2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2卷(含解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3 （D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

12

个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π

12 (k ∈Z )

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的

x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 3

5，则sin 2α=

（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–7

25

（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，n x ，1y

，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，

(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 211

3

MF F ∠= ,

则E 的离心率为

（A ）2 （B ）3

2

（C ）3 （D ）2

（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ??? 则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =5

13

，a =1，则b = .

(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β.

（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。

（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +2）的切线，则b = 。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5

保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0. 05

（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =

5

4

，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=.

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E :22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. （21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a

的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f (x )= ∣x -∣+∣x +∣，M 为不等式f (x ) ＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。

参考版解析

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）()31-，

（B ）()13-，

（C ）()1,∞+

（D ）()3∞--，

【解析】A

∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．

（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A

B =

（A ）{}1

（B ）{12}，

（C ）{}0123，

，，

（D ）{10123}-，

，，， 【解析】C

()(){}

120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，

，∴{}0123A B =，，，，

故选C ．

（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，

=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8

【解析】D

()42a b m +=-，，

∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +?=--= 解得8m =， 故选D ．

（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=

（A ）43- （B ）3

4

- （C ）3 （D ）2

【解析】A

圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()2

2

144x y -+-=， 故圆心为()14，，24111

a d a +-==+，解得4

3

a =-，

故选A ．

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】B

E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318?=种走法

故选B ．

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()

2

2

223

4l =+=，

21

π2

S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，

故选C ．

（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

12

个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =

-∈ （D ）()ππ212

Z k x k =+∈ 【解析】B

平移后图像表达式为π2sin 212y x ?

?=+ ??

?，

令ππ2π+122x k ?

?+= ???，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =

+∈， 故选B ．

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的

2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C

第一次运算：0222s =?+=， 第二次运算：2226s =?+=， 第三次运算：62517s =?+=， 故选C ．

（9）若π3

cos 45

α??-= ???，则sin 2α=

（A ）725

（B ）15

（C ）1

5

-

（D ）725

-

【解析】D

∵3cos 45πα??-= ???，2ππ

7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ?????

，

故选D ．

（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，

…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

（A ）

4n m （B ）2n m

（C ）4m n （D ）2m

n

【解析】C

由题意得：()()12i i x y i n =???，，，

，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知π

41m n

=，∴4πm

n

=，故选C ．

（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,

则E 的离心率为 （A ）2 （B ）3

2

（C ）3 （D ）2 【解析】A

离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得12211222

sin 321

sin sin 13

F F M

e MF MF F F =

===---． 故选A ．

（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1

x y x

+=

与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1

m

i i i x y =+=∑（ ）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

【解析】B

由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，

对称， 而11

1x y x x

+=

=+也关于()01，

对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()1

1

1

022

m

m

m

i i i i i i i m

x y x y m ===+=+=+?

=∑∑∑，故选B ．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．

（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5

A =，5

cos 13C =，1a =，

则b = ． 【解析】

2113

∵4cos 5

A =

，5

cos 13C =，

3sin 5A =

，12sin 13

C =， ()63

sin sin sin cos cos sin 65

B A

C A C A C =+=+=

， 由正弦定理得：

sin sin b a B A =解得21

13

b =．

（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：

①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α?，那么m β∥．

④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)

由题意得：丙不拿（2，3），

若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），

（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ． 【解析】 1ln2-

ln 2y x =+的切线为：11

1

ln 1y x x x =

?++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()2

2221ln 111

x y x x x x =++-++

∴()122

12

2111

ln 1ln 11x

x x x x x ?=?+??

?+=+-?+?

解得112x =

21

2

x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，

如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，

∴44a =，∴41

13

a a d -=

=，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++???+

[][][]121000lg lg lg a a a =++???+．

当0lg 1n a <≤时，129n =???，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =???，，，；

当2lg 3n a <≤时，100101999n =???，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．

∴1000091902900311893T =?+?+?+?=．

（18）（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0 1 2 3 4 5≥

保 费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

0 1 2 3 4 5≥

概 率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，

()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．

⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，

()0.100.053

()()0.5511

P AB P B A P A +=

==． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．

X 0.85a a

1.25a 1.5a 1.75a 2a P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费

0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?

0.2550.150.250.30.1750.a a a a a a a

=+

++++=， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，

F 分别在AD ，CD 上，5

4

AE CF ==，

EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

【解析】⑴证明：∵54

AE CF ==

， ∴

AE CF

AD CD

=， ∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥， ∴EF D H '⊥． ∵6AC =， ∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AE

OH OD AO

=

?=， ∴3DH D H '==， ∴2

2

2

'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥．

又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r

，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，

由1100n AB n AD ??=??'?=??得430330

x y x y z +=??-++=?，取3

45x y z =??=-??=?， ∴()1345n =-u r

，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，

， ∴1212

9575

cos 255210n n n n θ?+==

=?u r u u r

u r u u r ， ∴295

sin 25

θ=．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆E :22

13

x y t +

=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22

143

x y +

=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．

联立()22

1432x y y k x ?+=???=+?

并整理得，()

2222

341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或22

8634k x k -=-+，则

222

2286121213434k AM k k k k -=+-+=+?++ 因为AM AN ⊥，所以2

22

1121211413341AN k k k k

k ??

=+-?

=+?

???

??

+

+?- ?

??

因为AM AN =，0k >，

所以

22

2

1212114343k k k k k

+?

=+?

++

，整理得()()

21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为2

2

1

112144112

23449

AM

??=+?= ?+??． ⑵直线AM 的方程为()

y k x t =+，

联立()

22

13x y t y k x t ?+=???=+?

并整理得，()

222223230tk x t tk x t k t +++-=

解得x t =-或22

33t tk t

x tk -=-+，

所以

22

2

22

361133t tk t t AM k t k tk tk -=+-+=+?++ 所以

2613t AN k t k k

=+?

+

因为2AM AN =

所以

22

2

6621133t t k k t tk k k

?+?

=+?++，整理得，23632

k k t k -=-．

因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()23

1202

k k k +-<- 解得322k <<．

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2(x)e 2

x

x f x -=

+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2

e =(0)x ax a

g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的

值域.

【解析】⑴证明：()2e 2

x

x f x x -=

+ ()()()22224e e 222x

x

x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++??

∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>

∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，

()2e 0=12

x

x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>

⑵ ()

()()

24

e 2e x

x a x x ax a g x x ----'=

()

4

e 2e 2x x x x ax a x -++=

()322e 2x x x a x x

-??

+?+

?+??=

[)01a ∈，

由(1)知，当0x >时，()2e 2

x

x f x x -=?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得

2e 2

t

t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增

()()

()

2

22e 1e

e 1e 22

t t

t

t t t a t t h a t t t -++?-++=

=

=+

记()e 2t

k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2

e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??

=∈ ???

，．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .

(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；

(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥

∴Rt Rt DEF CED △∽△ ∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠ DF CF

DG BC

= ∵DE DG =，CD BC = ∴

DF CF

DG BC

= ∴GDF BCF △∽△ ∴CFB DFG ∠=∠

∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? ∴180GFB GCB ∠+∠=?． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆． （Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，

∴12

DG CG DE ===

， ∴在Rt GFC △中，GF GC =， 连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，

∴111

2=21=222

BCG BCGF S S =???△四边形．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2

2625x y ++=．

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α

α

=??=?（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．

【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，

由222cos sin x y x y ρρθρθ?=+?

=??=?可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．

⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，

由垂径定理及点到直线距离公式知：2

2

6102521k

k ??

-=- ? ?+??

，

即22

369014k k =+，整理得2

53

k =，则153k =±．

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数()11

22

f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．

【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若1

12

x -<<-；

当1122x -≤≤时，()11

1222

f x x x =-++=<恒成立；