测度论第三章(第十二节)
。
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：由关系式 E F1 F2 F1 ，可以推出 F1 ( F1 F2 ) F1 E 由于 F 是E的可测覆盖，因此有 1 类似地，有
{F1 ( F1 F2 )} 0
{F2 ( F1 F2 )} 0 因此 ( F1F2 ) 0
河北科技大学
测 度 论
第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质 本节的主要内容： 由一个测度可以引出一个外侧度，由 一个外侧度可以引出一个测度，如果我们 由一个测度 出发，先建立由它引出的 * * 外侧度 ，再建立由 引出的测度 ， 然后得出 和 之间的关系。
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出的外侧度，即由 可测集类上的测度 引出的外侧度。由此可见， 引出的外侧度和正则外侧度这两个概念是同等宽广的。
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内容结束
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且
( Fn ) * ( E )
1 n
，则
1 E F S ( R) 且 n * 由于n是任意的，因此 ( E) ( F ) 。如果 G S ( R) ，并且 G F E
* ( E ) ( F ) ( Fn ) * ( E )
和
S 上的测度
都是
有限的。
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：根据§10 定理1，如果 是
有限的，则
*也是
有限的。
因此，对于 S 中的每一个集E，存在H（R）中之集的一个叙列 {Ei } 使得
E Ui 1 Ei , * (Ei ) , i 1,2,...
测覆盖。等式
U
n1
U
n1
Fn
，则显然有 F S ( R) 和
EF
( E) ( F )
在
n 1
* ( E) 0
的场合下显然成立，因为此时
(F )
* E H ( R ) 定理4.设 ，F是E的可测覆盖，则 ( E) ( F ) ；如
果 F1 和 F2 都是E的可测覆盖，则 (F1F2 ) 0
§12 引出的测度的性质
是环R的测度， 是H（R）上由 引出的外侧度， 设： * * 是 S 上由 引出的测度，其中 S 是由全体 可测集组成 的 环。
*
* 可测集。 定理1：S（R）中每一个集是
* 证明：设E R，A H（R）， 0 ，则由 的定义，存在R中 之集的叙列{En } ，使得 A U n 1En 并且
对于每一个 Ei 应用定理3，就得到定理的结论。
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
补充：在本节开头所提出的问题也可以从另一个方向提出。例如，我们由 * 一个外侧度 出发，先建立由它引出的测度 ，再建立由 引出的外 * * 侧度 ，则 和 * 之间存在什么关系？一般说来，这两个集函数 是不相同的；但当引出的外侧度 * 与原来的外侧度 * 重合时，我们称 是正则的 。定理2说明了由环上的测度引出的外侧度总是正则的。反面的命 * * 题也是成立的：如果 是正则外侧度，则 * 是由环上的一个测度引 *
证明：因为对于R上的F，有 ( F ) ( F ) （根据 理1 ）因此
的定义和§10定
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
* ( E ) inf{ ( En ) : E U n 1 En , En R, n 1,2,...}
inf{ ( En ) : E U n 1 En , En S ( R ), n 1,2,...}
若 * ( E ) ，等式 * ( E) ( F ) 显然成立；若 * ( E ) 则由定理3，存在E的可测覆盖 F 0 使
(F0 ) * (E)
根据. 设 在R上是 有限的，则S（R）上的测度
* S（R）中的集F，使 ( E) ( F ) 测覆盖。
，并使F为E的一个可
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
证明：首先假定 * ( E ) 。 由定理2，对于每一个n=1，2，…，存在S（R）中的一个集 Fn ，使得
E Fn
令 F n1 Fn
，则因E是具有 有限外侧度的集，它可以表为可列个具有有
限外侧度不相交集的并集： E U E , * (En ) n1 n 设 Fn 是 En 的可测覆盖，并令 F
如果 G F E ，则 G
*
Gn ，其中 Gn G Fn 。由于 Gn Fn En ，因 此 (Gn ) 0 ，所以 (G ) (Gn ) 0 。由此可知，F是E的一个可
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
设 E H ( R), F S ( R), E F , 如果对于E(R)中满足关系式 的每一个集G，有 (G) 0
G F E
，则称F是E得一个可测覆盖。不严格地说，
H（R）中之集E的可测覆盖是S（R）中遮盖R的最小集。
定理3. 设E是H（R）中具有 有限外侧度的集，则存在
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第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质 定理2：设 E H ( R) ，则
* (E) inf{(F ) : E F S inf{(F ) : E F S (R)}
这个定理也可以叙述如下：由S（R）上的 引出外 侧度以及由 S 上的 引出的外侧度都与 * 重合。
因为S（R）中集的任何叙列 {En } 如果满足关系式 E U n1 En F 则可以换为具有同样性质的一个不相交叙列，而不致增加叙列各项的测 度之和；又由 的定义，对于 S 中的F，有 ( F ) * ( F ) ，因此
* (F ) inf{{F} : E F S (R)} inf{{F} : E F S} * (E)
* ( A) ( En ) { ( En E ) ( En E ' )} * ( A E ) * ( A E ' )
n 1 n 1
* 由于上式对于任意的 成立，因此E是
我们已经证明了 R S
可测的。换一句话说， ;又因 S 是一个 环，所以S ( R) S 。
于是 E F G ，我们有
(F ) * (E) (F G) (F ) (G) (F )
因为 ( F ) ，所以 (G) 0 ，这说明了F是E的一个可测覆盖。 首页 上页 下页
第三章 测度的扩张
§12 引出的测度的性质
* 若 (E)
测度论简介------一个通往异世界的大门
长度是怎样炼成的？点没有长度和面积，为什么由点组成的线和面会具有长度和面积？“长度”“面积”这些词汇究竟是在怎样的意义上被使用的？有的时候我们把点的长度叫做零，有的时候叫做无穷小，这两个称呼是不是都有道理？无穷个零相加是不是还得零？（其实和第一个问题是一个意思，无穷个点怎么加成线段的？）等等等等。
当然，小乐的问题是着眼于哲学，而我的回答将会着眼于数学，——我不是学哲学的，但是大概也知道在哲学上这些词汇常常导致混乱的争论，比如芝诺悖论之类。
幸运的是，早在一百年前，通过一大批杰出的数学家的努力，以上这些问题已经被精确地给出了解答，这就是在数学中被称为“测度论”的一套理论体系。
这里“精确”的意思是说，这套理论体系完全基于形式逻辑，而且只采用了非常少的公理（下面会陈述之），从而，在这套理论中不存在任何模糊或者逻辑上模棱两可之处（除了几个需要加以特别说明的地方=_=！）。
换句话说，我们不仅可以认为数学家能够确定无疑的回答以上这些问题，而且可以认为人类在今天能够确定无疑的回答以上这些问题（在承认那些公理的前提下）。
不幸的是，这一断言几乎必然会遭到哲学家的反对。
一方面是因为哲学家们倾向于每个人自己创造一组定义，——从我在未名哲学版见过的一系列关于芝诺悖论的讨论来看，这样的结果是所有的论述最终都流于自说自话。
另一方面大概也因为学术壁垒的缘故，哲学家们大概从来也没有了解过数学家们已经在此问题上做出过的卓越工作，（确实，很多细节是过于数学化了一点……）。
有鉴于此，我答应小乐以尽可能通俗的方式（在不损害准确性的前提下）大致介绍一下测度论的内容。
我想在这个版面上大概还会有不少别的朋友对此感兴趣吧。
下面正式开始。
一、关于无穷当我们使用“无穷”这个词的时候，我们必须时刻谨记，这个词有两种截然不同的意义——不，我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令，而是某些重要得多的本质问题，对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托Georg Cantor (1845 -1918)：当我们说一个集合有无穷多个元素的时候，我们必须指明这里的无穷是哪一种，是“可数无穷”还是“不可数无穷”。
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
测度论
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
可测集类
(1).若E可测，则存在Gδ 型集 O, 使 E ⊂ O且m(O − E ) = 0 若 可测 可测， (2).若E可测，则存在 Fσ 型集 使 H ⊂ E且m( E − H ) = 0 若 可测 可测， 型集H,
证明： 已证明， 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 已证明
∃Gδ 型 O，使得 E c ⊂ O且 m (O − E c ) = 0
∀ 1 , ∃ 开区间列 { I ni }, 使得 E ⊂ ∪ I ni 且 m * E ≤ n
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| I ni | ≤ m * E +
1 n
令 G n = ∪ I n i , 则 G n 为 开 集 ， E ⊂ G n， 且
i =1
∞
m*E ≤ mGn ≤
∞
∑
∞
i =1
m I ni ≤
( 2 ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， 使得 F ⊂ E 且 m ( E − F ) < ε
(1) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 开集 G ， ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， (2 使得 E ⊂ G 且 m ( G − E ) < ε
∃开集Gn，使得E ⊂ Gn且m (Gn − E ) <
∞ n =1
∗
1 n
令 O = ∩ G n， 则 O 为 G δ 型 集 ， E ⊂ O 且
m∗ (O − E ) ≤ m∗ (Gn − E ) ≤ 1 , n = 1,2,3,L n
故m (O − E ) = 0
从而E = O − (O − E )为可测集
H 取H=O c，则H为Fσ 型集 ， ⊂ E 且 为
《实变函数》第三章_测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
39
的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题.
42
)
= µ ( A1 ) + = ∑ µ ( Ai ).
i =1 n
+ µ ( An ) + µ (∅) +
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) (2) 序关系: − ∞ < a < +∞ . 加法:
教学大纲_测度论
《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。
一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。
其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。
本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。
通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。
（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。
（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。
（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。
课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。
测度论核心思想
测度论核心思想一个物体或者空间的一个区域A,其体积记作V(A),应该是一个非负的实数。
首先，体积具有如下重要性质，若两个区域A,B互不相交，则V(A+B)=V(A)+V(B).这里我用A+B表示两个区域A,B的并集。
这个性质称为体积的可加性。
测度作为体积的推广也应该具有可加性。
我们将要看到这是体积以及测度最本质的性质。
其次，点、线、面的体积都等于0.所以应该允许一些子集的体积等于0.第三，3维空间自身的体积是无穷大，因而一般的测度也应该允许某些子集的测度为无穷大。
所以我们可以如下建立测度理论。
给定一个大的集合，比如3维空间，或者一个微分流形等等，对这个集合的每一个子集A都指定一个数，即它的测度，也可称作体积，为方便起见，我们记之为V(A).当然这一指定方式需要满足一些条件，比如至少应该使得可加性成立，其次测度不可能是一个负数。
因而集合的测度取值为0到正无穷大，即扩充的正实数集。
分析一下我们前面的讨论。
注意到我们对每一个子集都指定了一个实数作为这个子集的测度。
但是，这通常是做不到的，亦即，一般而言，不可能对一个集合的每一个子集都指定这样一个数并使得这一指定方式能够满足我们前面列出来的几个性质。
事实上对3维空间或一般的欧几里得空间，如果我们要求单位立方体的体积等于1,那么不可能对每一个子集都赋予一个测度。
因而测度只能定义在某些子集上，而不是全部的子集。
这是建立测度理论总是要从集合运算开始的原因。
所以测度论的第一步就是讨论在哪些子集上赋予测度。
我们从某些子集出发，通过集合运算-取并集、交集、余集-得到一些新的集合，这里的集合运算都是对有限多个集合来做的。
比如对于3维空间，长方体肯定是有体积的，一些长方体的并集、交集以及余集都应该是有体积的。
把所有这样得到的集合放到一起，我们很容易看出其中必定包括空集，因为集合A和A 自身的余集的交集就是空集。
所以我们认为空集也有体积，显然唯一合理的方式是对空集赋予体积0.这样我们通过集合的有限并、交、补得到一些子集，并对其中的每一个赋予一个实数，即其测度并满足可加性，而且空集的测度为0.我们继续考虑测度需要满足的性质。
朱成熹 测度论 部分习题答案
《测度论》部分习题题解注：由于打印版本的限制，在题解中花写的A 、B 、F 被S 、Z \、F 所代替习题一1.解⑴若A 、B 均势可数，则A B 势可数。
若A 、B 至多有一个势可数。
则由()CC C A B A B = ，以及CA 、CB 中至少有一个势可数，可知此时()CA B 势可数；若A 势可数，则A B -也是，若CA 势可数，B 势可数，则CA B A B -= 也势可数，又Ω∈Z ，因此Z 是域。
显然 对余运算封闭，若n A 均势可数，则n nA 也势可数，若n A 中至少有一个Cn A 势可数，则CC n n n n A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 也势可数，故Z 是σ-域。
由书中定理可知，这时Z 也是π-类，λ类和单调类。
解⑵若A 势可数，则C A 势不可数，故对余运算不封闭，故不是域，从而也不是σ-域，显然是π类和单调类，但不能是λ类，否则，由于既是π类又是λ类，可推出是σ域，矛盾。
解⑸由A A -=∅∉Z ，可知不是域，故也不是σ-域，由CA A =∅ 可知不是π类。
设n A ∈Z ，n A ↑，若1A A =，则可知n nA A = 或Ω；若1CA A =，则C n nA A = 或Ω；若1A =Ω，则nnA=Ω ，同样对n A ↓也有类似结论，故可知Z 是单调类，由Ω-Ω=∅∉Z ，故Z 不是λ类。
7.证：任意A ∈Z ，已知Ω∈Z ， 故C A A =Ω-∈Z ，故对余运算封闭。
若,A B ∈Z ，A B =∅ ，则()CC C C A B A B A B +==- 。
由于CB A ⊂，故由已证结果和已知条件可知对真差封闭。
#9.证：用λπ-类方法证明，令F ={B ；满足题中条件}，则对任意B ∈Z ，显然B ∈F ，故⊃Z F ;再者()1λΩ∈F ，()2λ对任意A,B ∈F , 且A B ⊂,故存在集列()}{i n B ，i=1,2,使()}{()1,1nA Bn σ∈≥和()}{()2,1n B B n σ∈≥，故可见()}{(),1,1,2i n B A B n i σ-∈≥=，()3λ对n A ∈F ，1n ≥，且n A A ↑，则存在()}{,1,1n m B m n ≥≥，使()}{(),1,1n n mA Bm n σ∈≥≥，从而可知()}{(),1,1n mA Bm n σ∈≥≥。
第三章 测度论
例题 5：对于区间I 有 mI I
3、勒贝格外测度涵义 优点：任何集合都有外测度。
缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。
对外测度加以限制，设法在Rn 中找出某一集合类 ，在 上满足
（1）封闭性： 对某些运算应该封闭；
（2）可数可加性：
m
Байду номын сангаасi
m (Ei )
乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
会员免费下载 明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做
（4）可列可加性：设{Ei}
是一列互不相交的可测集
m
Ei
mEi
i1 i1
§3 可测集类
1、零测集 凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。 零测集性质： （1）零测度集的任何子集都为零测度集。 （2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。
2、常见可测集
（1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合， 且 mI I （2）凡开集、闭集皆可测。
（2）有限可加性：如果E1, E2,..., En两两不相交，那么
m(E1 E2 ... En ) m(E1) m(E2 ) ... m(En )
（3）正则性：m([0,1]) 1
该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的 长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度 或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。