CORDIC算法原理及实现
图4.1 圆坐标系旋转
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
上面的方程组同样可写成矩阵向量形式：
x x cos sin 2 1 y sin cos y 2 1
例如一个90o相移为:
x x -y 0 1 2 1 1 x y 1 0 y 2 1 1
第4章 CORDIC算法原理及实现
何宾 2009.09
本章概述
本章介绍了CORDIC算法的原理，着重介绍了的三个 坐标系及其两种模式下的CORDIC的实现原理，以及迭 代的算法的实现方法。 在此基础上，详细介绍了CORDIC算法在FPGA上的 实现方法及实现过程，并对其性能进行了详细的讨论。
CORDIC简介
通过提出因数cosθ，式4.1可写成下面的形式：
x x cos y sin cos ( x y tan ) 2 1 1 1 1 y x sin y cos cos ( y x tan ) 2 1 1 1 1
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
前面所示的伪旋转现在可以表示为（对每次迭代）:
(i 1 ） (i) i (i) x x d ( 2 y ) i
(4.7) 在这里引入第三个方程，被称为角度累加器，用来在 每次迭代过程中追踪累加的旋转角度: ( i 1 ） ( i ) ( i ) （4.8） z z d i 这里：di=±1。符号di是一个判决算子，用于确定旋转的方向。 上述三个方程式为圆周坐标系中用于角度旋转的CORDIC算法的 表达式。在本章的后续部分中我们还将看到CORDIC算法被用于其 它的坐标系，通过使用这些坐标系可以执行更大范围的函数计算。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
并不能通过适当的数学方法去除cosθ项 ,方法的核心是伪旋转角度，其中tanθ=2-i。 故方程可表示为：
-i x2 x x 1 y 1 tan 1 y 12
y2 y y 1 x 1 tan 1 x 12
坐标旋转数字计算机(Coordinate Rotation Digital Computer，CORDIC)算法可以追溯到1957年由J.Volder发 表的一篇文章。 在上个世纪五十年代，在大型实际的计算机中的实 行移位相加受到了当时技术上的限制，所以使用CORDIC 变得非常必要。到了七十年代，惠普公司和其他公司生产 了手持计算器，许多计算器使用一个内部CORDIC单元来 计算所有的三角函数(那时求一个角度的正切值需要延迟 大约1秒中)。
CORDIC简介
二十世纪八十年代，随着高速度乘法器与带有大存 储量的通用处理器的出现，CORDIC算法变得无关紧要了。 然而在二十一世纪的今天，对于FPGA来说， CORDIC一定是在数字信号处理应用中(比如：多输入多输 出（MIMO），波束形成以及其他自适应系统)计算三角函 数的备选技术。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
-i
（4.6）
表4.1给出用CORDIC算法中每个迭代(i)的旋转角度 (精确到9位小数)
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
表4.1用CORDIC算法中每个迭代(i)的旋转角度
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
在这里，把变换改成了迭代算法。将各种可能的旋转 角度加以限制，使得对任意角度的旋转能够通过一系列连 续小角度的旋转迭代i来完成。旋转角度遵循法 i i 2 则：tan ，遵循这样的法则，乘以正切项变成了移位 操作。 前几次迭代的形式为：第1次迭代旋转45o，第2次迭代 旋转26.6o，第3次迭代旋转14o等。
如图4.1，在xy坐标平面内将点(x1,y1)旋转θ角度到点 (x2,y2)。其关系用下式表示： x y 2 x 1 cos 1sin （4.1） y y 2 x 1sin 1 cos
这被称为是平面旋转、向量旋转或者线性(矩阵)代数 中的Givens旋转。上面的方程组同样可写成矩阵向量形式：
(i 1 ) (i) i (i) y y d ( 2 x ) i
CORDIC算法原理 --伸缩因子
伸缩因子是伪旋转的副产物。当简化算法以允许伪 旋转时，cosθ项被忽略。这样，输出x(n),y(n)被伸缩Kn 倍，其中: ( i ) ( 2 i ) K 1 /(cos ) 1 2 • （4.9） n n n 如果迭代次数n可知，则可以预先计算伸缩因子Kn 。 同样,1/ Kn也可被预先计算以得到x(n )和y(n)的真值。 当 n , K 1.6476,1/ K 0.6073 （4.10） n n 为了简化Givens旋转，我们去除了cos项以执行伪 旋转。然而，该简化引发了负面效应。输出值x(n)和y(n) 被乘以一个因子Kn ，该因子被称为伸缩因子。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
很显然，每次旋转的方向都影响到最终要旋转的累积 角度。在–99.7≤θ≤99.7的范围内的任意角度都可以旋 转。满足法则的所有角度的总和为99.7。对于该范围之外 的角度，可使用三角恒等式转化成该范围内的角度。当 然，角分辨率的数据位数与最终的精度有关。 cos45xcos26.5xcos14.03xcos7.125…xcos0.0139 =0.60725941 1⁄0.607252941=1.6467602。因此，在13次旋转以 后，为了标定伪旋转的幅度，要求乘以一个系数 1.64676024187。角分辨率的数据位数对最终的旋转精度 非常关键。
如果去除项cosθ，得到伪旋转方程式:
x 2 x1 y1 t an y 2 y1 x1 t an
（4.5）
如图4.2所示，即旋转的角度是正确的，但是x 与y 的 值增加倍cos`θ(由于cos`θ>1，所以模值变大)。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
图4.2 伪旋转描述
CODIC算法原理
CODIC算法原理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．CORDIC算法与实现2.1 CORDIC算法原理CORDIC是一种迭代算法，它可以用来计算sin，cos等三角函数，计算幅值和相位等到所需的精度，CORDIC算法计算幅值和相位的原理如下：假设直角坐标系内有向量A(Xn，Yn)，向量A顺时针旋转θn后得到向量B(Xn，Yn)，如图2所示。
CORDIC算法原理及实现
图4.1 圆坐标系旋转
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
上面的方程组同样可写成矩阵向量形式：
x2 cos y sin 2 sin x1 y cos 1
例如一个90o相移为:
x2 0 1 x1 - y1 y 1 0 y x 1 1 2
x (i 1) x (i ) y (i ) di 2 i y (i 1） y (i ) x (i ) d i 2 i z (i 1) z (i ) d i e (i )
1
z
(0)
通过设定x(0)=1和z(0)=0来计算tan-1y(0)。向量模式 中，判决算子di 满足下面条件:
d i sign ( x (i ) y (i ) )
因此 我们输入x(0)和y(0)(z(0)=0)，并通过迭代使y(0) 取值趋近于0。
CORDIC算法原理 --向量模式
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
前面所示的伪旋转现在可以表示为（对每次迭代）:
x (i 1） x (i ) d i (2 i y (i ) )
(4.7) 在这里引入第三个方程，被称为角度累加器，用来在 每次迭代过程中追踪累加的旋转角度: z (i 1） z (i ) d i (i ) （4.8） 这里：di=±1。符号di是一个判决算子，用于确定旋转的方向。 上述三个方程式为圆周坐标系中用于角度旋转的CORDIC算法的 表达式。在本章的后续部分中我们还将看到CORDIC算法被用于其 它的坐标系，通过使用这些坐标系可以执行更大范围的函数计算。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
cordic算法求角度的verilog实现
cordic算法求角度的verilog实现摘要：1.引言2.CORDIC 算法原理3.Verilog 实现4.测试与结果5.结论正文：1.引言CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer，坐标旋转数字计算法）算法是一种求解正切、余切、正弦、余弦等三角函数的算法。
该算法通过迭代坐标旋转的方式，实现角度的精确计算。
在FPGA 设计和数字信号处理领域，CORDIC 算法有着广泛的应用。
本文将介绍一种基于Verilog 的CORDIC 算法实现，以及如何用于求解角度。
2.CORDIC 算法原理CORDIC 算法的基本思想是利用简单的移位、加法和查表运算，迭代计算三角函数值。
以计算正切函数为例，假设输入角度为θ，初始化两个坐标轴（I 和Q）的值都为1，然后进行迭代计算：1）计算k*I + d*Q，其中k 为角度的整数部分，d 为角度的小数部分，I 为余弦值，Q 为正弦值。
2）更新I 和Q 的值：I = I * cos(d) - Q * sin(d)，Q = I * sin(d) + Q *cos(d)。
3）判断是否达到精度要求，如果满足则输出结果，否则继续迭代。
3.Verilog 实现以下是一个基于Verilog 的CORDIC 算法求角度的实现：```verilogmodule cordic_algorithm(input wire clk,input wire reset,input wire angle_in,output reg angle_out);reg [31:0] I;reg [31:0] Q;reg [31:0] k;reg [31:0] d;always @(posedge clk or posedge reset) beginif (reset) beginI <= 1;Q <= 1;k <= 0;d <= 0;end else begin// 计算k*I + d*Q[31:0] temp_k = {angle_in[31:0], k[31]};[31:0] temp_d = {angle_in[31:0], d[31]};k <= temp_k;d <= temp_d;// 更新I 和Q 的值I <= I * cos(d) - Q * sin(d);Q <= I * sin(d) + Q * cos(d);// 判断是否达到精度要求if (abs(angle_in - (I + Q)) < 1) beginangle_out <= 32"b0;end else beginangle_out <= 32"b1;endendendendmodule```4.测试与结果为了验证CORDIC 算法的正确性，我们可以编写测试平台并在FPGA 上运行。
CORDIC算法实现cosh和sinh计算
w x0 = 1/w; y0 = 0; z0n = -1.1182:0.001:1.1182; n = length(z0n); p1 = zeros(1,n); p2 = zeros(1,n); %% Cordic cosh and sinh for k = 1:n
z0 = z0n(k); x = zeros(1,iter); y = zeros(1,iter); z = zeros(1,iter);
图 2- 1
图 2- 2
扩展的 Cordic 实现：
% Expanding Hyperbolic and Rotation Mode % x = w*(x0*cosh(z0) - y0*sinh(z0)) % y = w*(y0*cosh(z0) + x0*sinh(z0)) % Condition: x0 = 1/w y0 = 0;
其中，
Hale Waihona Puke i = 1,2,3,4,4...N
if z(i) >= 0
d = 1;
else
d = -1;
end
输入的条件是： x0 = 1/w y0 = 0, abs(z0) <=1.1182
输出的结果是： x = w*(x0*cosh(z0) - y0*sinh(z0))
y = w*(y0*cosh(z0) + x0*sinh(z0))
%% Compare The Result figure;plot(1:n,p1);title('err-cosh'); figure;plot(1:n,p2);title('err-sinh');
图 2- 3 图 2- 4
3. sysgen 实现
CORDIC算法实现sin和cos
扩展的 Cordic 算法是将 i=0 计算三次，可以增大输入的范围 输入的条件是：z0 = [0,pi] 输出的结果是：y/2 = sin(z0),x/2 = cos(z0)
2. Matlab 实现
传统的 Cordic 算法实现：
(1-1)
% Cordic Sin and Cos :Circular and Rotation Mode
图 2- 3 图 2- 4
3. sysgen 实现
% y = sin(z0); x = cos(z0)
% Condition: z0 = [0,pi/2]
%
x0 = 1/k (k = 1.646760258) y0 = 0
clc; clear; close all;
N = 11; x0 = 1/1.646760258; y0 = 0; z0n = 0:pi/1000:pi/2; n = length(z0n); p1 = zeros(1,n); p2 = zeros(1,n);
if zt1 >= 0 d = 1;
else d = -1;
end xt2 = xt1 - yt1*d*2^0; yt2 = yt1 + xt1*d*2^0; zt2 = zt1 - d*atan(2^0);
if zt2 >= 0 d = 1;
else d = -1;
end xt3 = xt2 - yt2*d*2^0; yt3 = yt2 + xt2*d*2^0; zt3 = zt2 - d*atan(2^0);
clc; clear; close all;
N = 11; x0 = 1/1.646760258; y0 = 0; z0n = 0:pi/1000:pi; n = length(z0n); p1 = zeros(1,n); p2 = zeros(1,n);
cordic反旋转迭代算法
cordic反旋转迭代算法
CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）反旋转迭代算法是一种用于计算旋转、平移和缩放的数学算法。
它可以用于计算三角函数、对数函数以及其他一些数学函数。
CORDIC算法的核心思想是通过迭代的方式将一个向量旋转到目标方向，同时伴随着一个缩放因子的变化。
具体步骤如下：
1. 初始化：给定一个初始向量（x, y）和一个目标旋转角度θ。
2. 迭代计算：重复以下步骤直到达到预设的精度或迭代次数：
- 对于每一次迭代，计算旋转角度d为θ的2^(-n)倍，其中n为迭代次数。
- 根据旋转角度d，计算cos(d)和sin(d)的近似值。
- 根据近似值和当前向量的x、y分量，计算旋转后的新向量（x', y'）。
- 更新当前向量的x、y分量为新向量的x、y分量。
3. 输出结果：当达到预设的精度或迭代次数后，向量（x, y）即为旋转后的结果。
CORDIC算法的关键之处在于通过迭代的方式逼近旋转角度，并且利用三角函数的近似值进行计算，从而减少了计算量。
此外，CORDIC算法还可以通过反向迭代来实现反旋转操作。
总结起来，CORDIC反旋转迭代算法是一种通过迭代逼近旋转角度，并利用三角函数的近似值计算旋转后向量的算法。
它可以用于计算旋转、平移和缩放等数学运算。
cordic算法求角度的verilog实现 -回复
cordic算法求角度的verilog实现-回复Cordic算法，全称为Coordinate Rotation Digital Computer算法，是一种用于计算三角函数以及其它相关函数的数值方法，它以固定点运算和迭代的方式实现高效的角度计算。
在本文中，我们将详细解释Cordic算法的原理，并给出一个Verilog的实现。
一、Cordic算法的原理Cordic算法是通过将一个向量旋转到目标角度来求角度的方法。
具体而言，Cordic算法使用一个旋转矩阵，通过一系列迭代将原始向量旋转到目标角度。
在每一次迭代中，算法会根据当前向量的角度与目标角度的差值，选择旋转矩阵中的一个旋转角度，将当前向量旋转一定的角度。
二、Cordic算法的基本流程Cordic算法的基本流程如下：1. 初始化：将初始向量以及目标角度设置为输入参数；2. 迭代计算：通过一系列的迭代，将原始向量旋转到目标角度；3. 输出结果：将最终的向量的角度作为输出结果。
三、Cordic算法的迭代计算在Cordic算法的迭代计算中，每一次迭代都会选择一个旋转角度，并将当前向量旋转到该角度。
为了提高计算效率，Cordic算法中使用了一种近似的旋转角度，称为Cordic常数。
四、Cordic常数的计算Cordic常数是在Cordic算法中用于近似旋转角度的固定常数。
Cordic常数的计算是一个关键的步骤，通常使用二进制表示法进行计算。
Cordic 常数可以根据所需的精度和性能来调整，一般越精确的结果会需要更多的迭代次数。
五、Cordic算法的Verilog实现下面是Cordic算法的Verilog实现的基本代码框架：verilogmodule cordic(input [N-1:0] x_in,input [N-1:0] y_in,input [M-1:0] angle_in,output [N-1:0] x_out,output [N-1:0] y_out);定义Cordic常数parameter M = 32; Cordic常数的位宽parameter [M-1:0] c = ; Cordic常数的值定义迭代次数parameter K = ; 迭代次数定义内部变量reg [N-1:0] x_internal;reg [N-1:0] y_internal;always *begin初始化内部变量x_internal = x_in;y_internal = y_in;迭代计算for (i = 0; i < K; i = i + 1)beginif (y_internal > 0)beginx_internal = x_internal + (y_internal >> i);y_internal = y_internal - (x_internal >> i);angle_in = angle_in - c[i];endelsebeginx_internal = x_internal - (y_internal >> i);y_internal = y_internal + (x_internal >> i);angle_in = angle_in + c[i];endendendassign x_out = x_internal;assign y_out = y_internal;endmodule六、Cordic算法的应用Cordic算法在计算机图形学、数字信号处理等领域有着广泛的应用。
cordic算法求角度的verilog实现
cordic算法求角度的verilog实现Cordic算法是一种用于快速计算三角函数的算法，可以通过迭代的方式求解给定的角度值。
在Verilog语言中，我们可以实现Cordic算法来计算指定角度的正弦和余弦值。
本文将详细介绍如何使用Verilog实现Cordic算法来求解角度。
首先，我们需要了解Cordic算法的原理。
Cordic算法基于旋转的思想，通过一系列乘法和移位运算来逼近给定的角度值。
具体的算法可以分为三个步骤：旋转、缩放和校正。
首先，我们需要定义一些常量和变量来实现Cordic算法。
在Verilog中，我们可以使用参数和寄存器来实现。
下面是一个简单的Verilog代码段，用于定义Cordic算法的常量和变量：```verilog`define ANGLE_WIDTH 16 // 定义角度宽度`define ITERATIONS 16 // 定义迭代次数module cordic(input wire signed [`ANGLE_WIDTH-1:0] angle, // 输入角度output wire signed [2*`ANGLE_WIDTH-1:0] sin_value, // 输出正弦值output wire signed [2*`ANGLE_WIDTH-1:0] cos_value // 输出余弦值);reg signed [2*`ANGLE_WIDTH-1:0] x; // x坐标reg signed [2*`ANGLE_WIDTH-1:0] y; // y坐标reg signed [2*`ANGLE_WIDTH-1:0] z; // 角度// 在这里实现Cordic算法endmodule```在上述代码中，我们定义了输入角度、输出正弦值和余弦值的位宽。
同时，我们定义了x、y和z三个寄存器来保存计算过程中的坐标和角度。
接下来，我们需要实现Cordic算法的主要逻辑。
首先，我们需要初始化x、y和z的值。
cordic算法原理与实现
CORDIC算法原理与实现引言概述在计算机科学和数学领域，CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法是一种用于计算旋转和坐标转换的迭代算法。
由Jack E. Volder于1959年提出，CORDIC算法以其高效、简单的特性在数字信号处理、图形学和通信等领域得到了广泛应用。
本文将深入探讨CORDIC算法的原理和实现，揭示其在现代计算中的重要性。
正文内容1. CORDIC算法的基本原理1.1 旋转向量的基本概念CORDIC算法的核心思想是通过迭代旋转一个向量，使其逐步趋近于目标向量。
这里，向量旋转可以通过一系列坐标变换和旋转操作来完成。
在CORDIC中，旋转角度通常是一个固定的、预先设定的角度，如45度或30度。
1.2 坐标旋转的迭代过程CORDIC算法通过一系列迭代步骤，逐渐调整向量的坐标，使其最终趋近于目标向量。
每一步迭代都包括一个旋转和坐标调整操作，通过这种方式，算法能够在有限次迭代后收敛到所需的结果。
1.3 旋转因子的选择与优化CORDIC算法中，旋转因子的选择对算法的性能有着重要影响。
通过合理选择旋转因子，可以使得迭代过程更快速、更精确。
优化旋转因子的选择是CORDIC算法在不同应用中取得高性能的关键。
1.4 旋转模式与运算精度CORDIC算法支持不同的旋转模式，包括旋转、缩放和坐标转换等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的旋转模式。
此外，算法的运算精度也受到迭代次数的影响，需要权衡计算速度和精度。
1.5 硬件实现与软件实现CORDIC算法可以通过硬件电路实现，也可以通过软件编程实现。
硬件实现通常能够提供更高的运算速度，而软件实现更加灵活，适用于不同的计算平台。
选择合适的实现方式取决于具体应用的要求和硬件资源的可用性。
2. CORDIC算法的应用领域2.1 数字信号处理在数字信号处理领域，CORDIC算法常被用于计算旋转和相位调制等操作。
CORDIC算法原理及matlab仿真
CORDIC算法原理及matlab仿真.1、坐标旋转数字计算机CORDIC坐标旋转数字计算机CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer)算法，通过移位和加减运算，能递归计算常用函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数，由J. Volder于1959年提出，首先用于导航系统，使得矢量的旋转和定向运算不需要做查三角函数表、乘法、开方及反三角函数等复杂运算。
J. Walther 在1974年用它研究了一种能计算出多种超越函数的统一算法。
1.2、CORDIC原理如图所示，初始向量（X(0)，Y(0)）旋转θ角度之后得到向量（X1，Y1），此向量有如下关系：CORDIC算法X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ)=cos(θ)(X0-Y0*tan(θ))Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)=cos(θ)(Y0+X0*tan(θ))注：θ为待求角假设初始向量经过N次旋转之后得到新向量，且每次旋转角度δ正切值都为2的倍数，则第i次旋转角度为δ=arctan(2^(-i))，即cosδ=（1/（1+2^(-2i)））^0.5。
容易得到角度θ≈∑S(i)●δ(i)，其中S(i)=1或－1，表示旋转角度的方向，第i步旋转可以表示为：X(i+1)=(（1/（1+2^(-2i)））^0.5)●(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i))Y(i+1)=(（1/（1+2^(-2i)））^0.5)●(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i))其中（1/（1+2^(-2i)））^0.5)称为校模因子，当旋转次数一定时，趋于一个常数，Π（1/（1+2^(-2i)））^0.5)≈0.6073这样，算法每一步就可以简化为：X(i+1)=0.6073●(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i))Y(i+1)=0.6073●(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i))从而可以看出，对于移动的角度θ，现在只需要硬件加减法器和移位器就可以算出结果。