北师大版九年级数学下册《二次函数》教案-新版
[师]首先我们要回顾一下有关名词，本金，利息，本息和，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗？
[生]记得．
本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．
[生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．
但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．
二、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
[师]请大家发表自己的看法．
[生甲]在函数y＝－5x2＋100x＋60000中，因为一次项系数100大于二次项系数－5，因此当x越大时，y的值越大．
[生乙]我不同意他的观点．因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此－5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大．
[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢？我们不妨取一些特殊的数字验证一下．
[师]能把学过的函数回忆一下吗？
[生]可以．
一次函数y＝kx＋b．(其中k、b是常数，且k≠0)
正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．
反比例函数y＝ (k是不为0的常数)．
[师]很好．从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．
（登录优教同步学习网，搜索图片素材：生活中的二次函数）
Ⅱ．新课讲解
一、由实际问题探索二次函数关系
投影片：(§2.1A)
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
5.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为－5,求这个二次函数的解析式.
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1．经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．
2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．
Ⅴ．课后作业
2．想一想
3．做一做(投影片§2.1B)
4．想一想
5．二次函数的定义
二、课堂练习
随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
参考例题
1．用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)与矩形一边长l(m)之间的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数?
解：S=l( -l)=l(30-l)=30l-l2=-l2+30l是二次函数关系式．
3.若函数y=（a－b）x2+a x+b是关于x的二次函数，则（）
A.a，b为常数且a≠0B.a，b为常数且b≠0
C.a，b为常数且a≠bD.a，b可为任何实数
4.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x元/套，请你得出每天销售利润y与售价x的函数表达式：．
(2)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
[师]请大家试着做一做，然后回答．
[生甲](1)和(2)函数表达式是一样的，都可以用y=x(20-x)=-x2+20x来表示．
[师]回答的非常好．
五、二次函数的定义
[师]从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000，y＝100x2＋200x＋100和y =-x2+20x中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
2.1二次函数
教学目标
(一)教学知识点
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．
[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．
三、做一做
投影片：(§2.1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
教学重点
1．经历探索和表示二次函数关系的过程．获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
教学方法
讨论探索法．
教具准备
投影片二张
第一张：(记作§2.1A)
第二张：(记作§2.1B)
教学过程
S＝πr2，自由落体运动物体下落的高度h与下落的时间t的关系 等也都是二次函数的例子．
Ⅲ．课堂练习
1.下列函数中：①y=3；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2
⑤y=(x－1)(x+2)⑥y= (x+1)2⑦y=2(x+3)2－2x2⑧y=1－x2是二次函数的是_____
2.若y＝(m2＋m)是二次函数，则m的值为
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？
[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．
[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗？
[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．
[生]一年后的本息和为(100＋100x·1)＝100(1＋x)．
[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．
[生]y＝100(1＋x)＋100(1＋x)x×1
＝10O(1＋x)＋Байду номын сангаас00(1＋x)x
＝100(1＋x)(1＋x)
2．下列函数中，哪些是一次函数?哪些是二次函数?
(1)y=3(x-1)2+1；
(2)y＝x+ ；
(3)y＝(x+3)2-x2；
(4)y= -x
解：(1)y=3(x-1)2+1=3x2-6x+4；
(3)y=(x+3)2-x＝x2+6x+9-x2＝6x+9；
∴(3)是一次函数，
(1)是二次函数．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
[师]请大家互相交流后回答．
[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．
3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗？自己试一试．
X(棵)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Y(个)
请大家先填表，再猜测．
[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．
习题2.1知识技能、问题解决
Ⅵ．活动与探究
若y＝(m2＋m) 是二次函数，求m的值．
分析：根据二次函数的定义，只要满足m2＋m≠0，且m2－m＝2，
y＝(m2＋m) 就是二次函数．
解：由题意得
解，得
∴m＝2．
故若y＝(m2＋m) 是二次函数，则m的值等于2．
板书设计
§2.1二次函数
一、1．由实际问题探索二次函数关系(投影片§2.1A)
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x＋100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600－5x)个橙子．
(3)如果果园橙子的总产量为y个，则
y＝(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000．
[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
[生]一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数(quadratic function)．
[师]很好．上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此．有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教案3
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教案3一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.1节《二次函数》是学生在学习了函数、一次函数的基础上，进一步研究二次函数的性质和图象。
本节内容是整个初中数学的重要内容，也是高考的考点之一。
通过本节课的学习，使学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质，会画二次函数的图象，为后续学习解析几何打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，一次函数的概念、性质和图象已经掌握。
但二次函数相对于一次函数来说，概念抽象，性质复杂，图象形状特殊，学生理解和掌握有一定难度。
因此，在教学过程中，要注意从学生已有的知识出发，引导学生逐步深入，突破难点，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质，会画二次函数的图象。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的性质，提高学生的探究能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体会数学与实际生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的性质，二次函数图象的特点。
2.难点：二次函数的性质的推导，二次函数图象的画法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教师准备：二次函数的PPT，相关例题和练习题，二次函数图象的软件。
2.学生准备：笔记本，相关数学书籍。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
然后，教师提出本节课的学习目标，引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，发现二次函数的特点。
同时，教师给出二次函数的一般式，解释二次函数的各个参数的含义。
3.操练（10分钟）教师给出几个典型的二次函数例题，引导学生运用所学知识解决问题。
北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教学设计
北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》是学生在学习了一次函数和正比例函数的基础上，进一步研究函数的性质。
本节内容主要包括二次函数的定义、一般式、图像和性质。
通过学习，使学生掌握二次函数的基本概念，了解二次函数的图像特征，能运用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探究、发现并掌握二次函数的知识。
二. 学情分析学生在学习了一次函数和正比例函数后，已经具备了一定的函数概念和图象观察能力。
但九年级学生的抽象思维能力仍在发展阶段，对于较为复杂的二次函数解析式和图像的理解仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻、直观的图象展示，帮助学生理解二次函数的性质。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般式；2.掌握二次函数的图像特征，能识别二次函数的图像；3.能运用二次函数解决实际问题；4.培养学生的观察能力、分析能力和动手能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般式；2.二次函数的图像特征；3.二次函数的实际应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.直观演示法：利用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解；3.自主探究法：引导学生主动探究二次函数的性质，培养学生的动手能力；4.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件；2.准备一些实际的例子，用于引入和巩固二次函数的知识；3.准备二次函数的一般式和图像，用于讲解和展示；4.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：“抛物线的形状是什么？它与什么因素有关？”让学生思考并回答，引出二次函数的定义。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示二次函数的一般式和图像，让学生观察并总结二次函数的图像特征，如：开口方向、对称轴、顶点等。
北师大版九年级数学下册《二次函数》教案-新版
2.1 二次函数教学目标(一)教学知识点1．探索并归纳二次函数的定义．．探索并归纳二次函数的定义．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．．能够表示简单变量之间的二次函数关系．(二)能力训练要求1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．系．3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题．．能够利用尝试求值的方法解决实际问题．(三)情感与价值观要求1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．好奇心和求知欲．2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．联系及对人类历史发展的作用．3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．维的过程，培养大家的合作意识．教学重点1．经历探索和表示二次函数关系的过程．获得用二次函数表示变量之间关系的体验．系的体验．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．体验．教学方法讨论探索法．讨论探索法．教具准备 投影片二张投影片二张第一张：(记作§2.1A)第二张：(记作§2.1B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗？[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．[师]能把学过的函数回忆一下吗？[生]可以．可以．一次函数y ＝kx ＋b ．(其中k 、b 是常数，且k ≠0)正比例函数y ＝kx (k 是不为0的常数)．反比例函数y ＝x k(k 是不为0的常数)．[师]很好．从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．（登录优教同步学习网，搜索图片素材：生活中的二次函数）Ⅱ．新课讲解一、由实际问题探索二次函数关系一、由实际问题探索二次函数关系投影片：(§(§2.1A)2.1A) 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．[师]请大家互相交流后回答．[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．子数是因变量．(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x ＋100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600－5x )个橙子．个橙子．(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则个，则y ＝(x ＋100)(600－5x )＝－5x 2＋100x ＋60000．[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y 是否是x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？[生]因为x 是自变量，y 是因变量，给x 一个值，相应地就确定了一个y 的值，因此根据函数的定义，y 是x 的函数．的函数．但是从函数形式上看，但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，它不同于正比例函数，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，一次函数与反比例函数，一次函数与反比例函数，自变自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．，所以我猜测可能是二次函数．二、想一想二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？[师]请大家发表自己的看法．[生甲]在函数y ＝－5x 2＋100x ＋60000中，因为一次项系数100大于二次项系数－5，因此当x 越大时，y 的值越大．[生乙]我不同意他的观点．因为x 2的增长速度比x 的增长速度要快，因此－5x 2的绝对值要大于100x 的绝对值，因此x 应取比较小的数才能使y 的值大．[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢？我们不妨取一些特殊的数字验证一下．下．我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗？自己试一试．格中的数据作出猜测吗？自己试一试．X (棵) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Y (个) 请大家先填表，再猜测．[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．要在后面的学习中专门进行研究．三、做一做三、做一做 投影片：(§(§2.1B)2.1B) 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，也就是说，也就是说，利率是一个变量．利率是一个变量．利率是一个变量．在在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式(不考虑利息税)．[师]首先我们要回顾一下有关名词，本金，利息，本息和，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗？[生]记得．记得．本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．[生]一年后的本息和为(100＋100x ·1)＝100(1＋x )．[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．[生]y ＝100(1＋x )＋100(1＋x )x ×1＝10O (1＋x )＋100(1＋x )x＝100(1＋x )(1＋x )＝100(1＋x )2＝100x 2＋200x ＋100．[师]在这个关系式中，y 是x 的函数吗？是x 的什么函数？请猜想．[生]因为年利率x 是一个变量，两年后的本息和y 是随着x 的变化而变化的，因此x 是自变量，y 是x 的函数，再从函数的形式来看，y 是x 的二次函数．的二次函数．四、想一想四、想一想(1)已知矩形的周长为40cm ，它的面积可能是100cm 2吗？可能是75 cm 2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？(2)两数的和是20，设其中一个数是x ，你能写出这两数之积y 的表达式吗？的表达式吗？[师]请大家试着做一做，然后回答．[生甲](1)和(2)函数表达式是一样的，都可以用y=x(20-x)=-x 2+20x 来表示．[师]回答的非常好．回答的非常好．五、二次函数的定义[师]从我们刚才推导出的式子y ＝－5x 2＋100x ＋60000，y ＝100x 2＋200x ＋100和y =-x 2+20x 中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？[生]一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic function)．[师]很好．上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此．有时没有一次项，时没有一次项，有时没有常数项，有时没有常数项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，有时这两项都不存在，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A 与边长a 的关系A ＝a 2，圆面积S 和半径r 的关系的关系S ＝πr 2，自由落体运动物体下落的高度h 与下落的时间t 的关系221gt h =等也都是二次函数的例子．是二次函数的例子．Ⅲ．课堂练习1.下列函数中：①y=3； ②y=2x ； ③y=22+x 2－x 3；④m=3－t －t 2 ⑤y=(x －1)(x+2) ⑥y= (x+1)2 ⑦y=2(x+3)2－2x 2 ⑧y=1－x 2是二次函数的是_____2.若y ＝(m 2＋m) 是二次函数，则m 的值为3.若函数y=（a －b ）x 2+ a x+ b 是关于x 的二次函数，则（ ）A.a ，b 为常数且a ≠0≠0B. a ，b 为常数且b ≠0≠0C. a ，b 为常数且a ≠bD. a ，b 可为任何实数可为任何实数4.某商场将进价为某商场将进价为 40 元的某种服装按元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出元售出时，每天可以售出300 套．据市场调查发现，这种服装每提高套．据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少元售价，销量就减少5 套，如果商场将售价定为将售价定为 x 元/套，请你得出每天销售利润请你得出每天销售利润y 与售价x 的函数表达式： ． 5.已知二次函数y=x²y=x²+px+q,+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为－5, 求这个二次函数的解析式.Ⅳ．课时小结本节课我们学习了如下内容：本节课我们学习了如下内容：1．经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．般形式．2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．多．Ⅴ．课后作业习题2.1 知识技能、问题解决知识技能、问题解决 Ⅵ．活动与探究若y ＝(m 2＋m )m m x -2是二次函数，求m 的值．分析：根据二次函数的定义，只要满足m 2＋m ≠0，且m 2－m ＝2， y ＝(m 2＋m )m m x -2就是二次函数．解：由题意得由题意得ïîïíì=-¹+．，2022m m m m解，得îíì-==-¹¹，或，或1210m m m m ∴m ＝2．故若y ＝(m 2＋m )m mx -2是二次函数，则m 的值等于2． 板书设计§2.1 二次函数二次函数一、1．由实际问题探索二次函数关系(投影片§2.1A)2．想一想．想一想3．做一做(投影片§2.1B) 4．想一想．想一想5．二次函数的定义．二次函数的定义二、课堂练习二、课堂练习随堂练习随堂练习三、课时小结三、课时小结 四、课后作业四、课后作业备课资料参考例题1．用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m 2)与矩形一边长l(m)之间的关系是什么是函数关系吗?是哪一种函数? 解：S=l(260-l)=l(30-l)=30l-l 2=-l 2+30l 是二次函数关系式．是二次函数关系式．2．下列函数中，哪些是一次函数?哪些是二次函数?(1)y=3(x-1)2+1； (2)y ＝x+x1； (3)y ＝(x+3)2-x 2； (4)y=21x-x 解：(1)y=3(x-1)2+1=3x 2-6x+4；(3)y=(x+3)2-x ＝x 2+6x+9-x 2＝6x+9；∴(3)是一次函数，是一次函数，(1)是二次函数．是二次函数．。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的教学难点。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，使学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但在二次函数的图象和性质方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特征。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.数形结合法：通过二次函数图象的展示，使学生直观地理解二次函数的性质。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质和图象的课件，以便进行直观展示。
2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如抛物线跳跃游戏，引发学生对二次函数的兴趣。
引导学生思考：抛物线的形状是由什么因素决定的？2.呈现（15分钟）利用课件展示二次函数的定义和性质，让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。
同时，通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个二次函数，分析其图象特征，并总结出二次函数的性质。
然后，进行小组间的分享和交流。
4.巩固（10分钟）针对刚才的学习内容，进行一些相关的练习题，检查学生对二次函数知识的掌握程度。
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
-解决最值问题：在实际问题中，如何找到二次函数的最值；
-难点举例：如何求解二次函数在给定区间内的最大值或最小值，以及如何确定这个区间的限制条件。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的二次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
一、教学内容
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
1.二次函数的定义与一般形式；
2.二次函数的图像与性质；
- a>0与a<0时图像的特点；
-对称轴、顶点坐标；
-最值问题；
3.二次函数的顶点式与解析式的转换；
4.实际问题中的应用：最大（小）值的求解；
5.二次函数与一元二次方程的关系。
2.增加课堂互动，鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，确保教学效果。
3.课后加强个别辅导，关注学困生，帮助他们克服困难，提高自信心。
4.结合生活实际，引入更多有趣的案例，激发学生学习兴趣，提高数学素养。
-举例：给定一个抛物线的实际问题，如最大高度的求解，引导学生建立二次函数模型。
2.教学难点
-理解a、b、c对二次函数图像的综合影响：a决定开口方向，b影响对称轴位置，c决定图像与y轴的交点；
-难点举例：分析y=ax^2+bx+c中，当a、b、c的值变化时，图像如何相应变化；
北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教学设计1
北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《1 二次函数》是学生在初中阶段最后一节数学课,主要介绍二次函数的图像和性质。
本节内容在数学知识体系中具有重要的地位,是学生学习高中数学的基石。
本节课的内容包括:二次函数的一般式、顶点式、开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等概念,以及二次函数的图像特征。
这些概念和性质对于学生理解和掌握二次函数具有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经学习了二次方程和一次函数的知识,对于函数的概念和性质有一定的了解。
但是,二次函数的图像和性质比较抽象,需要通过具体实例和图形来帮助学生理解和掌握。
此外,学生的数学思维能力和逻辑表达能力参差不齐,需要教师针对不同学生的实际情况进行引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生掌握二次函数的一般式、顶点式、开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等概念,理解二次函数的图像特征。
2.过程与方法:通过具体实例和图形,帮助学生理解和掌握二次函数的图像和性质。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学思维能力和逻辑表达能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般式、顶点式、开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等概念。
2.二次函数的图像特征。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生自主探究和发现二次函数的图像和性质。
2.利用多媒体辅助教学,展示二次函数的图像和实例,帮助学生理解和掌握。
3.分层次教学,针对不同学生的实际情况进行引导和帮助,使学生在课堂上得到充分的学习和提高。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入(5分钟)教师通过提问方式引导学生回忆一次函数和二次方程的知识,让学生思考二次函数的一般式和顶点式,引出本节课的主题。
呈现(15分钟)教师通过PPT展示二次函数的一般式和顶点式,让学生观察和分析二次函数的图像特征,如开口方向、对称轴、顶点、增减性、极值等。
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。
这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。
如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。
请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。
例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。
3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。
例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。
九年级数学下册 第2章 二次函数复习教案 (新版)北师大版 教案
教
学
目
标
知识与技能目标
过程与方法目标
情感与态度目标
1．通过对本章知识的梳理，使学生深刻理解二次函数的概念、图象与性质。
2．能灵活运用二次函数的概念与性质解决有关数学问题。
通过练习掌握基本知识和基本技能，体会不同的数学思想方法解决实际问题
积极参与交流，并积极发表意见，体验与他人交流合作的重要性。
二、典型题型
1.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
教学重点
二次函数的概念、图象与性质
教学难点
二次函数图象与性质的运用
教 学 过 程
教学内容设计
个性补充
一、知识回顾
1．归纳: 知识结构
教学内容设计
个性补充
3.二次函数关系式的三种表示方式：
一般式、
顶点式、
两根式、y=a（x－m）（x-n）
4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的特征与系数a，b，c，的关系：
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标
三、练习
四、小结作业教源自札记
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。
本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。
教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。
2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。
2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。
4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。
2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。
3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴的交点问题。
2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。
同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。