华东师大版八年级上册数学课件华东师大版八年级数学上册课件14.1勾股定理课件
国载家于之我一。国早古在三代千著多名年前的，数学著作
国《家周多髀年 算经》中。
灿若寒星
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人 就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载，商 高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高 答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子 （公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾， 日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即
图2
9
16 25
图3
9
4 13
P、Q、
R面积 关系
SP+SQ=SR
直角三
角形三 BC2+AC2=AB2
边关系
灿若寒星
R Q
P
图1-3
R Q
P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
灿若寒星
R Q
P
R
图3
Q
P
图4
S正方形R
72 4 1 34 2
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
AC2+BC2=AB2
灿若寒星
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两 直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢?
灿若寒星
A
R Q
C
P
图2
B A
Q
C
R
B
P
图3
(每一小方格表示1平方厘米)
P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
邪至日2=勾2+股2
陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最 先发明的.
勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940年 卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达·芬奇和美国总统詹 姆士·阿·加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
我国国是家最之一早。了早解在三勾千股多年定前理，的国家
国之家一之。一。早早在在三三千千多多年前年，前，周朝数
国学家家之商一。高早就在三提千出多，年前将，一根直尺折
国成家一之个一。直早角在三，千如多果年前勾，等于三，股
国等家于之四一。，早那在三么千弦多就年前等，于五，即
国“家勾之三一。、早股在三四千、多弦年前五，”，它被记
若a:c=5:13,b=24,求a,c的长
灿若寒星
(3)如果一个直角三角形的两条边长分别 是5厘米和12厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
可要当心噢！
在直角△ABC中，a=3，b=4，则 求c的值？
灿若寒星
已知∠ACB=90°,
A
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
பைடு நூலகம்
D
求CD的长.
3
C
B
4
灿若寒星
c a2 b2
a c2 b2
c
b
b2=c2－a2
b c2 a2
a
灿若寒星
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x
12 5
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+X2=172
52+122=X2
即：X=√172-82
即：X=√52+122
灿若寒星
活动一
观察左图：
AR P CQB
（1）正方形P的面积是平方1厘米。 （2）正方形Q的面积是平方厘1 米。 （3）正方形R的面积是平方厘2 米。
（图上中面每三一格个代正表方一平形方的厘米） 面积之间有什么关 系？
SP+SQ=SR
Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗？
灿若寒星
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了 解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的 云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米, 请问消防队员能否进入三楼灭火?
灿若寒星
课堂小结
• 1.说一说本节课我有哪些收获? • 2.本节课我还有哪些疑惑?
灿若寒星
灿若寒星
勾股定理的证明(一)
“弦图”
a
最早是由1700
多年前三国时
期的数学家赵
b
c 爽为《周髀算
b
经》作注时给
b a
出的，他用面 积法证明了勾
股定理
c
你能用面积法
证明勾股定理
灿若寒星
吗？
勾股定理的证明(二)
b
a
a
c
b
c
bc
c
a
a
b
灿若寒星
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2+b2 a2=c2－b2
例题2:如图，将长为5.41米的梯子
AC斜靠在墙上，BC长为2.16米， 求梯子上端A到墙的底端B的距离 AB.（精确到0.01米）
解 在Rt△ABC中∠ABC=90゜,
BC=2.16, CA=5.41, 根据勾股定理得
AB AC 2 BC 2 5.412 2.162
≈4.96（米）
=15
=13
灿若寒星
课堂练习
求出下列直角三角形中未知边的长度。
X 6
8
24 x
25
灿若寒星
例题1:
在直角△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为 ∠A,∠B,∠C的对边.
(1)若a=3,b=4,求c的长(2)若a=5,c=12,求b的长
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习(1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？ (2)在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3，b=4，则求c的值？ ②c=24，b=25，则求a的值？ (3)在直角△ABC中，∠c=90°，
灿若寒星
做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一 个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证 上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
13 5
C
12
B
灿若寒星
概括
揭示了直角三角形三条边的 关系
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
教学目标：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决 相关问题；感受数学文化的价值和我国传统数学的成就。
备课人灿若：寒姚星 凤丽
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了 解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的 云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米, 请问消防队员能否进入三楼灭火?
B
几何语言： a c ∵在Rt△ABC中∠C=90°（已知）
∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟
Cb A
灿若寒星
勾股世界
两千两多千年多前年前，，古古希希腊腊有有个哥个拉毕达哥拉斯学派， 他斯学们派首，他先们发首现先发了现勾了勾股股定定理理，，因因此 此在国外人 在们国通外常人们称通勾常股称勾定股理定理为为毕毕达达哥哥拉拉斯 斯定理。为 定了理纪。念为了毕纪达念哥毕达拉哥斯拉斯学学派派，，11995555年希腊曾 年经希发腊行曾经了发一行枚了一纪枚念纪念邮票票。。
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八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
所以不能直接利用勾股定理，但AE＝CE，BF＝CF， 故可考虑利用相等线段进行转化．
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
华东师大版八年级上册14.反证法课件(共23张)
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
初中数学华东师大八年级上册勾股定理最短距离PPT
M
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴，
N C
C'
点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
轴对称将折线画直即最短
方法总结： 1、两定一动在异侧， 连接即最短 2、两定一动在同侧，
作对称，再连接即最短
二、变式训练 1、D、E是△ABC边AB、AC上的定点， 在BC上求一点M，使△DEM的周长最短.
A D
E
B
MC
D’
7
2、E为边长是2的正方形ABCD的边BC的中点， 在对角线AC上有一点M，BM+EM的最小值是
问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’ （2）连结B’A，交MN于点 C；
所以 点C就是所求的点．
A
B
M
N
C
B’
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2证明：在MN 上任取另一点C’，
A
B
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
(一)两点在一条直线两侧 例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
最短路线： A ---P--- B.
根据：
1勾股定理的应用PPT课件(华师大版)
分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否
通过，只要比较距厂门中线0.8米处的
高度与车高即可.如图所示，点D在离厂
门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相
交于点H.
讲授新课
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD OC 2 OD2 12 0.82 0.6，
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解： 设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
可见高度上有0.4米的余量，因此卡
车能通过厂门.
讲授新课
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的
顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到
地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，
∠ABC =90°，BC=8米，AB＋
AC=16米．若设AB=x米，则
AC=(16-x)米，然后根据勾股定理
90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB·BC＋
AC·AD＝ ×4×3＋ ×5×12＝36.
∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
讲授新课
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示
2022秋八年级数学上册 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 3直角三角形的判定授课课件华东师大版
知1－讲
例5 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边
上的点，且AB＝4，CE＝
1 4
BC，F为CD的中
点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三
角形？请说明理由．
知1－讲
导引：直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易， 1
但由于“AB＝4，CE＝ 4 BC，F为CD的中 点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的 长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而 得到三角形的形状．
知1－讲
解： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202 ＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2， 即b2＝a2＋c2， ∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．
知2－讲
解： ∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2 =n4 － 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2
想一想，为什么 选择AB2 + BC2 ？ AB、BC、CA的 大小关系是怎样 的？
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
导引：先将等式两边同时分解因式，然后通过对分 解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．
解：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
知1－讲
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.
第14章 勾股定理复习 华东师大版数学八年级上册课件1
谢谢
一、知识要点
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形。
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
结论变形
c2=a2 + b2
cb
由上可知：已知直角三角形
a
的任意两边可求第三边 。
填空题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=____1_3______； ②若a=15，c=25，则b=___2_0_______； ③若c=61，b=60，则a=__1_1_______； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=___2_4____。
2.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
3 .如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、 B、 C、 D的面积和是______。
49cm2
4.已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为 △ABC的三条角平分线的交点，OF⊥BC，OE ⊥AC，OD⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三
角形的面积为（ B ）
A、56 B、48 C、40 D、32
解答题
1.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
第1课时 探究直角三角形三边的关系.课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册
.
(3)由此,我们猜想Rt△ABC的三边长度
之间存在的关系是
AC2+BC2=AB2
.
图14-1-2
探
究
与
应
用
归 模型
如图14-1-3所示,S1,S2,S3具有相同的关系:S1=S2+S3.
图14-1-3
探
究
与
应
用
[概括新知]
勾股定理:(1)文字语言:直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方 .
(2)符号语言:对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边
由勾股定理,知AB2=AC2-BC2=252-202=225,
所以AB=15.
图14-1-6
探
究
与
应
用
防 易错
已知直角三角形的两边求第三边或第三条边的平方时,如果
题目中没有明确指明斜边和直角边,应分两种情况讨论,不
要误认为∠C所对的边一定是斜边.
探
究
与
应
用
例2 在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,求AB2的值.
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则
(1)c= 2 + 2 ;(已知a,b,求c)
(2)b= 2 − 2 ;(已知a,c,求b)
(3)a= 2 − 2 .(已知b,c,求a)
探
究
与
应
用
[归纳猜想]
在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的
解:在Rt△ABC中,因为∠C=90°,a=9,b=12,
由勾股定理,知a2+b2=c2,
所以c= 2 + 2 = 92 + 122 = 225=15.
14.1 勾股定理 华东师大版数学八年级上册课件
想一想
这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和 等于斜边的平方. 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是 否等于斜边的平方呢？
试一试
A
R Q
C
图2
B
P
A
Q
C
图3
R
B
P
(每一小方格表示 1 平方厘米)
P 的面 Q 的面 R 的面 积(单 积(单 积(单 位长度) 位长度) 位长度)
图2 9
16
25
图3 9
4 13
P、Q、
R 面积 关系
SP + SQ = SR
直角三 BC2 + பைடு நூலகம்C2 = AB2
角形三 边关系
BC2 + AC2 = AB2
把 R 看作是四个直 角三角形的面积 + 小正方形面积.
R Q
P
R
Q
P
R Q
P
R
Q
P
S正方形R
72 4 1 34 2
25
把 R 看作是大正方形面 积减去四个直角三角形
这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？ 在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该 三角形是直角三角形吗？
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2= c2， 那 么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口
答）：
100
x
17
225
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2