9CT图像重建原理解析

2jR 2jR
dxdydR
dR
F1{g ( R )}
f ( x, y )
g ( R)
空间域 1D FT 频域 2D IFT
: (0 ~ )
插值
G ( )
F ( , )
F (u, v)
四、图像重建算法
——平行束反投影重建算法
（1）直接反投影法
（2）滤波反投影法
（3）卷积反投影法
（1）直接反投影法
基本原理是将所测得的投影值按其原路径
反投影到投影线的各个像素上（即指定投
影线上所有点的值等于所测得的投影值），
再将所有反投影数据进行叠加，从而推断
出原图像。 缺点是：图像四周会出现云晕状阴影，造 成影像边缘的不清晰。
注：运算中的基数等于所有体素的特征参数的 总和。
——扇形束反投影重建算法
（1）等角度扇形束扫描的 图像重建
（2）检测器等距扇形束扫 描的图像重建 （3）数据重排算法
（1）等角度扇形束扫描的图像重建
y
S
X射线源
αm α
D β R
θ
A
0
x
注：射线SA相当于平行束中投影角为θ＝β＋α, 距离R＝Dsinα的那一条射线。
平行束卷积反投影重建图像的公式：
d12
d23 d34
2

H ( )]
2 2
2 ( 4 R ) 最后得 C ( R) lim 0 ( 2 4 2 R 2 ) 2
卷积函数的选择是卷积反投影方法中的关键问题。在 实际的系统中选择卷积函数时还要考虑到许多其他的 因素，包括系统的带宽、信噪比与分辨率等。
五、图像重建算法
f ( x, y) d {g ( R) C( R)} ( x cos y sin R)dR
0


卷积函数 C ( R) F 1{ }
因 不可积，故对 重新定义如下：
lim e
0

lim [e
0

H ( ) e
（3）数据重排算法
原理：将扇形束情况下得到的全部投影数据重 新组合成平行束的排列模式，然后直接用平行 束条件下的卷积反投影算法来重建图像。
X射线源
假设在600扇面中每隔100 有一根投影线，扇面旋转 的步距是Δβ＝200
D
d12 d34 D sin 300 D sin 100 0.326D d 23 2 D sin 100 0.347D
0


Hale Waihona Puke d g (t )C ( x cos y sin t )dt
0


d g ( R)C ( x cos y sin R)dR
0

假设条件，当
f ( x, y )

0
R Rm 时，gθ(R)=0，则
1 2 m f (r , ) g ( D sin )C[r cos( ) D sin ]D cos dd 2 0 m 1 2 m q ( )C[r cos( ) D sin ]D cos dd 2 0 m
（2）检测器等距扇形束扫描的图像重建
y S X射线源
D2’ D2 D β R
α
0
D1’
s θ
A
t
W
B
x
D1
注：射线SA相当于平行束中投影角为θ＝β＋α, 距离R＝scosα的那一条射线。
s 将 arctan( ), R s cos D
sD D2 s 2
重建的物体图像不是正方形，变成了“星”状物， 中心处吸收系数µ值越大，离中心越远，这就是 图像的边缘失锐。
消除云晕状阴影的数理基础
直接反投影得到的密度函数：
f b ( x, y) b ( x, y)d
0

d g ( R) ( x cos y sin R)dR
第三节 CT图像重建
一、从投影重建图像的原理
——中心切片定理
二、从投影重建图像的算法
一、图像构成概念 （1）体层、像素、体素 （2）图像矩阵
（3）投影
投照受检体后出射的X线束强度I称为投影， 投影的数值称为投影值，投影值的分布称 为投影函数。
二、图像重建的基本要求 CT的图像重建是根据采集的数据，由计算 机求解出图像矩阵中各个像素所对应的吸收 系数，在求解计算过程中应满足图像重建的 基本要求。
f ( x, y) d {g ( R) C ( R)} ( x cos y sin R)dR
0


利用积分式展开，可表示如下：
f ( x, y ) d [ g (t )C ( R t )dt] ( x cos y sin R)dR
f(x,y) F2-1
R
Radon空间 gθ(R)
R-1
F2 F1
傅立叶空间
F(ρ,θ)
投影函数的数学表达式：
g ( R) f ( x, y )dl


f ( x, y ) ( x cos y sin R)dxdy
密度函数的二维傅立叶变换：
F ( , ) f ( x, y )e 2j ( x cos y sin ) dxdy f ( x, y ) ( x cos y sin R )e g ( R ) e
代入平行束投影的图像重建表达式，则：
1 2 Rm f (r , ) g ( R)C[r cos( ) R]dRd 2 0 Rm 1 2 s m s sD D3 q ( s)C[r cos( arctan ) ] 2 2 2 3 dsd 2 0 sm D D2 s2 (D s )
f ( x, y )
g ( R)
g ( R )
'
空间域
1D FT
1D IFT
频域

F1{g ( R)}
F1{g ( R)}
（3）卷积反投影法
1 1
卷积函数C(R)
1 1
卷积反投影函数改写成卷积的形式：
F [F1{g (R) }] g (R) F { }
算法特点：将投影函数gθ(R)直接在空域中 进行修正，即将gθ(R)与一个事先设计好地 卷积函数C(R)进行卷积运算，然后将卷积后 的结果作反投影。
1
1

F ( , ) Fb ( , )
1
f ( x, y) F [F (, )] F [Fb (, )]
f ( x, y )
g ( R)
直接反投影
空间域 2D FT 频域 2D IFT
×ρ
Fb ( , )
F ( , )
（2）滤波反投影法 原理：对一维投影函数作滤波处理，得到修
应不失真地反映被测人体层面上的图像信息；
要在尽可能短的时间内完成计算；
要在理论上和技术上可行。
三、从投影重建图像的原理
——中心切片定理
R
1DFT
v Gθ(ρ) θ
gθ(R)
0
y
0
u
f(u,v)
f(x,y)
0
θ
x cos y sin R
x
中心切片定理指出：密度函数f(x,y)在某一方向上的投 影函数gθ(R)的一维傅立叶变换函数Gθ(ρ)是原密度函 数f(x,y)的二维傅立叶变换函数F(ρ, θ)在(ρ, θ)平面 上沿同一方向且过原点的直线上的值。 物体空间
dd

0


G ( )e
2j ( x cos y sin )
dd




G ( )e 2jR d ( x cos y sin R)dR
' d g ( R) ( x cos y sin R)dR 0
正后的投影函数。然后再将此投影后的函数
作反投影运算，得出原始的密度函数。 关键问题：如何修正投影函数使之在作反投 影后能重建得出原始密度函数。
密度函数的二维傅立叶反变换：
f ( x, y)
f ( x, y) d
0

0




F ( , )e
2j ( x cos y sin )
0


反投影密度函数与实际密度函数之间的关系：
1 f b ( x, y ) f ( x, y ) r
时域中两个函数的卷积的傅立叶变换是这两 个函数的傅立叶变换的乘积。
1 f b ( x, y ) f ( x, y ) r
Fb ( , ) F ( , )

Rm
Rm
g ( R)C ( x cos y sin R)dRd
1 2 Rm g ( R)C ( x cos y sin R)dRd 2 0 Rm 1 2 Rm f (r , ) g ( R)C[r cos( ) R]dRd 2 0 Rm 由θ＝β+α，R=Dsinα可得：