著名的数学公式总结

同时主验证验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：然后代入：透过因式分解，可得：这样便可验证：和立方验证透过和立方可验证立方和的原理：那即是只要减去及便可得到立方和，可设：右边的方程运用因式分解的方法：这样便可验证出：几何验证图象化透过绘立体的图像，也可验证立方和。

根据右图，设两个立方，总和为：把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：要得到，可使用的空白位置。

该空白位置可分割为3个部分：∙∙∙把三个部分加在一起，便得：之后，把减去它，便得：上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：可透过这样便可证明反验证透过也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：这样便可证明1. 把因式分解∙把两个数项都转为立方：∙运用立方和可得：2. 把因式分解∙把两个数项都转为立方：∙运用立方和便可得：∙但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：∙亦可使用另一个方法来减省步骤。

首先把公因子抽出：∙直接使用立方和，并得：立方差立方差也可以使用立方和来验证，例如：运用负正得负，可得：然后运用立方和，可得：这个方法更可验证到立方差的公式是平方差及的排列并不重要，可随意排放。

来验证。

先设及。

那即是，同时运用了若上列公式是的话，就得到以下公式：以上运用了，也即是两方是相等，就得到：注：塞尔伯格迹公式空间的函数空间上某类算子的，其中而设为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面对的某离散子群的商。

考虑上的拉普拉斯算子由于为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的值至多可数事实上，更可将其由小至大排列：对应的特征函数，并满足以下周期条件：行变元代换于是特征值可依排列。

塞尔伯格迹公式写作和式中的取遍所有双曲共轭类。

所取函数须满足下述性质：∙在带状区域上为解析函数，在此为某常数。

∙偶性：。

∙满足估计：，在此为某常数。

函数是的。

后续发展的尖点问题提供了纯粹的代数框架。

最后，为紧的情形可藉处理，然而，一旦取泰勒公式称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。

这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。

实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。

这个想法的原由可以由微分的定义开始。

微分是函数在一点附近的最佳线性近似：，其中也就是说，或。

注意到和在a处的零阶导数和一阶导数都相同。

对足够光滑的函数，如果一个多项式在a处的前n次导数值都与函数在a处的前n次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。

以下定理说明这是正确的：定理：设n是一个正整数。

如果函数f是区间[a, b] 上的n阶连续可微函数，并且在区间[a, b) 上n+1 次可导，那么对于[a, b) 上的任意x，都有：[2]其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：也就是说，当x无限趋近a时，余项将会是的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于[3]。

这个结论可以由下面更强的结论推出。

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：即，其中[4]。

带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：余项估计拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。

设函数在区间[a−r, a + r]上n次连续可微并且在区间(a−r, a + r) 上n + 1 次可导。

如果存在正实数M n使得区间(a−r, a + r) 里的任意x都有，那么：其中。

这个上界估计对区间(a−r, a + r) 里的任意x都成立，是一个一致估计。

如果当n趋向于无穷大时，还有，那么可以推出，f是区间(a−r, a + r) 上解析函数。

f在区间(a−r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。

对所有，其中的α 是多重指标。

其中的余项也满足不等式：对所有满足|α| = n + 1 的α，π的莱布尼茨公式证明初等证明考虑如下分解对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。

然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。

上式两端从0到1积分可得：当时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。

同时，积分项收敛到0：当这便证明了莱布尼茨公式。

乘法公式：。

：。

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：。

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9.10. 。

二倍角公式二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。

二倍角公式均可通过和角公式推出。

此式就是正弦二倍角公式：余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：正切二倍角公式此式就是正切二倍角公式：全概率公式又因为条件概率的期望值在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。

但后者在连续情况下仍然成立：此处N是任意随机变量。

这个公式还可以表达为：全期望公式1.验证验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：因式分解因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。

在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。

两个平方之和或两个平方之差（请参见平方差）根据以上两条恒等式，如原式符合以上条件，即可运用代用法直接分解。

两个n次方数之和与差两个立方数之和可分解为两个立方数之差可分解为两个n次方数之差两个奇数次方数之和一次因式检验法一个整系数的一元多项式，假如它有整系数因式，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）∙∙不过反过来说，即使当和都成立时，整系数多项式也不一定是整系数多项式的因式另外一个看法是：一个整系数的ｎ次多项式，若是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）∙∙因式定理指出，一个多项式有一个因式当且仅当。

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。

从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。

方法如下：1. 先设法找出多项式的一个零点。

2. 利用因式定理确认是多项式的因式。

3. 利用长除法计算多项式。

4. 中，所有满足条件的根都是方程式的根。

因为的多项式阶数较要小。

因此要找出多项式的零点可能会比较简单。

另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式外尔特征标公式外尔特征标公式（Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。

其名来自证明者赫尔曼·外尔。

定义：群G的表示r的特征标为一函数，，其中Tr为线性算子之迹。

（由彼得-外尔定理可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的；故迹之定义为线性代数中之定义。

）特征标χ 记住了表示r本身的重要讯息。

外尔特征标公式用群G的其他资料来表达χ 。

本文考虑复表示，不失一般亦设其为酉表示，因而―不可约‖亦等价于―不可分解‖（即非二子表示之直和）。

其中在1 维表示的特例中，特征标为1, 而外尔特征标公式简化成外尔分母公式：。

外尔维度公式若只考虑单位元1之迹，则外尔特征标公式特殊化成外尔维数公式,其中∙VΛ为有限维表示，其最高权为Λ；∙ρ为外尔向量，∙α 遍历所有正根。

由于式中分子与分母俱为高阶零，故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。

；其中∙Λ 为一最高权，∙λ 为另一权，∙dim Vλ为权λ 之重数，∙ρ 为外尔向量，∙外和中之α 历遍所有正根。

外尔-Kac 特征标公式其中S为一修正项：所有与最高权正交、且互相正交之有限子。

Peterson 发现了（广义）可对称化[3]卡茨-穆迪代数之根重数mult(β)递归公式。

此公式等价于外尔-卡茨分母公式，但更便于计算：,其中γ 与δ 遍历所有正根，而。

婆罗摩笈多公式婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。

若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：证明圆内接四边形的面积= 的面积+ 的面积但由于是圆内接四边形，因此。

故。

所以：对和利用余弦定理，我们有：代入（这是由于和是互补角），并整理，得：把这个等式代入面积的公式中，得：它是的形式，因此可以写成的形式：引入，两边开平方，得：证毕。

更特殊情况若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：证明由于四边形内接于圆O，所以：其中p为半周长：又因为四边形外切圆C，所以：则：同理:，，综上：证毕。

对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：其中是四边形一对角和的一半。

（选取另一对角也不会影响答案，因其和的一半是。

而，所以。

)因为圆内接四边形的对角和为，，而，所以项为零，给出公式的基本形式。

差分到概念。

差分的定义差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。

前向差分函数的前向差分通常简称为函数的差分。

对于函数，如果：，则称为的一阶前向差分。

在微积分学中的有限差分（的解法相似。

当是逆向差分对于函数，如果：则称为的一阶逆向差分。

称为的阶差分，即前向阶差分，如果根据数学归纳法，有其中，为二项式系数。

特别的，有∙线性：如果和为常数，则有∙乘法定则：∙除法定则：或∙级数：牛顿数列牛顿数列（级数），也称作牛顿前向差分方程是一个以数学与物理学家牛顿命名的函数关系。

具体为：为的阶差立方主验证差立方可直接计算验证：以上计算方式便可证明:布巴克尔多项式有时也会使用另一种定义,可以通过递归的方式进行定义。

首先，规定前三个布巴克尔多项式为：生成解布巴克尔多项式的通解为 :微分操作代表布巴克尔多项式亦可记为 :布雷特施奈德公式在公式当中, a, b, c, d均是四边形的边长, s则是半周界,亦即是a+ b+c+ d再除以2, 而 and 则是其中两个对角。

半周界一个四边形在几何学当中, 布雷特施奈德公式是一条任意四边形的面积公式:设四边形的面积为A。

由此得到因此这亦可改写为接着在中代入这亦可改写为刚才半周界的公式因此上式成为得证。

弗莱纳公式在向量微积分中，弗莱纳公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。

更具体的说，弗莱纳公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。

单位切向量T，单位法向量N，单位副法向量B，被称作弗莱纳标架，他们的具体定义如下：弗莱纳公式如下：由于假设r′ ≠ 0，因此可以将t表示为s的函数，因此可将曲线表示为弧长s的函数r(s) = r(t(s))。