1984年高考理科数学试题
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题
（这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。
1．数集X={(2n+1) π，n 是整数}与数集Y={(4k±1) π，k 是整数}之间的关系是( )
A ．X ?Y
B ．X ?Y
C ．X=Y
D ．X ≠Y
2．如果圆x 2+y 2+Dx+Ey+F =0与x 轴相切于原点，那么 ( )
A ．F =0,D ≠0,E ≠0
B ．E =0,F =0,D ≠0
C ．
D =0,F =0,
E ≠0 D ．D =0,E =0,
F ≠0
3．如果n 是正整数，那么21
[1(1)](1)8
n n ---的值( )
A ．一定是零
B ．一定是偶数
C ．是整数但不一定是偶数
D ．不一定是整数 4．arccos(-x )大于arccos x 的充要条件是 ( )
A ．x ∈(0,1]
B ．x ∈(-1,0)
C ．x ∈[0,1]
D ．x ∈[0,2
π
]
5．如果θ是第二象限角，且满足cos
sin
22θ
θθ
-=那么2
( )
A ．是第一象限角
B ．是第三象限角
C ．可能是第一象限角,也可能是第三象限角
D ．是第二象限角
二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果。
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。
2
5．求12lim 31n n →∞-+的值。
6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈
节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。
三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。
1．设0,0
()1,0
x H x x ≤?=?>?当当画出函数y =H (x -1)的图象。
2．画出极坐标方程(2)()0(0)4
π
ρθρ--=>的曲线。
四．（本题满分12分）
已知三个平面两两相交，有三条交线。求证这三条交线交于一点或互相平行。
六．（本题满分16分）
(1)设p ≠0，实系数一元二次方程z 2-2pz+q =0有两个虚数根z 1，z 2。再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2.求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长。
(2)求经过定点M (1,2)，以y 轴为准线，离心率为2
1的椭圆左顶点的轨迹方程。
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案
（这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10，不计入总分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。
1．数集X={(2n+1) π，n 是整数}与数集Y={(4k±1) π，k 是整数}之间的关系是( )C
A ．X ?Y
B ．X ?Y
C ．X=Y
D ．X ≠Y
2．如果圆x 2+y 2+Dx+Ey+F =0与x 轴相切于原点，那么 ( )C
A ．F =0,D ≠0,E ≠0
B ．E =0,F =0,D ≠0
C ．
D =0,F =0,
E ≠0 D ．D =0,E =0,
F ≠0
3．如果n 是正整数，那么21
[1(1)](1)8
n n ---的值( )B
A ．一定是零
B ．一定是偶数
C ．是整数但不一定是偶数
D ．不一定是整数 4．arccos(-x )大于arccos x 的充要条件是 ( )A
A ．x ∈(0,1]
B ．x ∈(-1,0)
C ．x ∈[0,1]
D ．x ∈[0,2
π
]
5．如果θ是第二象限角，且满足cos
sin
22θθθ
-=那么2
( )B
A ．是第一象限角
B ．是第三象限角
C ．可能是第一象限角,也可能是第三象限角
D ．是第二象限角
二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果。
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。
答：84或.
0.5
点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．
5．求12lim 31n
n n →∞-+的值。
节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。 答：A 66?A 74
分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案。
解答：解：此题采用插空法，先排6个歌唱节目共有A 66 种，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，可再把4个舞蹈节目插到7个空位上就不会相邻了，共有A 74种排法，所以共有种A 66?A 74排法。
点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆。
三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。
1．设0,0
()1,0
x H x x ≤?=?>
当当画出函数y =H (x
-1)的图象。
2．画出极坐标方程(2)()0(0)ρθρ--=>的曲线。
点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，
以及作图能力的考查，属于基础题．
四．（本题满分12分）
已知三个平面两两相交，有三条交线。求证这三条交线交于一点或互相平
六．（本题满分16分）
(1)设p ≠0，实系数一元二次方程z 2-2pz+q =0有两个虚数根z 1，z 2。再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2.求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长。
(2)求经过定点M (1,2)，以y 轴为准线，离心率为2
1的椭圆左顶点的轨迹方程。 分析： (1)小题，由两个虚数根z 1，z 2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b =|z 1+z 2|，焦距为2c
=|z 1-
z 2|，然后求出长轴长。
(2)小题，先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A (x,y )，然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程。
解答：(1)解法一：因为p ,q 为实数， p ≠0， z 1，z 2为虚数， 所以
Δ=(-2p )
2-4q <0，所以q >p 2>0.
由z 1，z 2为共轭虚数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称,所以椭圆短轴在x 轴上。 又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一个端点。
根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长：2b =|z 1+z 2|=|2p |=2|p |，
焦距：2c =|z 1-
z 2
|==， 长轴长：2a ==解法二: 因为p ,q 为实数， p ≠0， z 1
，z 2为虚数，所以
Δ=(-2p )2-4q <0， 所以q >p 2>0。根据实系数一元二次方程的求根公式,得
z p ==±
可知知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上。 又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一个端点。 根据椭圆的性质，复数的几何意义，可得椭圆 短轴长：2b =|z 1+z 2|=|2p |=2|p |，
焦距：2c =|z 1-z 2|==，
长轴长：2
a ==注：也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出 长轴长：2a =2|z 1
|=
(2)解：因为椭圆经过点M (1,2)，且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴。
解：设椭圆左顶点为A (x,y )，左焦点为F (x 1,y 1).
由第二定义知 M x MF ||=21，即 |MF |=21. ∴ (x 1-1)2+( y 1-2)2 =4
1
①
又 A x AF ||=21，∴ ?????==
-1121y y x x x 解得 ?????==y
y x x 1123 代入①得 (23
x -1)2+( y -2)2 =4
1， 整理得 2229()4(2)13x y -+-=
为所求的轨迹方程.
点评：(1)小题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．
(2)小题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．
S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72.
点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题。考查了学生基础知识的综合应用。
(3)先证明若x k <3，则
134
k k x x +<，因为111113
(1)(1)21224k k k x x x +=+
<+=-. 再用反证法，若n ≥lg
34lg 3
a 时，有x n +1≥3，由第(1)小题知 x 1>x 2>…>x n >x n+1≥3，
因此，由上面证明的结论及x 1=a ≥3可得3≤x n+1=3
121123
()4
n n n x x x x a x x x +<， 则n ≥lg 34lg 3a ，这与假设矛盾，所以n ≥lg
34lg 3
a 时，必有x n +1<3.
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N *相关的性质，其步骤为：设P (n )是关于自然数n 的命题，若①奠基，验证P (n )在n =1时成立；②递推，证明在归纳假设在P (k )成立下推出P (k+1)成立，则P (n )对一切自然数n 都成立。
根据条件适时应用反证法。
∴,AM DM AP DC = 22
(1cos ),sin .33
DM y x DC x =--=而 ∴2(1cos )3.2sin 3y x y x x --=
解得 2(1cos )
3.2sin 3x x y x x -=- ∴22222222
(1cos sin )(sin )(1cos )(1cos )3333333.2(sin )3
x x x x x x x x
dy dx dx dt x x -+----=-
当x =34π时，dx
v dt
=,代入上式解得点M 的速度为222(348).(34)dy v dt πππ--=- 点评：本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力。由于时间紧，没人做，形同虚设。
l D O ?A M
C P
数学高考评论：
回顾近几十年的高考试题，1984年、1999年、2003年试题难，1984年试题最难.1984年，是中国高考改革有创意的一年。就在这一年，数学命题组提出了高考“出活题，考基础，考能力”的命题指导思想。1984年的数学试卷，创造了大批新题，即所谓活题。广大考生第一次见到这样的新题或活题，感到非常之难。当年，北京市的分数，人均只有17分，创下了新中国成立以来，数学高考难度之“最”。
晚上送孩子回校，路上她挖苦老爸当年数学才考50多分，回家百度史上最难高考试卷，才发现还在保持难度记录，时隔28年后第一次回看当年不堪回首那份试题，有感而发，勾起不少回忆。
直到今天，百度史上最难高考试卷—1984理科数学跃入眼中
直到今天，才知道那一年全国平均分是26分
直到今天，才知道那一年北京平均分是17分
直到今天，才知道那一年安徽平均分是28分
直到今天，哥才知道经历过史上最难
直到今天，哥才知道那年券子是以后奥数的范本
那一年，没人告诉哥，什么是奥数..............
那一年，哥数学才考了56分（满分120），从此不堪回首
那一年，虽然哥总分高出重点本科10%，但一直怀疑没数学天分
后记，这是考完后唯一不想再见到的试卷，当28年后无意查到竟是最难的高考试卷(没有之一，是空前绝后），当知道平均分只有26分时，终于有了重看的勇气。以后，学弟学妹再说史上最难，先把全国高考前167万人的数学统计平均，低过21.7%得分率再说史上最难。
中国高考史上最难的一张数学试卷：1984年高考数学试题(理科) ，试卷第六大题第2小题、第七大题和第八大题常被以后竞赛命题者作为范题参考！第一题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。正题120分，附加题10分（不计入总分，高校录取时参考）。
备注：1984年理科：数、语120，理化英政100，生物50，满分690，数理化各10分附加分。本人516+13，数56+3
广东录取本科线：433，重点线：460
安徽省：50分以下的占80％,而70分(只相当于100分制的及格分)以上的不超过7％。
我也是84年高考。数学很难，是全国卷，但各省录取线不一样，江苏481二本，我数学76分，全校第一，上了安徽工业大学（马鞍山钢铁学院）。
我数学32分，我语文101分。数学拖了后腿，一辈子的遗憾！
我84年高考，浙江省，数学考了98分（总分552，被上海医科大学录取，大学同学说怎么不去学数学专业，而学医学，真可惜），数学特难，好多同学（我是省重点中学的）考完后哭了，认为这次高考完了，我估分100，老师说全校最高了，我也奇怪，我做题时觉得还蛮顺利的，人家分数怎么会这么低。后来，考分出来后，数学全县第一，真值得让人长期回味。
98分太厉害了，我考上清华，才70来分；平时数学几乎满分的，当时就觉得不对头，填空题一道都做10多分钟，天气又热，真是印象深刻。
我认为今年高考数学(理科)试题不适合高校选拔新生,与现行中学数学教学要求也不吻合,试题偏刁、难度偏高、排列不当、分配不均。具体分析如下：1.试题安排没有考虑到考生的心理状态,采取由易而难的办法。第一大题选择答案,每一小题均需考生全面认真考虑所学内容,经过推理运算,去伪存真,才能获得正确答案。而试题又明确规定,选择错了要扣分,这无疑给考生的心理上增加了压力,愈怕失分愈紧张,不利于考生思维能力的发挥。我认为可把第一大题,适当增加难度,安排到第三大题的位置较为合适。考生可先解几个小题(第二大题),再绘草图(第三大题)。这样,考生可以先得基本分数,有利于稳定情绪,发挥水平,也有利于分档分段看考生水平的高低。2.试题要求超出了现行中学数学教材的基本要求。以排列组合二项式定理为例,教科书中要求讲清楚两个区别(有序无序)、两个原理(加法原理、乘法原理)、两个公式(排列与组合的意义。教科书中的练习题和习题均未见试题要求的题型。查阅建国以来的历届高考试题,有关排列组合试题的要求也均未达到此试题要求高度。