矩阵乘法的OpenMP实现及性能分析
矩阵的乘法实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵乘法的概念和运算规则。
2. 掌握矩阵乘法的编程实现方法。
3. 通过实验验证矩阵乘法的正确性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 库：NumPy三、实验原理矩阵乘法是指两个矩阵相乘的运算。
设矩阵A为m×n的矩阵，矩阵B为n×p的矩阵，则它们的乘积C为一个m×p的矩阵。
矩阵乘法的运算规则如下：C[i][j] = Σ(A[i][k] B[k][j])，其中k为1到n的整数。
四、实验步骤1. 导入NumPy库。
```pythonimport numpy as np```2. 定义矩阵A和B。
```pythonA = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])```3. 计算矩阵A和B的乘积C。
```pythonC = np.dot(A, B)```4. 打印结果。
```pythonprint("矩阵A：")print(A)print("矩阵B：")print(B)print("矩阵C（A乘B）：")print(C)```五、实验结果与分析1. 运行实验程序，得到以下结果：```矩阵A：[[1 2][3 4]]矩阵B：[[5 6][7 8]]矩阵C（A乘B）：[[19 22][43 50]]```2. 分析结果：- 矩阵A为2×2的矩阵，矩阵B为2×2的矩阵，它们的乘积C为2×2的矩阵。
- 根据矩阵乘法的运算规则，我们可以计算出矩阵C的每个元素。
- 实验结果与理论计算相符，说明矩阵乘法的编程实现是正确的。
六、实验总结1. 本实验成功实现了矩阵乘法的编程，验证了矩阵乘法的正确性。
2. 通过实验，加深了对矩阵乘法概念和运算规则的理解。
3. NumPy库在矩阵运算方面具有强大的功能，为编程提供了便利。
OpenMP的应用与实现
OpenMP的应用与实现OpenMP的应用与实现随着计算机技术的不断发展，程序员们需要在更短的时间内开发出更高效、更快速的程序，以满足现代科学和工程领域对计算的需求。
在多核处理器和集群系统的背景下，一种新的编程技术——OpenMP，应运而生。
OpenMP为C、C++和Fortran等语言提供了一种简单而有效的方式来并行化应用程序，可显著加速程序的执行速度。
本文将介绍OpenMP的应用与实现。
一、OpenMP的基本概念OpenMP是一种可移植、可扩展的共享内存并行编程技术，被广泛用于高性能计算应用中。
它可以在现有的串行代码中添加共享内存并行性，从而提高程序的效率。
OpenMP采用指令集合作，程序员可以通过在应用程序中添加特定的OpenMP指令，来控制并行执行的细节。
这些指令将告诉编译器如何将串行代码并行化。
OpenMP的并行模型是基于线程的共享内存模型。
线程是程序执行的最小单元，可以实现不同的计算任务同时运行。
OpenMP使用共享内存模型，即多个线程可以访问同一块内存，从而实现数据的共享。
为了保证数据的安全性，OpenMP提供了同步机制，可以保证共享资源的一致性和正确性。
二、OpenMP指令OpenMP定义了一系列指令，用于控制多线程的创建、同步和运行。
下面是一些常用的OpenMP指令：1. #pragma omp parallel该指令用于创建一个并行区域。
在这个区域内所有指令都会被多个线程执行。
当线程遇到这个指令时，会创建一个线程队列，然后每个线程会执行这个指令块内的内容。
2. #pragma omp for该指令用于循环并行化。
在多核处理器或者集群系统中，循环的迭代次数可以分配给不同的线程来并行执行，从而加速程序的执行速度。
3. #pragma omp sections该指令用于将代码分成多个段，每个段可以由不同的线程执行。
4. #pragma omp critical该指令用于保证在同一时间只有一个线程可以执行指定的代码块。
《高性能矩阵乘法》课件
MPI提供了进程间通信的接口和机制，方便开发 者进行分布式并行计算的开发和调试。
05
高性能矩阵乘法的性能评估
测试平台与环境配置
测试平台
使用高性能计算机进行测试，确保硬件配置 满足矩阵乘法运算需求。
编译器
选择高效的编译器，如GCC或Clang，确保 代码编译优化。
04
并行计算框架与工具
CUDA与GPU计算
01
CUDA是NVIDIA推出的并行计算平台和API模型，允许开 发者使用NVIDIA GPU进行高性能计算。
02
GPU计算利用了GPU的并行处理能力，通过将计算任务分解为多 个子任务，分配给GPU上的多个核心同时处理，实现了高效的计
算加速。
03
CUDA提供了丰富的编程接口和工具，如CUDA C/C编译器 和Nsight等，方便开发者进行GPU编程和调试。
随着数据规模的扩大，传统的矩阵乘法算法会面临计算量 大、效率低下等问题。因此，高性能的矩阵乘法算法和并 行计算技术成为研究的热点，旨在提高计算效率和降低资 源消耗。
高性能矩阵乘法的应用场景
01
机器学习
在机器学习中，矩阵乘法是常用的操作之一。通过高性能的矩阵乘法算
法，可以加速模型的训练和推理过程，提高机器学习的效率和精度。
实际应用案例三：图像处理中的矩阵乘法加速
图像处理效率的保障
可以显著提 高图像处理的效率，为实时图像处理和视频处理提供可能。
THANKS
感谢观看
通过将算法拆分成多个并行任务，利用多核处理器或GPU进行并行计算，提高计算速度。
详细描述
矩阵乘法操作可以分解为多个独立的乘法操作和加法操作，这些操作可以同时进行，从而实现并行化。通过并行 化，可以充分利用多核处理器或GPU的计算能力，显著提高计算速度。
矩阵向量相乘并行算法分析与实现
中国石油大学(华东)理学院
摘要： 矩阵运算是工程数值计算中一种常见的运算方式。大量 的高维矩阵运算对数学计算提出了新的要求。本文针对行划分，列 划分不同模式 , 给出 OpenMPI 算法的分析与实现，并得到按行划分 的优势。 关键词：矩阵向量，并行，OpenMP； 一、问题背景与提出 矩阵向量相乘是数学以及工程中经常遇到的一种计算方式，矩 阵向量乘法在许多解决实际问题中都有应用，但矩阵计算因其维数 增大而造成的计算量增大是计算科学中需要进一步解决的问题。利 用并行计算方法，将矩阵向量进行分发，使每个进程同时进行计算， 将会大大减少计算的时间，提高计算效率。 并行计算 (Parallel Computing) 是指同时使用多种计算资源解决计 算问题的过程，是提高计算机系统计算速度和处理能力的一种有效 手段。它的基本思想是用多个处理器来协同求解同一问题，即将被 求解的问题分解成若干个部分，各部分均由一个独立的处理机来并 行计算。现实社会中，越来越多的数据信息需要计算机处理，串行 计算机程序技术已经不能满足人们的需求，并行计算会越来越受到 人们的青睐。 从一个串行程序得到一个并行程序的工作一般由四个步骤构成： 1) 将计算分解成任务：分解的主要目标就是要揭示足够的并行性， 从而尽量保持所有的进程在所有时间都忙，同时要注意由此引起的 任务管理开销不能太大。2) 将任务分配给进程：分配的基本性能目 标是在进程之间做负载平衡，要减少进程之间的通信量，还要减少 运行时管理这种分配的开销。3) 在进程之间协调必要地数据访问、 通信和同步。4) 将进程映射或绑定到处理器。本文就是将矩阵与向 量相乘分解成向量与向量相乘，分发给几个进程分别计算，将其并 行化。 二、矩阵向量的串行算法描述 矩阵向量乘法是将一个 mxn 的矩阵 A= (0 ≤ i ≤ m-1,0 ≤ j ≤ n-1) 乘以 nx1 的向量 B= 得到一个具有 m 个元素的列向量 C=。矩阵向量 串行算法假设一次乘法和加法运算时时间为一个单位时间，则矩阵 向量乘法算法的时间复杂度为 O(mn), 如果矩阵是方阵，那么复杂度 就变为 O()。 矩阵向量串行算法： void funy(double a[],double x[],double &c) { c=0; for(int i=0;i<n;i++) { c+=a[i]*x[i]; } } /* 矩阵向量相乘 */ void f(double a[][n],double x[],double d[]) { for(int i=0;i<n;i++) { funy(a[i],x,d[i]); } } 三、模型建立 矩阵并行计算时，将矩阵进行按行、列、块三种方式进行划分， 矩阵和向量按进程个数进行分发，接收矩阵和向量的进程做相应的 运算，最后将结果进行规约综合。本文只讨论进程个数恰能完全将 矩阵向量平均分配的情况。 通过已有相关文献的查阅，我们得知三种分法方式中，随着维 数的增高，按行划分是最有效的方法；按列划分在分发时需要分发 的次数为维数的倍数，分发的时间将大大增加。按块划分需要将矩 阵进行块划分，按块划分的优势在矩阵与矩阵相乘的算法设计中优 势比较明显。 在本文中，作者通过设计按块划分矩阵与向量相乘算法中发现， 算法与按行、按列算法设计有很大的相似之处，所以，本文将着重 考虑矩阵与向量相乘的按行与按列两种算法并行的情况。 3.1 按行划分矩阵 矩阵向量相乘时，我们考虑 nxn 维矩阵 A 在 n 个进程间划分的 情况。将计算机进程编号为 0,1,2…n-1。则每一个进程都会存储 1xn 维矩阵。进程会存储 ai1,ai2,ai3…ain。并且负责计算 。向 量 C 的存储方法与 B 相同。 考虑 P(p<n) 个进程的情况 , 每个进程存储 1×n/p 维矩阵，每个 进程的矩阵要与向量 B 相乘，所得的向量 C 与向量 B 的乘法类似。 所得到的向量即为所求。通信时间为 O(n/p)，计算时间为 O(n2/p)。 3.2 按列划分矩阵 按列进行划分是对每一行进行划分然后发送到每个进程上。我 们考虑 n×n 维矩阵 A 在 n 个进程间划分的情况。将计算机进程编号 为 0,1,2…n-1。对于矩阵的第一行，a11…a1n 进行划分，进程 pi 接收 到元素的为 a1i，每一行划分后，进程 pi 接收到的元素为 a1i…ani。进 程 pi 做的计算为 cj=aji×bj，j=1…n 每一个进程都会得到一个向量， 将每一个向量所对应的元素相加，即得到最终的向量 c。 3.3 按块划分矩阵 假设 p2 等于 n, 将矩阵划分成不同的矩阵块，每一个矩阵块上 的矩阵为 p×p 维。将划分的矩阵块发送到每一个进程，进程上进行 p×p 维矩阵与的乘法运算。然后将计算同一行的矩阵块的进程结果 相加，于同一列矩阵块相组合，得到最终的结果。 四、矩阵向量的并行算法描述 4.1 基于 OpenMP 的多核并行算法的设计 OpenMP 是一种面向共享内存以及分布式共享内容的多处理器 多线程进行编程语言，是一种能够被应用于显式指导多线程、共享 内存并行的应用程序编程接口。OpenMP 具有良好可移植性，支持多 种编程语言。OpenMP 的编程模型以线程为基础，通过编译指导语 句来显式地指导并行化，常用编译指导语句有 parallel、parallel for、 parallel sections，通过特定的 #pragma omp 进行标示。 利用 parallel 进行并行的原理是编译时将同一段代码复制到每一 个线程上编译，然后在本线程上执行编译好的程序。所有线程程序 相同，但是执行效果不同，比如利用 OpenMP 封装的内置函数 omp_ get_thread_num() 来获得线程号，然后根据线程号完成不同任务。执 行原理和 WinAPI 利用线程号相同，都是获取线程号来分不同任务， 只不过线程号获取方式不同。利用编译指导语句 parallel 执行并行计 算是粗粒度的并行，并且在 parallel 的末尾有一个隐含的同步屏障， 所有线程完成所需的重复任务后，将各个同步屏障汇合，然后可以 从各个线程收集所需要的数据合成所需要结果。 利用 parallel for 并行原理是采用工作分配的执行方式，将循环所 需要工作量按一定方式分配到各个执行线程，所有线程执行工作总 和是原串行完成工作量。此方式对一个确定并且完整的 for 循环进行 分割，分割成多段在不同 CPU 上运行。 4.2 按行划分矩阵向量相乘 程序要点： 利用 parallel 指令的复制执行的方式，利用各个线程的 ID 号划 分了工作任务，将矩阵按行划分分配给各个线程，通过获取线程号 来分布不同任务。 实现按行划分的矩阵向量乘法的程序关键代码如下 : void funy(double a[],double x[],double &c) { c=0;
实验三：矩阵乘法及算法性能测试
3/6
中国科学技术大学六系 EDA 实验室
eda@
b00 b 10 b20 b30 b Y 40 b50 b 60 b70 b 80 b90
b01 b02 b03 b04 b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 b51 b52 b53 b54 b61 b62 b63 b64 b71 b72 b73 b74 b81 b82 b83 b84 b91 b92 b93 b94
(三) 算法性能测试 在 CCS 中测试代码的执行时间有多种方式， 比如， DSP 硬件定时器、 clock 函数、 profiler 剖析工具中的时钟数测量及 Session 多功能测试等方式。在这个实验中，只采用 profiler 中
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中国科学技术大学六Байду номын сангаас EDA 实验室
eda@
中国科学技术大学六系 EDA 实验室
eda@
PAGE 1: MMRS:
origin = 0000h,length = 0060h /* 存储器映射寄存器*/ SCRATCH: origin = 0060h, length = 0020h /* 便笺数据 RAM */ DATA: origin = 4000h, length = 2000h /* 片外 SRAM,用于数据空间 */
(二) 对完成矩阵乘法运算的 CCS 工程进行编译， 连接， 无误后将.out 文件下载到 C5402DSK 目标板运行。通过 view 菜单中的 Memory 来查看矩阵 X、Y 和 Z 的值是否正确，如下 图所示；或者通过 view 菜单中的 Graph 下的 Time/Frequency 功能查看矩阵的图形；也 可以在 C 程序文件中通过鼠标右键的弹出菜单将要观看的矩阵添加到 Watch 窗口中进 行查看。当 X、Y 和 Z 的值正确后，进入下一步，算法性能测试。
OpenMP矩阵相乘
多核软件设计实验指导――OpenMP矩阵相乘开发者：开发时间：版本号：一． 问题描述矩阵相乘是线性代数中最常见的问题之一，它在数值计算中有广泛的应用，在计算机的世界里，矩阵相乘扮演着一个不可或缺的角色。
设A 和B 是2个 n n ⨯ 矩阵，，它们的乘积AB 同样是一个n n ⨯矩阵。
A 和B 乘积矩阵C 中元素C ]][[]][[1]][[j k B k i A nk j i ∑==二、串行算法描述若以上面的定义来计算A 和B 的乘积矩阵C ，则每计算C 的一个元素]][[j i C ，需要作n 次乘法运算和n －1次加法运算。
因此，算出矩阵C 的2n 个元素所需的计算时间为)(3n O 。
从程序运行的效率上来分析，如果n 比较大的时候，会耗费大量的空间和时间。
20世纪60年代末期，Strassen 采用了类似在大整数乘法中用过的分治技术，将计算2个n 阶矩阵乘积所需的计算时间改进到)()(81.27log n n O =O ，其基本思想还是使用分治法。
显然，这也没能够大幅度地提高运行速度和效率。
将矩阵a 与矩阵b 相乘得到矩阵c 的代码如下：for(i=0;i<dim;i++){ for(j=0;j<dim;j++){ c(i,j)=0;for(k=0;k<dim;k++){c(i ,j)+=a(i ,k)*b(k,j);}}}三、并行算法下面使用了OpenMP ，修改后的矩阵相乘程序使最外面的迭代在多个线程间静态分割，如图（a ）所示：#pragma omp paralllel default(private) shared(a,b,c,dim) num_threads(2) #pragma omp for schedule(static)for(i=0;i<dim;i++){ for(j=0;j<dim;j++){ c(i,j)=0;for(k=0;k<dim;k++){c(i ,j)+=a(i ,k)*b(k,j);}}}Static调度类的一般形式为schedule（static[,chunk-size]）。
矩阵乘法MPI并行程序报告
1. 实验目的1.1掌握集群的使用方法。
1.2掌握以并行的方式分析问题、设计并行程序的方法。
1.3掌握如何对并行程序进行简单的性能分析2. 实验要求2.1使用MPI、OpenMp等并行程序设计方法设计矩阵乘法的并行程序。
2.2随机产生所需的矩阵元素，数据项不得少于1000*1000。
2.3尽量设计较高的加速比3. 实验环境3.1硬件环境：两个集群节点blade13、blade15。
3.2软件环境：Linux、gcc、Win7、VC++6.0。
3.3连接方式：Xmanager Enterprise4.0远程桌面连接211.69.198.203。
4. 实验程序4.1随机算法产生矩阵：srand((unsigned int)time(NULL));for (i=0; i<N; i++){for (j=0; j<N; j++){A[i][j] = rand() % 10;B[i][j] = rand() % 10;C[i][k] = 0;}}4.2串行程序设计time(&start);for (i=0; i<M; i++){for (k=0; k<M; k++){C[i][k] = 0;for (j=0; j<M; j++){C[i][k] += A[i][j]*B[j][k];}}}4.3并行程序设计MPI_Init(&argc,&argv) 和MPI_Finalize() MPI_Init用来初始化MPI执行环境，建立多个MPI 进程之间的联系，为后续通信做准备。
而MPI_Finalize则是结束MPI执行环境。
这两个函数就是定义MPI程序的并行区的，除了检测是否初始化的函数之外，不应该在这两个函数定义的区域外调用其它MPI函数。
这两个函数都返回整型值，标识函数是否调用成功。
intMPI_Comm_rank(MPI_Comm comm, int *rank) MPI_Comm_rank函数用来标识各个MPI进程，获取调用该函数进程的进程号，将自身与其他进程区分。
基于OpenMP的Winograd并行矩阵乘算法应用研究
Ａｐ ｌｃ ｔｏ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｉｏ ｒ ｄ ｐ ｒ ｌｅ ｌｏ ｉ ｍ ｆ ｐｉａｉｎ ａ ｄ ｒ ｓ ａ ｃ ｎ Ｗ ｎ ｇ ａ ａ ａｌｌａｇ ｒｔ ｈ ｏ ｍａｒｘ ｍｕｔｐｉａｉｎ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ Ｍ Ｐ ｔｉ ｌｉｌｃ ｔｏ ａ ｅ ｎ Ｏｐ ｎ
非零 元素 占据 ， 表示粒子 间有 相互作用 力 ； 阴影 区元 素值 为 非
零， 表示粒子间没有相互作用力。图中的阴影 宽度 为外层 电子 数 ， Ｃ原子最外层 有 ４个电子。该矩阵在半经典 分子动力 学 如
模拟的矩 阵乘 法中是乘 矩阵 ， 根据该矩 阵 的稀 疏特征 ， 以对 可
非零元 素按行 、 分解 为两个子 矩 阵， 列 再分 别进 行矩 阵相乘 。
Ｋ ｙｗ ｒ ｓ ｏｅｕ ｒ ｙ ａ ｉ （ ｅ ｏｄ ：ｍ ｌｃｌ ｎ ｍｃ ＭＤ） ｍａｉ ｕｔ ｌ ａｏ ； ｎｇａ ； ａａ ｅ ｃｍ ｕｉｇ ｓｅｄｐｒ ｉ；Ｏ ｅＭＰ ａｄ ｓ ； ｔｘｍ ｌｐ ｃｔｎ Ｗｉｏｒｄ ｐｒｌ ｌ ｏ ｐ ｔ ； ｐ ｅｕ ａｏ ｐ ｎ ｒ ｉｉ ｉ ｌ ｎ ｔ
２ ２ Ｗｉｏ ｍｄ算法并行分析 ． ｎｇ
由于 Ｗｉｏ ｄ算 法与 矩 阵普 通 乘法 相 比有显 著 的优 越 ｎ￣ａ
性 ， 半 经 典 分 子 动力 学 模 拟 中分 解 优 化后 的矩 阵 相 乘用 将
Ｗｉ ￣ａ ｎ ｄ算法实现可 以降低计算 复杂度 。为 了进 一步 加快计 ｏ 算， 应该 采用并行技术来提高计算速度 。 目前 的并行技术 主要
微弱 ， 以忽略不 计 。由此 产生 的ａ Ｘ矩 阵具 有 图 １中 Ａ 可 矩 阵的稀疏特征 ， 同时该矩阵是 关于对 角线对称 的 ， 相乘 的 而
另一个矩 阵 Ｈ 是普 通方 阵 ， Ｓ 不具有 对称 性。为方 便表 示 ，
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一. 实验目的1) 用OpenMP 实现最基本的数值算法“矩阵乘法” 2) 掌握for 编译制导语句 3) 对并行程序进行简单的性能二. 实验环境1) 硬件环境：32核CPU 、32G 内存计算机；2) 软件环境：Linux 、Win2003、GCC 、MPICH 、VS2008；4) Windows 登录方式：通过远程桌面连接192.168.150.197，用户名和初始密码都是自己的学号。
三. 实验内容1. 用OpenMP 编写两个n 阶的方阵a 和b 的相乘程序，结果存放在方阵c 中，其中乘法用for 编译制导语句实现并行化操作，并调节for 编译制导中schedule 的参数，使得执行时间最短，写出代码。
方阵a 和b 的初始值如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++++=12,...,2,1,..2,...,5,4,31,...,4,3,2,...,3,2,1n n n n n n n a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1,...,1,1,1..1,...,1,1,11,...,1,1,11,...,1,1,1b 输入：方阵的阶n 、并行域的线程数 输出：c 中所有元素之和、程序的执行时间 提示：a,b,c 的元素定义为int 型，c 中所有元素之各定义为long long 型。
Windows 计时:用<time.h>中的clock_t clock( void )函数得到当前程序执行的时间 Linux 计时: #include <sys/time.h> timeval start,end;gettimeofday(&start,NULL);gettimeofday(&end,NULL);cout<<"execution time:"<< (__sec)+(double)(__usec)/ 1000000<<"seconds" <<endl;答：在windows下使用Microsofe Visual Studio编程，源代码如下：#include<omp.h>#include<stdio.h>#include<time.h>#define NN 2000int a[NN][NN], b[NN][NN];long long c[NN][NN];void solve(int n, int num_thread){int i, j, t, k, time;clock_t startTime, endTime;long long sum;omp_set_num_threads(num_thread);for(i=0;i<n;i++)//对矩阵a和矩阵b进行初始化{t=i+1;for(j=0;j<n;j++){a[i][j]=t++;b[i][j]=1;}}startTime=clock();sum=0;#pragma omp parallel shared(a,b,c) private(i,j,k){#pragma omp for schedule(dynamic)for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){c[i][j]=0;for(k=0;k<n;k++){c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];}}}}for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++) sum+=c[i][j];endTime=clock();time=endTime-startTime;printf("sum=%lld time=%dms\n",sum,time);}int main(){int n, num_thread;while(scanf("%d%d",&n,&num_thread)!=EOF){solve(n,num_thread);}return 0;}2.分析矩阵相乘程序的执行时间、加速比和效率：方阵阶固定为1000，节点数分别取1、2、4、8、16和32时，为减少误差，每项实验进行5次，取平均值作为实验结果。
答：串行执行时程序的执行时间为：T = 15.062s加速比=顺序执行时间/并行执行时间效率=加速比/节点数表1 不同节点数下程序的执行时间（秒）1 2 4 8 16 32节点数实验结果第1次16.640 8.172 4.078 2.125 1.093 0.594第2次16.422 8.156 4.172 2.141 1.078 0.578第3次16.406 8.266 4.078 2.125 1.094 0.563第4次16.781 8.172 4.079 2.109 1.094 0.563第5次16.422 8.171 4.078 2.125 1.093 0.578平均值16.5342 8.1874 4.0970 2.1250 1.0904 0.5752图1 不同节点数下程序的执行时间图2 不同节点数下程序的加速比图3 不同节点数下程序的效率执行时间的分析：随着节点数的增加，程序的执行时间减少，大概可以从结果中得出，随着节点书的增加一倍，执行时间减少一半加速比的分析：随着节点数的增加，程序的加速比增加，大概可以从结果中得出，随着节点书的增加一倍，加速相应的增加接近一倍效率的分析：随着节点数的增加，程序的效率逐渐减少3.分析矩阵相乘程序的问题规模与效率的关系：固定节点数为4，让方阵阶从200到1600之间变化，每隔100取一个值。
（为了减少时间，每项实验可只执行1次）答：表2 相同节点数下不同问题规模程序的执行时间与效率方阵阶数并行执行时间串行执行时间效率200 0.015 0.047 0.783333 300 0.016 0.109 1.703125 400 0.063 0.297 1.178571 500 0.156 0.657 1.052885 600 0.406 1.64 1.009852 700 0.907 3.578 0.986218 800 1.609 6.36 0.988191 900 2.578 10.109 0.980314 1000 3.812 14.891 0.976587 1100 5.39 21.032 0.97551 1200 7.344 28.734 0.978145 1300 9.688 37.937 0.978969 1400 12.422 48.64 0.978908 1500 15.656 60.938 0.973077 1600 19.234 74.829 0.972614图3.1 不同问题规模下程序的效率问题规模与效率的关系分析：随着问题规模的增加，程序的效率趋于稳定，但是略微有点下降。
嵌套循环中,如果外层循环迭代次数较少时,如果将来CPU核数增加到一定程度时,创建的线程数将可能小于CPU核数。
另外如果内层循环存在负载平衡的情况下，很难调度外层循环使之达到负载平衡。
下面以矩阵乘法作为例子来讲述如何将嵌套循环并行化，以满足上述扩展性和负载平衡需求。
一个串行的矩阵乘法的函数代码如下：/**矩阵串行乘法函数@param int*a -指向要相乘的第个矩阵的指针@param int row_a -矩阵a的行数@param int col_a -矩阵a的列数@param int *b –指向要想成的第个矩阵的指针@param int row_b -矩阵b的行数@param int col_b -矩阵b的列数@param int *c -计算结果的矩阵的指针@param int c_size -矩阵c的空间大小（总元素个数）@return void –无*/void Martrix_Multiply(int *a, int row_a,int col_a,int*b,int row_b,int col_b,int*c,int c_size){If(col_a!=row_b||c_size<row_a*col_b){return;}int i,j,k;//#pragma omp for private(i,j,k)for(i = 0;i<row_a;i++){int row_i=i*col_a;int row_c=i*col_b;for(j=0;j<col_b;j++){c[row_c+j]=0;for(k=0;k<row_b;k++){c[row_c+j]+=a[row_i+k]*b[k*col_b+j];}}}}如果在外层循环前面加上OpenMP的for语句时，它就变成了一个并行的矩阵乘法函数，但是这样简单地将其并行化显然无法满足前面所述的扩展性需求。
其实可以采用一个简单地方法将最外层循环和第2层循环合并成一个循环，下面便是采用合并循环后的并行实现。
void Parallel_Matrix_Multiply(int *a,int row_a,int col_a,int *b,int row_b,int col_b,int *c,int c_size){If(col_a!=row_b){return;}int i,j,k;int index;int border=row_a*col_b;i=0;j=0;//#pragma omp parallel private(i,j,k) num_threads(dtn(border,1))for(index = 0;index<border;index++){i=index/col_b;j=index%col_b;int row_i=i*col_a;int row_c=i*col_b;c[row_c+j]=0;for(k=0;k<row_b;k++){c[row_c+j]+=a[row_i+k]*b[k*col_b+j];}}}从上面代码可以看出，合并后的循环便捷border=row_a*col_b；即等于原来的两个循环边界之积，然后再循环中计算出原来的外层循环和第2层循环的迭代变量i和j，采用除法和取余来求出i和j的值。
需要值得注意的是，上面求i和j的值必须要保证循环迭代的独立性，即不能有循环迭代间的依赖关系。
不能讲求i和j的值得过程优化成如下的形式if(j==col_b){j=0;i++;}//.......此处代表实际的矩阵乘法代码j++；上面这种优化，省去了除法，效率高，但是只能在串行代码中使用，因为它存在循环迭代间的依赖关系，无法将其正确地并行。