方程和不等式总结与经典例题

方程和不等式

一、重点、难点提示：

1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac≥0)。（注意符号问题）

2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。

3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1= ,x2= ；

当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=- ；当Δ<0时，方程没有实数根。

4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=- , x1x2= 。（注意两根的和是的相反数）。以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。

5. 不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：

不等式组 (a

x≥b 大大取大

x≤a 小小取小

a≤x≤b 大小、小大中间找

空集小小、大大找不到

二、例题分析：

例1.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。

说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。注意除以负数时，改变不等号的方向。

解：解不等式3(x-2)+8>2x，得x>-2

解不等式≥x- ,

得 x≤-1。

所以不等式组的解集是 -2

它在数轴上表示如右图所示。

例2.解不等式组，并写出不等式组的整数解。

说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。

解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。

解不等式≥，得x≥-2。

所以不等式组的解集是：-2≤x<1。

所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。

例3.已知方程(m-2) +(m+2)x+4=0是关于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的两根。

分析：根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0，所以m2-2=2，且m-2≠0。于是可求m的值,进而求得方程的解。

解：（1）依题意，得m2-2=2,且m-2≠0。

∴ m=±2, 且m≠2。∴m=-2。

（2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1

∴ x-5=±1, ∴x1=4, x2=6。

例4.已知x是实数，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（）

A、1

B、-3或1

C、3

D、-1或3

误解：设x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0。

∴y1=-3, y2=1。

∴ x2+3x=-3或1。故选B。

剖析：因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。

当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x不是实数，与题设不符，应舍去；当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。

正确答案：选A。

说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。

例5.解下列方程：

（1）=1，（2）x2+x- +1=0。

分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y- +1=0，先求出y，再求出x。

解（1）原方程即为+ - =1

去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。

整理，得x2-3x+2=0。

∴ x1=1, x2=2。

经检验x=1是原方程的根，x=2是增根，

∴原方程的根是x=1。

（2）设x2+x=y,则原方程可变为y- +1=0。

∴ y2+y-6=0, ∴y1=-3, y2=2

当y=-3时，x2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程无实数根，

当y=2时，x2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2, x2=1。

经检验,x1=-2, x2=1都是原方程的根。

∴原方程的根是x1=-2, x2=1。

例6.若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）。

A、4

B、10

C、11

D、12

分析：先解方程组

再将求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。

解：解方程组，得

把代入ax+(a-1)y=3,

得a·+(a-1)·=3，解之，得a=11。故选C。

例7.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k≤3。 (1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？

分析：本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。

(1)证明①当k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根；

②当k≠2时，方程为一元二次方程，且Δ=[-2(k-1)]2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),

∵k≤3, ∴3-k≥0。即Δ≥0，此时一元二次方程有实数根。

综合①、②知，原方程总有实数根。

(2)设方程的两实根为x1,x2，则x1+x2= ，x1x2= 。

由题设，x12+x22=4, 即(x1+x2)2-2x1x2=4。

∴ [ ]2-2·=4。

整理，得k2-5k+4=0, ∴ k1=1, k2=4。

∵ k≤3, ∴ k=1。

例8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电费却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？

说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。

本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。得到不等关系。

解:设商场将A型冰箱打x折出售，则消费者购买A型冰箱需耗资

2190×+365×10×1×0.4(元)，

购买B型冰箱需耗资

2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4(元)。

依题意，得2190×+365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4。

解不等式，得x≤8。

因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。

例9.某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C、三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次3元。

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。

（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。

析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。

（1）因为80<120, 所以不可能选A类年票。

若选B类年票，则=10(次)；

若选C类年票，则=13 (次)，取整数为13次

若不购买年票：则=8(次)。

所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13次。

（2）设至少超过x次时，购买A类年票比较合算，则有不等式组

解得

其公共解集为x>30。

所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。

例10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

分析：本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率×工作时间

=1；（2）工作效率= ；（3）工作时间= 。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。

解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则

解之，得

（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元，

则有解方程组，得

∵ 10a=8000(元),15b=9750(元)

∴由甲队单独完成此工程花钱最少。

答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成；（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。

测试

选择题

1．若一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）。

A、4

B、5

C、8

D、6

2．不解方程，判断方程2x2+3x-4=0的根的情况是（）。

A、有两个相等的实数根

B、有两个不相等的实数根

C、只有一个实数根

D、没有实数根

3．下列方程中有两个不相等的实数根的是（）。

A、2x2+4x+35=0

B、x2+1=2x

C、(x-1)2=-1

D、5x2+4x=1

4．一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根的条件是（）。

A、m<1

B、m≥1

C、m>1

D、m≤1

5．若关于x的方程2x(mx-4)=x2-6没有实数根，则m所取的最小整数是（）。

A、2

B、1

C、-1

D、不存在

6．已知方程x2+3x+m=0的两个根的差的平方是25，则m的值（）。

A、4

B、-4

C、13

D、8

7．以5和-3为根的一元二次方程是（）。

A、x2-2x-15=0

B、x2+2x-15=0

C、x2+2x+15=0

D、x2-2x+15=0

8．以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（）。

A、y2+5y-6=0

B、y2+5y+6=0

C、y2-5y+6=0

D、y2-5y-6=0

参考答案

答案：1、A 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B 7、A 8、B

解析：

1.分析：已知方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式可得：Δ=42-4×1×k=0，∴k=4。

2.分析：对于方程2x2+3x-4=0来说，Δ=32-4×2×(-4)=9+32>0。

3.分析：题目要求有两个不相等的实数根，∴Δ>0。 A. 2x2+4x+35=0，Δ=42-4×2×

35<0。 B. x2+1=2x，注意：利用根的判别式判断方程根的情况，应先将方程化为一元二次方程的一般形式，再用判别式判断。原方程可变形为：x2-2x+1=0，Δ=(-2)2-4×1×1=0。C. (x-

1)2=-1，完全平方式等于负数方程无解，也可以将方程化成一般形式再用判别式判断。

D.5x2+4x=1，原方程可变形为：5x2+4x-1=0，Δ=42-4×5×(-1)>0。

4.分析：根据题意，得Δ=(-2)2-4×1×m≥0，∴m≤1。

5.分析：原方程可变形为：(2m-1)x2-8x+6=0根据题意，得Δ=(-8)2-4(2m-1)×6<0，∴m>

，∴ m的最小整数为2。

6.分析：本题的解题关键是利用根与系数关系建立关于m的方程，设方程的两根分别为

x1， x2，

根据题意，得x1+x2=-3， x1·x2=m，

∴ (x1-x2)2

=x12+x22-2x1x2

=x12+x22+2x1x2-2x1x2-2x1x2

=(x1+x2)2-4x1x2

=(-3)2-4m=25，

∴ m=-4。

7.分析：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0本题先计算两数之和、两数之积再代入上式写出方程x1+x2=5-3=2x1·x2=5×(-3)=-15，∴以5，-3为根的一元二次方程为x2-2x-15=0。

8.分析：本题在解答时，应先根据根与系数关系计算出原方程的两根之和、两根之积，从而写出方程。根据题意两根之和为-2，两根之积为-3，所以，以-2和-3为根的方程为：

y2+5y+6=0。