CORDIC算法原理及实现
三角函数压轴题之卡根法
三角函数压轴题之卡根法卡根法（Cordic Algorithm）是一种用于计算三角函数和双曲函数的迭代算法，其优势在于简单、高效且易于硬件实现。
本文将深入介绍卡根法的原理、推导过程以及实际应用。
卡根法的基本思想是通过迭代的方式逼近目标函数的值。
它以旋转因子的不断变化为基础，通过连续的旋转操作将向量逐渐转化成一个与x轴平行的向量。
这样，最后得到的向量的模长就是目标函数的值，而旋转的次数等于目标函数的值除以目标函数相对于x轴正向的旋转角度。
首先，我们来推导一维直角坐标系下的卡根法。
设P(x,y)是初始向量，初始向量与x轴正向的夹角为θ，它的模长为r。
我们的目标是求得x的正弦和余弦函数值。
首先，我们可以利用直角三角形的定义和勾股定理得到以下关系：cos(θ) = x / rsin(θ) = y / rr^2=x^2+y^2我们可以进行一系列的旋转操作，每次旋转使得向量的 y 坐标为零（即使得向量与 x 轴平行）。
当向量与 x 轴平行时，旋转的总角度即为θ 的值，而此时的 x 坐标值即为cos(θ)，y 坐标值即为sin(θ)。
我们来看一下具体的旋转操作：1.第一次旋转操作：将初始向量P(x,y)逆时针旋转θ1角度，并使y的值为零。
旋转后的向量为P1(x1,0)。
旋转矩阵的定义如下：[ x1 ] [cos(θ1) -sin(θ1)] [ x ][]=[]*[][ 0 ] [sin(θ1) cos(θ1)] [ y ]我们可以得到：x1 = x * cos(θ1) - y * sin(θ1) = r * cos(θ - θ1)0 = x * sin(θ1) + y * cos(θ1) = r * sin(θ - θ1)。
2.第二次旋转操作：将P1(x1,0)逆时针旋转θ2角度，并使y的值为零。
旋转后的向量为P2(x2,0)。
旋转矩阵的定义如下：[ x2 ] [cos(θ2) -sin(θ2)] [ x1 ][]=[]*[][ 0 ] [sin(θ2) cos(θ2)] [ 0 ]我们可以得到：x2 = x1 * cos(θ2) - 0 * sin(θ2) = x1 * cos(θ2)0 = x1 * sin(θ2) + 0 * cos(θ2) = x1 * sin(θ2)。
CODIC算法原理
CODIC算法原理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．CORDIC算法与实现2.1 CORDIC算法原理CORDIC是一种迭代算法，它可以用来计算sin，cos等三角函数，计算幅值和相位等到所需的精度，CORDIC算法计算幅值和相位的原理如下：假设直角坐标系内有向量A(Xn，Yn)，向量A顺时针旋转θn后得到向量B(Xn，Yn)，如图2所示。
cordic算法求角度的verilog实现
cordic算法求角度的verilog实现摘要：1.引言2.CORDIC 算法原理3.Verilog 实现4.测试与结果5.结论正文：1.引言CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer，坐标旋转数字计算法）算法是一种求解正切、余切、正弦、余弦等三角函数的算法。
该算法通过迭代坐标旋转的方式，实现角度的精确计算。
在FPGA 设计和数字信号处理领域，CORDIC 算法有着广泛的应用。
本文将介绍一种基于Verilog 的CORDIC 算法实现，以及如何用于求解角度。
2.CORDIC 算法原理CORDIC 算法的基本思想是利用简单的移位、加法和查表运算，迭代计算三角函数值。
以计算正切函数为例，假设输入角度为θ，初始化两个坐标轴（I 和Q）的值都为1，然后进行迭代计算：1）计算k*I + d*Q，其中k 为角度的整数部分，d 为角度的小数部分，I 为余弦值，Q 为正弦值。
2）更新I 和Q 的值：I = I * cos(d) - Q * sin(d)，Q = I * sin(d) + Q *cos(d)。
3）判断是否达到精度要求，如果满足则输出结果，否则继续迭代。
3.Verilog 实现以下是一个基于Verilog 的CORDIC 算法求角度的实现：```verilogmodule cordic_algorithm(input wire clk,input wire reset,input wire angle_in,output reg angle_out);reg [31:0] I;reg [31:0] Q;reg [31:0] k;reg [31:0] d;always @(posedge clk or posedge reset) beginif (reset) beginI <= 1;Q <= 1;k <= 0;d <= 0;end else begin// 计算k*I + d*Q[31:0] temp_k = {angle_in[31:0], k[31]};[31:0] temp_d = {angle_in[31:0], d[31]};k <= temp_k;d <= temp_d;// 更新I 和Q 的值I <= I * cos(d) - Q * sin(d);Q <= I * sin(d) + Q * cos(d);// 判断是否达到精度要求if (abs(angle_in - (I + Q)) < 1) beginangle_out <= 32"b0;end else beginangle_out <= 32"b1;endendendendmodule```4.测试与结果为了验证CORDIC 算法的正确性，我们可以编写测试平台并在FPGA 上运行。
CORDIC算法实现cosh和sinh计算
w x0 = 1/w; y0 = 0; z0n = -1.1182:0.001:1.1182; n = length(z0n); p1 = zeros(1,n); p2 = zeros(1,n); %% Cordic cosh and sinh for k = 1:n
z0 = z0n(k); x = zeros(1,iter); y = zeros(1,iter); z = zeros(1,iter);
图 2- 1
图 2- 2
扩展的 Cordic 实现：
% Expanding Hyperbolic and Rotation Mode % x = w*(x0*cosh(z0) - y0*sinh(z0)) % y = w*(y0*cosh(z0) + x0*sinh(z0)) % Condition: x0 = 1/w y0 = 0;
其中，
Hale Waihona Puke i = 1,2,3,4,4...N
if z(i) >= 0
d = 1;
else
d = -1;
end
输入的条件是： x0 = 1/w y0 = 0, abs(z0) <=1.1182
输出的结果是： x = w*(x0*cosh(z0) - y0*sinh(z0))
y = w*(y0*cosh(z0) + x0*sinh(z0))
%% Compare The Result figure;plot(1:n,p1);title('err-cosh'); figure;plot(1:n,p2);title('err-sinh');
图 2- 3 图 2- 4
3. sysgen 实现
CORDIC算法实现sin和cos
扩展的 Cordic 算法是将 i=0 计算三次，可以增大输入的范围 输入的条件是：z0 = [0,pi] 输出的结果是：y/2 = sin(z0),x/2 = cos(z0)
2. Matlab 实现
传统的 Cordic 算法实现：
(1-1)
% Cordic Sin and Cos :Circular and Rotation Mode
图 2- 3 图 2- 4
3. sysgen 实现
% y = sin(z0); x = cos(z0)
% Condition: z0 = [0,pi/2]
%
x0 = 1/k (k = 1.646760258) y0 = 0
clc; clear; close all;
N = 11; x0 = 1/1.646760258; y0 = 0; z0n = 0:pi/1000:pi/2; n = length(z0n); p1 = zeros(1,n); p2 = zeros(1,n);
if zt1 >= 0 d = 1;
else d = -1;
end xt2 = xt1 - yt1*d*2^0; yt2 = yt1 + xt1*d*2^0; zt2 = zt1 - d*atan(2^0);
if zt2 >= 0 d = 1;
else d = -1;
end xt3 = xt2 - yt2*d*2^0; yt3 = yt2 + xt2*d*2^0; zt3 = zt2 - d*atan(2^0);
clc; clear; close all;
N = 11; x0 = 1/1.646760258; y0 = 0; z0n = 0:pi/1000:pi; n = length(z0n); p1 = zeros(1,n); p2 = zeros(1,n);
cordic反旋转迭代算法
cordic反旋转迭代算法
CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）反旋转迭代算法是一种用于计算旋转、平移和缩放的数学算法。
它可以用于计算三角函数、对数函数以及其他一些数学函数。
CORDIC算法的核心思想是通过迭代的方式将一个向量旋转到目标方向，同时伴随着一个缩放因子的变化。
具体步骤如下：
1. 初始化：给定一个初始向量（x, y）和一个目标旋转角度θ。
2. 迭代计算：重复以下步骤直到达到预设的精度或迭代次数：
- 对于每一次迭代，计算旋转角度d为θ的2^(-n)倍，其中n为迭代次数。
- 根据旋转角度d，计算cos(d)和sin(d)的近似值。
- 根据近似值和当前向量的x、y分量，计算旋转后的新向量（x', y'）。
- 更新当前向量的x、y分量为新向量的x、y分量。
3. 输出结果：当达到预设的精度或迭代次数后，向量（x, y）即为旋转后的结果。
CORDIC算法的关键之处在于通过迭代的方式逼近旋转角度，并且利用三角函数的近似值进行计算，从而减少了计算量。
此外，CORDIC算法还可以通过反向迭代来实现反旋转操作。
总结起来，CORDIC反旋转迭代算法是一种通过迭代逼近旋转角度，并利用三角函数的近似值计算旋转后向量的算法。
它可以用于计算旋转、平移和缩放等数学运算。
cordic算法求角度的verilog实现 -回复
cordic算法求角度的verilog实现-回复Cordic算法，全称为Coordinate Rotation Digital Computer算法，是一种用于计算三角函数以及其它相关函数的数值方法，它以固定点运算和迭代的方式实现高效的角度计算。
在本文中，我们将详细解释Cordic算法的原理，并给出一个Verilog的实现。
一、Cordic算法的原理Cordic算法是通过将一个向量旋转到目标角度来求角度的方法。
具体而言，Cordic算法使用一个旋转矩阵，通过一系列迭代将原始向量旋转到目标角度。
在每一次迭代中，算法会根据当前向量的角度与目标角度的差值，选择旋转矩阵中的一个旋转角度，将当前向量旋转一定的角度。
二、Cordic算法的基本流程Cordic算法的基本流程如下：1. 初始化：将初始向量以及目标角度设置为输入参数；2. 迭代计算：通过一系列的迭代，将原始向量旋转到目标角度；3. 输出结果：将最终的向量的角度作为输出结果。
三、Cordic算法的迭代计算在Cordic算法的迭代计算中，每一次迭代都会选择一个旋转角度，并将当前向量旋转到该角度。
为了提高计算效率，Cordic算法中使用了一种近似的旋转角度，称为Cordic常数。
四、Cordic常数的计算Cordic常数是在Cordic算法中用于近似旋转角度的固定常数。
Cordic常数的计算是一个关键的步骤，通常使用二进制表示法进行计算。
Cordic 常数可以根据所需的精度和性能来调整，一般越精确的结果会需要更多的迭代次数。
五、Cordic算法的Verilog实现下面是Cordic算法的Verilog实现的基本代码框架：verilogmodule cordic(input [N-1:0] x_in,input [N-1:0] y_in,input [M-1:0] angle_in,output [N-1:0] x_out,output [N-1:0] y_out);定义Cordic常数parameter M = 32; Cordic常数的位宽parameter [M-1:0] c = ; Cordic常数的值定义迭代次数parameter K = ; 迭代次数定义内部变量reg [N-1:0] x_internal;reg [N-1:0] y_internal;always *begin初始化内部变量x_internal = x_in;y_internal = y_in;迭代计算for (i = 0; i < K; i = i + 1)beginif (y_internal > 0)beginx_internal = x_internal + (y_internal >> i);y_internal = y_internal - (x_internal >> i);angle_in = angle_in - c[i];endelsebeginx_internal = x_internal - (y_internal >> i);y_internal = y_internal + (x_internal >> i);angle_in = angle_in + c[i];endendendassign x_out = x_internal;assign y_out = y_internal;endmodule六、Cordic算法的应用Cordic算法在计算机图形学、数字信号处理等领域有着广泛的应用。
cordic 正弦算法 c语言
cordic 正弦算法 c语言Cordic（COordinate Rotation DIgital Computer）算法是一种用于计算三角函数（如正弦和余弦）的快速算法。
它可以在没有乘法器的情况下实现高效的三角函数计算，因此在一些资源受限的环境中非常有用，比如嵌入式系统或者硬件设计中。
Cordic算法的核心思想是通过迭代的方式，将一个给定角度的旋转分解成一系列微小的旋转，每次旋转都可以通过简单的移位和加减操作来实现。
这样的迭代过程可以在有限的步数内逼近目标角度，从而计算出正弦和余弦值。
下面是一个简单的C语言实现的Cordic正弦算法的示例：c.#include <stdio.h>。
#include <math.h>。
#define N 15 // 迭代次数。
void cordic_sine_cosine(double beta, double s, double c) {。
int i;double factor = 1.0;double angle = 0.0;double K = 0.6072529350088812561694; // K =0.6072529350088812561694 for 16 iterations.for (i = 0; i < N; i++) {。
double sigma = (beta < 0) ? -1 : 1;double temp = c;c += sigma factor s;s -= sigma factor temp;beta -= sigma angle;factor = K;angle = atan(1.0 / (1 << i));}。
}。
int main() {。
double angle = 45.0; // 输入角度。
double radian = angle M_PI / 180; // 角度转换为弧度。
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图4.1 圆坐标系旋转
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
上面的方程组同样可写成矩阵向量形式：
x2 cos y sin 2 sin x1 y cos 1
例如一个90o相移为:
x2 0 1 x1 - y1 y 1 0 y x 1 1 2
x (i 1) x (i ) y (i ) di 2 i y (i 1） y (i ) x (i ) d i 2 i z (i 1) z (i ) d i e (i )
1
z
(0)
通过设定x(0)=1和z(0)=0来计算tan-1y(0)。向量模式 中，判决算子di 满足下面条件:
d i sign ( x (i ) y (i ) )
因此 我们输入x(0)和y(0)(z(0)=0)，并通过迭代使y(0) 取值趋近于0。
CORDIC算法原理 --向量模式
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
前面所示的伪旋转现在可以表示为（对每次迭代）:
x (i 1） x (i ) d i (2 i y (i ) )
(4.7) 在这里引入第三个方程，被称为角度累加器，用来在 每次迭代过程中追踪累加的旋转角度: z (i 1） z (i ) d i (i ) （4.8） 这里：di=±1。符号di是一个判决算子，用于确定旋转的方向。 上述三个方程式为圆周坐标系中用于角度旋转的CORDIC算法的 表达式。在本章的后续部分中我们还将看到CORDIC算法被用于其 它的坐标系，通过使用这些坐标系可以执行更大范围的函数计算。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
很显然，每次旋转的方向都影响到最终要旋转的累积 角度。在–99.7≤θ≤99.7的范围内的任意角度都可以旋 转。满足法则的所有角度的总和为99.7。对于该范围之外 的角度，可使用三角恒等式转化成该范围内的角度。当 然，角分辨率的数据位数与最终的精度有关。 cos45xcos26.5xcos14.03xcos7.125…xcos0.0139 =0.60725941 1⁄0.607252941=1.6467602。因此，在13次旋转以 后，为了标定伪旋转的幅度，要求乘以一个系数 1.64676024187。角分辨率的数据位数对最终的旋转精度 非常关键。
通过提出因数cosθ，式4.1可写成下面的形式：
x2 x1 cos y1 sin cos ( x1 y1 tan ) y 2 x1 sin y1 cos cos ( y1 x1 tan )
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
如果去除项cosθ，得到伪旋转方程式:
CORDIC算法原理 --向量模式
在向量模式中选择:di =-sign(x(i)y(i))=>y(i)→0。经过 n 次迭代后，用下式表示：
x (n) k n y (n) 0 z
(n)
( x (0) ) 2 （y ( 0 ) ) 2 y (0) tan x (0)
坐标旋转数字计算机(Coordinate Rotation Digital Computer，CORDIC)算法可以追溯到1957年由J.Volder发 表的一篇文章。 在上个世纪五十年代，在大型实际的计算机中的实 行移位相加受到了当时技术上的限制，所以使用CORDIC 变得非常必要。到了七十年代，惠普公司和其他公司生产 了手持计算器，许多计算器使用一个内部CORDIC单元来 计算所有的三角函数(那时求一个角度的正切值需要延迟 大约1秒中)。
第4章 CORDIC算法原理及实现
何宾 2009.09
本章概述
本章介绍了CORDIC算法的原理，着重介绍了的三个 坐标系及其两种模式下的CORDIC的实现原理，以及迭 代的算法的实现方法。 在此基础上，详细介绍了CORDIC算法在FPGA上的 实现方法及实现过程，并对其性能进行了详细的讨论。
CORDIC简介
并不能通过适当的数学方法去除cosθ项 ,然而随后 发现去除cosθ项可以简化坐标平面旋转的计算操作。 CORDIC方法的核心是伪旋转角度，其中tanθ=2-i。 故方程可表示为：
x 2 x1 y1 tan x1 y1 2 -i y 2 y1 x1 tan y1 x1 2
y1
y2 x x1
x
y
图4.3 线性坐标旋转
线性坐标系旋转 --旋转模式
在旋转模式中选择:di=sign(z(i))=>z(i)→0。n 次迭代 后得到:
x ( n） x ( 0) y ( n ) y ( 0) x ( 0) z ( 0) (4.16)
该等式类似于实现一个移位相加的乘法器。
x ( n ) K n ( x (0) ) 2 ( y (0) ) 2 y (n) 0 z
(n)
z tanh ( y / x )
(0) (0) (0)
1
（4.21）
在双曲坐标系下的坐标变换不一定收敛。当迭代系 数为4，13，40，k，3k+1，…时，该系统是收敛的。 根据三角函数之间的关系，下面的函数可以通过 CORDIC算法的计算得到。
如图4.1，在xy坐标平面内将点(x1,y1)旋转θ角度到点 (x2,y2)。其关系用下式表示： x2 x1 cos y1 sin （4.1）
y 2 x1 sin y1 cos
这被称为是平面旋转、向量旋转或者线性(矩阵)代数 中的Givens旋转。上面的方程组同样可写成矩阵向量形式：
双曲线坐标系旋转 -- 向量模式
根据三角函数之间的关系，下面的函数可以通 过CORDIC算法的计算得到。
exp sinh cosh
Ln 2 tanh [( 1) /( 1)]
1
tanh sinh / cosh
tan sin / cos
x 2 x1 y1 tan y 2 y1 x1 tan
（4.5）
如图4.2所示，即旋转的角度是正确的，但是x 与y 的 值增加倍cos`θ(由于cos`θ>1，所以模值变大)。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
图4.2 伪旋转描述
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
线性坐标系旋转 --向量模式
在向量模式中选择:di =-sign(x(i)y(i))=>y(i)→0。经 过n 次迭代后，用下式表示：
x ( n） x ( 0 ) y (n) 0
（4.17）
z ( n ) z (0) y (0) / x (0)
这个迭代式可以用于比例运算。在线性坐标系中， 增益是固定值，所以不需要进行标定。
CORDIC简介
二十世纪八十年代，随着高速度乘法器与带有大存 储量的通用处理器的出现，CORDIC算法变得无关紧要了。 然而在二十一世纪的今天，对于FPGA来说， CORDIC一定是在数字信号处理应用中(比如：多输入多输 出（MIMO），波束形成以及其他自适应系统)计算三角函 数的备选技术。
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
图4.4 双曲线坐标系旋转
双曲线坐标系旋转 -- 旋转模式
在旋转模式中选择:di=sign(z(i))=>z(i)→0。n 次 迭代后得到:
x ( n ) An [ x ( 0) cosh z ( 0 ) y 0 sinh z ( 0 ) ] y ( n ) An [ x ( 0) cosh z ( 0) y 0 sinh z ( 0 )（ ] 4.19） z (n) 0
-i
（4.6）
表4.1给出用CORDIC算法中每个迭代(i)的旋转角度 (精确到9位小数)
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
表4.1用CORDIC算法中每个迭代(i)的旋转角度
CORDIC算法原理 --圆坐标系旋转原理
在这里，把变换改成了迭代算法。将各种可能的旋转 角度加以限制，使得对任意角度的旋转能够通过一系列连 续小角度的旋转迭代i来完成。旋转角度遵循法 则：tan i 2 i ，遵循这样的法则，乘以正切项变成了移位 操作。 前几次迭代的形式为：第1次迭代旋转45o，第2次迭代 旋转26.6o，第3次迭代旋转14o等。
双曲线坐标系旋转 -- 旋转模式
• 如图4.4，双曲坐标系下的迭代过程可以用下式表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
x (i 1） x (i ) 0 d i (2 i y ( i ) ) x (i ) y (i 1) y (i ) d i (2 i x (i ) ) z (i 1) z (i ) d i tanh 1 (2 i )
CORDIC算法原理 --旋转模式
CORDIC方法有两种操作模式:旋转模式和向量模 式。工作模式决定了控制算子di的条件。在旋转模式中 选择:di=sign(z(i))=>z(i)→0。n 次迭代后得到:
x ( n ) k n ( x ( 0 ) cos z ( 0 ) y ( 0 ) sin z ( 0 ) )
CORDIC算法的向量模式可以得到输入向量的幅度。 当使用向量模式旋转后向量就与x轴对齐（重合）。因 此，向量的幅度就是旋转向量的x值。幅度结果由Kn增 益标定。
线性坐标系旋转 --旋转模式
如图4.3，在线性坐标系下迭代的过程可以用下式 表示：
x (i 1） x (i ) 0 d i (2 i y (i ) ) x (i ) y (i 1) y (i ) d i (2 i x (i ) ) z (i 1) z (i ) d i (2 i )
y (i 1) y (i ) d i (2 i x (i ) )