椭圆的标准方程与几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.

当21212F F a PF PF >=+时,P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时,P 的轨迹不存在;

当21212F F a PF PF ==+时,P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

3.点),(00y x P 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的位置关系:

当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b

y a x 时,点P 在椭圆上;

4.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：

题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离

之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-

,2

5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).

(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.

解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为

12

2

22=+b y a x )0(>>b a 9

454

,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a

所以所求椭圆标准方程为

9

252

2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

122

22=+b

x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，

22)225()23(2++-=a ＋22)22

5

()23(-+-

102

11023+=

102= 10=∴a 又2=c

6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为6

102

2=+x y 另法：∵42

222-=-=a c a b

∴可设所求方程142

222=-+a x a y ，后将点（23-,2

5

）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程

(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：

)0(122

22>>=+b a b

y a x ∵100)35(0)35(222=+-+++=

a ，2c =6.

∴3,5==c a

∴16352

2

2

2

2

=-=-=c a b

∴所求椭圆的方程为：

116

252

2=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

)0(122

22>>=+b a b

x a y . ∴.1442

2

2

=-=c a b

∴所求椭圆方程为：

1144

1692

2=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：

)0(12

2

22>>=+b a b x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴362

2

2

=-=c a b .

∴所求椭圆的标准方程是

136

1002

2=+x y . 题2。已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程

解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角

坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a

所以顶点A 的轨迹方程为

116

252

2=+y x （y ≠0）（特别强调检验)

因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件

题3。在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程. 分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=

3

2

×39=26.

根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭

圆，故所求椭圆方程为

125

1692

2=+y x (y ≠0) 题4。已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14

22

=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -

因为点Q 为椭圆

14

22

=+y x

上的点， 所以有

1)2(4)12(22

=+-y x ，即14)2

1

(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是4)2

1

(2

2=+-y x

题5。长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为3

2，求点M 的轨迹方程

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x 的坐标为2

5,

0(y 因为2||=AB ，

所以有 4)25(

)3

5

(22

=+y x ，即44

2592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是4

259252

2=+y x

题6。已知定圆05562

=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，

用数学符号表示此结论：MP MQ -=8

上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆

F E

A

M

C

B

x

O

y M A

Q

2-2

x

O

y

M A

B

x

O

y

r ＝8

M P

Q

x

O

y