人教版九年级数学上册二次函数专题集
初中数学试卷金戈铁骑整理制作二次函数专题集1．图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2．如图，抛物线y=错误!未找到引用源。
x2+bx+c经过A(－错误!未找到引用源。
，0)，B （0，－3）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）连接BC，求证：BC=CD．2．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．4．如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A 点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是________秒；（3）求y与x之间的函数关系式．5．正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx－4过A、D、F三点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=错误!未找到引用源。
S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=错误!未找到引用源。
x2－错误!未找到引用源。
x－10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t＜错误!未找到引用源。
时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．7．如图，已知二次函数y=（x+m）2+k－m2的图象与x轴相交于两个不同的点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于错误!未找到引用源。
，求m和k的值．8．已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=错误!未找到引用源。
x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．9．如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B 两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．10．如图，抛物线y=－错误!未找到引用源。
x2-x+2的顶点为A，与y轴交于点B．（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；（3）当PA-PB最大时，求点P的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax2+bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．12．如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x 轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P 也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=______，点Q到AC的距离是________；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．14．已知平行于x轴的直线y=a（a≠0）与函数y=x和函数y=错误!未找到引用源。
的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）．（1）若a＞0，且tan∠POB=错误!未找到引用源。
，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段AB=错误!未找到引用源。
，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y=错误!未找到引用源。
x2的图象，求点P到直线AB的距离．15．如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=错误!未找到引用源。
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B（-2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点（0，-5）且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；（3）当0＜x≤错误!未找到引用源。
时，（2）中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．17．如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为错误!未找到引用源。
.（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．19．已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B （6，0），与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，等边△ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE=EB．设EC=x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．21．已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的双曲线为C1，过点M且以B为顶点的抛物线为C2，过点P以M为顶点的抛物线为C3．（1）如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C1、C2的函数解析式；（2）当m发生变化时，①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化请说明理由．②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围．22．如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？23．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2）令m= 错误!未找到引用源。
人教版九年级上册数学 第二十二章 二次函数 最值问题专题训练
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数最值问题专题训练一．选择题1．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b有最小值﹣1，则a，b的大小关系为（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．大小不能确定2．设函数y＝﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．下列关于函数y＝x2+2x﹣1的表述中正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最小值﹣1 C．有最大值﹣2 D．有最大值﹣14．当﹣≤x≤时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．5．若一次函数y＝（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y＝mx2﹣mx（）A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣6．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，有最大值07．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．08．如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点 B．AE：ED＝（﹣1）：2 C．AE：ED＝：1 D．AE：ED＝（﹣1）：29．设ab≠0，且函数f1（x）＝x2+2ax+4b与f2（x）＝x2+4ax+2b有相同的最小值u；函数f3（x）＝﹣x2+2bx+4a 与f4（x）＝﹣x2+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（）A．必为正数 B．必为0 C．必为负数 D．符号不能确定10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题11．用总长为40m的篱笆围成一个矩形花圃，花圃的最大面积是．12．二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的最小值是．13．已知二次函数y＝ax2+4ax+a2﹣1，当﹣4≤x≤1时，y的最大值为5，则实数a的值为．14．如图．用长为18cm的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃，设矩形的一边长为x（m），面y（m2），当x＝时，所围苗圃面积最大．15．某商场销售一批衬衣，每天可售出20件，每件盈利50元，据市场分析，如果一件衬衣每降价1元，每天可多售出2件，针对这种销售情况，每件衬衣降价元时，商场一天销售这种衬衣的盈利达到最大．三．解答题16．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2①求k的值；②当k≤x≤k+2时，试求函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的最大值与最小值．17．在直角坐标系中，点A（0，2），B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0）．抛物线上有点M（x1，y1），N（x2，y2）（请画示意图解答）（1）当y0取得最小值时，且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（2）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的范围．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝40mm，BC＝24mm，动点P从点A开始，沿边AB向点B以2mm/s 的速度移动，动点Q从点B开始，沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q都从A，B点同时出发，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动．那么△PBQ的面积S随出发时间t变化而变化；（1）写出S关于t的函数解析式；（2）求t取何值时，S的最大？且S最大是多少？19．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤为一边，用总长为a米（a为大于21的常数）的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域．已知岸堤的可用长度不超过21米．设AB的长为x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米（1）求y与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围（用含a的式子表示）．（2）若a＝30，求y的最大值，并求出此时x的值．（3）若a＝48，请求出y的最大值．。
人教版九年级上册数学 二次函数 专题训练
人教版九年级上册数学二次函数 专题训练1. 如图，抛物线C 1：y ＝x 2－bx ＋4与x 轴交于点C （1，0），B ，与y 轴交于点A ，将抛物线C 1沿x 轴翻折，然后向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到抛物线C 2．（1）直接写出b 的值及C 2的解析式；（2）在抛物线C 2的第一象限内的图像上有一点P ，求△PAB 的面积的最大值．2. 如图，抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴正半轴交于A ，点P 是y 轴上一动点，过点P 且平行于x 轴的直线与抛物线相交于B ，C ，两点（B 在C 的左侧），过点C 作CD⊥x 轴于点D ，连接AB ，DP ，OC 交PD 于点M ，交AB于E ，S 四边形ADME S 四边形BEMP ＝12，求点P 的坐标．3. 已知抛物线y ＝12x 2＋mx －2m －2与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），于y 轴交于点C ，点D （－1，n ）是抛物线上一点，连接AC ，AD ，CD ，若△ACD 的面积为5，求m 的值．4.抛物线y ＝ax 2与直线l ：y ＝2x －3有唯一公共点A ．（1）此抛物线的解析式为，对称轴为，顶点坐标为；（2）求A点的坐标；（3）将直线l向上平移交抛物线与B，C两点，若S△ABC＝83，求平移后的直线BC的解析式．5．如图，抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A，B两点，点P为抛物线上一点，且位于x轴的下方，P（1，－3），B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线上一点，且∠DPO＝∠POB，求点D的坐标．6. 如图，已知抛物线y＝－12x2＋32x＋2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点P是第一象限内的抛物线上一动点，连接PA交BC于点E，交y轴于点F．（1）连接AC，PB，若S△ACE＝S△PBE，求点P的坐标；（2）设△PBE，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值．7.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点P顺时针旋转90°得到线段CD（点C与点A对应），若点C，D都在抛物线上，求点P的坐标．8. 如图，抛物线y＝x2＋4x－3交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P为第四象限抛物线上一点，且∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标．9．已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AC向右平移交抛物线与点P，交x轴于点Q，且∠PCA＝45°，求直线PQ的解析式．10. 如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点B，点A（1，0），点P是第一象限内的抛物线上的一点，使得线段OP与直线AB的夹角为45°，求点P的坐标．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴相交于点A（－1，0），B（3，0），C（0，3），点D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的一点，且∠AEF＝∠DBE，求点F的坐标．12. 二次函数y＝ax2－3x＋2a的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若AB＝1．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为抛物线位于x轴下方的一个动点，连接BP，在x轴上方的抛物线上取一点Q，使∠CBQ＝∠CBP，点P在运动过程中，是否存在这样的平行于y轴的直线，使得点P，Q到该直线的距离之积为定值？若存在，求出定值．若不存在，说明理由．13．如图，抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点A（－1，0），且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线BC沿x轴翻折交y轴于点N，过点B的直线l交y轴、抛物线分别于D，E两点，且点D在点N的上方，若∠NBD＝∠DCA，求点E的坐标．。
人教版九年级数学二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 . 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 . 14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4） 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数2ax y =与xay =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a >0，Δ>0 B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y（2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m .∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222 +=++=m m m图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a 解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有 6,3,2,====OD OC OB ODOP OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 3,6,2,====OC OD OB OCOP OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y . 当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC.又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 ac x x =⋅21，∴a c c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ aa ac x x AB 54912=-=-=. a AE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m >-2，∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0，解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0，∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p 解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴ 1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FH ED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH. ∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得 12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ）故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD.∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ，∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE . E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
部编数学九年级上册22.2二次函数(基础篇)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题22.2 二次函数（基础篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y =2．线段5AB =．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB 运动至点B ，以线段AP 为边作正方形APCD ，线段PB 长为半径作圆．设点的运动时间为t ，正方形APCD 周长为y ，B e 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．正比例函数关系，二次函数关系D ．反比例函数关系，二次函数关系3．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm ，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系4．下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ）A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m知识点二、二次函数的参数5．若抛物线258(3)23mm y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或36．已知|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．07．设A(−2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y=−x 2-2x+2上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．1y >2y >3yB ． 1y >3y >2yC ． 3y >2y >1yD ． 3y >1y >2y 8．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8知识点三、二次函数的解析式9．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y 元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是（ ）A ．y ＝30000（1+2x ）B ．y ＝30000+2xC ．y ＝30000（1+x 2）D ．y ＝30000（1+x ）210．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．22y x x=+B ．24y x =-C ．24y x =-D ．42y x=-11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．216y x p p=-+B ．24y x p =-C ．2(2)y x p =-D ．2(4)y x =-+12．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，5AC =，10BC =．动点M ，N 分别从A ，C 两点同时出发，点M 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点N 从点C 开始沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t ，点M ，C 之间的距离为y ，MCN △的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．正比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，正比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系二、填空题知识点一、二次函数的判断13．给出下列函数：①y =②()21y x x x =-+；③21y x x=+；④()1y x x =-.其中是二次函数的有______，若把它写成2y ax bx c =++的形式，则=a ______，b =______，c =______.14．某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式_____________，它______(填“是”或“不是”)二次函数．15．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．16．把函数()()236y x x =--化成2y ax bx c =++的形式为________．知识点二、二次函数的参数17．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．18．已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．19．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数．20．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．知识点三、二次函数的解析式21．如图，在长方形ABCD 中，8cm AB =，6cm AD =，点M ，N 从A 点出发，点M沿线段AB 运动，点N 沿线段AD 运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设cm AM AN x ==，阴影部分的面积为2cm y ，则y 与x 之间的关系式为______．22．若正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 的关系式为________．23．某种正方形合金板材的成本y （元）与它的面积成正比，设边长为x 厘米．当x =3时，y =18，那么当成本为72元时，边长为_______厘米．24．在一幅长60cm,宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm 2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y 关于x 的函数是 ___________．三、解答题25．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．26．一个二次函数234(1)21k k y k x x -+=-+-．（1）求k 的值．（2）求当x =3时，y 的值？27．已知函数2(||1)(1)3y m x m x =-+++．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．28．已知，如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝12cm ，点P 从点A 沿AB 以每秒2cm 的速度向点B 运动，点Q 从点C 以每秒1cm 的速度向点A 运动，设点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，运动时间为t （秒）（0＜t ＜6），回答下列问题：（1）直接写出线段AP 、AQ 的长（含t 的代数式表示）：AP ＝______，AQ ＝______；（2）设△APQ 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式；（3）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP C ¢，那么是否存在某一时间t ，使四边形PQP C ¢为菱形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．C【分析】根据二次函数的定义依次判断．解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意；B 、211y x x=++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点拨】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++¹的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．2．C【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．解：依题意：AP=t ，BP =5-t ,故y =4t ，S =（5-t ）2故选择：C【点拨】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．3．D【分析】设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元，则可表示出y 与x 的函数关系，根据关系式即可作出选择．解：设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元，由题意得：2216[24(50)]963200y x x x x x =++=+，这是关于一个二次函数．故选：D ．【点拨】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．4．D【分析】根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．解：A.由题得：3y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；B.由题得：108y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；C.由题得：86y x=，不是二次函数，故此选项不符合题意；D.由题得：214y x p =，是二次函数，故此选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查二次函数的定义，形如2(0)y ax bx c a =++¹的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．5．C【分析】根据二次函数的定义列方程计算即可；解：∵258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，∴2582m m -+=且30m -¹，∴12m =，23m =且3m ¹，∴2m =；故选C ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．6．B【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；解：∵|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，∴1210m m ì-=í+¹î，解得：3m =；故选B ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．7．A【分析】把点的坐标分别代入可求得123y y y ，，的值，之后比较大小便可解：因为()12,A y -，()()2312,B y C y ，，是抛物线222y x x =--+上的三点；所以：()()212222y =---×-+=2；2212121y =--×+=-；2322226y =--×+=-所以123y y y >>故答案为A 选项【点拨】本题主要考查抛物线上点坐标之间的x 或y 对应的值的大小比较，把具体的x 或y 代入求值比大小即可8．B【分析】将A 点坐标代入抛物线解析式y =x 2-x -2即可求得a 的值解：将A 点坐标x =3代入抛物线解析式y =x 2-x -2，得：a =32-3-2=4．故选B ．【点拨】本题考查了给出函数解析式求点的坐标的方法，代入已知量即可求得未知量，理解二次函数的定义是解题关键．9．D【分析】2020年人均收入y = 2018年人均收入×(1+年人均收入平均增长率为x ) 2，把相关数值代入即可．解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x ，可列方程为:y ＝30000（1+x ）2故选： D ．【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出二次函数的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)2 =增长后的量．10．C【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y 与x 的函数关系式即可．解：设剩下部分的面积为y ，则：y =-x 2+4（0＜x ＜2），故选：C ．【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．11．A【分析】先求出原来的圆的面积，再用x 表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．解：圆的面积公式是2S r p =，原来的圆的面积=2416p p ×=，挖去的圆的面积=2x p ，∴圆环面积216y x p p =-．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x 表示各个量，然后列出函数关系式．12．D【分析】先根据题意求出AM t =，2CN t =，则5CM AC AM t =-=-，即5y t =-，再由直角三角形的面积公式即可得到25S t t =-+，再根据一次函数与二次函数的定义即可判断．解：由题意得：AM t =，2CN t =，∴5CM AC AM t =-=-，即5y t=-∵∠C =90°，∴()211=25522MCN S CM CN t t t t ×=×-=-+△，即25S t t =-+，∴y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是一次函数和二次函数关系，故选D ．【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键在于能够准确根据题意求出y 与t ，S 与t 满足的函数关系式．13． ④ 1- 1 0【分析】根据二次函数的概念：2(0)y ax bx c a =++¹逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数解：①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；②()21y x x x x =-+=-，是一次函数，也不满足要求；③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；④()21y x x x x =-=-+是二次函数所以二次函数只有④其中1,1,0a b c =-==故答案为 ④ 1- 1 0【点拨】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.14． y ＝12x 2－12 是解：设有x 人参加聚会，每个人需要和另外的（x －1）个人握手，所以共握手12x (x −1) 次，所以y ＝12x (x −1)＝12x 2－12，是二次函数．故答案为y ＝12x 2－12，是．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手一次．15．②④解：根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x 2-1为二次函数；③y=4x 3-3x 2自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x 2-2x+1为二次函数；⑤y=21x 函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．16．232012y x x =-+【分析】把函数()()236y x x =--右边相乘展开合并成2y ax bx c =++形式即可.解：()()22236=12218+332012y x x x x x x x =----=-+，则232012y x x =-+.【点拨】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的关键.17．2019【分析】先将点（m ，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．解：将（m ，0）代入函数解析式得，m 2-m -1=0，∴m 2-m =1，∴-3m 2+3m +2022=-3（m 2-m ）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m ，0）代入函数解析式得到有关m 的代数式的值．18．-1【分析】若y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；解：由题意得：21012m m -¹ìí+=î，解得：m =-1，故答案为：-1．【点拨】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．19． 4，-2 4【分析】根据二次函数的定义可得当2280m m --¹时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当2280m m --=且20m +¹时，这个函数是一次函数．解：由函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数，得m 2﹣2m ﹣8≠0．解得m ≠4，m ≠﹣2，由y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是一次函数，得228020m m m ì--=í+¹î，解得m =4，故答案为：4，﹣2；4．【点拨】本题考查了二次函数的定义求参数，熟知相关定义是解本题的关键．20．3【分析】根据二次函数图象过原点，把()0,0代入解析式，求出m 的值，还需要考虑二次项系数不能为零．解：根据二次函数图象过原点，把()0,0代入解析式，得209m =-，整理得29m =，解得3m =±，∵30m +¹，∴3m ¹-，∴3m =．故答案为：3．【点拨】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．21．y =-212x +48【分析】先求出212AMN S x =V ，进而即可得到答案．解：由题意得：21122AMN S AM AN x =×=V ，∴阴影部分的面积=6×8-212x ，即：y =-212x +48．故答案是：y =-212x +48．【点拨】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．22．26y x =【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x 的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x 的正方形，∴表面积26y x =．故答案为：26y x =．【点拨】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．23．6【分析】设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．解：设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由题意，得18=9k ，解得：k=2，∴y=2x 2，当y=72时，72=2x 2，∴x=6，故答案为：6．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．y =(60+2x )(40+2x )解：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x ，宽是：40＋2x ，由矩形的面积公式得y ＝(60＋2x )(40＋2x )．故答案为y ＝(60＋2x )(40＋2x )．【点拨】本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．25．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．解：2132y x =-+是y 关于x 的二次函数；231252y x x =-+不是二次函数；222y x =+是一次函数，不是二次函数；215s t t =++是s 关于t 的二次函数，故2132y x =-+和215s t t =++是二次函数．【点拨】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a ¹的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．2(y ax bx c a ==++、b 、c 是常数，0)a ¹也叫做二次函数的一般形式．26．（1）k =2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k 所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x =3求解即可．解：（1）依题意有234210k k k ì-+=í-¹î，解得：k =2，∴k 的值为2；（2）把k =2代入函数解析式中得：221y x x =+-，当x =3时，y =14，∴y 的值为14．【点拨】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．27．（1）1m =；（2）1m ¹±【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；解：（1）由题意得，1010m m ì-=í+¹î解得1m =；（2）由题意得，||10m -¹，解得1m ¹且1m ¹-．【点拨】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．28．（1）2t ，6t -；（2）2S =+；（3）存在，t ＝4时，四边形PQP C ¢是菱形．【分析】（1）根据∠A ＝60°，AB ＝12cm ，得出AC 的长，进而得出AP ＝2t ，6AQ t =-．（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．由AP ＝2t ，AH ＝t ，得出PH ，从而求得S 与t 的函数关系式；（3）过点P 作PM ⊥AC 于M ，根据菱形的性质得PQ ＝PC ，则可得出,CM MQ AQ ==求得t 即可．解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝12cm ，∴AC ＝6，∴由题意知：AP ＝2t ，6,AQ t =-故答案为：2,6.t t -（2）如图①过点P 作PH ⊥AC 于H ．∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝12cm ，∴∠B ＝30°，∴∠HPA ＝30°，∵AP ＝2t ，AH ＝t ，∴,PH ===∴()2116,22S AQ PH t ==-=+g g （3）当t ＝4时，四边形PQP′C 是菱形，理由如下：证明：如图②过点P 作PM ⊥AC 于M ，∵CQ ＝t ，由（2）可知，AM ＝12AP ＝t ，∴QC ＝AM ，,CM AQ \=Q 由对折可得：,,PC P C PQ P Q ¢¢==\ 当PC ＝PQ 时，四边形PQP C ¢是菱形，,CM MQ \=\ CM ＝MQ ＝AQ ＝13AC ＝2，4,CQ \=4.t \= 当t ＝4时，四边形PQP C ¢是菱形．【点拨】本题考查的是含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．。
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版初中数学九年级上册 第二十二章 二次函数
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质/
基础巩固题
1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( C )
素养目标
22.1 二次函数的图像和性质/
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
知识点 2 根据实际问题确定二次函数解析式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将 文字语言转化为符号语言； ②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次 函数关系式，并化成一般形式； ③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
素养考点2素养考点 建立二次函数的模型
例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜 园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x 之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m 时，计算菜园的面积.
解：由题意得： y=x(40-2x). 即 y=-2x2+40x. (0<x<20)
多边形的对角线总数
即d=
1 2
n2-
3 2
n②.
d=
1 2
n(n-3).
M
N
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 最值问题专题训练
人教版九年级上册数学第22章二次函数最值问题专题训练一．选择题（共10小题）1．关于二次函数y＝x2+4x﹣7的最大（小）值，叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝﹣1时，函数有最大值C．当x＝2时，函数有最小值D．当x＝﹣2时，函数有最小值2．已知二次函数y＝x2+4x+3，当t≤x≤t+1时函数的最小值为0，则t的值为（）A．﹣1、﹣4 B．﹣2、﹣3C．﹣1、﹣2、﹣3 D．﹣1、﹣2、﹣3、﹣43．当a，b为实数，二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1时有（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a≥b4．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（）A．3﹣或1+B．3﹣或3+C．3+或1﹣D．1﹣或1+5．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣6．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A．B．C．D．7．下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：①当x＝0时，y有最小值6；②若n为实数，且n＞1，则x ＝2+n时的函数值大于x＝n时的函数值；③若n＞2，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n ﹣2）个；④若函数图象过点（a，y0），（b，y0+1），则a＜b，其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．3或5 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．3或19．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值 2，无最小值 B．有最大值 2，有最小值 1.5C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，有最小值﹣2.510．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共5小题）11．二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是．12．若定义一种新运算：a⊗b＝，例如：4⊗1＝4×1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y ＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是．13．在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为（n﹣1，3n+2），点Q是抛物线y＝﹣x2+x+1上一点，则P，Q两点间距离的最小值为．14．已知：点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2+k（k≠0）的图象上，也在函数y＝（x+k）2﹣k的图象上，则m+n的最小整数值是．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为．三．解答题（共5小题）16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC 于点N，连接DM、ME、EN．（1）求证：四边形MFCN是矩形；（2）设运动时间为t（s），四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t 的值．17．我们知道，三条边都相等的三角形叫等边三角形．类似地，我们把弧长等于半径的扇形称为“等边扇形”．琪琪准备将一根长为120cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个“等边扇形”．（1）琪琪想使这两个“等边扇形”的面积之和等于625cm2，他该怎么剪？（2）这两个“等边扇形”的面积之和能否取得最小值？若能，请求出这个最小值；若不能，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上．（1）n＝（用含m的代数式表示）；（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；（3）①设m＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y＝x2+mx+n的最小值；②若﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m的值．19．如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；（2）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C 重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求∠CPQ的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；（4）①当x取何值时，重叠部分的面积最大，并求出这个最大值；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？。
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数解答题专题训练含答案
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数解答题专题训练1．如图，已知抛物线26y ax bx +＝＋经过A (-1,0)，B (3,0)两点，C 是抛物线与y 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P (m ，n )在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S 求S 关于m 的函数解析式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值．2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求此二次函数的解析式；(2)当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ x ∥轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．求m 的取值范围；3．次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点A （－1，0），B （4，0），两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．(1)求二次函数22y ax bx =++的表达式；(2)连接BD ，当32t =时，求⊥DNB 的面积；(3)在直线MN 上存在一点P ，当⊥PBC 是以⊥BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点P 的坐标．4．如图抛物线232y ax x c =++(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，若点A 坐标为(﹣2,0)，点C 坐标为(0,4)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，请用尺规在图1中作出这样的点P ，并直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．5．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是第三象限抛物线上一点，直线PE 与y 轴交于点D ，BCD △的面积为12，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，若点E 是线段BC 上点，连接OE ，将OEB 沿直线OE 翻折得到OEB '△，当直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45︒时，求点B '的坐标．6．如图，直线3y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，抛物线24y ax x c =++经过点A ，B ，顶点为点C ．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标．(2)将抛物线24y ax x c =++向下平移m 个单位长度，点C 的对应点为D ，连接AD ，BD ，若2ABD S =，求m 的值．7．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ，将ACD △沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．(1)求抛物线解析式；(2)连接BE ，求BCE 的面积；(3)拋物线上是否存在一点P ，使PEA BAE ∠=∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线2412y ax ax a =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 点B 点的左边），与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为(4,3)．(1)求抛物线的解析式与A 、B 两点坐标；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD △面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．9．如图，已知抛物线 24y x =- 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 位于点 B 的左侧），C 为顶点，直线 y x m =+ 经过点 A ，与 y 轴交于点 D ．(1)求线段 AD 的长；(2)沿直线 AD 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C，若点 C 在反比例函数 3y x =- 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．10．如图，抛物线的顶点为C (1，9)，与x 轴交于A ，B (4，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y 轴交点为D ，求BCD S △．11．如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A (2，0)，B (-6，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在坐标平面内是否存在一点P ，使得Q 、B 、A 、P 围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴相交于点A 和点()10B ,，与y 轴相交于点()0,3C ，抛物线的对称轴是直线1x =-．(1)求二次函数的表达式及A 点的坐标；(2)D 是抛物线的顶点，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线BE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由．13．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：(2)求CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？14．如图，抛物线()23202y ax x a =--≠的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点B 坐标为()4,0．(1)求该抛物线相应的函数表达式；(2)判断ABC的形状，并说明理由．15．如图，抛物线2=-++的图像过点A(3，0)，对称轴为直线1y x bx cx=，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B．若点P(0，m)，在y轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE．(1)求抛物线的解析式(2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积．(3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标，点Q坐标．16．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使⊥BDQ中BDQ的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线22y x x c =-+的顶点A 在直线l ：5y x =-上．(1)求抛物线的解析式及顶点A ；(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D （C 点在D 点的左侧），判断⊥ABD 的形状；(3)直线l 与x 轴交于点E ，点P 在射线AE 上运动，当PDE △与PAB △的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，过点()0,4A 、()5,9B 两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C 的坐标；(3)(),P x y 为线段AB 上一点，14x ≤≤，作PM y ∥轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．19．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣3与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)如图，直线BC 下方的抛物线上有一点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF 平行x 轴交直线BC 于点F ，求⊥DEF 周长的最大值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2212125555y x mx m m =-+-+-，点A ，B ，C 都在抛物线上，AB∥x 轴，∠ABC ＝135°，且AB ＝4．(1)抛物线的顶点坐标为 （用含m 的代数式表示）；(2)求⊥ABC 的面积；(3)已知M （0，－4）、N （4，－4），若抛物线2212125555y x mx m m =-+-+-与线段MN 恰有一个公共点，求m 的取值范围．答案1．(1)2246y x x =-++ (2)2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值，最大值为274 2．(1)274y x x =+- (2)最小值为-2，最大值为174(3)13m < 3．(1)213222y x x =-++ (2)2DNB S =△(3)P （1，－1）或（3，3）4．(1)213442y x x =-++ (2)(3,8)或(3,﹣5)或(3,5)(3)当t ＝4时，四边形CDBF 的最大面积为26，此时E (4,2)5．(1)213222y x x =-++； (2)P （−3，−7）；(3)B '的坐标为⎝⎭或⎛ ⎝⎭．6．(1)243y x x =-+-，(2,1)C (2)23或1037．(1)2y x 2x 3=-++(2)2(3)存在，()2,3或()4,5-8．(1)抛物线的解析式为：2134y x x =-++，A 点坐标为（-2,0），B 点坐标为（6,0）(2)PAD △的面积最大值为274，P 151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)Q 的坐标为（0，133）或（0，-9） 9．(1)AD =(2)新抛物线对应的函数表达式为：268y x x =-+或222y x x -=-． 10．(1)y =-x 2+2x +8；(2)S △BCD =6．11．(1)2412y x x =--+(2)存在，Q (-2，8)(3)存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)12．(1)223y x x =--+，()30A -,； (2)四边形CDEF 是菱形，理由见解析． 33．(1)y =-12x 2+3x +8(2)S =-12t 2+5t ，当t =5时，CED 的面积最大，最大面积是252 14．(1)213222y x x =--(2)直角三角形，理由见解析 15．(1)2y x 2x 3=-++(2)3或7532(3)(0，2)，2,2-) 16．(1)y ＝﹣x 2＋2x ＋3 (2)94(3)存在，(1，4)或(2，3)17．(1)223y x x =--，顶点A （1，－4），(2)⊥ABD 为直角三角形，理由见解析(3)（4，－1）或（2，－3）． 18．(1)()22y x =-(2)()2,0(3)最大值是254，最小值是419．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3，（1，﹣4）(2)944+20．(1)（m ，2m －5）(2)2 (3)12m =或559215m --559215m ++。
最新人教版九年级上册数学第22章二次函数专题1二次函数的定义、图象和性质
专题1 二次函数的定义、图象和性质
一、二次函数的定义
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( C )
A. y＝3x-1
B. y＝ax2+bx+c
C. s＝2t2-2t+1
D. y＝x2+1x
2. 二次函数y＝3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是
(B )
A. 1
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5. (2020菏泽)一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )
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三、二次函数的性质
6. (2020广东)把函数y＝(x-1)2+2的图象向右平移1个
单位长度，平移后图象的函数解析式为
A. y＝x2+2
B. y＝(x-1)2+1
B. -1
C. 7
D. -6
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二、二次函数的图象 3. (2020西宁)函数y＝ax2+1和y＝ax+a(a为常数，且 a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( D )
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4. (2020泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y＝ax+b的图象可能是( C )
D. y1＜y3＜y2
10. (2020哈尔滨)抛物线y＝3(x-1)2+8的顶点坐标为
____(_1_,_8_)__x≤3时，二次函数y＝x2-4x+5有
最大值m，则m＝___1_0____.
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谢谢
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( C)
C. y＝(x-2)2+2
九年级数学人教版(上册)小专题4 求二次函数的解析式
D(0，4)，求这个二次函数的解析式．
解：∵二次函数 y＝ax2－5ax＋c 的图象过点 D(0，4)，∴c＝4.
∵二次函数 y＝ax2－5ax＋c 的最小值为－94，
∴4a·4－（－5a）2＝－9且
4a
4
a＞0.
∴a＝1.
∴这个二次函数的解析式是 y＝x2－5x＋4.
类型 2 利用平移、对称求二次函数解析式 4．已知抛物线 y＝－x2＋2x＋1. (1)向右平移 3 个单位长度，向下平移 2 个单位长度得到的函数 解析式是 y＝－(x－4)2(或y＝－x2＋8x－16) ． (2)沿 x 轴翻折所得抛物线解析式为 y＝(x－1)2－2(或y＝x2－2x －1) ． (3)沿 y 轴翻折所得抛物线解析式为y＝－(x＋1)2＋2(或y＝－x2 －2x＋1) ．
(1)二次函数的平移变化 ①抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向左(右)平移 m(m＞0)个单位长度，得 到抛物线 y＝a(x±m)2＋b(x±m)＋c； ②抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向上(下)平移 n(n＞0)个单位长度，得 到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n.
(2)二次函数的对称变化 ①关于 x 轴对称
h)2＋k.
第二十二章 二次函数
小专题4 求二次函数的解析式
类型 1 利用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数的图象经过点 A(1，－2)和 B(0，－1)，且对称
轴为直线 x＝1，求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
a＋b＋c＝－2， a＝1，来自根据题意，得c＝－1，
设二次函数为 y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)，
∵二次函数图象经过 B(4，0)，A(－1，0)， ∴y＝a(x－4)(x＋1)， 把点 C(0，2)代入 y＝a(x－4)(x＋1)，得－4a＝2， 解得 a＝－12. ∴y＝－12(x－4)(x＋1)＝－12x2＋32x＋2.