matlab数值数组及向量化运算

第2章 数值数组及向量化运算

数值数组（Numeric Array ）和数组运算（Array Operations ）始终是MATLAB 的核心内容。

本章教学内容：数组浮点算法的特点；一、二维数值数组的创建和寻访；常用标准数组生成函数和数组构作技法；数组运算和向量化编程；实现数组运算的基本函数；关系和逻辑操作。

2.1 数值计算的特点和地位

【例2.1-1】已知t t t f cos )(2=，求dt t f x s x

⎰= 0 )()(。

（1）符号计算解法

syms t x %定义符号变量

ft=t^2*cos(t)

sx=int(ft,t,0,x)

ft =

t^2*cos(t)

sx =

x^2*sin(x)-2*sin(x)+2*x*cos(x)

（2）数值计算解法

dt=0.05;

t=0:dt:5; %取一些离散点

Ft=t.^2.*cos(t);

Sx=dt*cumtrapz(Ft); %梯形法求定积分

t(end-4:end) %end 表示最后一个元素

Sx(end-4:end) %Sx 的最后5个元素

plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)

xlabel('x'),ylabel('Sx'),grid on

ans =

4.8000 4.8500 4.9000 4.9500

5.0000

ans =

-20.1144 -19.9833 -19.7907

-19.5345 -19.2131

图 2.1-1 在区间[0, 5]采样点上算得的定积分值

【例2.1-2】已知

)

sin(

)(t

e

t

f-

=，求⎰=4

)(

)

(dt

t

f

x

s。

本例演示：被积函数没有“封闭解析表达式”，符号计算无法解题！（1）符号计算解法

syms t x

ft=exp(-sin(t))

sx=int(ft,t,0,4)

ft =

exp(-sin(t))

Warning: Explicit integral could not be found.

> In sym.int at 58

sx =

int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)

（2）数值计算解法

dt=0.05;

t=0:dt:4;

Ft=exp(-sin(t));

Sx=dt*cumtrapz(Ft);

Sx(end)

plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)

hold on

plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)

hold off

xlabel('x')

legend('Ft','Sx')

ans =

3.0632

图 2.1-2 在区间[0, 4]中间的被积函数及其原函数的离散计算结果

小结：

(1)符号计算

长处——可以对包含变量字符、参数字符和数字的表达式进行推理、运算，并给出符号结果，与高等数学中的解析式比较接近；符号计算的短处——很多问题无解或求解时间过长。

(2)数值计算

在确定一组自变量采样点基础上，执行数值计算的表达式在已知的数值点上进行计算。它适用范围比符号计算广，以有限的精度表现有限时间和范围内的函数关系。

2.2数值数组的创建和寻访

MATLAB把数组看作存储和运算的基本单元，而标量数据看作（1×1）的数组。

2.2.1 一维数组的创建

1.递增/减型一维数组的创建

数组元素值的大小按递增或递减的次序排列，数组元素之间的“差”是“确定的”，即“等步长”。

（1）“冒号”生成法

x=a : inc : b ；a—数组的第一个元素；inc—步长，默认值为1；最后一个元素小于等于b。

（2）线性（或对数）定点法

x=linspace(a, b, n)；产生线性等间隔（1×n）行数组，等价于x=a : (b-a)/(n-1) : b ；

x=logspace(a, b, n)；产生对数等间隔（1×n）行数组，n—一维数组的长度。

（线性等分向量）linspace=linear space linear 线性的 space间隔

2.通用型一维数组的创建

利用函数生成特殊形式数组。

【例2.2-1】一维数组的常用创建方法举例。

a1=1:6

a2=0:pi/4:pi

a3=1:-0.1:0

a1 =

1 2 3 4 5 6

a2 =

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

a3 =

Columns 1 through 6

1.0000 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000

Columns 7 through 11

0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0

b1=linspace(0,pi,4)

b2=logspace(0,3,4)

b1 =

0 1.0472 2.0944 3.1416

b2 =

1 10 100 1000

c1=[2 pi/2 sqrt(3) 3+5i]

c1 =

Columns 1 through 3

2.0000 1.5708 1.7321

Column 4

3.0000 + 5.0000i

rand('state',0)

c2=rand(1,5) %均匀随机数组

c2 =

0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913

2.2.2 二维数组的创建

1. 小规模数组的直接输入法

【例2.2-2】在MATLAB环境下，用下面三条指令创建二维数组C。

a=2.7358; b=33/79;

C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a+5*b,3.5+i]

C =

1.0000 5.4716 + 0.4177i 0.6909

0.7071 4.8244 3.5000 + 1.0000i