由投影重建图像
图像处理第7章 图像投影重建
设f(x,y)在以原点为圆心的单位圆Q 外为0，现考虑有一条由发射源到接 收器的直线在平面上与f(x,y)在Q内
相交，这条直线用两个参数来确定： 1，它与原点的距离s；2，它与Y轴 的夹角θ。
7.2.1 投影重建图像示意图
7.2.1 基本模型
沿直线（s, θ ）对 f（x,y)的积分
设Q为单位圆，积分上下限分别为t和-t
7.4 逆投影重建
7.4.1 逆投影重建原理
将从各个方向得到的投影逆向返回到该方向的各个位置，如果对多个 投影方向都进行这样的逆投影并叠加结果，就有可能建立平面上的一 个分布。
（a）分别给出水平投影和逆投影的示意图，发射源发出均匀射线，由 于所穿透物体各处密度不同，各接收器得到的响应不同。
（b）给出垂直投影和逆投影的示意图，与水平方向的效果类似
讨论接收器在一段弧上等角度间隔排列的情况，
用（s, θ）所指定的一条射线可看做是一组用（α，β）指定 的射线中的一条，其中α是该射线与中心射线的离散角，β 是源与原点连线和Y轴夹角，它确定了源的方向。
（7.2.5）
7.2.2 拉东变换
对f(x, y)沿一个固定角度投影结果的1-D傅里叶变换对 应f(x, y)的2-D傅里叶变换中沿相同角度的一个剖面/层， 如图7.2.3.
7.3 傅里叶反变换重建
基于变换的重建方法，它是首先在投影中得到应用的方法
1. 基本步骤和定义
(1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法： 设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向上的点数，L为Y方向上的
(7.2.1)
7.2.2 拉东变换
图像重建
恢复图像本来面目的处理措施。
④校正技术，即采用几何校正措施，去掉图像上的几何失真
。通过以上技术可以去除图像上的畸变及噪声信息，使图像 更加清晰，以便用目视准确判读和解释。
二 医学CT三维图像重建
二 分割标注 分割标注是保证三维重建准确性的关键技术,分割效果直接影 响三维重构的精确度。图像分割的目标是将图像分解成若干 有意义的子区域(或称对象) 。标注则为了能够识别出各区域 的解剖或生理意义。在医学图像领域,常常简单地将分割标 注的过程称为分割。 可简单的将医学图像分割分为两类:基于边界和基于区域。
例如,手术开窗，通过人机交互工具在重建出的人体器官立体视图上模拟
手术开刀,要求在计算机上迅速显示出模拟手术结果.
二 医学CT三维图像重建
重建流程图
二 医学CT三维图像重建
2 断层扫描原理
二 医学CT三维图像重建
（3）重建方法
在各种图像重建算法中，计算机断层扫描技术又称计算机
层析（CT）占有重要的地位。 计算机断层扫描技术的功能是将人体中某一薄层中的组 织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信 息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显 示器或其他介质上显示出来。 这项技术的重要基础是投影切片定理： 即对于任何一个三维(二维)物体，它的二维(一维)投影的 傅立叶变换恰好是该物体的傅立叶变换的主体部分。
基于边界的分割寻找感兴趣的封闭区域;
基于区域则是将体数据分为若干不重叠的区域,各区域内部
的体素相似性大于区域之间的体素相似性。
二 医学CT三维图像重建
（5）切片的重组、插值 CT 三维成像的主要方法是:通过多幅等间隔的相继断层图像 重建三维目标,实现人体组织器官的立体显示、操作和分析. CT 扫描仪得到的断层图像序列在空间三个正交的方向上分 辨率通常不同,例如,CT 切片中,层内像素距离通常在015 到 2mm之间,而层间距则位于1 到15mm 之间,断层内象素空间分 辨率远远高于各断层间的空间分辨率.如果直接用这种图像 进行分析处理和显示,由于三个方向空间分辨率不一致,使显 示结果呈阶梯状. 因此,要实现物体的三维显示和处理必须形成等分辨率的数 据,而内插是三维重建中必不可少的环节,内插效果直接影响 重建的质量.
CT
I I 0e
μ 物 -μ 水 CT值 1000 μ水
• CT值：骨密质1000 空气-1000 水0 脑白质>脑灰质 凝固的血>血液
历史
• • • • • 伦琴：发现X射线 Rodon：图像重建 Bracewell：绘制太阳微波发射图像 Hounsfield：CT扫描机（头部） Ledley：全身CT扫描机
是就辐射出X射线。
• 球管外壳：作用：保证电子在真空管内能够自由加速，运动不受阻； 隔热与绝缘 类型：玻璃外壳；金属陶瓷外壳 • 阴极： 作用：发射电子，并使电子聚焦去轰击阳极。 组成：灯丝：钨丝 聚焦杯：把到达阳极的电子聚焦成一个窄束。 • 阳极：电子被加速至阳极，在阳极受阻，由于电子和靶材料之间的碰 撞，使得阳极产生热和电磁辐射。 分类：固定阳极：不能满足高负载的性能要求。 旋转阳极：提高热容量，提高功率，焦点小。绝缘油散 热和冷却。
各类CT扫描机
• • • • • • • • • • 第一代：平移+旋转扫描式——笔形扫描线束，时长伪影大 第二代：平移+旋转扫描式——扇形线束，射线利用率低 第三代：旋转- 旋转扫描式——较宽的扇形角 第四代：旋转- 静止扫描式——扇形线束角度大，对散射线及其敏感 第五代：电子束X射线管，对射线源要求比较高 螺旋CT（SSCT）：对整个容积进行快速连续扫描 多层面螺旋CT机（MSCT）：探测器呈弧面排列 双源CT 显微CT 工业CT
CT原理与技术
医工
什么是CT?
• CT是指由投影重建图像,由Hounsfield 发明，经历了五代。利用CT扫描成像 系统，完成数据采集、图像重建、图 像显示过程。对CT的评价可以从CT剂 量、系统参数及伪影来判定。
CT测什么
• • • 线性衰减系数（μ）：干涉散射、光电效应、康普顿效应的总和 在CT所用的较高能量的X射线中，康普顿效应起主导作用 朗伯-比尔定律：当一单色线束通过一密度均匀的小物体时，其能量与物质的 原子相互作用减弱，减弱程度与物质的厚度和组成成分或吸收系数有关， μ d • CT值：μ不具有很强的描述性，很大程度上取决于X射线光谱能量。相对于水 计算出来的μ为CT值。
图像重建原理
F1{g (R)}
（3）卷积反投影法
卷积函数C(R)
卷积反投影函数改写成卷积的形式：
F11[F1{g (R) }] g (R) F11{ }
算法特点：将投影函数gθ(R)直接在空域中 进行修正，即将gθ(R)与一个事先设计好地 卷积函数C(R)进行卷积运算，然后将卷积后
利用积分式展开，可表示如下：
f (x, y)
0
d
[
g
(t)C(R
t)dt]
(x cos
y sin
R)dR
0 d g (t)C(x cos y sin t)dt
0 d g (R)C(x cos y sin R)dR
dd
d
0
G
( )e2jR
d
(x cos
y sin
R)dR
d
0
g '
(R)
(x
c os
y
s in
R)dR
g (R)
g' (R)
f (x, y)
1D FT
1D IFT
空间域 频域
F1{g (R)}
的结果作反投影。
f (x, y) 0 d {g (R) C(R)} (x cos y sin R)dR
卷积函数 C(R) F 1{ }
因 不可积，故对 重新定义如下：
lim e 0
CT图像重建技术
CT图像重建技术CT图像重建技术000计算机层析成像(Computed Tomography，CT)是通过对物体进行不同角度的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像技术，涉及到放射物理学、数学、计算机学、图形图像学和机械学等多个学科领域。
CT技术不但给诊断医学带来革命性的影响．还成功地应用于无损检测、产品反求和材料组织分析等工业领域。
CT技术的核心是由投影重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的投影数据反求出成像平面上每个点的衰减系数值。
图像重建的算法有很多，本文根据CT扫描机的发展对不同时期CT所采用重建算法分别进行介绍。
第一代和第二代CT机获取一个单独投影的采样数据是从一组平行射线获取的，这种采样类型叫平行投影。
平行投影重建算法一般分为直接法与间接法两大类。
直接法是直接计算线性方程系数的方法，如矩阵法、迭代法等。
间接法是先计算投影的傅立叶变换，再导出吸收系数的方法，如反投影法、二维傅立叶重建法和滤波反投影法等[1]。
2.1 直接法2.1.1 矩阵法设一个物体的内部吸收系数矩阵为：(1)为了求得该矩阵中的元素值，我们可以先计算该矩阵在T个角度下的T组投影值 ,如设水平方向时 ,则：(2)同样其它角度下也有类似方程，把所有方程联立得到求解，即可求得所有u值。
通常情况下，由于联立方程组的数目往往不同于未知数个数，且可能有不少重复的方程，这样形成的不是方阵，所以一般不满秩，此时需要利用广义逆矩阵法进行求解。
2.1.2 迭代法实际应用中，由于图像尺寸较大，联立的方程个数较多，采用直接采用解析法难度较大，因此提出了迭代重建方法。
迭代法的主要思想是：从一个假设的初始图像出发，采用迭代的方法，将根据人为设定并经理论计算得到的投影值同实验测得的投影值比较，不断进行逼近，按照某种最优化准则寻找最优解[2]。
通常有两种迭代公式，一种是加法迭代公式[2]：（3）另一种是乘法迭代公式[2]：(4)两式中是相邻两次迭代的结果；是某一角度的实测投影值，是计算过程的计算投影值, 是投影的某一射线穿过点的点数，即计算投影值的射线所经过的像素的数目，是松弛因子。
数字图象处理 第5章 图像复原
（注①：若a(x),b(x) 为m维列向量，X为n维列
d daT dbT T 向量，那么： (a b) b a dX dX dX
注②：
dX T I dX
dX I T dX
）
ˆ 那么： f H 1 g
ˆ 若H已知，则可根据上式求出 f 。
2.2逆滤波（频域恢复方法）
ˆ 可以证明，对 f H 1 g 两边分别取傅立叶变换，
1.2 图像的退化模型
图像的退化和恢复模型如下图所示。
n( x, y )
f ( x, y )
h( x, y)
＋
g ( x,Байду номын сангаасy )
图像的退化由系统特性和噪声两部分引起。在这个 模型中，图像退化过程被模型化为一个作用在输入 图像f(x,y)上的系统H。它与一个加性噪声n(x,y)的 联合作用导致产生退化图像g(x,y)。
1.2 图像的退化模型
h( 2) h(1) h(0) h(1) h(0) h ( 2) h( 2) h(1) h(0) H h( 2) h(1) h(0) h( 2) h(1) h(0) h( 2) h(1) h(0)
其中未列出的元素均为零。
其中H为MN×MN维矩阵。
1.2 图像的退化模型
每个Hi是由扩展函数he(x,y)的第i行循环构成
he (i,0) h (i,1) Hi e he (i, N 1) he (i, N 1) he (i,0) he (i, N 2) he (i,1) he (i,2) he (i,0)
1.2 图像的退化模型
考虑到噪声，将延拓为M×N的噪声项加上，上式变为：
第六章 由投影重建图像 1.断层摄影图像的获取 2.重建图像的几种方法
2) 反投影法
2) 反投影法
例如：把与A象素有关的z1 ,z3 ,z5叠加起来，可
知 A的值将和总和成正比。其他各个象素也一
样，事实上，叠加的结果都包含有 9 个象素的 总和，为保持射线密度的平均值不变，可以用 总象素数 9 去除总和，从而获得一个相应象素 的平均密度值，即重建图像的各个象素值分别
1）减少未知数数目
2）增加扫描路径
3）改变扫描路径
1) 解联立方程组方法
对于本问题，只有第三种 方程组为：
A B D z1 D E F z4 C D z2 B E z5 A B C z3 A C E z6
图(c)是改变扫描路径的情况，此时获得的新联立
些改变，但其基本原理还是相同的。下面我们
仅就 T-R 型扫描方式，讨论几种图像重建的方
法。
2. 重建图像的几种方法
常用的几种由投影重建图像的方法：
l解联立方程组方法 l反投影法 l利用傅立叶变换进行图像重建 l利用卷积进行图像重建
l图像重建的逐步逼近法
l最优化重建 l扇形投影数据的重建
1) 解联立方程组方法
复技术。如把投影看成是一种劣化过程，而重
建则是一种复原过程。具体来说，ห้องสมุดไป่ตู้投影时我
们丢失了沿射线方向的分辨能力(只剩1—D信
息)，而重建则利用多个投影恢复了2—D的分
辨力。
第六章 由投影重建图像
从投影重建图像的技术在许多科学领域，包括从分子
量级(借助电子显微镜)到宇宙量级(射电天文学)都得 到了应用。它极大地增强了人类观察物体内部结构的
收敛于对应象素值）而引起的结构模糊。
CT设备(2013)
（一） X线管
Ｘ线管是产生Ｘ射线的器件，一般由阴极、 阳极和真空玻璃管（或金属管）组成。
1.Ｘ线管的发展
2.Ｘ线管损坏主要原因 3.Ｘ线管保护装置 4.Ｘ线管技术参数
1.Ｘ线管的发展
由于螺旋CT扫描需要长时间连续曝光，对 球管的散热率要求很高，采用大热容量球管， 能延长连续曝光时间，为解决这个问题，各厂 家都在不断地对球管进行改进。
GE公司采用了航天散热涂料增加阳极散 热率。 飞利浦公司金属轴承中空，冷却油进入阳 极靶核心而形成*透心凉*直接油冷技术，使球 管散热率进一步提高。 东芝公司采用阳极接地的方法加大球管散 热率。
Anode Grounded Technology
Aperture: Absorption of Recoil electrons • No Off-Focal X-ray • 30% less heat up
µ +µ +••••••+µn=1/△DlnIo/In 1 2
二、工作原理
（一）测量哪些数据 （二）如何测量一个物体 （三）如何计算一幅CT图像 （四）在CT图像中显示什么
（一）测量哪些数据 在CT中需要测量穿过人体之后的X 线强度，还要测定初始强度，计算从X线 源到探测器的每条射线上的衰减值，以 确定衰减分布函数µ （x ,y）。
（四）在CT图像中显示什么
CT测量并计算线性衰减µ （x,y）的空间分 布。不过，物理量µ 并不具备很强的描述性， 而且在很大程度上取决于X线光谱能量。对µ 的 定量描述是非常麻烦的；因为使用不同电压和 过滤器的CT所获得的图像，在它们之间进行直 接比较是毫无意义的。因此，定义了一个新概 念CT值，作为表达组织密度的统一单位。
为了纪念CT的发明者，将CT值的单位指定为 Hounsfield单位(HU)。对于一组织T，它的衰减系 数为µ ，则它的CT值可表示为 T CT值=（ µ –µ ）/ µ ×1000HU T 水 水 按此比例，水和每一种相当于水的组织，即 µ =µ ，它的CT值应为0HU。 因为 µ 空气几乎等 T 水 于0，所以空气的CT值为 -1000HU。水和空气的 CT值不受X线能量的影响，因此它们就成为CT值 标尺上的固定点。
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4-5 由投影重建图像
一、 实验目的
了解反投影重建算法的方法.
二、 实验内容
1.利用radon 和iradon 函数实现平行束投影和反投影重建算法
2. 利用fanbeam 和ifanbeam 函数实现扇形束投影和反投影重建算法
三、 实验步骤
1.用MATLAB图像处理工具箱的phantom 生成Shep‐Logan 头模型；
P=phantom(256);
imshow(P);
2.用MATLAB中的radon 函数获得Shepp‐Logan 模型的投影数据：
theta1=0:10:170;
[R1,xp]=radon(P,theta1); %计算Shep‐Logen头模型18 个角度
theta2=0:5:175; [R2,xp]=r adon(P,theta2); %36 个角度
theta3=0:2:178;[R3,xp]=radon(P,theta3); % 90 个角度的投应
%显示投影数据：
%18 个角度
figure,imagesc(theta1,xp,R1);xlabel('\theta');ylabel('x\prime');
% 36 个角度
figure,imagesc(theta2,xp,R2);xlabel('\theta');ylabel('x\prime'); % 90 个角度
figure,imagesc(theta3,xp,R3);xlabel('\theta');ylabel('x\prime');
3．用MATLAB 中的iradon 函数对获得的投影数据进行滤波反投影重建，获得Shepp‐Logan 模型的重建图像：
I1=iradon(R1,10);I2=iradon(R2,5);I3=iradon(R3,2);
%显示重建图像：
figure,imshow(I1);
figure,imshow(I2);
figure,imshow(I3);
四、 实验总结
本次实验内容较少，通过本次实验我了解了反投影重建算法的方法.了解了利用radon 和iradon 函数实现平行束投影和反投影重建算法。
了解了利用fanbeam 和ifanbeam 函数实现扇形束投影和反投影重建算法。
对Shepp‐Logan 模型的投影不同角度的图行有了直观的了解。