离散数学第十四章 图的基本概念 (14.2 -14.4new)
离散数学课件-14-图的基本概念
第十四章图的基本概念§1 图定义设A,B是两个集合，称{{a,b}|a∈A,b∈}B 为A与B的无序积，记为A&B；{a,b}称为无序对。
后面，把{a,b}记为(a,b)，且允许a=b；对无序对(a,b)，有(a,b)=(b,a)。
定义设G =〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V&V，（E中元素可重复出现）则称G是一个无向图。
此时，称V为G的顶点集，记为V(G)，V中的元素称为G的顶点；称E为G的边集，记为E(G)，E中的元素称为G的无向边。
定义设D=〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V×V（E中元素可重复出现）则称G是有向图。
此时，称V为D的顶点集，记为V(D)，V中的元素称为D的顶点；称E为D的边集，记为E(D)，E中的元素称为D的有向边。
图的图示注①有时G既表示无向图又表示有向图，可统称为图。
②若V(G),E(G)均为有穷集，则称G为有限图。
对有限图G，称|V(G)| 为G的阶数。
③对e∈E(G)，称e出现的次数为e的重数，这些相同的边称为平行边（或重边）。
④当V(G)=∅时，称G为空图，记为∅。
⑤ 当E (G )= ∅时，称G 为零图，n 阶零图记为N n ；特别地，称N 1为平凡图。
⑥ 用u ,v ,v 1,v 2,"表示顶点，用e ,e 1,e 2,"表示边，称这样的图为标定图。
否则，称为非标定图。
⑦ 把无向图G =〈V ,E 〉的每条无向边确定一个方向后得到一个有向图D ，称D 为G 的定向图。
反之，去掉有向图D =〈V ,E 〉的每条有向边的方向后得到一个无向图G ，称G 为D 的基图。
⑧ 设G 是一个图，e ∈E (G )。
若e =(v i ,v j ) 或e =〈v i ,v j 〉，则称v i ,v j 为e 的端点，称v i ，v j 与e 是关联的。
当v i ≠v j 时，称e 与v i 或e 与v j 的关联次数为1；当v i =v j 时，称e 为环，e 与v i 的关联次数为2；对 (), ,l l i l j v V G v v v v ∈≠≠，称e 与v l 的关联次数为0。
离散数学课件14图的基本概念
标定图与非标定图、基图
• 将图的集合定义转化成图形表示之后，常 用ek表示无向边(vi,vj)（或有向边<vi,vj>） ，并称顶点或边用字母标定的图为标定图 ，否则称为非标定图。
• 将有向图各有向边均改成无向边后的无向 图称为原来图的基图。
• 易知标定图与非标定图是可以相互转化的 ，任何无向图G的各边均加上箭头就可以 得到以G为基图的有向图。
称NG(v)∪{v}为v的闭邻域，记做NG(v)。 称{e|e∈E∧e与v相关联}为v的关联集，记做IG(v) 。
• 设有向图D＝<V，E>，v∈V， 称{u|u∈V∧<v,u>∈E∧u≠v}为v的后继元集，记做 Г+D(v)。 称{u|u∈V∧<u,v>∈E∧u≠v}为v的先驱元集，记做 Г (v)。 -2020/7/23
2020/7/23
无序积与多重集合
• 设A，B为任意的两个集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B的无序积，记作 A&B。
可将无序积中的无序对{a,b}记为(a,b)，并且 允许a＝b。
无论a,b是否相等，均有(a,b)＝(b,a)，因而 A&B＝B&A。
• 元素可以重复出现的集合称为多重集合或者 多重集，某元素重复出现的次数称为该元素 的重复度。 2020/7/23
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举例
NG(v1) {v2，v5}
＝
NG(v1)
＝
{v1，v2，v5}
IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
离散数学图论图的基本概念
3、补图1）定义 设G＝< V，E >为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作
2）性质：设G是n阶Байду номын сангаас-正则图，证明G的补图也是正则图 对图中任何结点v的度有
dG(v) + d(v) = dKn(v)= n-1 d(v) = n-1- dG(v)＝n-1-k = n-(k+1） 3）自补图：若图 G ≌ (同构) 则称G为自补图。
6）邻接： 边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点， 则称ek与el是相邻的 顶点的相邻：若∃et∈E，使得et = <vi，vj>， 则称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。7）平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们的方向相同，则称这些边为平行边．8）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．（主要讨论简单图）
3）定义：(G) = max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G) = min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为、δ定义： －(D) = max{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ＋(D) = max{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 δ-(D) = min{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ＋(D) = min{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度5、握手定理（欧拉）1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m， 则 ∑d(vi) ＝ 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ， 则 ∑d+(vi) = ∑d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2m3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数个
离散数学平面图
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
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几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
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点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
离散数学 图论-通路与回路
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。 反之不成立 回路也可分为简单回路和初级回路。
3、通路的表示：
可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理 在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度 小于或等于(n—1)的通路 若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于 n—1的初级通路(路径) 3）定理 在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度 小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等 于n的初级回路．
（3）A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩阵的幂次运算 （4）A2中的元素值bij是结点vi到vj长度为2 的通路条数：
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj 由此可推断，A3矩阵中的Cij元素值，表示了从到长度恰为3的通路条数目 （5）定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的
注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立
单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
6、有关强连通图与单向连通图的判定 （1）定理： 设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}．
D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路． (2) 定理 设D是n阶有向图
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
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定义14.17（桥） 设无向图G=<V，E>，若存 在e∈E，使得p(G-e)> p(G)，则称e是G的桥。
桥：e6，e5
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下面讨论有向图的连通性 定义14.20在一个有向图D=<V，E>中，如果顶 点u，v之间存在通路，则称u可达v，记作u→v。 规定任意的顶点总是可达自身的，即∀u∈V， u→u。 若u→v且v→u，则称u与v是相互可达的，记作 u↔v，规定u↔u。 说明：→、↔都是V上的二元关系，并且↔是V 上的等价关系。
定理14.5 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj （vi≠vj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于 （n-1）的通路。
推论 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj（vi≠vj） 存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于（n-1）的 初级通路。
定理14.6 在一个n阶图中，若存在vi到自身的回 路，则从vi到自身存在长度小于等于n的回路。
v0和vn分别称为此通路的起点和终点。 Г中边的数目n称为通路的长度(length) 当v0=vn时，此通路称为回路（circuit）
说明
（1）可以用边的序列Г=e1e2…en表示通路或回路 （2）在简单图中，可以只用顶点Г=v0v1…vn表示通路或回路
1、有边重复出现的通路称为复杂通路； 有边重复出现的回路称为复杂回路。
矩阵的第j列为边ej分别与顶点v1,v2,…,vn的关联次 数。
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例如：求下图的关联矩阵
关联矩阵为：
2 1 1 1 0
M(G)
=
0 0
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0 0 0 1
注意 1、在无向图中，环和平行边构成的回路分别是长度 为1和2的初级回路（圈）。 2、在有向图中，环和两条方向相反边（对称边）构 成的回路分别是长度为1和2的初级回路（圈）。
思考：在简单无(有)向图中，圈的长度至少为多长？ 在简单无向图中，圈的长度至少为3 在简单有向图中，圈的长度至少为2
通路、回路的性质
推论 在一个n阶图中，若存在vi到自身的简单回 路，则从vi到自身存在长度小于等于n的初级回路。
例14.4 无向完全图Kn（n≥3）中有几种非同构的圈？ 解：
长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n≥3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n≥3）中有n-2种非同构的圈。
2、若通路中无边重复，则称该通路为简单通路； 无边重复的回路称为简单回路。
3、无边且无顶点重复的通路称为初级通路或路径。 无边且无顶点重复的回路称为初级回路或圈。
4、将长度为奇数的圈称为奇圈； 将长度为偶数的圈称为偶圈。
说明： （1）初级通路(回路)是简单通路(回路)， 但反之不真。 （2）通路、回路是图的子图。
或若无向图G由若干彼此不连通的子图组 成，而每个子图是连通的，称这些子图为G的 连通分支。
显然若G为连通图，则p(G)=1； 若G为非连通图，则p(G)≥2； Nn（n≥2）的连通分支为p(G)=n
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思考题 （1）n阶非连通的简单图的边数最多有多少
条？最少呢？P312-6(2)
（2）证明：若无向图G中恰有两个奇度顶点，
14
强连通图和单向连通图的判别定理 定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中存在经
过每个顶点至少一次的回路。 定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在
经过每个顶点至少一次的通路。
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例：如下图
（1）
（2）
（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图。
（3）
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例：
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向图G是 二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。
14.3 图的连通性
7
首先讨论无向图连通性的概念。 定义14.12（连通） 在一个无向图G=<V，
E>中，如果顶点u，v之间存在通路，则称u，v 是连通的，记作u∼v。∀v∈V，规定v∼v。
由定义可知无向图中顶点之间的连通关系: ∼ = {<u,v>|u,v∈V∧u与v之间有通路} 显然∼是自反的、对称的、传递的，所以∼ 是V上的等价关系。
14.2 通路、回路
定义14.11（通路、回路） 给定图G，设G中顶点和边的交 替序列
Г=v0e1v1e2…vi-1eivi…envn 若Г满足：对于i=1,2,…n，vi-1和vi是ei的端点（在G是 有向图时，要求vi-1是ei的始点，vi是ei的终点），则称Г为从 v0到vn的一条通路或链。
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定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D=<V，E>中，如果D的基图是连
通图，则称D是弱连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u
至少成立其一，则称D是单向连通图。 如果对于任意的两个顶点u，v，均有u↔v，
则称D是强连通图。 说明：强连通图一定是单向连通图，单向连
通图一定是弱连通图。
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14.4 图的矩阵表示
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图的表示 （1）集合定义 （2）图形表示 （3）矩阵表示
目的 （1）便于用代数知识来研究图的性质 （2）便于用计算机来对图进行ห้องสมุดไป่ตู้理
本节学习 （1）图的关联矩阵(无向图和有向图) （2）有向图的邻接矩阵 （3）有向图的可达矩阵
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定义14.24（无向图的关联矩阵）设无向图
8
定义14.13（无向连通图）若无向图G是平 凡图或G中的任何两个顶点都是连通的，则称G是 连通图，否则称G为非连通图或分离图。
例：完全图Kn（n≥1）为连通图， 零图Nn（n≥2）都是分离图。
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定义14.14（连通分支） 设无向图G=<V，E>，V关于顶点之间的连通关
系∼的商集V/∼ ={V1,V2,…,Vk}，其中Vi为等价类， 称导出子图G[Vi]（i=1,2,…,k）为G的连通分支， 连通分支数k记为p(G)。
G=<V，E>，V={v1,v2,…,vn}，E={e1,e2,…,em}， 令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为 G的关联矩阵，记为M(G)。
对于mij显然有
0,
v
i与e
j不相关联
mij = 1, vi与ej关联一次
2，v i与e j关联两次
易见，矩阵的第i行为顶点vi分别与边e1,e2,…,em的 关联次数。