2014年江苏高考文科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014年江苏高考文科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 【2014年江苏卷（文01）】已知集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,则B A = ．

【答案】}3,1{-

【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-

【2014年江苏卷（文02）】已知复数2

)25(i z -=(i 为虚数单位），则z 的实部为 ．

【答案】21

【解析】i i i i z 2021)2(2525)25(2

22-=+??-=-=，实部为21，虚部为-20。

【2014年江苏卷（文03）】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ．

【答案】5

【解析】根据流程图的判断依据，本题202>n

是否成立，若不成立，则n 从1开始每次判断完后循环时，

n 赋值为1+n ；若成立，则输出n 的值。本题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，则输

出的n 的值为5

【2014年江苏卷（文04）】从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概是 ． 【答案】

3

1

【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为3

1。

【2014年江苏卷（文05）】已知函数x y cos =与)0)(2sin(π??≤≤+=x y ，它们的图象有一个横坐标为3

π

的交点，则?的值是 ． 【答案】

6

π 【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为

3π的交点，所以将3π

分别代入两个函数，得到)32sin(213cos ?ππ+==，通过正弦值为21，解出

)(,26

32Z k k ∈+=+ππ

?π或)(,26

532Z k k ∈+=+ππ

?π，化简解得)(,22Z k k ∈+-=ππ?或)(,26Z k k ∈+=ππ?，结合题目中

],0[π?∈的条件，确定出6

π

?=。

【2014年江苏卷（文06）】在底部周长]130,80[∈的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.

【答案】24

【解析】从图中读出底部周长在]90,80[的频率为15.010015.0=?，底部周长在]100,90[的频率为

25.010025.0=?，样本容量为60株，2460)25.015.0(=?+株是满足题意的。

【2014年江苏卷（文07）】在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，2682a a a +=，则6a 的值是 ．

【答案】4

【解析】根据等比数列的定义，224426628,,q a a q a a q a a ===，所以由2682a a a +=得

2242622q a q a q a +=，消去22q a ，得到关于2q 的一元二次方程02)(222=--q q ，解得22=q ，4212426=?==q a a

【2014年江苏卷（文08）】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ，体积分别为21V ,V ，若它们的侧面积相等，

49S S 21=，则=2

1V V

． 【答案】23

【解析】由题意，4

92221222121===r r r r S S ππ，所以23

21=r r ，圆柱的侧面积rh S π2=侧，

2221112r 2h r S h S ππ===侧侧，则

321221==r r h h ，2

3

3249221121=?==h S h S V V

【2014年江苏卷（文09）】在平面直角坐标系xOy 中，直线032x =-+y 被圆4)1(2x 2

2=++-y ）（截得的弦长为 ． 【答案】

555

2

【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定文，圆心为)1,2(-，

2=r ，圆心到直线的距离553

21|322|2

2=

+--=

d ，弦长=222d r -=55

25942=

-

【2014年江苏卷（文10）】已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(

2

(-

【解析】二次函数开口向上，在区间]1,[+m m 上始终满足0)(

?<+<0

)1(0

)(m f m f 即可，

?????<-+++<-+01)1()1(012

2

2

m m m m m ，解得???????<<-<<-0

2

32222m m ，则)0,22(-∈m

【2014年江苏卷（文11）】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2

为常数b a x

b

ax +

=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ． 【答案】

2

1 【解析】根据P 点在曲线上，曲线在点P 处的导函数值等于切线斜率，

2

'2x b ax y -=，27-=k ，将)

5,2(-P 带入得???

????

-=-+=-27442

45b a b a ，解得?????=-=22

3b a ，则21=+b a

【2014年江苏卷（文12）】如图，在平行四边形ABCD 中，已知5,8==AD AB ，2,3=?=BP AP PD CP ，则?的值是 ．

【答案】22

【解析】以AD AB ,为基底，因为

2,3=?=，

41+

=+=，4

3

-=+= A

D

C

B

P

则)43()41(2AB AD AB AD BP AP -?+

==?2216

3

21AB AB AD AD -?-= 因为5,8==AD AB 则?-?-=2

1

64163252，故22=?

【2014年江苏卷（文13）】已知)(f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[x 时，|2

1

2|)(2

+

-=x x x f a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ． 【答案】)2

1,0(

【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找)(x f y =与a y =的图象交点去推出零点，

先画出[0,3]上2

1

22

+

-=x x y 的图像，再将x 轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至]4,3[-，发现若)(x f 图象要与a y =有10个不同的交点，则)2

1

,0(∈a

【2014年江苏卷（文14）】若三角形ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C c o s 的最小值是 ．

【答案】

4

2

6- 【解析】根据题目条件，由正弦定文将题目中正弦换为边，得c b a 22=+，再由余弦定文，用b a ,去表

示c ，并结合基本不等式去解决，化简2

2b a +为ab ，消去ab 就得出答案。

4

22214322221432)22(

2cos 2

2222222

22-+=-+=+-+=

-+=

ab b a ab ab b a ab b a b a ab

c

b a C 4

26422214322

2-=-≥

ab b

a

【2014年江苏卷（文15）

】已知sin 2παπα??

∈= ???

，， （1）求sin(

)4

π

α+的值；（2）求5cos(

2)6

π

α-的值。

（1）∵α∈（错误！未找到引用源。，π），错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。=1错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。

【2014年江苏卷（文16）】如图，在三棱锥P错误！未找到引用源。ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点。已知PA⊥AC，PA=6,BC=8，DF=5.

求证：（1）直线PA∥平面DEF;

（2）平面BDE⊥平面ABC.

（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点

∴DE∥PA

又∵DE

?平面PAC，PA ?平面PAC

∴直线PA∥平面DEF

（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且BC=8，由中位线知EF=4

∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5

∴DF2=EF2+DE2=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵AC ? EF=E，

AC

?平面ABC，EF ?平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE ?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC

【2014年江苏卷（文17）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2 分别是椭圆

2

2

22

1(0) y

x a b

a b

+=>>

的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2

交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

（1）若点C的坐标为（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），且BF2 =

错误！未找到引用源。，求椭圆的方程；

F

E

P

A

D

C

B

（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

（1）∵BF 2 = 错误！未找到引用源。，将点C （错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）代

入椭圆2

2221(0)y x a b a b +=>>，

∴

22

1611(0)

99a b a b +=>>，且c 2+b 2=a 2

∴a=错误！未找到引用源。 ，b=1, ∴椭圆方程为221

2

x y +=

（2）直线BA 方程为y=错误！未找到引用源。x+b,与椭圆2

22

21(0)y x a b a b +=>>联立得

错误！未找到引用源。x 2错误！未找到引用源。x=0. ∴点A （错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），∴点C （错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）F 1（错误！未找到引用源。）

直线CF 1 斜率k=错误！未找到引用源。 ，又∵F 1C ⊥AB ，∴错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。=1，∴e=错误！未找到引用源。

【2014年江苏卷（文18）】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan ∠BCO=错误！未找到引用源。.

（1）求新桥BC 的长：

（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

（1）过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AD⊥BE于点F。∵tan∠BCO=错误！未找到引用源。，设BC=5x ，CE=3x ，BE=4x ，

∴OE=，AF=170错误！未找到引用源。，，EF=AO=60 ，BF=4x错误！未找到引用源。60又∵AB⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°，

∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°，

∴tan∠BAF=错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。

（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），

点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=错误！未找到引用源。（x错误！未找到引用

源。），

即4x+3y 错误！未找到引用源。∴半径R=错误！未找到引用源。 ，又因为古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m ，∴R 错误！未找到引用源。AM 错误！未找到引用源。 80 且R 错误！未找到引用源。80 ，∴ 错误！未找到引用源。 80 ，错误！未找到引用源。 80，

∴错误！未找到引用源。35 ，∴R=错误！未找到引用源。 此时圆面积最大。∴当OM=10时圆形保护区面积最大。

【2014年江苏卷（文19）】已知函数()f x =错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 ，其中

e 是自然对数的底数。

（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；

（2）若关于x 的不等式m ()f x 错误！未找到引用源。+m 错误！未找到引用源。1在（0，+错误！未找到引用源。）上恒成立，求实数m 的取值范围；

（3）已知正数a 满足:存在x 0错误！未找到引用源。 [1，+错误！未找到引用源。），使得

0(x )f 错误！未找

到引用源。（错误！未找到引用源。x 0 3

+3x 0）成立，试比较 错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的大小，并证明你的结论。

（1）∵x 错误！未找到引用源。()f x -=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=()f x ，∴()f x 是R 上的偶函数

（2）∵

()f x 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引

用源。1 ，∴

()f x 错误！未找到引用源。，

∴m （

()f x 错误！未找到引用源。）错误！未找到引用源。1，∴m 错误！未找到引用源。=错误！未

找到引用源。 ，

令()g x =错误！未找到引用源。 ，()g x '=错误！未找到引用源。 ，∴x 错误！未找到引用源。时()g x '错误！未找到引用源。

()g x 单调减，x 错误！未找到引用源。时()g x '错误！未找到引用源。()g x 单调增，∴

()g x min =(ln 2)g =错误！未找到引用源。 ，若关于x 的不等式m ()f x 错误！未找到引用源。+m 错误！

未找到引用源。1在（0，+错误！未找到引用源。）上恒成立，则只要m 错误！未找到引用源。()g x min 恒成立 ，

∴m 错误！未找到引用源。 。∴m 错误！未找到引用源。 （错误！未找到引用源。]。

（3）由题正数a 满足:存在x 0错误！未找到引用源。 [1，+错误！未找到引用源。），使得

0(x )f 错误！未找到引用

源。（错误！未找到引用源。x 0 3

+3x 0）成立。

即错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。x 0 3

+3x 0）错误！未找到引用

源。令()h x =错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。x 3

+3x ），即()h x min

错误！未找到引用源。0。

()h x '=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。 +3a 错误！未找到引用源。 ，当x 错误！未找到引用源。 [1，+错误！未找到引用源。）时，()h x '

错误！未找到引用源。0 ，

()h x min =(1)h =e+错误！未找到引用源。 -2a 错误！未找到引用源。0 ，∴a 错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。 。

要比较错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的大小，两边同时取以e 为底的对数。只要比较a-1与（e-1）lna 的大小。

令

y = a-1-( e-1）lna ，

y '= 1-错误！未找到引用源。 ，∵a 错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。 + 错误！未

找到引用源。e-1，∴a 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。）时y '错

误！未找到引用源。

y 单调减，a 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）时

y '错误！未找到引用源。y 单调增，

又∵错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。，当a=1时，y=0，

∴当a=错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。时，y 错误！未找到引用源。0，当a=e 时，y=0。∴a=e-1时，y 错误！未找到引用源。0。

∴当错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。时，y 错误！未找到引用源。0，此时a-1错误！未找到引用源。（e-1）lna ，即错误！未找到引用源。。

当a=e 时y 错误！未找到引用源。0，此时a-1错误！未找到引用源。（e-1）lna ，即错误！未找到引用源。。

当a 错误！未找到引用源。e 时y 错误！未找到引用源。0，此时a-1错误！未找到引用源。（e-1）lna ，即错误！未找到引用源。。

【2014年江苏卷（文20）】设数列{错误！未找到引用源。}的前n 项和为错误！未找到引用源。.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得错误！未找到引用源。，则称{错误！未找到引用源。}是“H 数列。”

（1）若数列{错误！未找到引用源。}的前n 项和错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（n 错误！未找到引用源。），证明：{错误！未找到引用源。}是“H 数列”；

（2）设数列{错误！未找到引用源。}是等差数列，其首项错误！未找到引用源。=1.公差d 错误！未找到引用源。0.若{错误！未找到引用源。}是“H 数列”，求d 的值；

（3）证明：对任意的等差数列{错误！未找到引用源。}，总存在两个“H 数列” {错误！未找到引用源。}

和{错误！未找到引用源。}，使得错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（n 错误！未找到引用源。）成立。

（1）证明：∵错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ，∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（n 错误！未找到引用源。），又错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2=错误！未找到引用源。 ，∴错误！未找到引用源。（n 错误！未找到引用源。）。 ∴存在m=n+1使得错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。=1+（n-1）d ，若{错误！未找到引用源。}是“H 数列”则对任意的正整数

n,总存在正整数m,使得错误！未找到引用源。。错误！未找到引用源。=1+（m-1）d成立。化简得m=错误！未找到引用源。 +1+错误！未找到引用源。，且d错误！未找到引用源。0

又m错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。d错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。为整数。

（3）证明：假设成立且设错误！未找到引用源。都为等差数列，则

n错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+（错误！未找到引用源。

-1）错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

+1，

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）同文错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）

取错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=k由题错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+（错误！未找到引用源。-1）错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+（错误！未找到引用源。-1）错误！未找到引用源。

=（错误！未找到引用源。）+（n-1）（错误！未找到引用源。）=（n+k-1）错误！未找到引用源。）可得{错误！未找到引用源。}为等差数列。即可构造出两个等差数列{错误！未找到引用源。}

和{错误！未找到引用源。}同时也是“H数列”满足条件。