yy x y x '=-的通解。
2．求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处与直线32y x =相切。