【精编】高考数学选考系列：参数方程

参数方程

【考点梳理】

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝f t ，y ＝g t

并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲

线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．

2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例

如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝f t ，y ＝g t

就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．

3．常见曲线的参数方程和普通方程

考点一、参数方程与普通方程的互化

【例1】已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数).

(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π

2

，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值.

[解析] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2

＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 2

9

＝1.

C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴

长是8，短半轴长是3的椭圆.

(2)当t ＝π

2时，P (－4，4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，

故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝5

5

|3sin θ－4cos θ＋13| ＝

55|5(sin θ－φ)＋13|⎝

⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43，所以d 的最小值为855.

【类题通法】

1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】

在直角坐标系xOy 中，曲线C

的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，

y ＝sin θ(θ为参数)，直线

l 的参数方

程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t

(t 为参数).

(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .

[解析] (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 2

9

＋y 2

＝1，

联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2

＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21

25，y ＝2425

.

则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).

则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |17，其中tan φ＝3

4.

又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.

考点二、参数方程的应用

【例2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ

(θ为参数)，直线

l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2

2

t ，y ＝22t (t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系.

(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；

(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.

[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2

2

t ，y ＝22t (t 为参数)，

消去参数t ，得x ＋y －1＝0.

曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，

y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，

利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2

－4y ＝0.

令ρ2

＝x 2

＋y 2

，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2

－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.

由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1. 【类题通法】

过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，

t 的几何意义是P 0P →

的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt

(t

为参数)，当a 2＋b 2

≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题. 【对点训练】

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧x ＝5cos α，

y ＝sin α

(α为参数).以坐标原点

O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝

⎛⎭

⎪⎫θ＋π

4

＝ 2.l 与C

交于A ，B 两点.

(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|PA |＋|PB |的值. [解析] (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos α，

y ＝sin α

(α为参数)消去α，

得普通方程x 2

5

＋y 2

＝1.

因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.

(2)点P (0，－2)在l 上，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2

2

t ，y ＝－2＋2

2

t (t 为参数)，