北京大学弹性力学讲义
弹性力学讲义
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
弹性力学5PPT课件
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
弹性力学专题知识宣讲培训课件
根据各向同性、连续、均匀等假设进行 简化。
二、建模过程中注意的问题
（1）线性化
对高阶小量进行处理，能进行线性化的， 进行线性化。
（2）实验验证
模型建立以后，对计算的结果进行分析 整理，返回实际问题进行验证，一般主要通 过实验进行。
§1-2 弹性力学的内容
• 弹性力学：又称为弹性理论，是固体力学 的一个分支，它是研究在外力或其他因素 （如温度变化、支座沉陷等）作用下弹性 体内产生应力、应变和位移的一般规律的 学科。
力学的分类
一般力学
力
固体力学
学
流体力学
一般力学也叫刚体力学:是以受力后不变形的 绝对刚体为研究对象。包括：理论力学、分析 力学、机械振动、非完整系统等。
固体力学：是以受力后产生微小变形的固体 为研究对象。包括材料力学、结构力学、弹性 力学、塑性力学、岩石力学、土力学等。
流体力学：是以受力后产生较大变形的流体 为研究对象。包括理论流体力学、工程流体力 学、流变学等。
任务一样为什么分三门课？
区别：研究范围、研究对象、研究方法
1)研究范围：
材力研究外力作用下。 弹力不仅研究外力作用下还有其它因素，包括温 度变化、制作沉陷等。
2)研究对象：
a.形状： 材力研究的是杆件。 弹力即可研究杆件还可研究非杆状 实物结构，如板、壳、块等。
b.受力情况： 材力研究杆件时受力情况多受限制。
19世纪20年代。Navier和Cauchy建立了弹性力学的数学 理论之后，才使它成为一门独立的分支。
1822—1828年间，Cauchy明确提出了应力和应变的概 念．建立了弹性力学的平衡(运动)微分方程、几何方程 和各向同性的广义Hooke定律；
北京大学弹性力学讲义
“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。
所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。
弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。
弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。
授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。
目前网上给出如下一些教案示例：1.“第一章矢量与张量”2.“第二章应变分析”3.“第三章应力分析4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5)5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4)弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。
弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。
弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。
人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。
弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。
本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。
弹性力学简明教材(电子版)
弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式，涉
及弹性体的基本特性，力学基本定律，应力应变状态的描述和计算，以及弹性体固有振动和波的传播等内容。
第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性，包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念，以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。
通过
本章的研究，读者将会了解弹性体的基本特性，为后续章节的研究
打下基础。
第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律，即牛顿定律和能量守恒定律，以及
它们在弹性力学中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。
第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法，涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。
第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播，包括弹性体的本征频率和本征振型，以及弹性波的类型和传播速度等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体固有振动和波的传播，为实际问题的解决提供理论基础。
第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算，综合运用前面章节所学的知识，掌握弹性力学在实际工程中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。
附录：本教材的符号表和计算公式等内容，供读者参考。
总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一，具有广泛的应用。
本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述，适合初学者学习和工程技术人员参考使用。
《弹性理论》课程教学大纲
《弹性理论》教学大纲课程编号:631013课程名称：弹性理论课程英文名称：Theory of Elasticity课程类别：学科基础课程课程性质：必修课、选修课学时（理论+实践）：32学分：2开课学期：第四学期选用教材：《弹性力学简明教程》徐芝纶，高等教育出版社主要参考书：L《弹性力学》，米海珍主编，清华大学出版社2.《弹性力学引论》，武际中，北京大学出版社一、中英文课程简介：弹性理论，又称弹性力学。
作为固体力学学科的一个分支。
弹性力学主要研究弹性体由于受到外力作用或温度改变等原因而发生的力学行为，如应力、形变和位移等。
从而解决工程设计中所提出的强度和刚度问题。
Elastic theory, known as Elasticity, is a branch of solid mechanics disciplines. The mechanical behavior of elastomer, such as stress, strain and displacement, casing by external force, temperature changing or other reasons is mainly researched in Elasticity, in order to solve the strength and stiffness problems during the engineering design.二、课程目的、性质与任务弹性理论是土木工程、勘察工程专业的重要的学科基础课。
弹性理论的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。
弹性理论课程目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题建立必要的理论基础。
弹性力学基础教学课件PPT
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT
换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
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“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。
所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。
弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。
弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。
授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。
目前网上给出如下一些教案示例：1.“第一章矢量与张量”2.“第二章应变分析”3.“第三章应力分析4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5)5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4)弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。
弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。
弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。
人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。
弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。
本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。
第一章矢量与张量本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。
§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。
设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。
从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。
1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。
本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。
按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。
应用，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量和向量之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。
再引入Levi-Civita记号，(1.17)其中分别取1，2，3中的某一个值。
例如，，，…。
利用，向量之间的外积可写为(1.18)(1.19)1.3与之间的关系Kronecker 记号与Levi-Civita 记号之间有如下关系(1.20)证明1 穷举法，先列出所有可能的81种取值情况，情形123┆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3┆┆┆┆然后逐个情形证明,例如，情形1，，故此情形(1.20)成立，…。
证明2 我们有双重外积公式(1.21)将代入(1.21)左右两边，得到将上述两式代入(1.21)两边，移项，得(1.22)由于的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。
证明3 利用Lagrange公式(1.23)按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。
证明4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有(1.24)其中分别为向量在中的坐标。
按行列式的乘积法则，有(1.25)其中第二个等式应用了等关系。
将(1.25)最后一个行列式展开，得(1.26)注意到，以及换标记号和的意义，从（1.26）即得(1.20)。
证毕。
§2 张量代数2.1张量的定义设(2.1)其中称为并矢基,它们共有9个,(2.2)在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为(2.3)于是(2.4)从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组，在坐标变换下，关于变换系数为二次齐次式，则称为张量，也记作。
为其指标记号，为其整体记号。
张量在并矢基下的9个分量，有一个矩阵与之对应，记作(2.5)同一个张量在另一组并矢基下所对应的矩阵为，(2.6)按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，(2.7)其中为坐标变换矩阵（1.3）。
附注：上述张量的定义可以推广：一个阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从的次齐次式，(2.8)则称之为阶张量。
按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(２.1）所述的张量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号为三阶张量。
(2.8)式中的下标和取值范围也可不必限于从１到３，也可从１到，那么(2.8)式所定义的张量称为维空间中的阶张量。
本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。
2.2张量的运算张量与张量的和与差记为，(2.9)张量的转置记为，(2.10)不难验证，和也是张量。
例如，(2.11)一个张量称为对称张量，如果(2.12)与对称张量所对应的矩阵为对称矩阵。
一个张量称为反对称张量，如果(2.13)与反对称张量所对应的矩阵为反对称矩阵，我们将反对称矩阵记成(2.14)从(2.14)可以得出，(2.15)(2.16)不难验证，由(2.16)所定义的为向量，它称为相应于反对称张量的轴向量。
由于所以(2.17)为一张量，称之为单位张量。
张量的迹定义为(2.18)2.3张量与向量之间的运算张量与向量有左右两种内积，(2.19)(2.20)从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式(2.21)如果为反对称张量，由(2.19) (2.15),得(2.22)张量与向量有左右两种外积，(2.23)(2.24)张量与两个向量和之间有四种运算，2.4 张量与张量之间的运算两个张量与之间的内积和外积如下两个张量与之间有四种双重运算对于双重运算，先将外层的两个基和按下面的符号进行运算，再将内层的两个基和按上面的符号进行运算。
从双重运算可得两个有用的公式，(2.25)(2.26) 此外，尚有关系式(2.27)(2.28)利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理定理2.1 对称证明从(2.25)立即得到所需的结论。
定理2.2证明首先，如果，那么，从(2.26)得到。
其次，如果，(2.26)给出(2.29)对(2.29)取迹，得(2.30)将(2.30)代回(2.29)，即得。
证毕。
§3 向量分析3.1 Hamilton 算子记(3.1)由于(3.2)可知算子服从向量的定义。
设为三维区域中的标量场，关于的左右梯度为，其中，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，。
从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。
设为三维区域中的向量场，关于的左右散度为，从上面两式可以看出向量的左右散度相等。
关于向量场的左右旋度为，对于的左右旋度，有关系式。
标量场的Laplace算子为，向量场的Gauss公式为(3.3)其中为区域的边界曲面，，为上的单位外法向量。
向量场的Stokes公式为(3.4)这里为任意曲面，为的边界曲线，在边界上积分的环向与的外法向依右手定向规则：指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。
3.2无旋场与标量势对任意标量场有下述关系(3.5)上式用到了关系，因为本书总假定所出现的函数具有所需的各阶连续导数。
(3.5)说明有势场是无旋场，其逆命题一般也成立，即有，定理3.1 设为单连通区域上的任意向量场，则存在，使得 (3.6) 证明充分性由(3.5)即得。
现证必要性，若，令(3.7)这里为中的某个定点。
不难验证，即合所求。
首先，(3.7)中的线积分由于无旋假定而与路径无关，即仅为位置的函数。
其次，从(3.7)可算出。
证毕。
如果区域是多连通的尚需加上单值性条件。
3.3无源场与向量势对任意的向量场有如下公式，(3.8)上式说明，具向量势的向量场其散度为零，即为无源场。
此命题的逆命题也成立。
定理3.2 对区域上的任意向量场 ,有存在，使得 (3.9) 证明充分性由(3.8)即得。
关于必要性，下述的即合所求，(3.10)其中，为中的定点。
证毕。
附注：定理3.2的证明中引用了定积分，因此区域必须具备凸性才可使定积分得以进行。
关于一般区域中的证明参见Stevenson(1954)的论文，此文还指出定理3.2一般只对具有单边界的区域成立，对于有多边界的区域还需补充一些条件。
3.4 Helmholtz分解对任意的向量场，它的二重旋度有如下表示(3.11)利用(3.11)可得下面的重要定理定理3.3 (向量的Helmholtz分解) 对区域上的任意向量场，总存在标量势和向量势，使得，且 (3.12)证明令(3.13)其中，从(3.13),按Newton位势，有(3.14)将(3.11)代入(3.14),得(3.15)设，从(3.15)即得欲证之(3.12)式。
证毕。
§4 张量分析4.1向量的梯度向量的左右梯度均为张量(4.1)相应于向量左右梯度的矩阵为(4.2)从（4.1）,或(4.2),可得(4.3)(4.4)4.2张量的散度和旋度张量的左右梯度均为向量(4.5)从(4.5)看出，(4.6)对于特殊的张量，其左右梯度为(4.7)张量的左右旋度仍为张量(4.8)(4.9) 与张量的旋度所相应的矩阵为(4.10)也可列出所相应的矩阵。