最新高考文科数学导数全国卷

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2023全国卷二高考数学导数题

2023全国卷二高考数学导数题一、函数导数的概念在数学中，函数的导数是描述函数在某一点的变化率的概念。

导数表示的是函数在某点的切线斜率。

对于函数f(x)，其导数通常用f'(x)或者dy/dx来表示。

导数的计算方式包括用极限和差商的定义，还有一系列的求导法则。

二、导数的基本性质1. 若函数f(x)在点x处可导，则在该点连续；2. 若函数f(x)在点x处可导，则在该点的左、右极限存在，并且相等；3. 导数满足加减乘除的法则，即对于可导函数f(x)和常量c，有如下法则：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 乘法法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 除法法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) -f(x)g'(x))/[g(x)]^2三、常见函数的导数公式1. 常数函数：若f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0；2. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) =nx^(n-1)；3. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，则f'(x) = a^x * ln(a)；4. 对数函数：若f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))；5. 三角函数：若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；6. 指数幂函数：若f(x) = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，则f'(x) = ln(a) * a^x。

四、应用题示例例1：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在x = 2处的导数。

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

专题导数及其应用(解答题)(原卷版)(文科专用)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x 3−x,g(x)=x 2+a ，曲线y =f(x)在点(x 1,f (x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线．(1)若x 1=−1，求a ；(2)求a 的取值范围．2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ． (1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．3．【2021年甲卷文科】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．8．【2019年新课标2卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9．【2019年新课标3卷文科】已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.10．【2018年新课标1卷文科】【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 11．【2018年新课标2卷文科】已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．12．【2018年新课标3卷文科】已知函数()21x ax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．。

专题03 导数及其应用-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)

专题03导数及其应用考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：切线问题2024年全国甲卷（理）、2023年全国甲卷（文）2024年全国Ⅰ卷、2022年全国II卷2022年全国I卷高考对导数及其应用的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．考点2：单调性、极最值问题2023年全国乙卷（文）2022年全国乙卷（理）2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷、2023年全国Ⅱ卷2022年全国乙卷（文）考点3：比较大小问题2022年全国甲卷（文）2022年全国甲卷（理）2022年全国I卷、2024年北京卷2024年天津卷2023年全国甲卷（文）、2023年天津卷考点4：恒成立与有解问题2024年新课标全国Ⅱ卷2023年全国甲卷（文）、2023年全国甲卷（理）2024年全国甲卷（理）、2024年全国Ⅰ卷考点5：极最值问题2023年全国乙卷（理）2023年北京卷2024年全国Ⅱ卷考点6：证明不等式2024年全国甲卷（文）、2023年天津卷2023年全国Ⅰ卷、2023年全国Ⅱ卷2022年全国II卷考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）2022年全国甲卷（理）2022年北京卷、2022年天津卷2022年浙江卷、2024年天津卷考点8：零点问题2024年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（文）、2024年天津卷2024年全国甲卷（文）2023年天津卷、2022年天津卷2024年北京卷2022年全国乙卷（文）、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）、2022年全国I卷考点1：切线问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .4．（2022年新高考全国II 卷数学真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．5．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．考点2：单调性、极最值问题6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．(2)若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．8．（2023年北京高考数学真题）设0a >，函数222,,(),,1,.x x a f x a x a x a x x a +<-⎧=--≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是．9．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->10．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心11．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-，C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，考点3：比较大小问题14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b>>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>15．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<17．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+18．（2024年天津高考数学真题）若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b >>D ．b c a>>19．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记236,,222a f b f c f ⎫⎛⎛===⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>20．（2023年天津高考数学真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．c a b<<考点4：恒成立与有解问题21．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．122．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．23．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数3sin π()0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)当8a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．24．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．25．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．考点5：极最值问题26．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.(3)若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.27．（2023年北京高考数学真题）设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求,a b 的值；(2)设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；(3)求()f x 的极值点个数．28．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．考点6：证明不等式29．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)当2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．30．（2023年天津高考数学真题）已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率；(2)求证：当0x >时，()1f x >；(3)证明：()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭．31．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()()e xf x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．32．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．33．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈N 222111ln(1)1122n n n+>++++ ．考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）34．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．35．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．36．（2022年新高考天津数学高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．37．（2022年新高考浙江数学高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）38．（2024年天津高考数学真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()()f x a x x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．考点8：零点问题39．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．240．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-41．（2024年天津高考数学真题）若函数()2221f x x ax ax =--+恰有一个零点，则a 的取值范围为．42．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．43．（2023年天津高考数学真题）设R a ∈,函数()2221f x ax x x ax =---+,若()f x 恰有两个零点，则a 的取值范围为．44．（2022年新高考天津数学高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为.45．（2024年北京高考数学真题）设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线．(1)当1k =-时，求()f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）46．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．47．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线．(1)若11x =-，求a ；(2)求a 的取值范围．48．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数()()ln 1ex f x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．49．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．。

完整版)导数最新文科高考数学真题

完整版)导数最新文科高考数学真题1.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率为2e。

(选项C)2.曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，因此a=3.(选项D)3.根据导函数y'=f'(x)的图象，确定函数y=f(x)的图象为B。

4.函数f(x)=2/x+lnx，其导数为f'(x)=-2/x^2+1/x。

解方程f'(x)=0，得到x=2为f(x)的极小值点。

(选项D)5.如果p:f(x)=q:x是f(x)的极值点，则p是q的必要条件，但不是充分条件。

(选项C)6.曲线y=x^3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+1=0.7.曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴，因此k=-1.8.曲线y=ax-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，因此a=1/2.(选项1/2)9.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为5x+y+2=0.10.曲线y=x+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，因此α=2.11.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0.12.曲线y=e^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，因此P的坐标为(-ln2,2)。

13.曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0，因此P的坐标为(e,e)。

14.函数y=-x^2没有明显的问题，但是缺少了后面的部分，因此无法确定答案。

15.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是[1,+∞)。

16.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为下凸的W 形，拐点为x=0.17.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则2a=8.18.函数y=xe在其极值点处的切线方程为y=-x/e。

19.已知函数f(x)=axlnx，其中a为实数，且f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3，则a的值为3.20.曲线y=x^2的在点(1,2)处的切线方程为x-y+1=0.21.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象为下凸的W形，则函数y=f(x)的图象可能是D。

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ，联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B C ．12D ．【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭，故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ．【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；（2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=，故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=，解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。

2023全国乙卷数学文科导数

2023全国乙卷数学文科导数
2023全国乙卷数学文科导数部分考察了导数的基本理论和应用题型。

具体内容如下：
第一大题是选择题，共有 8 小题。

考查导数的基本定义、性质和运算规则。

题型多样，有填空题、判断题和选择题。

第二大题是计算题，共有 5 小题。

考查导数的计算方法，包括常用函数的导数求法、链式法则和反函数的导数求法等。

第三大题是应用题，共有 5 小题。

考查导数在实际问题中的应用，包括最值问题、曲线的凹凸性判断和曲线与直线的位置关系等。

第四大题是证明题，共有 2 小题。

考查导数的基本理论和性质的证明，要求学生运用导数的定义和基本思想进行证明。

整个导数部分试题难度适中，考察了学生对导数概念的理解和运用能力。

同时，注重培养学生的分析、推理、综合应用等能力。

学生应注重基础知识的掌握，熟练运用导数的相关定理和方法，灵活应用到实际问题中。

同时，需要注意解题过程的严谨性和逻辑性，做到思路清晰、步骤正确、答案准确。

希望考生们能够充分复习导数的相关知识和解题技巧，做好备考准备，取得优异的成绩。

2023年高考数学试题分类解析【第八章导数】附答案解析

2023年高考数学试题分类解析【第八章导数】第一节导数的概念与运算1.（2023全国甲卷文科8）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【解析】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x x xx x y x x +-'==++，所以1e |4x k y ='==，所以()e e124y x -=-，所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+.故选C.第二节函数的单调性、极值与最值1.（2023全国乙卷理科16）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是.【解析】()()()()1ln ln 1ln 10.ln 1xxxa a f x a a a a a a +-⎛⎫'=+++≥⇒≥⎪+⎝⎭因为()()0,1,0,a x ∈∈+∞，所以11xa a +⎛⎫> ⎪⎝⎭.所以只需()ln 1ln 1a a -≤+.即210a a a +-≥⇒≤a ≥又因为()0,1a ∈，所以a ⎫∈⎪⎪⎣⎭.【评注】本题以单调性为载体，考查了不等式恒成立问题.2.（2023新高考I 卷11）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数D.0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x yxy=+，故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，解得12ex ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减.()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误.故选ABC.3.（2023新高考II 卷6）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）A.2e B.eC.1e -D.2e -【解析】依题意()1'e 0xf x a x =->在区间()1,2上恒成立，即()1,1,2ex a x x >∈.令()()e ,1,2x g x x x =∈，()()'1e 0xg x x =+>，所以()g x 在()1,2上单调递增，所以()2e 2e g x <<，21112e e ex x <<，所以1e a ≥，即a 的最小值为1e.故选C.4.（2023新高考II 卷11）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值，则（）A.0bc >B.0ab > C.280b ac +> D.0ac <【解析】()()223322',0a b c ax bx c f x x x x x x--=--=>.令()22g x ax bx c =--，若()f x 在()0,+∞上既有极大值也有极小值，则()g x 在()0,+∞上有2个变号零点，即280b ac ∆=+>（必要条件）.令()()120g x g x ==，则1202b x x a +=>，得0ab >①,1220cx x a=->，得0ac <②因此20a bc <，得0bc <.综上，故选BCD.第三节导数的综合应用1.（2023北京卷20）设函数()3e ax bf x x x +=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+.（1）求,a b 的值；（2）设()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 极值点的个数.【分析】（1）先对()f x 求导，利用导数的几何意义得到(1)0f =，(1)1f '=-，从而得到关于,a b 的方程组，解之即可；（2）由（1）得()g x 的解析式，从而求得()g x '，利用数轴穿根法求得()0g x '<与()0g x '>的解，由此求得()g x 的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(),0-∞，()10,x ，()12,x x 与()2,x +∞上()f x '的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得()f x 的极值点个数.【解析】（1）因为3()e ,ax b f x x x x +=-∈R ，所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+，所以(1)110f =-+=，(1)1f '=-，则()311e 013e 1a ba ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得11ab =-⎧⎨=⎩，所以1,1a b =-=.（2）由（1）得()()()()23113ex g x x x x x f -+'=-=-∈R ，则()()1266e x x g x x x -+'+-=-，令2660x x -+=，解得3x =±13x =，23x =+，则120x x <<，易知1e 0x -+>恒成立，所以令()0g x '<，解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>，解得0x <或12x x x <<；所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在(),0-∞，()12,x x 上单调递增，即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3+∞，单调递增区间为(),0-∞和(3.（3）由（1）得()31()ex f x x x x -+=-∈R ，()()23113e x f x x x -+'-=-，由（2）知()f x '在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在(),0-∞，()12,x x 上单调递增，当0x <时，()24011e f '-=<-，()010f '=>，即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0-∞上存在唯一零点，不妨设为3x ，则310x -<<，此时，当3x x <时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当30x x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0-∞上有一个极小值点；当()10,x x ∈时，()f x '在()10,x 上单调递减，则()(()131120f x f f '''=-<=-<，故()()100f f x ''<，所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点，不妨设为4x ，则410x x <<，此时，当40x x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当41x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点；当()12,x x x ∈时，()f x '在()12,x x 上单调递增，则()(()23310f x f f '''=+>=>，故()()120f x f x ''<，所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点，不妨设为5x ，则152x x x <<，此时，当15x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当52x x x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时，()232330x x x x -=-<，所以()()231013ex f x x x -+'=->-，则()f x 单调递增，所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上，()f x 在(),0-∞和()12,x x 上各有一个极小值点，在()10,x 上有一个极大值点，共有3个极值点.【评注】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断()1f x '与()2f x '的正负情况，充分利用()f x '的单调性，寻找特殊点判断即可得解.2.（2023全国甲卷理科21）已知函数()3sin ,0,cos 2x f x ax x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）若8a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）若8a =，()3sin 8,0cos 2x f x x x x π=-<<，()()322264cos cos sin 3cos sin cos 3sin 88cos cos x x x x x x xf x x x⋅-⋅⋅-+'=-=-()422422448cos cos 31cos 8cos cos 3sin cos cos x x x x x x x x -----==()()2242442cos 14cos 38cos 2cos 3cos cos x x x x x x-++-==.令()0f x '=得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>，()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当42x ππ<<时，()0f x '<，()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）()sin 2f x x <即3sin sin 2,0cos 2x ax x x x π-<<<.令()3sin sin 2,0cos 2x F x ax x x x π=--<<，()00F =，()()00F x F <=，则()00F ' .又()()422264cos sin 3cos sin cos 3sin 2cos 22cos 2cos cos x x x x x xF x a x a x xx-⋅⋅-+'=--=--，()030F a '=- 得3a （必要条件）.当3a 时，()3sin 3sin 2cos xF x x x x-- .令()3sin 3sin 2,0cos 2x G x x x x x π=--<<，()00G =，()()422264cos sin 3cos sin cos 3sin 32cos 232cos 2cos cos x x x x x xG x x xx x-⋅⋅-+'=--=--()()()242224414sin cos 12sin 12sin 14sin cos cos x x x x x x x+-++=+-=()()()222241sin 14sin 12sin cos x x x x-+-+=.令2sin t x =，由于π02x <<，所以01t <<.令()()()()211412,01g t t t t t =-+-+<<，()00g =，()()()()()()()221144122121142g t t t t t t t '=--++--=-⎡--+⎤-⎣⎦，()()()21162267t t t t =---=-则()0g t '<，()g t 单调递减，因此()()00,01g t g t <=<<，所以()0G x '<，()G x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00G x G <=.证毕.综上，a 的取值范围是(],3-∞.【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行.放缩一：当3a 时，()3sin 3sin 2cos xF x x x x-- .令()3sin 3sin 2cos xG x x x x =--，()22432cos '34cos 2cos x G x x x -=--+222240612612cos 2cos 0cos cos x x x x ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫=--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.显然此时必有()()00F x F <=，符合题意.综上，当3a 时()sin 2f x x <.放缩二：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由Pade 逼近知32sin tan sin 2sin 2cos cos x xx x x x+=+.()223232122326xx x x x ⎛⎫+⎡⎤>⋅+- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭()()242251233343x x x x x-+=⋅- 从而有3a 时()sin 2f x x <.【评注】本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考察到了高考重难点中的含参取点问题.当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性质，学会从宏观的角度去简化问题.4.（2023全国乙卷理科21）已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在,a b ，使得曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求,a b 的值，若不存在，说明理由；（3）若()f x 在()0,+∞存在极值，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()2111ln 111f x x x x x ⎛⎫'=-++-⋅⎪+⎝⎭，()10f =，()1ln 2f '=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-，即()ln 21y x =--.（2）由()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()11ln 1g x f x a x x ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且110x +>得10x x +>，即0x >或1x <-.所以12b =-，则()()1g x g x =--，即()()()11ln 11ln 11ln 11x x a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫++=--+-=--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得()121ln0x a x +-=，即12a =.（3）()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在()0,+∞上存在极值，求a 的取值范围.即在()0,+∞上，()f x '存在变号零点.()()()()()()()()()22221ln 111ln 1111ln 1111x x ax x ax x x x f x x a x x x x x x x -+++++-++⎛⎫'=-+++⋅==⎪+++⎝⎭令()()()21ln 1,0g x ax x x x x =+-++>，()00g =，当0a 时，0x >，得20ax ，()ln 11xx x +>+，则()()()()()21ln 11ln 10g x ax x x x x x x =+-++-++< .所以当0a 时，()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上单调递减，因此不存在极值点，与题意不符，故舍去.（注：一看原函数的符号）()()()21ln 112ln 1g x ax x ax x '=+-+-=-+，当12a 时，2ax x ，()ln 1x x >+，0x >，则()0g x '>，函数()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()f x 在()0,+∞上没有极值点，与题意不符，故舍去.（注：二看导函数的符号）当102a <<时，()()()21ln 1g x ax x x x =+-++，()00g =，()()()21ln 112ln 1g x ax x ax x '=+-+-=-+，()00g '=，()121g x a x ''=-+，()0210g a ''=-<，()()2101g x x '''=>+，则()g x ''在()0,+∞上单调递增，且1102g a ⎛⎫''-+= ⎪⎝⎭，因此，当1012x a<<-+时，()0g x ''<，()g x '单调递减；当112x a>-+时，()0g x ''>，()g x '单调递增，又()00g '=，且0x >时，())ln 121x +=<-<.1=1<）故())210g x ax '>-=-=得21x a =，因此210g a ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，据零点存在定理知，0210,x a⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，且当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.又()00g =，当102a <<，找一个实数00x '>，使得() ()()20000001ln 10,0g x ax x x x x ++-''''''=+-++>>，又())ln 121x '+=<-<，所以()))())2200000000001111g x ax x x ax ax x ax x x ''''''''''>+-+>+-+=+-+()(010x ax ''=+-=，得024x a '=.因此240g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由零点存在定理知1240,x a⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =，且当10x x <<时，()0g x <，当1x x >时，()0g x >，即当10x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x x >时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增.因此，当102a <<时，()f x 在()0,+∞上存在唯一极小值点，满足题意.综上所述，若()f x 在()0,+∞上存在极值，则a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【评注】本题第一问比较常规，第二问考查了同学们的基本功，只需注意到定义域关于12x =-对称，答案并不难得到.第三问具有一定难度，但是可以通过提取转化对问题进行简化，当然这道题目最重要的还是考查了同学们分类讨论及含参取点的能力.【解析】（1）当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()2111ln 111f x x x x x ⎛⎫'=-++-⋅⎪+⎝⎭，()10f =，()1ln 2f '=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-，即()ln 21y x =--.7.（2023新高考I 卷19）已知函数()()e xf x a a x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+.【解析】（1）()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()0f x '=，得1e x a=，即ln x a =-，函数()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增.（2）解法一：由（1）知，当0a >时，()()()ln min 1ln e ln ln a f x f a a a a a a a a -⎛⎫=-=++=++ ⎪⎝⎭，要证明()32ln 2f x a >+，等价于证明13ln 2ln 2a a a a a ⎛⎫++>+ ⎪⎝⎭，即21ln 02a a -->，0a >.设()21ln 2g a a a =--，则()21212a g a a a a-'=-=，当202a <<时，()0g a '<，函数()g a 在22⎛ ⎝⎭上单调递减；当2a >时，()0g a '>，函数()g a在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()11ln 02222g a g ⎛⎫≥=--=> ⎪ ⎪⎝⎭，证毕.解法二：目标式()3e 2ln 2x a a x a +->+，即ln 23e 2ln 02x a a x a ++--->，()ln 21e ln 1ln 02x a x a a a +⇔-+++-->，()()2ln 221e ln 1ln 1022x aa x a a a +⇔-+++--+>，证毕.【命题背景揭示】凸函数的切线不等式当0a >时，给出函数()2e 2ln x g x a a a =+-其在点11ln ,ln g a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：111ln ln ln y g g x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()e xg x a '=，1ln 1ln e 1a g a a ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，21ln 2ln 1g a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因此，221ln2ln 1ln 1y x a a x a a a =-+-+=+-+，该切线与直线32y x =+平行，且222111101ln 2242a a a a a a ⎛⎫-+=-+>⇒->-> ⎪⎝⎭，即23ln 12a a -+>，得23ln 12x a a x +-+>+，由凸函数的切线不等式可知()223e 2ln 1ln 2x g x a a a x a a x =+-++->+ ，即()3e 2ln 2x a a x a +->+.【评注】本题考查函数与导数的单调性分析和函数不等式的证明，考查函数形式依旧是指、对混合形式.8.（2023年全国新高考II 卷第22题）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x=--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【解析】（1）设()sin f x x x =-，01x <<，则()00f =，()'cos 10f x x =-≤，函数()f x 在()0,1上单调递减，则()()00f x f <=，所以sin x x <.设()2sin g x x x x =--，则()00g =，()'12cos g x x x =--，()'00g =.()''2sin 0g x x =-+<,()'g x 在()0,1上单调递减，则()()''00g x g <=，所以()g x 在()0,1上单调递减，因此()()00g x g <=，所以2sin x x x -<.综上，当01x <<时，2sin x x x x -<<.本题还可以让学生证明，对于任意0x >，31sin 6x x x x -<<（泰勒展开）.（2）解法一：由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，且()f x 为偶函数.()2222sin sin 11x xf x a ax a ax x x -'=--=-+--，()f x '是奇函数.又0是()f x 的极大值点()00f '⇒=，显然成立，且0δ∃>，当(),0x δ∈-，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x δ∈，()0f x '<，()f x 单调递减.又()()()()()()22222222212221cos cos 11x x x x f x a ax a ax x x --⋅-+''=-+=-+--，()2020f a ''=-+<得a >a <()()()()()()()()2222233432221121243sin 2sin 11x x x x x x x f x a ax a ax x x --+⋅-⋅-+'''=+⋅=+--，()00f '''=，()()()()4244421261cos 1x x fx aax x ++=+-.若a ，当1x a<时，01ax < ，则()()40f x >，则()f x '''在10,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00f '''=，因此()0f x '''>，所以()f x ''在10,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，又()2020f a ''=-<，若10f a ⎛⎫'' ⎪ ⎪⎝⎭ ，则10,x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x ''<恒成立，则10,x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x '单调递减，则()()00f x f ''<=，所以当10x a <<时，()f x 单调递减，又()f x 为偶函数，则1,0x a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，这说明0x =是()f x 的极大值点.若10f a ⎛⎫''> ⎪ ⎪⎝⎭，010,x a ⎛⎫∃∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=，且当()00,x x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减，则()()00f x f ''<=，则当()00,x x ∈时，()f x 单调递减，由于()f x 是偶函数，则()0,0x x ∈-，()f x 单调递增，这说明0x =是()f x 的极大值点.若()10f ''=得a =，此时()2222sin 11x xf x a ax x x '=-+=+--.由（1）知，当01x <<时，20sin x x x x <-<<，则有当01x <<时，()32222221222101111x x x f x x x x x x x ⎛⎫'=+>-+=-=> ⎪----⎝⎭，这说明函数()f x 在()0,1上单调递增，与题意不符，故舍去，综上，a的取值范围是{a a a ><.【解析】（1）()()21111ln 121f x x x x x ⎛⎫'=-+++⋅ ⎪+⎝⎭，()112ln 343f '=-+.（2）要证明：()1f x >，0x >等价于证明()11ln 112x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即()12ln 11122xx x x +>=++.构造函数()()2ln 1,02xF x x x x =+->+，()00F =，()()()()()()()()222222221144444011222112x x x x x x F x x x x x x x x x +-++--'=-=-==>++++++++，()F x 在()0,+∞上单调递增，则()()00F x F >=，即()2ln 12xx x +>+.（3）设()*1ln !ln ,2n a n n n n n ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭N ，11a =，()()13ln 1!ln 112n a n n n n +⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭，()()()131ln 1!ln !ln 1ln 122n n a a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+--+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111ln 1ln 1ln 12221n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭211110211n n n n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭<+⋅+= ⎪⎝⎭++.因此，数列{}n a 单调递减，则11n a a = .不等式的左侧待证明.由Pade 逼近知（证明略）()()()51ln 221x x x x +-≤+，从而有()()()11611111ln 11122243223n n r n r n n n n n n n ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+=++-≤+⋅=⎪ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭111121n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭，从而有当2n ≥时，()()0.1233113111ln 211ln 2121212126r r n n ⎛⎫-<-+-<-+<⎪-⎝⎭，从而有()56r n >.证毕！说明：命题背景是Pade 逼近！。

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导数高考题专练1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分）设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分）设函数2()ln xf x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅰ）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a≥+。

4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分）已知函数.2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性；(II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围.5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分）已知函数.（I ）当时，求曲线在处的切线方程；()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f(II)若当时，，求的取值范围. 6(2016山东文科。

20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.2017.（12分）已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2018全国卷)（12分）已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若存在两个极值点，，证明：．导数高考题专练（答案）12解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，()1,x ∈+∞()0f x ＞af ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 34 (I )(i)设，则当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).①若，则，所以在单调递增. ②若，则ln(-2a)<1,故当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+0a ≥(),1x ∈-∞()'0f x <()1,x ∈+∞()'0f x >(),1-∞()1,+∞0a <()'0f x =2e a =-()()()'1xf x x e e =--()f x (),-∞+∞2ea >-()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞U ()'0f x >()()ln 2,1x a ∈-()'0f x <()f x ()()(),ln 2,1,a -∞-+∞()()ln 2,1a -2ea <-()21ln a ->()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞U ()'0f x >()()1,ln 2x a ∈-()'0f x <()f x ()()(),1,ln 2,a -∞-+∞()()1,ln 2a -(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又，取b 满足b <0且，则，所以有两个零点. (ii)设a =0，则所以有一个零点.(iii)设a <0，若，则由(I)知，在单调递增. 又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.综上，a 的取值范围为.5试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在0a >()f x (),1-∞()1,+∞()()12f e f a =-=，ln 22b a <()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭()f x ()()2xf x x e =-()f x 2ea ≥-()f x ()1,+∞1x ≤()f x ()f x 2ea <-()f x ()()1,ln 2a -()()ln 2,a -+∞1x ≤()f x ()f x ()0,+∞(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-+x a x a ，由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，a 的取值范围是(],2.-∞6试题分析：(Ⅰ)求导数()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，从而()112'2axg x a x x-=-=，讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当12a >时，综合即得. 试题解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2axg x a x x-=-=，当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 2017.解：（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()xx x x f x eae a e a e a '-∞+∞=--=+-①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增 ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，2018．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．。