椭圆的第二定义及简单几何性质
椭圆双曲线知识点总结
1.双曲线为等轴双曲线 ?双曲线的离心率 e＝ 2?双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置 关系 )． 2.区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而
在双曲线中 c2＝ a2＋ b2.
(2)双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e∈ (0,1)．
(3)在双曲线中，离心率 e c
解法二： 设 A( x1 , y1) 、 B ( x2 , y 2 ) ，则有 y12 8 x1 y22 8x2 ．
两式作差解： ( y1 y 2 )( y1 y2 ) 8( x1 x2 ) ，即 y1 y2 x1 x2
8
．
y1 y2
x1 x2 4 y1 y2 kx1 2 kx2 2 k( x1 x2 ) 4 4k 4 ，
中，离心率 e c
a
c2 a2
a2 b2 a2
b2 1 a2
(4) 椭圆的离心率 e 越接近１椭圆越扁； e 越接近于０，椭圆就接近于圆；
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例 1：已知椭圆的焦点是 F1(0，－1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且
＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
16
16
4
∵双曲线过点 3 2，2 ，∴ 18
41
16
4
∴ 4或
14 （舍）
∴所求双曲线方程为 x 2 y 2 1 12 8
抛 物 线
定义
范围 对称性
焦点
抛物线
y l
y
y
l
x 2 2 py ( p 0)
OF x
FO
x
F
O
x
y l
2.1.2-椭圆的简单几何性质2
C）
A.长轴长 B.离心率 C.焦距 D.准线方程
小结： 椭圆的第一，第二定义要灵活运用。
布置作业：P42 A组5、6
椭圆的第二定义
复习提问：椭圆的几何性质，x2 /a2+y2 /b2=1 ⑴范围：︱x︱≤a，︱y︱≤b （a为长半轴，b为短半轴）。
⑵对称性：椭圆关于X轴对称，关于Y轴对称。关于原点对 称，原点为椭圆的对称中心。
⑶顶点坐标：顶点坐标为（a，0），（-a，0），（0，b），（0， -b）。 ⑷离心率：e=c/a，0＜e＜1，a＞c＞0
2.椭圆x2/a2+y2/b2=1的两焦点F1，F2三等分准线间的距离, 则它的
离心率为 （B ）
A.√3/2 B.√3/3 C.√6/3 D.√6/6 3.如果椭圆x2/25+y2/9=1上有一点p到它的左准线的距离为2.5,
那么p到右焦点的距离为 8
4.常数的轨迹称为椭圆。 F称为椭圆的焦点，
Y M
定直线称为与F相应的准线。 由于椭圆有两个焦点，所以椭圆有两
oF
X
条准线,这两条准线均垂直于长轴。
椭圆的第二定义的数学语言可用下式来表达：MF e
点拔（1）上式蕴含方程和转化这两种数学思想。
d
（2）点M到焦点F的距离称为焦半径。
（3）焦半径公式：MF a exM
椭圆的标准方程。
x2
y2
思考：若方程 m2 (m 1)2 1 表示准线平行于
x轴的椭圆，求m的取值范围。
例3：已知点P在椭圆5x2+9y2=45上，点A（1，1）是
椭圆内一点，椭圆的右焦点F，当点P位于何处时，
PA
3 2
PF
取得最小值。
圆锥曲线——椭圆(基础知识)
圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。
叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。
★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。
关于X 、Y 轴成轴对称。
关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。
长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。
构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。
焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0<e <1)的动点的轨迹是椭圆，定点F 叫做椭圆的焦点，定直线l 叫做焦点F 相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形性质范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)， B 2(b,0) 焦点 F 1(－c,0) F 2(c,0) F 1(0，－c ) F 2(0，c ) 准线l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2cl 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2c轴长轴A 1A 2的长为2a短轴B 1B 2的长为2b焦距 F 1F 2＝2c 离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c的关系 c 2＝a 2－b 2对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝54|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (1)错误，|PA |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为105，则m ＝________.[解析] 由题设知a 2＝5，b 2＝m ，c 2＝5－m ，e 2＝c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝25，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 33．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．[解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为x 264＋y 2100＝1.[答案]x 264＋y 2100＝1 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．[解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.[答案] 35．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12， ∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴ca ＝22.[答案] 22考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF 1B 的周长＝4a ＝43，∴a ＝ 3.∵e ＝c a ＝33，c 2＋b 2＝a 2，∴c ＝1，b ＝ 2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)∵椭圆的一条准线为x ＝－4，∴焦点在x 轴上且a 2c＝4，又2c ＝4，∴c ＝2，∴a 2＝8，b 2＝4，∴该椭圆方程为x 28＋y 24＝1.[答案] (1)x 23＋y 22＝1 (2)x 28＋y 24＝1,【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．[解析] (1)右焦点F (1,0)，则椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上，∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4，∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41. 由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ，∴△ABF 2的周长为4a ＝441.[答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)441考向2 椭圆的几何性质【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．(2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．[解析] (1)依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc a ，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.(2)在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，∴离心率e ＝2c 2a ＝33. [答案] (1)33 (2)33,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： (1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca；(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．(2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．[解析](1)如图，在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|，且|PF 2|＝33|F 1F 2|， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，于是|F 1F 2|＝233a ，因此离心率e ＝c a ＝3a 3a ＝33.(2)法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.法二：如图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可，又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°<∠F 1F 2A ≤60°，所以12≤cos∠F 1F 2A <1，又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. [答案] (1)33 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 课堂达标练习 一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.[答案] x 216＋y 28＝1 2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 设P (－c ，y 0)代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝c a可得离心率e .由题意设P (－c ，y 0)，将P (－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a 2＝b 4a2.∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵A (a,0)，B (0，b )，∴k AB ＝b －00－a ＝－b a . 又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c .∴e ＝ca＝c b 2＋c2＝c2c2＝22. [答案] 223．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.[解析] 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. [答案] 124．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．[解析] ∵△AOP 为等腰三角形，∴OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ →＝2QA →， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，a 3，由Q 在椭圆上得49＋a 29b 2＝1，解得b 2a 2＝15. ∴e ＝1－b 2a2＝1－15＝255. [答案] 2555．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 23＝16．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为__________．[解析] 在△ABF 中，由余弦定理得 ，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57. [答案] 577．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[解析] 由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3. [答案] 38．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．[解析] 依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上， ∴1a 2＋94b2＝1.① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 23＝1二、解答题9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．[解] (1)设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32， 故a 2－4a ＝32，解得a ＝4.故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个叫做椭圆的焦点，两个的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e< )的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤顶点A1( )，A2( )A1( )，A2( )B1( )，B2( )B1( )，B2( )焦点F1( ) F2()F1( ) F2()准线l1：x＝－a2cl2：x＝a2cl1：y＝－a2cl2：y＝a2c轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F2＝离心率e＝ca，且e∈a，b，c的关系c2＝对称性对称轴：对称中心：1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝54|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为105，则m ＝________.3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．考向2 椭圆的几何性质【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．(2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： (1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca；(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．(2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．课堂达标练习 一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.4．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．5．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．6．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为__________．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．二、解答题9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．。
椭圆的知识点小结
椭圆知识点小结一、椭圆的定义第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.定点1F 、2F 叫椭圆的焦点，两焦点的距离12F F 叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e cae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
③对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=．二、椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=或12222=+bx a y （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、直线与椭圆位置关系（必须掌握，重点难点）：x a y b y kx b22221+==+（1）相离①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切）③关于直线的对称椭圆。
高二椭圆知识点总结
椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程：222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
核心考点之：椭圆的概念图像及性质
高考数学圆锥曲线核心内容之一：椭圆 (学生版)整理归纳总结 富宁县第一中学 堡哥 椭圆知识点梳理---夯实基础 厚积而薄发1.椭圆的定义（概念）（1）第一定义：平面上，到两定点F 1，F 2的距离之和的绝对值为正常数2a (小于两定点间距离2c )的动点轨迹叫作椭圆．(a)：2a >|F 1F 2|，动点的轨迹是椭圆； (b)：2a ＝|F 1F 2|，动点的轨迹是线段F 1F 2； (c)：2a <|F 1F 2|动点不存在，因此轨迹不存在；（2）第二定义：平面上，到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比等于常数e (0<e <1)的动点轨迹叫作椭圆．2. 椭圆的标准方程及简单的几何性质|x |≤a ，|y |≤b|y |≤a ，|x |≤b椭圆常考典型题目再现---举一反三 融会贯通例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52；(3)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.例2：求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.例3：已知椭圆M 与椭圆N ：x 216＋y 212＝1有相同的焦点，且椭圆M 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，255. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆M 上，且△PF 1F 2的面积为1，求点P 的坐标．变式训练1：已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_________．变式训练2：已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.变式训练3：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．线段 D ．直线 变式训练4：已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1D.y 24＋x 2＝1变式训练5：平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 变式训练6：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 变式训练7：椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8变式训练8：若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)变式训练9：“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 变式训练10：方程(x －4)2＋y 2＋(x ＋4)2＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 25＋y 23＝1B.x 23＋y 25＝1C.x 225＋y 29＝1D.x 29＋y 225＝1变式训练11：已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 的值为( )A ．9B ．4C ．3D ．2变式训练12：若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程．变式训练13：一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式训练14：求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－2)和⎝⎛⎭⎪⎫－1，142的椭圆的标准方程．变式训练15：利用椭圆定义求轨迹方程例2 如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．变式训练16：如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，当点Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．变式训练17：如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线l 交椭圆于点B ，若点P 的坐标为(0,1)，且满足BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，求椭圆C 的方程．考点:2 椭圆的焦点三角形问题P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．例2：设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，求△F 1PF 2的面积．变式训练1：P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 变式训练2：椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( )A ．±34B ．±22C ．±32D ．±34变式训练3：已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．变式训练4：已知F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．考点:3 椭圆的离心率问题解题秘籍：（1）e ＝c a =e ∈(0,1)，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆（2）求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法(a)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(b)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围. 题型二 求椭圆的离心率的值及取值范围例1：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率．例2：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )例3：如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B . (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．变式训练1：已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________．变式训练2：已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．变式训练3：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．变式训练4：设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．变式训练5：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．变式训练6：若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64变式训练7：(2018·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.22 D.223变式训练8：如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32变式训练7：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，求椭圆C 的离心率．考点:4 椭圆与直线位置关系问题解题秘籍：知识点一：点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：（1）点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；（2）点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； （3）点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.知识点二：直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．知识点三：直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程的Δ的取值的关系如表所示.知识点四：求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2⎝⎛⎭⎪⎫或|P1P 2|＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．知识点五：点差法：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不 同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.知识点六：若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.知识点七：若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 题型一：弦长问题例1：已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12. (1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．例2：已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点． (1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |.变式训练1：过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．变式训练2：已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B ．2 C. 2 D.423变式训练3：求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．变式训练4：已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．题型二 中点弦问题例1：已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．例2：直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172变式训练1：已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0变式训练2：椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327变式训练3：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．变式训练4：椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程．题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 例1：已知椭圆C ：4x 2＋y 2＝1.(1)P (m ，n )是椭圆C 上一点，求m 2＋n 2的取值范围；(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．例2：已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．变式训练1：已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．变式训练2：若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 变式训练3：已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，则|PM →|的最小值是________． 变式训练4：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．变式训练5：设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.22 D.13变式训练6：经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3 D ．±13 变式训练7：已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 变式训练8：已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为( ) A.423 B.833 C.823 D.1623 变式训练9：已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．5 B ．7 C ．13 D ．15 变式训练10：若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33变式训练11：(2019·华安一中等五校联考)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e ＝63，椭圆C 上的点到焦点F 2的最短距离为6－2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 1的直线交椭圆C 于点P ，Q ，且TF 1→·PQ →＝0，求|TF 1||PQ |的最小值．变式训练12：已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 题型四 定点问题例1：设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．变式训练1：(2019·福建泉港一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，左、右焦点分别为F 2，F 2，以原点O 为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线3x －4y ＋5＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设不过原点的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．若直线AF 2与BF 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．变式训练1：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为－12的直线分别交椭圆于M ，N 两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．题型五 定值问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．变式训练1：已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1，设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．变式训练2：已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 1：x 2a 2＋y23＝1(a >0)上．设M ，N 是椭圆C 1上的两个动点，且横坐标均不为1，若直线MN 的斜率为12，设直线PM 与PN 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＋k 2为定值．变式训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB .求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值．题型六 存在性问题例1：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF→|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．变式训练1：已知椭圆C ：x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．变式训练2：已知点A ，B 是椭圆L ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，点C 是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为23，直线AC ，BC 的斜率之积为－14. (1)求椭圆L 的方程；(2)是否存在过点M (1,0)的直线l 与椭圆L 交于两点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．。
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。
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二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
例4、已知3 \* MERGEFORMAT 1F 为椭圆12222=+by a x 的焦点，过3 \* MERGEFORMAT 1F 的直线与椭圆交于3 \* MERGEFORMAT A 、3 \* MERGEFORMAT B 两点，求证：||1||111BF AF +等于常数。
例5、已知椭圆12222=+by a x 的焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点 3 \* MERGEFORMAT P 为其上的一点，3 \* MERGEFORMAT α∠21=PF F ，求 3 \* MERGEFORMAT 21PF F Δ的面积。
变式1、椭圆14922=+y x 的焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点3 \* MERGEFORMAT P 为其上的动点.当3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F 为钝角时，点3 \* MERGEFORMAT P 横坐标的取值范围是___________.变式2、椭圆x y M 2249241+=上有一点，椭圆的两个焦点为3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，若3 \* MERGEFORMAT 21MF MF ⊥，则3 \* MERGEFORMAT 21ΔMF F 的面积是___________.例6、椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．变式： 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．三、课后练习1、已知椭圆 3 \* MERGEFORMAT )0,(12222>=+b a by a x 长半轴的长等于焦距，且 3 \*MERGEFORMAT 4=x 为它的右准线，椭圆的标准方程：______________________________.2、已知3 \* MERGEFORMAT P 是椭圆3 \* MERGEFORMAT 13610022=+y x 上的一点，若3 \* MERGEFORMAT P 到椭圆右准线的距离是3 \* MERGEFORMAT217，则点3 \* MERGEFORMAT P 到左焦点的距离是 （ ）3 \* MERGEFORMAT 516.A 3 \* MERGEFORMAT 566.B 3 \*MERGEFORMAT 875.C 3 \* MERGEFORMAT 877.D 3、在椭圆 3 \* MERGEFORMAT )0,(12222>=+b a by a x 上取三点，其横坐标满足 3 \*MERGEFORMAT 2312x x x =+，三点与某一焦点的连线段长分别为 3 \* MERGEFORMAT321,,r r r ，则3 \* MERGEFORMAT 321,,r r r 满足 （ ）3 \* MERGEFORMAT A .3 \* MERGEFORMAT 321,,r r r 成等差数列 3 \* MERGEFORMAT B .3 \* MERGEFORMAT321211r r r =+ 3 \* MERGEFORMAT C .3 \* MERGEFORMAT 321,,r r r 成等比数列 3 \* MERGEFORMAT D .以上结论全不对4、曲线3 \* MERGEFORMAT 1422=+my x 的离心率3 \* MERGEFORMAT e 满足方程3 \*MERGEFORMAT 025-22=+x x ，则3 \* MERGEFORMAT m 的所有可能值的积为（ ） 3 \* MERGEFORMAT 36.A 3 \* MERGEFORMAT 36-.B 3 \* MERGEFORMAT 192-.C 3 \* MERGEFORMAT 198-.D5、椭圆3 \* MERGEFORMAT )0,(12222>=+b a by a x ，过右焦点3 \* MERGEFORMAT F 作弦3 \* MERGEFORMAT AB ，则以 3 \* MERGEFORMAT AB 为直径的圆与椭圆右准线 3 \*MERGEFORMAT l 的位置关系（ ）3 \* MERGEFORMAT .A 相交 3 \* MERGEFORMAT .B 相离 3 \* MERGEFORMAT .C 相切 3 \* MERGEFORMAT .D 不确定6、（2000年全国高考题）椭圆 3 \* MERGEFORMAT 14922=+y x 的焦点为 3 \* MERGEFORMAT 1F 、3 \* MERGEFORMAT 2F ，点3 \* MERGEFORMAT P 为其上的动点，当3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F 为钝角时，点3 \* MERGEFORMAT P 横坐标的取值范围是___________________.7、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴3 \* MERGEFORMAT AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，3 \* MERGEFORMAT F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =_______________.:///quiz/images/201107/38/d88f3769.png"8、在椭圆x y 222591+=上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
9、椭圆y a x b a b F c F c c 22221210000+=>>->()()()()的两焦点为，，，，离心率e =32，焦点到椭圆上点的最短距离为23-，求椭圆的方程。
10、已知椭圆的焦点是 3 \* MERGEFORMAT )1,0(),1-,0(1F F ，是直线3 \* MERGEFORMAT4=y 是椭圆的一条准线，①求椭圆的方程；②设点3 \* MERGEFORMAT P 在椭圆上，且3 \* MERGEFORMAT 1-21=PF PF ，求3 \* MERGEFORMAT 21∠PF F11、已知椭圆的焦点是3 \* MERGEFORMAT )0,1(),0,1-(21F F ，3 \* MERGEFORMAT P 为椭圆上一点，且3 \* MERGEFORMAT 21F F 是3 \* MERGEFORMAT 1PF 和3 \* MERGEFORMAT2PF 的等差中项，①求椭圆的方程；②若点3 \* MERGEFORMAT P 在第三象限，且3 \* MERGEFORMAT °=∠12021F PF ，求3 \* MERGEFORMAT 21tan PF F .12、如图，已知曲线49360022x y x y +=>>()，，点3 \* MERGEFORMAT A 在曲线上移动，点3 \* MERGEFORMAT )4,6(A ，以3 \* MERGEFORMAT AC 为对角线作矩形3 \* MERGEFORMAT ABCD ，使3 \* MERGEFORMAT x AB 轴，3 \* MERGEFORMAT y AD 轴，求矩形3 \* MERGEFORMAT ABCD 的面积最小时点3 \* MERGEFORMAT A 坐标。
思考题、在椭圆x y t2281+=内有一点3 \*MERGEFORMAT )1,2(A ，过点3 \* MERGEFORMAT A 的直线3 \*MERGEFORMAT l 的斜率为－1，且与椭圆交于3 \* MERGEFORMAT B 、3 \* MERGEFORMAT C 两点，线段3 \* MERGEFORMAT BC 的中点恰好是3 \* MERGEFORMAT A ，试求椭圆方程。