线性代数(第六版)教案4
线性代数-工程版(同济大学第六版)第四章
定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 称为向量组．
注: (1) 向量组中的向量必须是同型向量.
(2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量.
例如 （1）
1
2
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
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cmn am1 am2
a1l b11 b12
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b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
则
r1T r2T
a11 a21
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
工程数学线性代数第六版课件
行列式的定义与性质
总结词
行列式是矩阵的一个重要数值指标， 表示由矩阵构成的平行多面体的体积 ，具有独特的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由矩阵的元素按照一定规则计算 得出的一个数值，用符号D表示。行列式 D与矩阵A的行和列具有相同的秩，即D的 行和列向量构成的子空间与A的行和列向 量构成的子空间是相同的。
空间具有平移不变性、旋转不变性和对称性 等性质。
向量空间的概念与性质
向量空间定义
向量空间是指由向量构成的集合，其中向量 之间可以进行加法、减法和数乘等运算，且 满足一定的封闭性和结合律。
向量空间的性质
向量空间具有向量的加法、数乘和标量乘积 等运算性质，同时也有零向量、负向量的概
念。
向量空间的基与维数
详细描述
线性规划问题通常可以表示为在一组线性约束条件下 ，最大化或最小化一个线性目标函数。通过使用线性 代数的方法，可以求解线性规划问题，并得到最优解 。
应用案例二：投入产出分析
总结词
投入产出分析是一种分析经济活动中各部门之间相互 关系的方法。
详细描述
投入产出分析通常通过构建一个投入产出表来描述各部 门之间的相互关系。这个表是一个方阵，其中的元素表 示各个部门之间的投入产出关系。通过求解线性方程组 ，可以得出各个部门的总投入和总产出。
线性代数具有抽象性和严谨性，对于解决实际问题中涉及到的线性问题具 有很高的实用价值。
线性代数在数学和其他学科中都有广泛的应用，如物理学、经济学、计算 机科学等。
线性代数的应用领域
01
在物理学中，线性代数被广泛应用于量子力学、线 性动力学等领域的计算和解析。
02
在经济学中，线性代数可以用于统计分析、计量经 济学、投入产出分析等方面的计算和建模。
线性代数教案
线性代数教案一、引言线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如工程、物理、计算机科学等。
本教案旨在通过系统的学习和实践，帮助学生建立起对线性代数概念和技巧的正确理解和运用能力。
二、教学目标1. 掌握线性代数的基本概念，如矩阵、向量、线性方程组等；2. 熟悉线性代数的运算法则和性质；3. 学会运用线性代数解决实际问题；4. 提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
三、教学内容1. 向量空间1.1 向量的定义和表示1.2 向量的线性组合和线性相关性1.3 向量空间的性质和运算规律2. 矩阵2.1 矩阵的定义和表示2.2 矩阵的运算法则和性质2.3 矩阵的秩和逆矩阵3. 线性方程组3.1 线性方程组的基本概念和解的存在性3.2 线性方程组的解的唯一性和解的结构3.3 线性方程组的应用4. 特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义和性质4.2 对角化和相似矩阵4.3 特征值与特征向量的应用四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性代数的基本概念和原理，引导学生建立起知识体系。
2. 案例分析法：通过实际问题，让学生应用线性代数的方法进行求解，加深对理论知识的理解和应用能力。
3. 实际操作法：通过编写程序或使用数学软件，让学生进行实际计算和模拟，提高操作技能和实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，促进合作学习和思维碰撞，培养团队合作精神和批判性思维。
五、教学评估1. 课堂测试：每个知识点结束后进行简单测试，检验学生对基本概念和运算法则的掌握程度。
2. 作业布置：每次课后布置作业，包括理论题和计算题，检验学生对理论知识和实际应用的理解和掌握情况。
3. 实验报告：要求学生完成线性代数实验，撰写实验报告，包括实验目的、方法、结果和讨论等，检验学生的实践操作能力和实验分析能力。
4. 期末考试：针对全面的课程内容进行期末考核，考察学生对线性代数的整体掌握情况。
六、教学资源1. 教材：推荐《线性代数》（第三版）李尚志著，清华大学出版社，作为教学参考书。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
(完整word版)线性代数教案
线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
线性代数教案
线性代数教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解线性代数的基本概念和相关术语；2. 理解线性方程组和矩阵的概念、性质和运算规则；3. 掌握矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘和矩阵乘法；4. 能够求解线性方程组，并应用到实际问题中。
二、教学重点与难点1. 教学重点：线性方程组和矩阵的概念及其运算规则；2. 教学难点：矩阵乘法的理解和应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引入线性代数的概念，向学生介绍线性方程组和矩阵的相关背景知识，并激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 线性方程组的定义和解法- 介绍线性方程组的概念以及线性方程组的解的定义；- 分析线性方程组解的情况：无解、唯一解和无穷解；- 通过实例讲解线性方程组解的求解方法。
2.2 矩阵的定义和性质- 介绍矩阵的基本概念和符号表示方法；- 讲解矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法的规则；- 引导学生理解矩阵乘法的几何意义。
3. 实例分析与练习（25分钟）3.1 线性方程组的求解实例- 给出一些线性方程组的实际问题，引导学生运用所学知识解决；- 指导学生使用矩阵运算进行线性方程组的求解。
3.2 矩阵运算实例- 给出一些矩阵的实际运用问题，让学生通过实例进行练习；- 帮助学生熟练掌握矩阵的加法、数乘和矩阵乘法。
4. 拓展延伸（15分钟）通过引导学生思考，结合线性代数在实际问题中的应用，进一步拓展学生的知识面。
5. 归纳总结（10分钟）对本节课所学内容进行总结，强化学生对线性代数的理解和掌握。
四、教学评价1. 在教学过程中，观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助；2. 布置相关习题，检验学生对所学知识的掌握情况；3. 根据学生的表现进行评价，及时给予反馈和指导。
五、教学资源准备1. 教材和课件；2. 相关实例分析的教学素材；3. 学生练习题、作业等。
总结：通过本节课的教学，学生能够理解线性代数的基本概念和相关术语，掌握线性方程组和矩阵的运算规则，并能够应用所学知识解决实际问题。
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《线性代数》 教 案
编 号：
1212221
2
n n n n nn a a a a a λ
-是λ的n 次多项式，n 阶矩阵A 的特征方程. )00
I λα-=是它的特征方程A -
,n λ就是，它的非零解都是特征值与它的转置矩阵有相同的特征值,)n 或(2) ,)n 有一个成立，则矩阵1,2,
,)n 的模(,n λ是方阵A 的特征值，,n α依次是与之对应的特征向量,n λ各不相等，那么1,,
,n ααα线性无关.
4 设n 阶矩阵=()ij n n A a ⨯的全部特征值为2,,n λλ（其中可能有重根、1
1
,n n
ii
i i a A λ
====∑∏
的所有特征值之和等于的主对角线元素之和，所有特征值之积等于
《线性代数》教案
编号：
λ即为
,
n
n个线性无关的特征
《线性代数》 教 案
编 号：
n n x y +
2
n x +
+称为
010r ⎝正交向量组必线性无关向量组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001，,r e 为单位正交向量组，当且仅当,[e i 2,,,r a a 线性无关，则必有单位正交向量组,r e 与1a
,r e 是单位正交向量组，且与,r a 等价把向量组1a 规范正交化.
正交化：取
),n a ,其中,n a 是A ()
121
T
T n T n a a
a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎝⎛=T n T T
a a a a a a 21,.
,0;
j ,1⎩⎨
⎧≠==i j a j 为正交矩阵的充分必要条件是A ,n x 与变量,n y 之间的关系式⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧++=++=++=nn n n n n p p x p p x y p p x 122121111,n y 到变量,n x x 的线性变换线性变换的系数构成矩阵,n P 于是线性变换（＊）就可以记为 =x 其中
《线性代数》 教 案
编 号： 1,2,,)n .
)ij n n a ⨯，如果1,2,
,)n 或 11,(,)n ij i a n =<∑，则方阵级数2k I A A A +++++收敛的充分必要条件是。