数学分析2期末考试题库

数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）

一、叙述题：（每小题6分，共18分）

1、 牛顿-莱不尼兹公式

2、

∑∞

=1

n n

a

收敛的cauchy 收敛原理

3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）

1、4

20

2

sin lim

x dt t x x ⎰

→

2、求由曲线2

x y =和2

y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞

=+1

)1(n n

n n x 的收敛半径和收敛域，并求和

4、已知z

y x u = ，求y

x u

∂∂∂2

三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数

2、讨论反常积分

⎰

+∞

--0

1dx e x x p 的敛散性

3、讨论函数列),(1)(2

2+∞-∞∈+

=

x n x x S n 的一致收敛性

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、设)2,1(1

1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞

=1

n n x 发散 2、证明函数⎪⎩

⎪

⎨⎧

=+≠++=0

00),(22222

2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，

但它在该点不可微。，

一、叙述题：(每小题5分，共10分）

1、 叙述反常积分

a dx x f b

a

,)(⎰

为奇点收敛的cauchy 收敛原理

2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21

2111(

lim n

n n n +++++∞

→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()

sin (π∈⎩

⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积

3、求⎰∞+∞-++dx x x

cpv 211)

(

4、求幂级数∑∞

=-12

)1(n n

n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y

x

xy f u =， 求y x u ∂∂∂2

三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、y

x y x y x f +-=2

),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？

为什么？

2、讨论反常积分

⎰

∞

+0

arctan dx x x

p

的敛散性。 3、讨论∑∞

=-+1

33))1(2(n n

n

n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分）

1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰

b

a

dx x f

2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu

五、叙述题：（每小题5分，共15分） 1、定积分 2、连通集

3、函数项级数的一致连续性 六、计算题：（每小题7分，共35分） 1、

⎰e

dx x 1

)sin(ln

2、求三叶玫瑰线],0[3sin πθθ∈=a r 围成的面积

3、求5

2cos

12π

n n n x n +=

的上下极限 4、求幂级数∑∞

=+1

2)1(n n

n

x 的和 5、),(y x f u =为可微函数， 求22)()(

y

u

x u ∂∂+∂∂在极坐标下的表达式 七、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、已知⎪⎩

⎪

⎨⎧==≠≠+=0

000,01cos 1sin )(),(2

2y x y x y

x y x y x f 或，求

),(lim )

0,0(),(y x f y x →，问

),(lim lim ),,(lim lim 0

00

0y x f y x f x y y x →→→→是否存在？为什么？

2、讨论反常积分

⎰

∞

++0

1

dx x x q

p 的敛散性。

3、讨论]1,0[1)(∈++=

x x

n nx x f n 的一致收敛性。

八、证明题：（每小题10分，共20分）

1、 设f （x ）在[a ,+∞）上单调增加的连续函数，0)0(=f ，记它的反函数f --1

（y ），

证明

)0,0()()(0

10

>>≥+⎰⎰

-b a ab

dy y f dx x f b

a

2、 设正项级数∑∞

=1

n n

x

收敛，证明级数

∑∞

=1

2

n n

x

也收敛