辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(理) Word版含答案

2015年葫芦岛市普通高中高三年级调研考试

高三数学（供理科考生使用）

注意事项：

1．本试卷分第I 卷、第II 卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．

3．用铅笔把第I 卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的 相应位置上．

4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回， ，

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合 {}

{}|2,,1,0,2,3M x x xR N =<=-，则 M

N =

A.{0,1,2}

B. {-1,0,1,2}

C.{-l,0,2.3 l

D.{0,l,2,3} 2.设复数z 满足(1 -i)z=2i ，则z=

A.-1+i

B.-1-i

C.1+i

D. l-i

3．等比数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，已知 321510,9S a a a =+=，则 1a = A.

13 B ． 13- C. 19 D. 19

- 4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面 α， n ⊥平面 β.直线 l 满足

,n,,l m l l l αβ⊥⊥??, 则

A ．//αβ，且//l α B. αβ⊥，且l β⊥

C ．

α与 β相交，且交线垂直于l D ． α与β相交，且交线平行于l ，

5．已知实数x ，y 满足 (01)x

y

a a a <<<，则下列关系式恒成立的是

A.

22

1111

x y >++ B. 22

ln(1)ln(1)x y +>+ C. 33

x y > D. sin sin x y >

6．设函数f(x)满足 ()()cos f x f x x π+=+，当 0x π≤<时，()0f x =，则 11(

)3

f π

= A ．

12 B ．

C.0 D ． 12- 7．若多项式 2108910018910(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++???+++++，则 8a = A.45 B.9 C.- 45

D.-9 8．如图，程序输出的结果s=132，则判断框中应填

A .10?i ≥

B ． 11?i ≥ C. 11?i ≤ D ． 12?i ≤

9．设两正数量x,y 满足约束条件 33

1281

232xy x y x y

??

≤???≤???≥??? ，则 2x y 的最大值为

A ．1024

B ．256

C ．8

D ．4

10.若函数 2()()x f x x bx c e =++在 1(,)x -∞上单调递增，在 1,2()x x 上单调递减，在 2(,)x +∞上单调递增，

且 11()f x x =，则关于x 的方程 []2

()(2)()0f x b f x b c ++++=的不同实根个数是

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

11.四面体ABCD 的外接球为O ，AD ⊥平面ABC ，AD=2， 30ACB ∠=，

AB =，则球O 的表面积为

A ．32

π B ．16π C ．12 π D ．

323

π 12. (,0)F c -是双曲线 22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点，P 是抛物线 2

4y cx =上一点，

直线FP 与圆2

2

2

x y a +=相切于点E ，且PE=FE ，若双曲线的焦距为

2+，则双曲线的实轴长为 A ．

B. C.4 D ．

2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知向量a 、b 是夹角为60 的两个单位向量，向量 ()a b R λλ+∈与向量a -2b 垂直，则实数 λ=_______.

14. 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图 是等边三角形，该四棱锥的体积等于_______.

15.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______.（结果用最简分数表示） 16.在数列

{}

n a 中， 124,10a a ==，若

{}

3log (1)n a -为等差数列，则

21321111

n n

Tn a a a a a a -=

++???+=---_______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在三角形ABC 中，

2sin 2cos sin3cos )C C C C ?-=-. (1)求角C 的大小；

(2)若AB=2，且 sin sin()2sin 2C B A A +-=，求 ABC ?的面积．

18.（本小题满分12分）

如图所示，在五棱锥P-ABCDE 中，PE ⊥平面ABCDE ，DE ⊥AE.AB ∥DE ，BC//

AE ，AE=AB=PE=2DE=2BC ，F 为棱PA 的中点，过D 、E 、F 的平面 α与梭PB 、PC 分别交于点G 、H ．

(l)求证：DE//FG

(2)设DE=l ，求直线CD 与平面 α所所角的大小， 并求线段PH 的长。

19.（本小题满分12分）

某商场在元旦举行促销活动，其中有一种过关游戏，要求参与者闯两关，只有过了第一

关才能闯第二关，每关最多可以闯两次，连续两次失败退出游戏，过关者给予一种“代金券”奖励，在本商场购物可抵相同面值的现金，只过第—关获代金券512元，两关全过可获代金券1024元，A 、B 、c 、D 四位顾客有幸参与了这次过关游戏，已知这四名顾客每人每次闯关成功的概率均为

3

4

，且每次过关与否互不影响，在该次游戏中，这四名顾客不放弃所有机会； (1)求顾客A 只获得512元代金券的概率；

(2)求顾客A 所获得的代金券金额X 的数学期望；

(3)求四名顾客中获得1024元代金券的人数为Y ，求Y 的数学期望，

20.（本小题满分12分）如图，抛物线 2

1:2(0)C x px p =>与椭圆 22

222:1(0)

x y C a b a b

+=>>的一个交点为 41

(,)33

T ， (1,0)f 为椭圆 2C 的右焦点；

(l)求抛物线 1C 与椭圆 2C 的方程：

(2)设 13(,)22

A ，过A 作直线 l 交抛物线 1C 于M 、N 两点（M 点在N 点的左侧）， 12l l 、 分别是过M 、N 且与抛物线 1C 相切的直线，直线12l l 、 交于点

B ，直线 1l 与椭圆 2

C 交于P 、Q 两点．

(i)求证：B 点在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (ii)设 2(0,)3

E ，求△EPQ 的面积的最大值， 并求出此时B 点的坐标．

21．（本小题满分12分） 已知 1(),()ln()x

f x e

g x t x -==-．其中e=2.71828...，m 为常数，且t ∈R ．

(l)若 ()()()h x f x g x =-在(1，h(1))处的切线为 1ln(1)y t =--，求t 的值并讨论函数h(x)的单词性；

(2)当t ≤3时，证明：f(x)>g(x)．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ．

如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B,C 两点，且 1

3

AB AC =

，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D ，己知圆E 的半径为2， 30EBC ∠= (l)求AF 的长；

(2)求证：AD=3ED.

23.（本小题满分10分）选修4-乱坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆C 的方程是 2240x y x +-=，圆心为C ．在以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线

1:C ρθ=-与圆C 相交于A ，B 两点．

(1)求直线AB 的极坐标方程；

(2)若过点C(2，0)的曲线

22:12

x C y t ?=+???

?=??（t 是参数）交直线AB 于点D ，交y 轴子点E ，

求 :CD CE 的值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数 ()213f x x x =+-- (1)解不等式 ()4f x ≥； (2)求函数 ()y f x =的最小值．

2014---2015学年度上学期高三期末考试

数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一.选择题:每小题5分,总计60分

三.解答题:

17.(本小题满分12分)

解：(1) 由题2sin 2cos sin(2)cos )C C C C C ?-+=-，

则sin 2cos cos2sin C C C C C -=，化简得sin C C ， …2分

即sin C C =，2sin()3C π

+=sin()32

C π+=……………4分 从而23

3C π

π+

=

，故3

C π

=.

……………………………………………6分

(2) 由sin()sin()2sin 2A B B A A ++-=，可得sin cos 2sin cos B A A A =.

所以cos 0A =或sin 2sin B A =. ………………………………………7分

当cos 0A =时，90A =?,则

b =112223ABC S b

c ?=??==

; ………8分 当sin 2sin B A =时，由正弦定理得2b a =.

所以由22222441cos 2222

a b c a a C ab a a +-+-===??，可知243a =. ………………10分

所以211sin 222ABC S b a C a a ?=???=??==

.

综上可知ABC S ?= ……………12分

18．（本小题满分12分） (1)∵DE ∥AB,AB 平面PAB ∴DE ∥平面PAB ……………………2分

又∵DE

α且α∩平面PAB=FG ∴DE ∥FG ……………………4分

(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz ， 则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C （2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1) →→→

由n →·ED →=0且n →·EF →=0得：???x=0y+z=0 ,取y=-1得： =（0,-1, 1） 设直线BC 与平面ABF 所成角为θ，则 sin

＝|cos 〈n →，CD

→〉|＝?????

???n →·CD →|n →

||CD →|＝12. 因此直线CD 与平面α所成角的大小为π

6.…………………………………………8分

设点H 的坐标为(u ，v ，w )．

因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →

(0<λ<1)．

即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n →是平面ABF 的一个法向量， 所以n →·EH →＝0，

即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0， 解得λ＝2

3，所以点H 的坐标为????43，23，23. 所以PH ＝

????432＋????232＋???

?－432

＝2. …………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解： “顾客A 第i 次闯第一关成功”记作事件A i ,(i=1,2), “顾客A 第i 次闯第二关成功”记作

事件B i ,(i=1,2), “顾客A 闯第一关成功”记作事件A, “顾客A 闯第二关成功”记作事件

B,则P(A i )=P(B i )= 34 ，P(A)=1-P(A 1-A 2-)=1-14×14=1516, P(B)=1-P(B 1-B 2-)=1-14×14=1516…………2分

(1)设事件C=“顾客A 只获得512元代金券”，则 P(C)= P(A 1B 1-B 2-)+P(A 1-A 2B 1-B 2-)=34×14×14+14×34×14×14=

15256

(或由P(A)=(1-14×14)×14×1

4求得，同样赋分）……………………………………………6分

（2）X 的可能取值为：0，512，1024 P(X=0)=P(A 1-A 2-)=14×14=

116

P(X=512)= P(A)= P(A 1B 1-B 2-)+P(A 1-A 2B 1-B 2-)=34×14×14+14×34×14×14=

15256 P(X=1024)=P(AB)= 1516×1516=225

256

∴EX=0×116+512×15256+1024×225

256=930(元）……………………………………………10分

∴顾客A 所获得的代金券金额X 的数学期望为930(元）

（3）由题意，Y ～B(4, 225256) ∴EY=4×225256=225

64

≈3.2(人）…………………………12分

20.(本小题满分12分)

解：（1）∵点P 在抛物线C 1上，∴（43）2=2p ·13 ∴ p=83 ∴抛物线C 1的方程为：x 2=16

3y 又∵点P 在椭圆C 2上 ∴由椭圆定义可知：2a=

(43+1)2+(1

3)2+

(43-1)2+(1

3)2=2 2 ∴a= 2

又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C 2的方程为：x 22+y 2

=1……………………………………………6分 (2) (i)由x 2=163y 得：y=3

16x 2 ∴y

=3

8x 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2) 、B(x B ,y B )

设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=y

|x=x 1

=3

8x 1, k 2=y

|x=x 2=38x 2

∴直线l 1的方程为：y-y 1=38x 1 (x-x 1) 3x 1x-8y-3x 12+8y 1=0 又∵M 在抛物线上 ∴x 12=16

3y 1 ∴直线l 1的方程为：3x 1x-8y-8y 1=0 同理直线l 2的方程为：3x 2x-8y-8y 2=0

∵直线l 1与直线l 2交于B 点 ∴???3x 1x B -8y B -8y 1=0

3x 2x B -8y B -8y 2=0

∴直线3x B x-8y B -8y=0过M 、N 两点

即直线MN 的方程为：3x B x-8y B -8y=0 ∵直线MN 过点A(12,32) ∴3x B ×12-8y B -8×3

2 =0 整理得是：3x B -16y B -24=0 即B 点在定直线3x-16y-24=0上。………………………8分

(ii)联立方程组：?????x 2

2+y 2=1

3x 1x-8y-8y 1=0

消元整理得：

（18x 12

+64)x 2

-96x 1y 1x+128y 12

-128=0……………………① △=(-96x 1y 1)2-4×(18x 12+64)(128y 12-128)=16×64(9x 12-32y 12

+32)>0

∴9x 12-32y 12

+32>0 ……………………………………②

设P(x 3,y 3)、Q(x 4,y 4),则x 3、x 4是方程①的两个解，由韦达定理得： x 3+x 4=96x 1y 118x 12+64, x 3x 4=128y 12

-12818x 12

+64 ∴|PQ|=

1+(3x 1

8)2 ·

(96x 1y 118x 1+64)2-4×128y 12-12818x 12+64=9x 12+648·4×89x 12-32y 12

+3218x 12+64

=9x 12

+64·29x 12

-32y 12

+32

9x 12

+32

将x 12=16

3

y 1代入得：

|PQ|=9x 12

+64·248y 1-32y 12+329x 12

+32=9x 12+64·2×43y 1-2y 12+248y 1+32=12·9x 12

+64·3y 1-2y 12

+23y 1+2

设E 到直线l 1的距离为d,则d=|-8×2

3-8y 1|

9x 2+64=83·3y 1+2

9x 12

+64

∴S △EPQ =12·|PQ|·d=12·12·9x 12

+64·3y 1-2y 12

+23y 1+2·83·3y 1+29x 12

+64

=23-2y 12+3y 1+2 =2

3

-2(y 1-34)2+258≤23×522=526

∴△EPQ 的最大值为52

6，此时y 1=34,x 1=-2……………………………………………10分

将y 1=3

4,x 1=-2代入②，经检验②式成立。∴直线l 1的方程为3x+4y+3=0与3x-16y+24=0联立解得B 坐标为（45,-27

10) ……………………………………………12分 21. (本小题满分12分) (1)h (x)=f

(x)-h

(x)=-e 1-x +1

t-x h

(1)=-1+1

t-1=0 ∴t=2

∴h

(x)= -e 1-x +12-x 令m(x)= -e 1-x +1

2-x 则=m

(x)=e 1-x +1

(2-x)2>0 m

∴m(x)在（-∞，2） 上单调递增 即h (x)在（-∞，2） 上单调递增 ∵h

(1)=0 ∴当x ∈(-∞,1)时，h (x)

(1)=0,h(x)在(-∞,1)上单调递减；当x ∈(1,2)时，h

(x)>h

(1)=0,h(x)

在（1，2）上单调递增；

综上：h(x)的单调减区间为(-∞,1)，h(x)的单调增区间为（1，2）………………………6分 （2）当t ≤3，x ∈(-∞,t)时，ln(t-x)≤ln(3-x) ∴若要证f(x)>g(x)，只需证：f(x)>ln(3-x) 证法一：令(x)=f(x)-ln(3-x)=e 1-x -ln(3-x)

(x)=-e 1-x +1

3-x 易证：(x)在（-∞,3)上单调递增且

(1)=-1+12<0,

(2)=-1

e +1>0,∴存

在唯一个x 0∈(1,2)，使得(x 0)=0 ∴-e 1-x0+13-x 0

=0 13-x 0

= e 1-x0 ln 1

3-x 0

=ln e 1-x0 ∴

ln(x 0-3)=x 0-1 当x ∈(-∞,x 0)时，(x)<0,当x ∈(x 0,3)时

(x)>0

∴

(x)在(-∞,x 0)单调递减，在(x 0,3)单调递增；

∴(x)≥(x 0)=e

1-x 0

-ln(3-x 0)= 13-x 0-(x 0-1)=x 02-4x 0+43-x 0= (x 0-2)2

3-x 0

>0

即(x) >0 ∴f(x)>ln(3-x)

∴f(x)>ln(3-x) ……………………………………………12分 证法二：先证明ln(3-x)≤2-x(由lnx ≤x-1代换） 令n(x)= ln(3-x)-2+x 则n

(x)=-13-x +1=2-x 3-x

∴n(x)在（-∞，2)上单调递增，在（2，3）上单调递减；

∴n(x)≤n(2)=0 即ln(3-x)≤2-x （当且仅当x=2时取“=”号）……………………① 再证：f(x)≥2-x 即证：e 1-x ≥2-x 令p(x)=e 1-x +x-2 则p (x)=-e 1-x +1 易知：p(x)在(-∞,1) 上单调递减,在(1,3) 上单调递增

∴p(x)≥p(1)=0

∴p(x)≥0 即f(x)≥2-x(当且仅当x=1时取“=”号）……………………② 由①②可知：f(x)≥2-x ≥ln(3-x)

∴f(x)≥ln(3-x) 又∵①②中不可能同时取“=”号 ∴f(x)>ln(3-x)

∴f(x)>g(x) ……………………………………………12分 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解(1) 延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则∠BCM=90

，

又BM=2BE=4，∠EBC=30，所以BC=23，

又AB=13AC ，可知AB=1

2

BC= 3.

所以根据切割线定理AF 2=A B ·AC=3×33=9， 即AF=3. ……………………5分

(2) 过E 作EH ⊥BC 于H ，则△EDH ∽ADF ，

从而有ED AD =EH AF =1

3

，因此AD=3ED . …………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（1）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，

极坐标与直角坐标有关系：222

tan x y y

x ρθ?=+?

?=??

或cos sin x y ρθρθ=??=? ，……………1分 所以圆C 1

的直角坐标方程为220x y ++=，………………………2分 联立曲线C ：0422=-+x y x ，得

1100x y =??=?

或223

x y =???=??,

即不妨令(0,0),(3,A B ，从而直线AB

的直角坐标方程为：y x =， (此处如下解法也可：联立曲线C 1与C ，消去2

x 与2

y

0x +=)

所以，sin cos 3ρθρθ=-

，即tan 3

θ=-， …………………………4分 所以直线AB 的极坐标方程为6

π

θ-

=，∈ρ(R ）. ……………………5分 （2）（方法一）由(1)可知直线AB

的直角坐标方程为：y x =， ……………6分 依题令交点D 11(,)x y

则有1111212

x y t ?=+????=??， 又D 在直线AB

上，所以，

111)2t =

，解得1t =，

由直线参数方程的定义知|CD|=|1t

|3

=

， …………………………………8分 同理令交点E 22(,)x y

，则有2222212

x y t ?=+???

?=??， 又E 在直线0x =

上，所以220+

=

，解得2t =

所以|CE|=|2t

|= ………………………………………………………9分 所以|CD|:|CE|=

1

2

. ……………………………………………………10分 （方法二）将曲线C 2

:212

x y t

?=????=??(t 是参数)化为普通方程

:2)y x =

-， ……6分 将其联立AB 的直线方程

:3y x =-，解得

:1

x y =??

?=??

D (1,3-， 再将曲线C 2与直线0x =

联立，解得0

x y =??

?=??

，从而

E (0,， 这样

3， ………………………………………8分

， …………………………………………9分 从而|CD|:|CE|=1

2

. ………………………………………………10分 24．解：

（Ⅰ）14()21()21332(3)24(3x x f x x x x x x x ?

--<-??

?

=+--=--≤≤??

+>???

） ……3分

不等式()4f x ≥等价于：

1244x x ?<-???--≥?或132

324

x x ?-≤≤???-≥?或3

44x x >??+≥? 解得：8x ≤-或2x ≥

∴不等式的解集为{|8x x ≤-或}2x ≥. ……6分

（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数()y f x =的最小值在1

2

x =-处取得， 此时min 7

()2

f x =-. …… 10分