第七章：图像重建
g y ( x)
f ( x, y )dy
在二维傅立叶变换中，令v=0，则有：
Gy (u) F (u,0) f ( x, y) exp( j 2ux)dxdy
现在假设将函数投影到一条旋转角度为θ的直线上，如图示：
7.2 傅立叶变换重建
图 7—2 投影几何关系
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 (ux vy ) dudv
作代换：u R cos ， v R sin
7.3 卷积重建法
(续)写成級坐标(R,θ)形式：
2
f ( x, y)
0
0 0
F ( R, )e j 2 ( x cos y sin ) RdRd
对指数进行变换，令： u r cos ,
v r sin
7.2 傅立叶变换重建
因而,若点（u，v）在一条θ角一定而距原点距离为r的 直线上，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅 氏变换，即 :F(u,v)=G(r,θ)。 因为投影变换G(r,θ)中的所有r和θ都是已知的，为了 得到图像函数，我们进行反傅立叶变换，即：
7.2 傅立叶变换重建
三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重 建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重 建。 （补充）傅立叶变换重建法是一种变换重建方法， 变换重建方法主要包括以下三个步骤： 1、建立数学模型，其中已知量和未知量都是连 续实数的函数； 2、利用反变换公式解未知量； 3、调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的 需求。
（7.1）
利用傅立叶共轭对称性，有：
f ( x, y)
F ( R, )e j 2 ( x cos y sin ) | R | dRd
（7.2）
（7.3） （7.4）
令： f ( x, y; )
j 2 ( x cos y sin ) e | R | F ( R, )dR
f ( x, y)
1 2d
采用标记：
0 1 2d
| R | F ( R, )e j 2 R ( x cos y sin ) dRd
1/2 d
h( )
1/2 d
| R | e j 2 R dR
（7.5）
根据前式(7.3)，结合傅立叶投影定理可知：
7.3 卷积重建法
则（7.2）可表示为： f ( x, y) f ( x, y; )d
0
7.3 卷积重建法
(续)在式(7.2)中，当用FFT计算投影数据的傅立叶变换 F(R，θ)时，投影数据g(ρ，θ)总被有限截断。当ρ的采 样间隔为d时，在变换域R的变化范围为-1/2d到1/2d， 于是投影反变换重建公式可以近似写成：
1
这里,积分路径是沿着直线s1=xcosθ+ysinθ进行。此投影的一维 付氏变换为: G(r , ) g (s1 , ) exp( j 2rs1 )ds1
展开后为： G(r , )
f ( x, y) exp[ j 2r ( x cos y sin )]dxdy
补充（一）：投影重建概述
如上图，在合成孔径雷达成像中，雷达是运动的而目 标不动。 设 v——雷达沿y轴的运动速度； t——有效积累时间； λ——电波波长。 两个目标沿雷达运动方向分布，目标A位于雷达孔径中心 线上（x轴），目标B与目标A的位移量为d。雷达与目 标A的最近距离为R，此时定义为时间零点，t=0。设 在t=0前后距离的变化量为δR。 当R>> δR时 δR=(x-d)2/2R。
1/2 d
g ( , )
1/2 d
| R |e j 2 R ( x cos y sin ) dRd
g ( , )h( x cos y sin )d
7.3 卷积重建法
由上式可以得出，要实现对已经得到的投影数据实现 图像重建，则可以采取两步：首先将投影数据 g ( , ) 和响应脉冲滤波器(7.5)进行卷积，然后由式(7.4)对不 同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进 行图像重建的基本思路和方法。 卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先 滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。Βιβλιοθήκη 7.2 傅立叶变换重建
（补充）傅立叶变换投影定理： 设G(R ,θ)是g（s,θ）对应第一变量s的一维傅立叶 变换，即： G ( R, ) g (s, ) exp( j 2 Rs)ds
( s , )
F（X，Y）是f（x，y）的二维傅立叶变换：
F ( X , Y ) f ( x, y ) exp[ j 2 ( xX yY )]dxdy
F (u, v)
f ( x, y) exp[ j 2 (ux vy)]dxdy
7.2 傅立叶变换重建
图x轴像在上的投影： 投影的一维傅立叶变换：
G (u) g y ( x) exp(2 jux)dx f ( x, y) exp(2 jux)dxdy y
f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 (ux vy)]dudv
这就是图像的二维重建技术，同理可推广到三维情形 （见课本p350页推导过程）。 但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换 中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅 里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则 需要二维反变换。由此得出结论，即：
7.1 概述
表一
模型名称
图像重建三种模式的对比表
适用范围 应用实例 光、X射线
建立于能量通过物体后一部分能量会 透射模型 被吸收的基础上，遵循一定的吸收 法则。 通过在相反的方向分解散射的两束γ 发射模型 射线来实现的，通过两束射线的度 越时间来确定物体位置 反射模型 通过能量反射来测定物体的表面特征
7.2 傅立叶变换重建
t x sin y cos 定义旋转坐标： s x cos y sin , 而将函数投影的直线选为 x 轴。投影点通过对距离 t 轴为 S1处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示： g ( s1 , ) f ( x, y )ds s
（续）
f ( x, y; )
1/2 d
1/2 d
1/2 d
| R | F ( R, )e j 2 R ( x cos y sin ) dR
1/2 d
| R | [ g ( , )e j 2 R ]e j 2 R ( x cos y sin ) dR
核磁共振
光电子、雷达、超声 波
7.1 概述
图 6—1 图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图
补充（一）：投影重建概述
概念：投影重建一般指利用物体的多个（轴向）投影 图像重建目标图像的过程。它是一类特殊的图像处理 方法，它输入的是（一序列）投影图，而输出的是重 建图。 通过投影重建就可以直接看到原来被投影物体某种特 性的空间分布，比直接观察投影图要直观的多。 应用实例： 1、投射断层成像（transmission computed tomography，TCT，简称CT） 原理：从发射源射出的射线穿透物体到达接受器。
补充（一）：投影重建概述
实例：PET ( positron emission tomography)、SPET (single positron emission CT)。 3、反射断层成像（reflection CT，RCT） 原理：利用能量的反射来 测定物体的表面特性。 实例：雷达系统，雷达发 射器从空中向地面发射无线 电波。雷达接收器在特定的 角度所接受到的回波强度是 地面反射量在一个扫描阶段 的积分。
7.4 代数重建方法
列举一个简单实例（《数字图像处理与分析》P155） (补充)代数重建技术就是事先对未知图像的各像素给予 一个初始估值，然后利用这些假设数据去计算各射线穿 过对象时可能得到的投影值（射影和），再用它们和实 测投影值进行比较，根据差异获得一个修正值，利用这 些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值。如此反复 迭代，直到计算值和实测值接近到要求的精确度为止。 具体实施步骤： （l）对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从 而得到一组初始计算图像；
Q
那么有如下投影定理： G( R, ) F ( R cos , R sin ) 即f（x，y）以θ角进行投影的傅立叶变换等于f（x， y）的傅立叶变换在傅立叶空间（R,θ）处的值。
7.3 卷积重建法
（补充）逆投影原理：从各个方向得到的投影逆向 返回到该方向的各个位置，如果对多个投影方向中 的每个方向都进行这样的逆投影，就有可能建立平 面上的一个分部。典型的方法是卷积逆投影重建。 卷积重建法是一种变换重建法，可以根据傅立叶变 换投影定理推出。 按照二维傅立叶反变换标准定义，有
T /2
E (d )
T /2
exp[
j 4 (vt d )2 ]dt 2R
7.2 傅立叶变换重建
它是一个最简单的重建方法，一个三维（或二维）物 体，它的二维（或一维）投影的傅立叶变换恰好与此 物体的傅立叶变换的主题部分相等，傅立叶变换的重 建方法正是以此为基础的。 方法：通过对投影进行旋转和部分傅立叶变换可以首 先构造整个傅立叶变换的平面，然后再通过傅立叶反 变换就可以得到重建后的物体。 傅立叶变换重建原理： f（x,y）为一图像，则它的二维函数的傅立叶变换：
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数字图像处理第7章图像重建北邮出版社200810全解
13
沿y轴的投影图示
F(u,v) f(x,y)
g y (x ) y x
F(u,0)
v
u
(a) 二维函数f(x,y)在x轴上投影
(b) f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u 轴上切片
沿y轴的的投影示意图
14
假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直 线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的
l
, xN ) 在第N -1维上的映射称为函数 f 在第N -1
f ( x, y )dy （7.1） f ( x, y )dx （7.2）
函数 f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影
设 f(x,y) 的傅立叶变换为F(u,v)，可得：
g x ( x) f ( x, y )dx
超声成像、微波成像、激光共焦成像、……
3
射线投影成像的基本原理：
人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。
散射线
入射线
散射线
图7.1
组织对射线的吸收
4
投射断层成像：
射线穿过物体，在检测器上得到的遭受衰减的值＝＝射线的投影， 根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。
同密度分布时的情况， 每块上的数字表示每块的密度或
入射线 少透射 高密度体 多透射 低密度体 入射线 2 入射线 1 4 1 2 2 6
衰减，总的衰减是叠加的，
一条射线束通过均匀密度物质的 厚块，
入射线
另一射线通过不等密度的厚块组
合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投 影才能重建二维图像。
沿y轴的投影图示
F(u,v) f(x,y)
g y (x ) y x
F(u,0)
v
u
(a) 二维函数f(x,y)在x轴上投影
(b) f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u 轴上切片
沿y轴的的投影示意图
14
假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直 线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的
l
, xN ) 在第N -1维上的映射称为函数 f 在第N -1
f ( x, y )dy （7.1） f ( x, y )dx （7.2）
函数 f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影
设 f(x,y) 的傅立叶变换为F(u,v)，可得：
g x ( x) f ( x, y )dx
超声成像、微波成像、激光共焦成像、……
3
射线投影成像的基本原理：
人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。
散射线
入射线
散射线
图7.1
组织对射线的吸收
4
投射断层成像：
射线穿过物体，在检测器上得到的遭受衰减的值＝＝射线的投影， 根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。
同密度分布时的情况， 每块上的数字表示每块的密度或
入射线 少透射 高密度体 多透射 低密度体 入射线 2 入射线 1 4 1 2 2 6
衰减，总的衰减是叠加的，
一条射线束通过均匀密度物质的 厚块，
入射线
另一射线通过不等密度的厚块组
合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投 影才能重建二维图像。
数字图像处理第7章 图像重建
G(r , ) F (r cos , r sin ) F (u, v)
G(r , ) F (r cos , r sin )
F (r cos , r sin ) F (u, v)
f(x,y)在一条与x轴夹角为θ直线s上的投影 的傅立叶变换等于其二维傅立叶变换在 与u轴成θ方向上的切片，这就是投影定 理，也称之为切片定理。
(cos 2 sin 2 ) f ( x, y ) e xp[ j 2 ( xr cos yr sin )]dxdy F ( r cos , r sin ) 1 f ( x, y ) e xp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy f ( x, y ) exp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy F (u, v)
二、图像重建分类：
1、从维数上分为： 二维图像重建、三维图像重建 2、从成像方式上分为： 发射断层成像 反射断层成像 透射断层成像
二、图像重建分类：
3、从采用的射线波长分为：
X射线成像 超声成像 微波成像 核磁共振成像(MRI) 激光共焦成像
三、三种基本的图像重建系统
发射断层成像系统 透射断层成像系统 反射断层成像系统
数据获取系统 (DAS)
Pre-Collimator
Post-Collimator
Source Filter
Scattering
Detector
Patient
数据获取系统(DAS)
X-ray Tube Source Filter
Detectors
CT Gantry
第七章 图象重建
x
G 其中： m n 等于在 ( u m / L
, v n / L y ) 点的傅立叶变
换抽样值， s in c ( x )
(s in x )
x
在给出傅立叶变换在极坐标中计算出的投 影点后，我们要确定系数 G m n F ( u i , v j ) 表示成极坐标形式：
ui Ri co s i v j R j s in
0 a
ly lx
ly lx
a
a
这里， a tan , c sec 我们可以得到一系列到数表达式：
M 1 N 1
g ( , )
W
mn
( , ) f ( m lx , n l y )
m0 n0
§4 重建的优化问题
图像重建中的问题也可以通过选择一合理 的准则很数来解决。此函数用来衡量真实图像 于重建图像之间的差别，并且开发一种使此准 则函数最小的方案。 首先引入向量符号来表示重建投影。
g 这里， ( , ) g ( , ) h ( )
§3 代数重建方法
基本投影公式： g ( , )
f ( x, y )ds
S
由 f ( x , y ) a ( r , s ) H ( x , y , r , s ) d rd s 可以用级数来表示函数估值：
fˆ ( x , y )
a
k 0 l0
K 1 L 1
kl
H kl ( x , y )
级数估值应满足投影方程:
g ( , )
i 1, 2 , , I
fˆ ( x , y ) d s
S
f ( x, y )ds
G 其中： m n 等于在 ( u m / L
, v n / L y ) 点的傅立叶变
换抽样值， s in c ( x )
(s in x )
x
在给出傅立叶变换在极坐标中计算出的投 影点后，我们要确定系数 G m n F ( u i , v j ) 表示成极坐标形式：
ui Ri co s i v j R j s in
0 a
ly lx
ly lx
a
a
这里， a tan , c sec 我们可以得到一系列到数表达式：
M 1 N 1
g ( , )
W
mn
( , ) f ( m lx , n l y )
m0 n0
§4 重建的优化问题
图像重建中的问题也可以通过选择一合理 的准则很数来解决。此函数用来衡量真实图像 于重建图像之间的差别，并且开发一种使此准 则函数最小的方案。 首先引入向量符号来表示重建投影。
g 这里， ( , ) g ( , ) h ( )
§3 代数重建方法
基本投影公式： g ( , )
f ( x, y )ds
S
由 f ( x , y ) a ( r , s ) H ( x , y , r , s ) d rd s 可以用级数来表示函数估值：
fˆ ( x , y )
a
k 0 l0
K 1 L 1
kl
H kl ( x , y )
级数估值应满足投影方程:
g ( , )
i 1, 2 , , I
fˆ ( x , y ) d s
S
f ( x, y )ds
图像重建
恢复图像本来面目的处理措施。
④校正技术，即采用几何校正措施，去掉图像上的几何失真
。通过以上技术可以去除图像上的畸变及噪声信息，使图像 更加清晰，以便用目视准确判读和解释。
二 医学CT三维图像重建
二 分割标注 分割标注是保证三维重建准确性的关键技术,分割效果直接影 响三维重构的精确度。图像分割的目标是将图像分解成若干 有意义的子区域(或称对象) 。标注则为了能够识别出各区域 的解剖或生理意义。在医学图像领域,常常简单地将分割标 注的过程称为分割。 可简单的将医学图像分割分为两类:基于边界和基于区域。
例如,手术开窗，通过人机交互工具在重建出的人体器官立体视图上模拟
手术开刀,要求在计算机上迅速显示出模拟手术结果.
二 医学CT三维图像重建
重建流程图
二 医学CT三维图像重建
2 断层扫描原理
二 医学CT三维图像重建
（3）重建方法
在各种图像重建算法中，计算机断层扫描技术又称计算机
层析（CT）占有重要的地位。 计算机断层扫描技术的功能是将人体中某一薄层中的组 织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信 息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显 示器或其他介质上显示出来。 这项技术的重要基础是投影切片定理： 即对于任何一个三维(二维)物体，它的二维(一维)投影的 傅立叶变换恰好是该物体的傅立叶变换的主体部分。
基于边界的分割寻找感兴趣的封闭区域;
基于区域则是将体数据分为若干不重叠的区域,各区域内部
的体素相似性大于区域之间的体素相似性。
二 医学CT三维图像重建
（5）切片的重组、插值 CT 三维成像的主要方法是:通过多幅等间隔的相继断层图像 重建三维目标,实现人体组织器官的立体显示、操作和分析. CT 扫描仪得到的断层图像序列在空间三个正交的方向上分 辨率通常不同,例如,CT 切片中,层内像素距离通常在015 到 2mm之间,而层间距则位于1 到15mm 之间,断层内象素空间分 辨率远远高于各断层间的空间分辨率.如果直接用这种图像 进行分析处理和显示,由于三个方向空间分辨率不一致,使显 示结果呈阶梯状. 因此,要实现物体的三维显示和处理必须形成等分辨率的数 据,而内插是三维重建中必不可少的环节,内插效果直接影响 重建的质量.
《图像重建》课件
支持向量机方法
利用支持向量机的分类和回归功能，对图像进行特征提取和分类，实现图像的重建和识别。
其他方法
稀疏表示方法
利用稀疏表示理论，通过稀疏基函数对 图像进行表示和压缩，实现图像的重建 和去噪。
VS
插值方法
利用插值算法对图像进行放大、缩小、旋 转等变换，实现图像的重建和修复。
03
图像重建算法
反投影算法
01
反投影算法是一种简单的图像重建算法，其基本思想
是将投影数据反向投影到图像平面上，以重建图像。
02
该算法简单、易于实现，但重建图像的质量较差，容
易出现模糊、失真等现象。
03
适用于对图像质量要求不高的场合，如初步的医学影
像分析等。
滤波反投影算法
滤波反投影算法是在反投影算法 的基础上，通过在投影数据上应 用滤波器来提高重建图像的质量
角色建模、场景渲染等方面，提高游戏的视觉效果和沉浸感。
THANKS
未来发展方向
深度学习与人工智能
随着深度学习和人工智能技术的不断 发展，未来可以通过更先进的算法和 模型实现更高质量的图像重建。
实时图像重建
将不同模态的数据融合到图像重建中 ，可以提高重建结果的准确性和丰富 性。
数据驱动方法
利用大量数据进行训练和优化，可以 进一步提高图像重建的准确性和效率 。
多模态融合
基于梯度域的方法
全变分方法
利用图像的全变分信息，通过梯度下降法等优化算法，对图像进行去噪、增强、修复等处理。
拉普拉斯金字塔方法
利用拉普拉斯金字塔的多尺度、多方向性等特性，对图像进行分解和重构，实现图像的放大、去噪、增强等功能 。
基于学习的方法
深度学习方法
利用支持向量机的分类和回归功能，对图像进行特征提取和分类，实现图像的重建和识别。
其他方法
稀疏表示方法
利用稀疏表示理论，通过稀疏基函数对 图像进行表示和压缩，实现图像的重建 和去噪。
VS
插值方法
利用插值算法对图像进行放大、缩小、旋 转等变换，实现图像的重建和修复。
03
图像重建算法
反投影算法
01
反投影算法是一种简单的图像重建算法，其基本思想
是将投影数据反向投影到图像平面上，以重建图像。
02
该算法简单、易于实现，但重建图像的质量较差，容
易出现模糊、失真等现象。
03
适用于对图像质量要求不高的场合，如初步的医学影
像分析等。
滤波反投影算法
滤波反投影算法是在反投影算法 的基础上，通过在投影数据上应 用滤波器来提高重建图像的质量
角色建模、场景渲染等方面，提高游戏的视觉效果和沉浸感。
THANKS
未来发展方向
深度学习与人工智能
随着深度学习和人工智能技术的不断 发展，未来可以通过更先进的算法和 模型实现更高质量的图像重建。
实时图像重建
将不同模态的数据融合到图像重建中 ，可以提高重建结果的准确性和丰富 性。
数据驱动方法
利用大量数据进行训练和优化，可以 进一步提高图像重建的准确性和效率 。
多模态融合
基于梯度域的方法
全变分方法
利用图像的全变分信息，通过梯度下降法等优化算法，对图像进行去噪、增强、修复等处理。
拉普拉斯金字塔方法
利用拉普拉斯金字塔的多尺度、多方向性等特性，对图像进行分解和重构，实现图像的放大、去噪、增强等功能 。
基于学习的方法
深度学习方法
图像处理第7章 图像投影重建
（7.2.5）
7.2.2 拉东变换
对f(x, y)沿一个固定角度投影结果的1-D傅里叶变换对 应f(x, y)的2-D傅里叶变换中沿相同角度的一个剖面/层， 如图7.2.3.
7.3 傅里叶反变换重建
基于变换的重建方法，它是首先在投影中得到应用的方法
1. 基本步骤和定义
(1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法： 设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向上的点数，L为Y方向上的
将式(7.4.2)带入(7.4.1)并交换对s和R的积分次序
g'(s',θ)是f(x,y)在θ角方向的投影与h(s)的卷积，可称为 在θ方向上卷积了的投影；h(s)称为卷积函数。
因为g'(·)中的参数是一条以θ角通过(x,y)点
的射线的参数，所以fw(x,y)是所有与过(x,y) 的射线所对应的卷积后投影的积分。
图象投影重建
根据一个物体的投影图重建目标图象的过程
输入投影图 （图象处理）
输出重建图
一类特殊的图象恢复技术
投影：退化过程
（失了沿射线方向的分辨能力）
重建：复原过程
（恢复了2-D空间的分辨能力）
7.1 投影重建方式
{如果传感器测量的数据具有物体某种感兴趣物理 特性在空间分布的积分形式，就可以用投影重建 的方法来获取物体内部、反应不同物理特性的图 像}
（7.4.3） （7.4.5）
7.4.2卷积逆投影重建
2. 离散计算
对（7.4.5）代表的逆投影过程近似
(7.4.6)
对每个θn需要对K×L个s'计算g'(s',θn').由于K和L一般都很大，直接计算
7.2.2 拉东变换
对f(x, y)沿一个固定角度投影结果的1-D傅里叶变换对 应f(x, y)的2-D傅里叶变换中沿相同角度的一个剖面/层， 如图7.2.3.
7.3 傅里叶反变换重建
基于变换的重建方法，它是首先在投影中得到应用的方法
1. 基本步骤和定义
(1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法： 设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向上的点数，L为Y方向上的
将式(7.4.2)带入(7.4.1)并交换对s和R的积分次序
g'(s',θ)是f(x,y)在θ角方向的投影与h(s)的卷积，可称为 在θ方向上卷积了的投影；h(s)称为卷积函数。
因为g'(·)中的参数是一条以θ角通过(x,y)点
的射线的参数，所以fw(x,y)是所有与过(x,y) 的射线所对应的卷积后投影的积分。
图象投影重建
根据一个物体的投影图重建目标图象的过程
输入投影图 （图象处理）
输出重建图
一类特殊的图象恢复技术
投影：退化过程
（失了沿射线方向的分辨能力）
重建：复原过程
（恢复了2-D空间的分辨能力）
7.1 投影重建方式
{如果传感器测量的数据具有物体某种感兴趣物理 特性在空间分布的积分形式，就可以用投影重建 的方法来获取物体内部、反应不同物理特性的图 像}
（7.4.3） （7.4.5）
7.4.2卷积逆投影重建
2. 离散计算
对（7.4.5）代表的逆投影过程近似
(7.4.6)
对每个θn需要对K×L个s'计算g'(s',θn').由于K和L一般都很大，直接计算
数字图像处理学第7章 图像重建
例如：断层摄影图像的获取 基本方法
如图所示，从线性并排着的X线源发射一定强度的
X线，把通过身体的X线用与X线源平行排列的X线 检测器接收。然后把X线源和检测器组以体轴为中 心一点一点的旋转，反复进行同样的操作。利用 这样求得的在各个角度上的投影数据，就可得到 了垂直于体轴的断面 图像。
解联立方程组
一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出 关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的 任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非 常容易。
从多个断面恢复三维形状的方法有Voxel 法（体 素法）、分块的平面近似法。
7.1 概述
图像处理一个重要研究分支是物体图像的重 建，被广泛应用于检测和观察，而重建方法一般是 根据物体一些横截面部分的投影而进行的。在一些 应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过 这种重建才不会有任何物理上的损伤。例如：医疗 放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、 光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应 用。
7.3 卷积法重建
首先看下极坐标中的傅里叶反变换表达式
笛卡尔坐 标系和极坐 标的关系
x r cosa
y r sin ,
f (r , )
2
0
u R cos R sin v R sin R cos
F ( R, ) R exp[ j 2 Rr sin( )]dRd
如图7—3所示。图中（a）是投影数据，(b)是傅 里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标
F ( R, ) 中计算得到的投影变换推出在矩形平面 中的傅里叶变换 F (u , v) 并不困难。
图 7—3 傅里叶变换的几何原理
(数字图像处理)第七章图像重建
带通滤波器
允许一定频率范围内的信号通 过，阻止其他频率的信号通过 ，用于提取图像的特定频率成 分。
陷波滤波器
阻止特定频率的信号通过，其 他频率的信号不受影响，用于 消除图像中的周期性噪声。
傅里叶反变换实现图像恢复过程
01
傅里叶反变换定义
将频率域的信号转换回时间域或空间域的过程，是傅里叶变换的逆操作。
80%
模型评估指标
使用峰值信噪比（PSNR）、结构 相似性（SSIM）等指标，客观评 价重建图像的质量。
实例
1 2
超分辨率技术介绍
利用低分辨率图像重建出高分辨率图像的技术， 广泛应用于图像增强和修复领域。
CNN在超分辨率技术中的应用
通过设计多层的卷积神经网络，实现对低分辨率 图像的特征提取和重建，生成高分辨率图像。
频率混叠现象
当采样频率低于信号最高频率的两倍时，会出现频率混叠现象，即高频信号成 分会折叠到低频区域，导致重建出的图像出现失真和伪影。
离散信号与连续信号转换关系
离散信号到连续信号的转换
在图像重建中，需要将离散的采样点转换为连续的图像信号 。这通常通过插值算法实现，如最近邻插值、线性插值、立 方插值等，以在离散采样点之间生成平滑的过渡。
稀疏表示与字典学习的关系
稀疏表示是字典学习的目标，而字典学习是实现稀疏表示的手段。
实例：基于CS-MRI技术医学图像重建
CS-MRI技术
基于压缩感知理论的磁共振成像技术，通过减少采样数据 量和优化重建算法，实现高质量医学图像的快速重建。
实现步骤
首先，利用MRI系统的部分采样数据构建测量矩阵；然后， 通过稀疏表示和字典学习方法得到图像的稀疏系数；最后， 利用重建算法恢复出原始图像。
图像重建与可视化
第七章医学图像重建与可视化数字图像处理在绝大多数情况下，是对已获得的图像进行处理和转化，即把处理技术作为系统，其输入和输出均为数字图像。
因此在医学领域的应用中，数字图像处理也习惯性的称作后处理。
但在某些情况下，图像处理过程也涉及将数据进行计算并最终转化为图像的过程，如图像重建，这种情况更多的出现在医学领域中，如CT、MR、超声成像和核医学成像。
这些医学成像系统往往通过获得尽可能多的目标的检测数据，并将数据进行计算处理，最终生成图像，这就是图像重建(image reconstruction)，基本过程如图7-1所示。
这种情况发生在图像后处理之前。
图7-1图像重建过程此外，上述的医学成像系统，往往获得连续的人体断层数据和断层图像。
如果将这些数据或图像进行整合处理，仅通过图像处理技术获得新的切层位置和方向的断层图像；或将断层图像合成为体数据并显示成三维图像，以加强人们对器官解剖结构和病灶三维形态的观察和理解，这种处理我们称为图像的三维可视化(three-dimensional visualization)或三维重建(three-dimensional reconstruction)，其处理过程如图7-2所示。
图7-2图像三维可视化过程图像重建与图像可视化都是较为复杂的计算与处理过程，本章仅对医学图像的重建与可视化的基本理论与方法进行讨论。
第一节医学图像重建概述一、医学断层成像在医学断层成像出现前，传统的医学成像技术或手段是将成像区域内的三维人体组织，投射于二维的成像范围内，记录在胶片或显示屏上，最终形成二维医学影像。
这种方式势必造成人体组织信息在影像上的重叠和遮挡，使病灶缺失某一维度（如深度）的信息，虽然可以通过多体位摄影进行适当补偿，但并不能根本解决问题。
如：在胸部影像的实际诊断过程中，某些肺部病灶由于肋骨影像的重叠而无法确定位置，或者被肋骨或纵隔影像模糊。
这种影像重叠是三维影像在一维路径上产生了叠加，用积分形式可以表示为：()()[]⎰-=dz z y x I y x I d ,,exp ,0μ （7.1） ()y x I d ,为影像记录装置上记录的X 线强度分布，()z y x ,,μ为组织吸收X 线系数的分布函数，0I 为入射X 线强度。
第七章：图像重建
7.2 傅立叶变换重建
三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重 建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重 建。 （补充）傅立叶变换重建法是一种变换重建方法， 变换重建方法主要包括以下三个步骤： 1、建立数学模型，其中已知量和未知量都是连 续实数的函数； 2、利用反变换公式解未知量； 3、调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的 需求。
核磁共振
光电子、雷达、超声 波
7.1 概述
图 6—1 图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图
补充（一）：投影重建概述
概念：投影重建一般指利用物体的多个（轴向）投影 图像重建目标图像的过程。它是一类特殊的图像处理 方法，它输入的是（一序列）投影图，而输出的是重 建图。 通过投影重建就可以直接看到原来被投影物体某种特 性的空间分布，比直接观察投影图要直观的多。 应用实例： 1、投射断层成像（transmission computed tomography，TCT，简称CT） 原理：从发射源射出的射线穿透物体到达接受器。
（补充）逆投影原理：从各个方向得到的投影逆向 返回到该方向的各个位置，如果对多个投影方向中 的每个方向都进行这样的逆投影，就有可能建立平 面上的一个分部。典型的方法是卷积逆投影重建。 卷积重建法是一种变换重建法，可以根据傅立叶变 换投影定理推出。 按照二维傅立叶反变换标准定义，有
f ( x, y )
F (u , v )e
j 2 ( u x vy )
dudv
作代换：u R co s ， v R sin
7.3 卷积重建法
(续)写成級坐标(R,θ)形式：