东南大学高数习题
东南大学高数复习题
1. 函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ ] (A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在2. 交换积分次序0242000d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +-+=⎰⎰⎰； 3.交换积分次序:()()1220010d ,d d ,d y y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分d z =；5.设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,z z x y ∂∂∂∂. 6. 计算二重积分2223d D x y x yσ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0,0D x y x y x y =+≤>>. 7. 求幂级数()()1211121n n n x n n ∞-=--∑的收敛域与和函数。
1.改变积分次序212d (,)d ________.x x f x y y -=⎰ 2.二次积分1120sin _____.ydy x dx =⎰⎰ 3.设12111(1)2,5,n n n n n u u +∞+∞--==-==∑∑则1______.n n u +∞==∑3.设212,x x y e y e -==是二阶常系数齐次常微分方程的两个解， 求该方程。
4.求幂级数411 41n n x n ++∞=+∑的收敛域与和函数。
5.将函数21()12f x x x=+-展开为x 的幂级数。
6.将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数.7.求微分方程sin y y x x ''+=+的特解，使得该特解在原点处 与直线32y x =相切。
东南大学高数习题
ln 2 t 1600
x Ce kt
C m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 .
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y P( x) y Q( x)
其中 P ( x ), Q ( x ) 为连续函数。
若 Q ( x ) 0 ，则称 y P ( x ) y 0 ①
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x 的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数g ( g 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为v ，求自由落体的运动规律。
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
f 此类问题的解法是利用对变限求导，化为 (x) 的微分
方程初值问题，然后求解。
dy f ( x)dx g ( y)
G( y) F ( x) C (微分方程的隐式解 )
若g ( y0 ) 0 , 则y y0为常数解。
例1．求微分方程
y y xy 0
的通解。
放射出微 例 2 镭的衰变: 放射性元素镭由于不断 粒子而减少质量 设衰变速度与镭的剩余 , 量成正比, 已知镭的原质量为 0 , 经过1600 m 年后, 只剩下原质量 的一半.求镭的衰变规律 .
ln y P( x)dx C1,
y e P( x)dxC1 ,
即 y eC1 e P( x)dx ，
令 C eC1 ，又 y 0 为特解， 得方程的通解： y Ce
东南大学高数D总习题
,
1 ∴ S 8 2
12
3 4 r 2 () d 4 4 d 0 0 3cos 2 sin 2
1 4 d (tan) 12 2 0 3 tan
1 tan arctan 3 3
4 0
1 2 3 12 . 3 3 6
第三章总习题
5．设 y
1sint 1
1 (1 e u )du ,其中 t (x) t
是由方程
x te t 0 所确定的隐函数，求dy t 0 。 dx
6．设函数 f 在[0,)连续 ，且 f ( x) 0 ，证明当x 0 时 ，
0 tf (t )dt 单调增加。 函数 ( x) 0 f (t )dt
2
2 udu 2 0 2 2 2
2
2
2
2 2.
x2 y2 18． （3）求由 y 2 1 和 x 2 1 所围成的面积 S。 3 3
解:要求的是两椭圆的公共部分的面积， 由对称性可知它是阴影部分那块面积 的八倍。又这两个椭圆的交点在直线 y x 和 y x 上。
a 1
2
y (ax x )(a 0) 与直线 x
2
a 所构成的图形面积最大。 a 1 2 a a y 2 (ax x ) 交点(0,0), ( , ). 解： a a 1 a 1 yx a a 1 a 1 a 2 1 3 aa 1 1 2 S a1[ (ax x 2 ) x]dx 2 ( x x ) x 0 2 3 0 a2 a 2
0 x
x 0
sin t dt cx 以 为周期。
x 0 x
东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)
共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）一. 填空题1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .2. 幂级数()()1112ln 1nn nn x n ∞=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()122001d ,d d ,d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰ .二. 单项选择题1.曲面24e 3zxy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线12112x y z --==-的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2π(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1sin d d 2d d DD xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()sin d d 0Dxy y xy x y +=⎰⎰3．设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 [ ]（A ）4π （B ）165π （C ）163π （D ）83π共 5 页 第 2 页4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1．设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y∂∂+∂∂ .2．将函数()()2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。
东南大学高数-C++期末试卷
东南大学交通学院高数、C++历年试卷——东南大学交通学院研学部整理高数部分PART I 试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e 12确定，则==0x dxdy（ ）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e 2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxe y -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin 3. 计算积分dx ex x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim300⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解 四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,00='===x x y y的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
东南大学高等数学习题课十一
的三倍。 < 直线 y = f (ξ) ， x= b 所围成的面积 A2 的三倍。 a< b ） = （ ξ
y
A1
y= f (x) =
A2
o a
ξ
b
x
y
A1
y= f (x) =
A2
o a
ξ
b
x
A1 (ξ ) 证明思路：要证存在 唯一的 ξ ，使 = 3 ，等价于 A2 ( ξ )
证明存在 唯一的 ξ ，使 A1 (ξ )− 3 A2 (ξ )= 0 。
证明：先证存在性 证明：先证存在性。
设辅助函数 F ( x )= A1 ( x )− 3 A2 ( x ) ，则 F ( x )∈C [a ,b] 。
F ( x )= ∫ [ f ( x )− f ( t )]dt − 3 ∫ [ f ( t )− f ( x )]dt ，
x
x
∫
π t 2 ⋅sec 2 tdt π tan 2 t 4
=∫
π 2t π 4
csc tdt =
2
π 2+ π 4
∫
π 2t π 4
d ( −cot t )
= − t cot t
∫
π = + ln sin x 4
π 2 cot tdt π 4 π 2 = π − ln π 4 4
2 π 1 = + ln 2. 2 4 2
边阴影部分的面积相等 ，写出
ϑ 的表达式 ; ( 2 ) 求 lim θ .
解
o
x 2 x 2
∫
x→0 x ξ e 2 dx 0
东南大学高数试卷及答案-06-07-3高数(B)期末考试
06-07-3高数B 期末试卷一。
填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ； 4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。
二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dx y y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分)计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
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5
5.微分方程的初始条件
称附加条件
y( x?) ? y?, y?( x?) ? y1, y??( x?) ? y2 , ? , y(n?1) ( x?) ? yn?1
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数 g (g ? 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为 v?，求自由落体的运动规律。
1
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数 (或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为 偏微分方程。
为 n 阶 微分方程 F ( x, y, y?, y??, ? , y(n) ) ? 0 的初始条件 。
称问题
?? F (x, y, y?, y??, ? , y(n) ) ?
? ??
y(
x? )
?
y?, y?(x?) ?
y1,
?
,
0, y(n?1) (x?) ?
yn?1.
为初值问题 。
微分方程不含任何常数的解称为 特解。
已知镭的原质量为 m0 , 经过1600年后, 只剩下原质量
的一半.求镭的衰变规律 .
解 : 设t时刻镭的质量为 x(t), 则 dx(t) ? kx(t) (k ? 0),
dt
初始条件为 x(0) ? m0. 又已知
分离变量并积分得 dx ? kdt, x
x(1600 ) ? m0 ,Leabharlann ?dxx?2
9
（2） y ? C1cos 3x? C2 sin 3x 。
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
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§4.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F (x, y, y?) ? 0
4．2．1 可分离变量的方程
dy ? f ( x) g ( y) dx 若g ( y) ? 0 ? dy ? f ( x)dx
若 Q(x) ? 0 ，则称 y?? P (x) y ? 0
①
为一阶线性齐次方程；
若 Q( x) ? 0 ，则称 y?? P ( x) y ? Q( x) ②
为一阶线性非齐次方程。 通常称方程①为方程②所对应的线性齐次方程。
14
（一）一阶线性齐次方程的解法
y?? P (x) y ? 0 ,
? ? dy ? ? P(x)dx,
g ( y)
? ?gd(yy) ? ?f (x)dx
? G( y) ? F (x) ? C (微分方程的隐式解)
若g ( y0 ) ? 0 , 则y ? y0为常数解。
11
例1．求微分方程 y?? y ? xy ? 0 的通解。
12
例 2 镭的衰变 : 放射性元素镭由于不断 放射出微
粒子而减少质量 , 设衰变速度与镭的剩余 量成正比 ,
6
例 3．验证函数 y? C1 coskx? C2 sin kx ①
是微分方程 d 2 y ? k2 y ? 0(k ? 0)
②
dx2
的通解，并求方程②满足初始条件 y x?0 ? A，
dy dx
x? 0
? 0 的特解。
7
6.微分方程的解的几何意义
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数 y ? y(x) ，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分 方程的积分曲线 ，通解的图形是平面上的一族曲线， 称为积分曲线族 ，特解的图形是积分曲线族中的一条 确定的曲线。这就是微分方程的通解与特解的几何意义。
4
例如：在例 1 中 y ? x2 、 y ? x2 ? 2 都是微分方程 dy ? 2 x dx
的解，而 y ? x2 ? C 是方程的通解。
又如： y1 ? e x ， y2 ? e ? x ， y ? C1e x ? C2e? x 和 y ? C1e x ? C2e x? 3 都是微分方程 y??? y ? 0 的解。
?kdt ,
ln x ? kt ? C1 ? x ? Ce kt
? ln 2 t
于是 x(t ) ? m0 e 1600
x(0)? m0
?
C ? m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 . 13
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y?? P ( x) y ? Q( x)
其中 P ( x), Q( x) 为连续函数。
3
3.n 阶微分方程的一般形式：
F (x, y, y?, y??, y???,? y(n) ) ? 0. 4.微分方程的解
能使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。若该 函数是显式的，则称为 显式解；若是隐式的，则称为 隐式解。
若微分方程的解中含有任意常数，而且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的 通解。
y
dy ? ? P(x)dx, y
? ln y ? ? P(x)dx? C1, y ? e? ?P (x)dx?C1 ,
即 y ? ? eC1 ?e? ?P( x)dx ， 令C ? ? eC1 ，又 y ? 0为特解， 得方程的通解： y? Ce??P(x)dx 。
15
例 1．求方程 ( y? 2xy)dx ? x2dy ? 0 满足初始条件 y x?1 ? e 的特解。
8
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（1） y ? Cearcsin x .
解： y?? Cearcsin x ? 1 ， 1? x2
消去常数C ，得 y?? y? 1 ，即 y? 1? x2 ? y ? 0 。 1? x2
显然，将 y ? Ce arcsin x 代入 y? 1? x2 ? y ? 0 中，等式 成立，且方程的阶数与任意常数的个数相等，故此方 程符合题意。
2
2.微分方程的阶
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微 分方程的阶。未知函数的最高阶导数为 n 的 微分方程 称为 n 阶 微分方程。
例如： dy ? xy? 0 ； dx
x
d2y dx2
?
xy2
?
sin
x
；
x2 y???? xy??? 4 y?? 3x4 ；
y(4) ? 4 y???? 10y???12 y?? 5 y? sin 2x。