微分方程 ppt课件

❖ 由于f a ( 0 ) >0，当x通过0时，斜率将单调增加， 于是在x=0的下方取负值，而x=1的上方，斜 率取正值。因而，解要远离x=0，为源点。
❖ 同理， <0，使解趋于x=1，为汇点。
f a ( 1 )
❖ 例：x΄=g(x)=x-x³
解：该方程有3个平衡点，分别为0，±1。 因为g΄(x)=1-3x²，而g΄(0)=1>0，故x=0为 源点，而g΄(±1)=-2<0，故x=±1为汇点 ，而在这些平衡点之间的斜率非零。 做出解的图像与相线。
❖ 验证：设为u(t)方程任一解，计算u(t)e - a t 的导
数为0，从而u(t)e - a t 为一常数，设为k，于是 u(t)=ke a t
❖ 通解：微分方程所有解的全体。
初值问题：（满足初始条件）
x΄= ax, x(0)= u 0 ，即 t 0 =0
平衡解（平衡点）：注意到在上式中，在 k=0是有一个特殊的解，即常数解x(t) ≡0。 像这样的解，称为方程的平衡解或平衡点。
❖ 在方程x΄=ax中，a看做参数，当a变化时， 方程也变化，其解随之改变。
1）若a>0，当k>0时，lim keat = ；当k<0 时，limkeat =- 。 t
t
2）若a=0，k e a t 是常数。
3）若a<0，lim keat =0 t
1）当a>0时，所有非零解都随t的增加而远离 平衡点； 2）当a<0时，所有非零解都随t的增加而趋于 平衡点；
❖ 从而，在0≤h<1/4时，该微分方程有两个平衡 点xl和xr,且0≤xl<xr，容易验证xl是一源点，xr 是汇点。
❖ 当h通过h=1/4时，另一种分岔现象发生了： 当h单调增加通过1/4时，两个平衡点xl和xr重 合，而当h>1/4时，平衡点消失。
❖ 同样，从f（a x ） 上看出，x=0是源点而x=1是汇点。
❖在x=0附近，当x>0时，f（a x ） >0,斜率为正，解增 加。当x<0时，f（a x ） <0,斜率为负，解减少，即附 近的解要远离0。即x=0为源点。同理，1为汇点。
❖ 由 f a ( x ) =a-2ax分析，由于f a ( 0 ) =a>0, 而 f a (1 ) =-a<0 。
定义： 1）当平衡点附近的解都远离它时，称该平衡 点是一个源点； 2）当平衡点附近的解都趋于它时，称该平衡 点是一个汇点；
❖ 相线：由于解x(t)为时间的函数，我们将其 看做一个沿直线运动的质点。在平衡点处， 质点保持不动（用实心圆点表示），而其他 解则沿x轴上下运动，用箭头表示。
其中，一个函数图像表示了一个解。
❖ 现在将物种的收割考虑进来以修改合理模型。 假设物种遵循参数a=1时的合理假设，但它们 同时以常速率h来收割，此时，微分方程为
x΄=x(1-x)-h
不解方程，直接利用函数fh(x)=x(1-x)-h的图像 来“读出”解的定性行为：
❖ 在0<h<1/4，h=1/4及h>1/4三种不同的情况 下，做出图像。 1）当0≤h<1/4时，fh有两个根； 2）当h=1/4时， fh有一个根； 3）当h>1/4时， fh没有根。
❖ 这里a和N为正参数，a为x较小时的总量增长 率，而N代表一种“理想”总量或“承载 量”。 验证： 当x较小时， ax(1-x/N) ≈1，即x΄=ax。 当x>N时，则有x΄<0，满足假设。
注意：满足假设的方程有很多，这里只是选取 了最简单的。
假设N=1，即选取单位舍得承载量为1的总量， x(t)则代表了在t时刻的总量占理想总量的比例。
从图上看，所有对应于x(0)>0的解都趋于 x(t) ≡1，与假设吻合，当x(0)<0 时，解将趋 于-∞。
从 f（a x ） =ax(1-x) 的图像上认识：
❖ 该图像与x轴交与x=0与x=1两点，对应于两个 平衡点。
❖ 当0<x<1，f（a x ） >0。从而在满足0<x<1的(t，x) 处，斜率为正数，从而解在这个区域将增加， 而在x>0或x>1时，f（a x ） <0，故解将减小。
❖ 方程简化为x΄= f（a x ）=ax(1-x) 此方程称为一阶、自治、非线性微分方程。 一阶： x΄ 自治：右端只与x有关，与t无关。 非线性：f（a x ） 是x的非线性函数。
问：x΄=ax是什么方程？ （一阶、自治、线性微分方程）
解微分方程x΄=ax(1-x)。t=0时x=x(0)。
❖
微分方程的通解为
x
=
1
k
e at ke
atwenku.baidu.com
❖ 满足条件的特解为 x=1x(x0()0)exat(0)eat
❖ 于是当x(0)=1时，解x≡1，此时为一个平衡解。同 理，x(t)=0也是一个平衡解。
为了对解有一个定性认识，我们画出方程的 斜率场。
斜率场：在tx平面上做出一些短斜线，代表 (t，x)处的斜率ax(1-x)，解的图像必须与斜率场 处处相切。
微分方程
微分方程与动力系统 （常微分方程续）
1.简单的例子和定义 2.合理的物种总量模型 3.常值收割与分岔 4.周期收割与周期解 5.计算庞加莱映射
1.简单的例子和定义
dx
❖ 对于 d t
ax
，其中x=x(t)是实变量t的实值未知
函数，a是一个参数；
❖ 设k为任一给定的实数，则函数x(t)=ke a t 就是 上式的一个解，且这个方程没有其他解；
2.合理的物种总量模型
❖ x΄=ax(a>0)看做一个简单的物种总量增长模 型，其中x(t)代表某个物种在时刻t的总量，当 我们假设总量增长率与总量成正比时，就得 到该微分方程。
进一步假设： 1）当总量较少时，总量增长率几乎与总量 成正比； 2）当总量增长到很大时，增长率变为负的。
合理总量增长模型：x΄=ax(1-x/N)
练习
1、找出x΄=ax+3的通解，其中a为参数。该方 程有哪些平衡点？对a的哪些取值，平衡点是 汇点？又对哪些取值，平衡点是源点？
2、找出下列方程的平衡点，确定源点和汇点， 同时做出相线的简图。
1）x΄=x³-3x
2）x΄=|1-x²|
3.常值收割与分岔
❖ 对于x΄=ax，在某种意义下，当a≠0是，方程 式稳定的，当a用一个与之同号的b替换是， 解的定性行为不发生改变，但当a=0时，a的 微小改变都将根本地改变解的行为。于是， 我们说单参数微分方程族x΄=ax在a=0处出现 了一个分岔。