数值分析——特征值与特征向量的计算

( k +1)
λ1 > λ 2 ≥ λ3 ≥ L ≥ λ n ,
x x
≈λ
k +1 1
α1u1，
( k + 1) i (k) i
2 例 : 用幂法求矩阵 A = 0 0 要求误差不超过 10 − 3 .
−1 2 −1
0 − 1 按模最大 2
→ λ1 ( k → ∞ ).
第四章 特征值与特征向量的计算
求 Ax = λ x 来源 : (1)求矩阵的谱半径 ,2范数和条件数等 ; ( 2 )方程 ∂ 2u = Lu x∈Ω 2 ∂t x ∈ ∂Ω u( x , t ) = 0 u( x , 0 ) = u t=0 0 有形如 u( x )e iνt 的解 令λ = ν
0 2 − 1 0 0 ， U = 0 2 − 1 3 1 0 0 2
λ (4 )
λ(6) = 2.9285714 − = 3.00030487
λ
(7)
LLL
= 3.00003387
( 2 − 0)2 (2.5 − 2)2 = 2.6667 λ(3) = 2 − = 3.25 2.5 − 4 4.8 − 5 ( 2 .8 − 2 .5 ) 2 = 2.5 − = 3 .0249999 5 .4285714 − 5 .6
的特征值和相应的特征 向量 .取 x ( 0 ) = ( 0 ,0 ,1)T ,
注2： 若 x (0)的α1 = 0, 计算仍能进行 注3:计算过程可能出现溢出(| λ1 |> 1或 | λ1 |< 1) 实际计算时将x ( k +1)标准化
4 8
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= 0 .0006049 < 10 − 3
>>A=[2 -1 0; 0 2 -1; 0 -1 2]; >>X=[0;0;1]; >>power07(A,X,0.001,10)
原点移位法 :
x2 -0.5000 x3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 err 2.0000 0.5000 0.3000 0.1286 0.0470 0.0162 0.0055 0.0018 0.0006
x
T x的标准化向量为 y = max( x ) = ( − 0.125, 1, − 0.875)
M atlab : x ∈ R ,[ m , r ] = m a x( x ),
n
1
Lu = λ u x ∈ Ω 则( λ , u) 是特征值问题 的解 u = 0 x ∈ ∂Ω
x的 第 r 个 分 量 x r 最 大
5.若 λ − λ0 < ε , 输出λ , y停机, 否则转6,
6.若k < N, 置α1 ⇒α0 , α2 = α1, λ ⇒ λ0 , k + 1 ⇒ k, 转3,
否则 , 输出失败信息 , 停机 .
16
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i ≠1
λ1 − λ0 > λi − λ0 , 且 max
λi − λ0
> L , 若λ 0 使得，
< λ2 λ1
则 λ1 = λ ∗ 1 + λ 0 , 这种方法称为原点移位 法 .
注 : 实际应用时, A的特征值未知, λ0无法确定 当收敛慢时, 适当移动原点以加快收敛速度 通常需要对特征值的分布有大概了解(如圆盘定理), 才能粗略估计λ0 , 并通过计算不断修正
15
1.2
幂法的加速
（一）原点移位法
设 λ i 是 A的特征值，λ1 > λ 2
> L,
则 λ i − λ 0是 A − λ 0 I的特征值，若 λ 0使得，
算法4.2 1.输入 A = ( a ij ), 初始向量 x , 误差限 ε , 最大迭代次数 N , x 2.置 k = 1, α 0 = 0, α 1 = 0, λ 0 = 1.0, y = , max( x ) x 3.计算 x = Ay , 置 max( x ) ⇒ α 2 , ⇒ y, max( x )
( 2.9756097 − 2.9285714) 2 2.9918032 − 2 × 2.9756097 + 2.9285714
Lz = y ( 0 )
Ux ( 1 ) = z
z = ( 0 , 0 ,1 )T 1 1 2 x ( 1) = ( , , )T 6 3 3
y (2) =
x = ( 0 . 2 , − 0. 8 , 1 ) T max( x ( 2 ) )
T
( 2)
λ2 − λ0 0.1 1 λ 1 ≤ 2 = = = λ1 − λ0 3.1 31 λ1 2
λ (13 ) ≈ 2 .8
x ( 3 ) = Ay ( 2 ) = (1 .2 , − 2. 6 , 2 .8 ) ,
ˆ k → a比 a k → a快 , 可以证明 a
λ λ x ( k + 1) = λ1k + 1 α 1u1 + ( 2 ) k + 1 a2 u2 + L + ( n )k +1 an un → λ1k +1α 1 u1 λ λ 11 1 1
ˆ k 逼近a , 这种方法称为 Aitken加速法 . 用a
6
u1 , u 2 , L , u n , 线性无关 .
2
对任意向量 x ( 0 ) , 有 x ( 0 ) =
∑α u ,
i =1 i i ( 0)
n
α i 不全为零 .
算法4.1
1.输入A, 初始向量x , 误差限ε , 最大迭代次数N ,
x
( k +1)
= Ax
(k )
=A
n i =1
k +1
10
k 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000
lambda 2.0000 2.5000 2.8000 2.9286 2.9756 2.9918 2.9973 2.9991 2.9997
x1 0
设 λ i 是 A的特征值，λ1 > λ 2
则用幂法求 A − 2.9 I的按模最大特征值 比直接求 A的按模最大特征值的收敛速度快 若求 得 A − 2.9 I 按模最大特征值为 λ1* , 由于 λ1* = λ1 − 2.9, 则 A的 λ1 ≈ λ1* + 2.9
9 13
LLL λ (19 ) − λ (18 ) = 2.9996973 − 2 .99909241
14
注1：幂法特别适用于求大型稀疏矩阵 按模最大的特征值λ1及特征向量 注 2:若矩阵 A的特征值分布满足 ,
(二)幂法的埃特肯（Aitken）加速
若 {a k }收敛与 a ,
λ1 = λ2 = L λm > λm +1 ≥ L ≥ λn
矩阵有 n个线性无关的特征向量, λ 注3：幂法的收敛速度依赖于比值 2 (收敛因子) λ1 λ2 越小,收敛越快 λ1 算法仍然有效
标准化可用： [ m , r ] = max( abs ( x )) x y= 5 xr
§1
1.1
幂法和反幂法
幂法
幂法标准化计算公式 :
设 λ1是按模最大的特征值 ,u1为其对应的特征向量 取初始向量 x ( 0 ) , 将 x ( 0 ) 标准化为 y ( 0 )
用于求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征 向量的近似值。
5. 若 k < N , 置 k = k + 1, λ = λ 0 , 转 3 否 则 输 出 失 败 信 息, 停机.
7
定理： 设A ∈ R n× n , 特征值 λ i ( i = 1,2, L n)满足 且与 λi 对应的特征向量 u1 , u2 ,L un线性无关， 则对任意非零初始向量 x ( 0 ) (α 1 ≠ 0),向量序列 x ( k ) = A k x ( 0) → u1， 注1：x
λ = max( x ), y =
4. 若 λ − λ0 < ε , 输出 λ , y, 停机; 否则, 转5
∴ 与 λ1对应的特征向量为x ( k + 1) (相差一个系数 ) x ( k + 1) λ1 ≈ i ( k ) ( x i( k )为 来自百度文库 ( k )的第 i个分量 , i = 1, L n ) xi 3
2
标准化 : 非零向量x = ( x1 , x2 ,L xn )T
用 max( x )表示x的绝对值最大的分量
若 | x i0 |= max | x i |
1≤ i ≤ n
则 max( x ) = xi0
x的标准化向量为
T 例: x = (1, − 8, 7)
y=
x max( x )
max( x ) = −8
取 x ( 0 ) = ( 0 ,0 ,1 ) T
T ( 2) ≈ 2 .5 x ( 2 ) = Ay (1 ) = (0 .5 , − 2 , 2.5 ) , λ1
− 4 14 例: A = − 5 13 −1 0 λ1 − λ0 = 3.1,
0 其特征值λ1 = 6, λ 2 = 3, λ 3 = 2.8 0 2.8 取λ0 = 2.9 λ2 − λ0 = 0.1, λ 3 − λ0 = − 0.1,
0.2000 -0.8000 0.4286 -0.9286 0.6098 -0.9756 0.7377 -0.9918 0.8247 -0.9973 0.8830 -0.9991 0.9220 -0.9997 0.9480 -0.9999
λ1 − λ 0 用幂法求 A − λ 0 I的按模最大的特征值 λ * 1
解： x (1 ) = Ay ( 0 ) = Ax ( 0 ) = (0 , − 1, 2 )T ,λ (11) ≈ 2
y (1) x ( 1) = = ( 0 , − 0 .5 , 1 )T max( x ( 1) )
2 A= 0 0
−1 2 −1
0 − 1 , 2
x
= ∑ A α i ui = ∑ α i λ
k +1 i =1
n
k+1 i i
u
2.置k = 1, λ0 = 0; y =
3.计算x = Ay,
x max( x )
x λ
λ2 k + 1 λn k +1 k +1 = λ1 α 1u1 + ( ) a2 u2 + L + ( ) an un λ λ 1 1 k +1 ≈ λ1 α 1 u1
λ1 − λ0 > λi − λ0 , 且
λ − λ0 max i i ≠1 λ1 − λ 0
<
λ2 λ1
4.计算λ = α 0 −
(α1 − α0 ) 2 , α 2 − 2α1 + α 0
则用幂法求 A − λ 0 I的主特征值 λ 1 − λ 0 , 比直接求 A的主特征值 λ1的收敛速度快
12
ak +1 − a =c≠0 k →∞ a − a k 即 {a k }线性收敛 , 当 k充分大时 , 有 且 lim
a
k + 1
a
k
− a − a
≈
a a
k + 2 k + 1
− a − a
⇒
(a k +1 − a k )2 ˆk a ≈ ak − := a a k +2 − 2a k+1 + a k
ˆ 2 = α0 − 例 用Aitken加速法求解上例 α
(α1 − α0 )2 α2 − 2α1 + α0
y ( 0 ) = x ( 0 ) = ( 0 ,0 ,1 ) T
解：0, 0, 2, 2.5, 2.8, 2.9285714, 2.9756097
λ(1) = 0 λ(2 ) = 0 −
1 0 L = 0 1 1 0 − 2
设 A 为 n阶实矩阵 ,
λ i , ui ( i = 1,2 , L , n )为 A的特征值和相应的特征 向量 ,
且满足: λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ L ≥ λn
x ( k ) = Ay ( k − 1 ) x (k ) (k ) = y k = 1,2 ,L max( x ( k ) ) 则 y (k ) → u1 , max( u1 ) max( x ( k ) ) → λ 1 ( k → ∞ )