《组合数学》测试题含答案之令狐文艳创作
测 试 题
令狐文艳
——组合数学
一、选择题
1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（）
A.有一名学生分得11本书
B.至少有一名学生分得11本书
C.至多有一名学生分得11本书
D.有一名学生分得至少11本书
2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（）
A.!63?
B.!64?
C. !66?
D. !68?
3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（）
A.()4,11!10P ?
B. ()4,9!10P ?
C. ()4,10!10P ?
D. !3!14-
4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（）
A.???? ??510
B.???? ?????? ??510510
C.???? ??49
D.
???? ??????? ??4949 5.
设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个 A.190 B.200 C.210 D.220 6.
仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（） A.128 B.252 C.343 D.192 7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）
A.576
B.504
C.720
D.336
8. 设n
为正整数，则∑=???? ??n k k n 02等于（） A.n 2 B. 12-n C. n n 2? D. 12-?n n
9. 设n 为正整数，则()k k n k k n 310???? ??-∑=的值是（）
A.n 2
B. n 2-
C. ()
n 2- D.0 10. 设n 为正整数，则当2≥n 时，
∑=???? ??-n k k k 22=() A.???? ??3n B. ???? ??+21n C. ???? ??+31n D. 22+???? ??n
11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）
A.1440
B.-1440
C.0
D.1
12. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（） A.2136- B. 2336- C. 21
37- D. 2337
- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个
A.100
B.120
C.140
D.160
14. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，则()=10f （）
A.89
B.110
C.144
D.288
15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是（）
A.0432=+-x x
B. 0432=-+x x
C. 04323=+-x x
D. 04323=-+x x
16. 已知()??=?+=,2,1,0232n a n n ，则当2≥n 时，=n a （）
A.2123--+n n a a
B. 2123---n n a a
C.2123--+-n n a a
D. 2123----n n a a
17. 递推关系()???=≥+=-312201a n a a n n n 的解为（）
A.32+?=n n n a
B.
()221+?+=n n n a C. ()1
22+?+=n n n a D. ()n
n n a 23?+= 18. 设()??=?=,2,1,025n a n n ，则数列{}0≥n n a 的常生成函数是（） A.x 215
- B. ()2215x -
C.()x 215-
D. ()2215x -
19.把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种
A.45
B.36
C.28
D.20
20. 多重集{}b a S ??=4,2的5-排列数为（）
A.5
B.10
C.15
D.20
21. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）
A.10
B.11
C.12
D.13
22. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
23. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有
???? ???+???? ???+???? ???=1233n C n B n A n ，则B 的值是（）
A.9
B.8
C.7
D.6
24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（）
A.26
B.28
C.30
D.32
25. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521?-=，则该数
列的通项公式是（）
A.n n n n a 567++=
B.
n n n n a 567+-= C. n n n n a 5627+?+= D. n
n n n a 5627+?-= 二、填空题
1.
在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个 2.
用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ?1棋盘，每个方格涂一种颜色，则使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种 3.
已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为___________ 4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________
5. 棋盘
??
???
??
的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。
7. ()???? ??-∑=k n k k n k 201=_____________________
8. 求由2个0，3个1和3个2作成的八位数的个数______________
9.含3个变元x, y, z的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x,2项包含xyz,1项是常数项，则包含xy的项数为____________
10．已知()n f是n的3次多项式且()1
3=
f,()19
n
f____________
f,则()=
f,()3
0=
f,()1
1=
2=
11. 已()k n g,表示把n元集划分成k个元素个数均不小于2的子集的不同方法数，则()2,n g=___________
12.部分数为3且没有等于k的部分的n-分拆数________________
13. 把24颗糖分成5堆，每堆至少有3颗糖，则有___________种分法
三、计算题
1．在1000至9999之间有多少个数字不同的奇数？
2、以3种不同的长度，8种不同的颜色和4种不同的直径生
产粉笔，试问总共有多少种不同种类的粉笔？
3、至多使用4位数字可以写成多少个2进制数！（2进制数只能用符号0或1）
4、由字母表L={a,b,c,d,e}中字母组成的不同字母且长度为4的字符串有多少个？如果允许字母重复出现，则由L中字母组成的长度为3的字符串有多少个？
5、从{1，2，3……9}中选取不同的数字且使5和6不相邻的7位数有多少？
6、已知平面上任3点不共线的25个点，它们能确定多少条直
线？能确定多少个三角形？
7、计算数字为1，2，3，4，5且满足以下两个性质的4位数
的个数： (a)数字全不相同； (b)数为偶数
8、正整数7715785有多少个不同的正因子（1除外）？
9、50！中有多少个0在结尾处？
10、比5400大并且只有下列性质的数有多少？ (a)数字全不
相同； (b)不出现数字2和7
11. 将m=3761写成阶乘和的形式。
12. 根据序数生成的排列(p)=(3214)，其序号是多少？
13. 如果用序数法对5个文字排列编号，则序号为117的排列
是多少？
14. 设中介数序列为（120），向它所对应的4个文字的全排列是什么？
15. 按字典序给出所有3个文字的全排列。
16. 按递归生成算法，依次写出所有的4个文字的全排列。
17. 根据邻位互换生成算法，4个文字的排列4231的下一个排列是什不同的方案?
18. 有5件不同的工作任务，由4个人去完成它们，每件工作
只能由一个人完成，问有多少种方式完成所有这5件工作？
19. 有纪念章4枚，纪念册6本，分送给十位同学，问有多少
种分法？如限制每人得一件物品，则又有多少种分法？
20．写出按次序产生的所有从1，2，3，4，5，6中任取2个的组合。
21．给定一个n 边形，能画出多少个三角形使得三角形的顶点
为n 边形的顶点，三角形的边为n 边形的对角线（不是边）？
22．试问（x+y+z ）的6次方中有多少不同的项？
23. 如果没有两个相邻的数在同一个集合里，由{1，2，…20}
中的数可形成3个数的集合有多少？
24. 试列出重集{2·a,1·b,3·c}的所有3组合和4组合。
25. 设{Fn}为fibonna 序列，求出使Fn = n 的所有的n 。
26. 试求从1到1000中,不能被4,5或6整除的个数?
27. 计算12+22+……+n2
28. 设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个方格叫它块，
某甲从家里出发上班，向东要走过7块，向北要走过5块，问某甲上班的路经有多少条？
29.设n=253273114,试求能除尽数n 的正整数的数目。
30.求（1+x 4+x 8）10 中x 20项的系数。
31.试给出3个文字的对称群S 3中的所有元素，并说出各个元素的格式。
32.有一BIBD ，已知b=14,k=3,λ=2,求v 和r 。
33.将39写成∑a i i!(0≤a i ≤i)的形式。
34.8个人围坐一圈，问有多少种不同的坐法？
35.求()()()()10,10103,1032,1021,10C C C C +??+++
36.试给出两个正交的7阶拉丁方。
37.在3n+1个球中，有n 个相同，求从这3n+1个球中选取n 个的方案数。
38.用红、黄两种颜色为一个等边三角形的三个顶点着色，问有多少种实质不同的着色方案？
39.在r,s,t,u,v,w,x,y,z 的排列中，求y 居x 和z 中间的排列数。
40.求1040和2030的公因数数目。
41.求1到1000中不被5和7整除，但被3整除的数的数目。
42.求4444321n +??+++的和。
43.用母函数法求递推关系08621=+---n n n a a a 的解，已知
a 0=0,a 1=1。
44.试求由a,b,c 这3个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目。
45.26个英文小写字母进行排列，要求x 和y 之间有5个字母的排列数。
46.8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子里，每个盒子最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？ 47.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个，从中取出6个球，试问有多少种不同的取法。
48.用b 、r 、g 这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案？
49.n 个完全一样的球放到r （n ≥r ）个有标志的盒中，无一空盒，试问有多少种方案？
50.假设某个凸n 边形的任意三条对角线不共点，试求这凸n 边
形的对角线交于多少个点？
51.求()()21432321+++??+??+??=n n n S n 从k 个不同文字中取n
个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现3次，求这样的排列的数目。
52.求下图中从
A 点出发到n 点的路径数。 53.n 条直线将平面分成多少个区域？假设无三线共点，且两两相交。
54.四位十进制数
a b c d ，试求满足a+b+c+d=31的数的数
目。
55.两名教师分别对6名学生面试，每位教师各负责一门课，每名学生面试时间固定，6名学生面试时间定于下周一的第1节至第6节课，两门课的面试分别在901和902两个教室进行。试问共有多少种面试的顺序。
56. 对正六角形的
6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种
不同的方案？旋转或翻转使之重合的视为相同的方案。 58. 生成矩阵
试求相应的校验矩阵H 。
59.由m 个0，n 个1组成的n+m 位符号串，其中n ≤m+1,试求不存在两个1相邻的符号串的数目。
60.n 个男人与n 个女人沿一圆桌坐下，问两个女人之间坐一个男人的方案数，又m 个女人n 个男人，且m 61.求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目。 62.求满足下列条件： 40321=++x x x ,2510,205,156321≤≤≤≤≤≤x x x 的整数解数目。 63.求不超过120的素数的数目。 64.试说明A 4群中各置换的不同格式及其个数。 65.已知生矩阵 求下列信息的码字？ （a ） 1110 (b) 1000 (c) 0001 (d) 1101 66.有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数，有多少种取法？ 67.设某组织有26名成员，要选一名主席，一名会计，一名秘 书，且规定一人不得担任一个以上职务，问有多少种选法？ 68.从整数1，2，…，100中选取两个数。（1）使得它们的差 等于7；（2）使得它们的差小于或等于7，各有多少种选取方式？ 69.有n 个相同的红球和m 个相同的白球；那么这m+n 个球有 多少种不同的排列方式？ 70.一个工厂里已装配了30辆汽车，可供选择的设备是收音 机、空调和白圈轮胎。这30辆汽车中，15辆有收音机，8辆有空调，6辆是白圈轮胎，而这三种设备都具有的汽车有3辆，试求这三种设备都不具备的汽车至少有多少辆？ 71.数1，2，…，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余 都不在原来位置上的错排数目。 72.在等于300的自然数中：（1）有多少个不能被3，5和7 整除的数？（2）有多少个能被3整除，但不能被5和7整除的数？ 73.求下列数值函数的生成函数： （1）r r c a =(r=0，1，2，…)，其中C 为实数。 (2) ()???? ??-=r q a r r 1，（r=0,1,2,…）,其中a 为正整数。 74.求下列生成函数的数值函数：其中 ()()2265x x x x A +-= 75.用生成函数求下式之和： ()()().2121n n n n n ++?+? 76.一个人上楼梯，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，令n a 表示有n 个台阶时的上楼方式数，写出n a 的递推关系，并求解之。 77.利用特征方程法解递推关系： 78.求下列递推关系的特解n n n n a a a 22321=+--- 79.1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数。 80．在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败 者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？ 81. 计算[1,n]的无重不相邻组合()r n C ,的计数问题 82. 某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有 ７人，每人持若干钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开锁。问①至少有多少把不同的钥匙？②每人至少持几把钥匙？ 83. 凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的 对角线交于多少点？又把所有对角线分割成多少段？ 84.在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个? 85. 整数n 拆分成1，2，3，…，m 的和，并允许重复，求其母函数。 86.某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在 会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇1次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？ 87. 给出下列等式的组合意义： （a ）()m k n k l n l m k n m n l m l ≥≥???? ??-???? ??-=???? ??--∑=,10 (b) ()???? ??++-+??-???? ??+++???? ??++-???? ??+=???? ??--+l m l m m l m m l m m l m m l m l 12111 88. 将正整数10 写成3个非负整数321,,n n n 的和，要求6,4,3321≤≤≤n n n ，有多少种不同的写法？ 89. 计算母函数 ()()()2 3121x x x x G +++=的头6项。 90. 红、白、黑三色球各8个，现从中取出9个，要求3种颜 色的球都有，问有多少种不同取法？ 91. 求序列 ()()()()()n n c n c n c n c n ,1,,2,,1,,0,-??-的母函数。 92. 解递归关系2,0,0102===+-a a a a n n 93. 求下列表达式中求出50a 的值 94.设r a 是掷两个骰子时和为r 的方式数，其中第一个骰子的 点数为偶数，第二个骰子的点数为奇数，求序列{}??210,,a a a 的母函数。 95. 有多少棵有n 个顶点的二叉数？ 96．求下式之和 97．展开多项式()4321x x x ++ 98.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。 99.试求n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？ 100. 写出全部部分数最小的19-完备分拆 101. 已知()()n n n f -+=2，求()n f k ? 102. 求方程1742321=++x x x 的非负整数解的个数。 四、证明题 1.证明：{1,2,…,n}的全排列的最大逆序数是n(n-1)/2。试确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一排列。 2.证()()()1,1,1++=-r n c r r n nc ．并给出组合意义. 3.n 个完全一样的球，放到r 个有标志的盒子，n ≥r ，要求无一空盒，试证其方案数为()1,1--r n c . 4. 试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数． 5. 试证明：()()()()1,1,,1,0++=+??++m n c m n c m c m c 6. 证明：(C(n,0))2+(C(n,1))2+…+(C(n,n))2 = C(2n,n) 7. 证明：若121==F F , 21--+=n n n F F F (n>2)，则 其中α=（1+√5）/2，β=（1-√5）/2 8. N 个代表参加会议，试证其中至少有两个人各自的朋友数相等。 9. 证明： ()()6/12121222++=+++n n n n 10. 证明：()n n 2/!2是整数。 11. 证明：在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点的距离小于1/2。 12.证明： ???? ??=???? ??-+110111n n n n n F F F F 其中n F 定义为：121==F F ，21--+=n n n F F F 13.任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。 14.在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，其 间距离小于2。 15.若H 是群G 的子群，试证：|xH|=K, 其中K ＝|H|，x ∈G 。 16.二维空间的点（x,y ）的坐标x 和y 都是整数的点称为格点。任意5个格点的集合A ，试证A 中至少存在两个点，它们的中点也是格点。 17.证明：在由字母表{0，1，2}生成的长度为 n 的字符串中，0 出现偶数次的字符串有（3n +1）/2个。 18.试证任意r 个相邻的正整数的连乘积（n+1）(n+2)…(n+r)必被r!除尽。 19.证明 ：()()()()()()()n m c n m c n m c n m c m c n m c m c n ,20,,1,11,,0,=-+??+--+ 20.证明()()()12,2,21,-=+??++n n n n nc n c n c 21. 任取5个整数，试求其中必存在3个数，其和能被3整除。 22. 若H 是群G 的子群，x 和y 是G 的元素。试证xH ∩yH 或为空集，或xH=yH. 23. 令S={1，2，…，n+1},n ≥2,(){}z y z x S z y x T <<∈=,,,, 试证：()()3,122,1......21222+++=+++=n C n C n T 。 24. 证明：任何K 个相继的正整数之积，必是r 的倍数，其中 r=1，2，…，K 。 25. 求证：()221++n n =()()()n n n n n n 212212-+++。 26. 使用二项式定理证明 ()k n k n k n 20=∑=,试推广到任意实数r ，求()k n k n k r 0=∑。 27. 证明C B A C B C A B A C B A C B A +---++= 28. 证明任何k 个相继正整数中，有一个必能被k 整除。 29. 证明在小于或等于2n 的任意n+1个不同的正整数中，必有两个是互等的。 30. 证任一正整数n 可唯一地表成如下形式: ,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。 31. 对于给定的正整数n,证明当 时，()k n C ,是最大值。 32. 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0 出现偶数次的字符串有个； 33. 设有三个7位的二进制数：7654321a a a a a a a ，7654321b b b b b b b ， 7654321c c c c c c c 。试证存在整数i 和j ，71≤≤≤j i ，使得下列之一必定成立，j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,,。 34.证明：在n 阶幻方中将每个数码a 换成a n -+12，所得的 阵列仍是一个n 阶幻方。（注：所谓幻方是指一个n n ?方阵，其中的元素分别是22,1n ??，且每列的元素和均 相等） 35.证明：把有n 个元素的集合s 划分为k 个有序集合的个 数等于n k 36.试证明：()()()1,,111/10<-+-=+∑∞=x x k k n c x k k k n 37.证明：如果在边长为1的等边三角形内任取10个点，则 必有2个点，它们的距离不大于1/3。 测 试 题 答 案 ——组合数学 一、选择题 1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B 9.C 10.C 11.B 12.C 13.C 14.A 15.C 16.B 17.D 18.A 19.D 20.C 21.C 22.B 23.D 24.B 25.D 二、填空题 1. 267 6. 210 7. 0 8. 420 9. 2 10. 135223++-n n n 11. 121 ---n n 12. ??????--??????+21232k n n 13. 23 三、计算题 1、 在1000至9999之间的数都是4位数。我们可以先选个位，再选千位，百位和十位。因为我们要的数是奇数，所以个位 数字可以是1，3，5，7，9中的任何一个，即有5种选择。选定个位数之后，十位就只有8种选择了。百位也只有8种选择，而十位则只有7种选择，因此应用乘法原则，问题的答案是5×8×8×7=2240种。 2、 在这个问题中，我们要计算的是组合数，因为粉笔的特性与上面三种数的顺序无关，利用乘法法则可知共有3×8×4=96种不同种类的粉笔。 3、 因为2进制数必须考虑其数字的次序，故要计算的是排列问题。有4种选择要做，并且每种都可以独立地选择0或1，于是有2×2×2×2=24=16种至多4位数字的2进制数，它们分别是{0，1，10，11，100，101，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111} 4、 从5个字母中选取4个组成的字符串共有p(5,4)=5×4×3×2=120种。如果允许字母重复出现，则长度为3的字符串共有5×5×5=125种。 5、 可以这样考虑：在9个数字中不重复地选取7个作排列共有 ()7,9P 种，其中出现5和6相邻的排列数共有()5,762P ??种，因为出现5和6相邻的排列可看成是从1，2，3，4，7，8，9七个数中选5个排列后，将56或65插入到这5个数的6个间隔位置上（数前、数后及两个数字之间的间隔共6个位置），所以包含相邻的5和6的7位数共有 ()5,762P ??，于是所求数的个数为()()1512005,7627,9=??-P P 。 6、 因为任3点均不共线，所以25个点中每两个点组成一条直线，每3个点了构成一个三角形，所以共有()3002,25=C 条直线和()23003,25=C 个三角形。 7、 因为所求的数为偶数，所以个位只有2种选择：2或4。因为4位数字全不相同，所以乘余3位数只能是1，2，3，4，5中去掉用于个位数的数字之后的4个数字的3排列，可是共有2×P(4,3)=24个这样的数。 8、 因为117537715785324???=，所以共有 ()()()()119111131214=-++++个不同的正因子 9、因为在1到50中共有10个数含有因子5而这10个数中又有2个包含有因子25。因此50！中含有10+2=12个5因子，显然50！中至少含有12个因子2，因为在1到50这50个数 中有25个是偶数所以50！中含有12个因子10，即50！在结尾处有12个0。 10、符合条件的数可分成以下几类： （1）8位数：共有7×P（7，7）=35280个 （2）7位数：共有7×P（7，6）=35280个 （3）6位数：共有7×P（7，5）=17640个 （4）5位数：共有7×P（7，4）=5880个 （5）4位数：8位数>5的有3×P（7，3）=630个 8位数=5，百位数>4的有4×P（6，2）=120个 8位数=5，百位数=4的有P（6，2）=30个 所以符合条件的数共有94860个 11. 3761 =5·6!+5!+4!+2·3!+2!+1 12. 因为和(p)=(3214)对应的中介数是（021），所以（p）的序号为m=0·3!+2·2!+1=5,即(p)是第5个排列 13. 因为117=4·4!+3·3!+2!+1，则中介数为（4311），所以序号为117的5个文字的全排列为54231。 14. 因为a1=0,所以2在1的右边，a2=2，所以3在1和2的左边,a3=1，所以4在2的前面且在3和1的后面，因此所对应的排列为3142。 15. 123，132，213，231，312，321 16. 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 4321 17. 排列4231的下一个排列是4213。 18. 因为5件工作中的每一件工作都可由4个人中的任一人完成，因此每件工作有4种分配方法，所以总共有4×4×4×4 ×4=1024种完成任务的方案。 19. 因为没有限制一个同学可得纪念章和纪念册的个数，所以将4枚纪念章分给十个同学的方法有C（10+4-1,4）=C(13,4),将6本纪念册分给十个同学的方法有C（10+6-1，6）=C （15，6），所以若有C（13，4）、C（15，6）种方案。 20. 如果限制每人得1件物品，则共有10！/（4！6！）12，13，14，15，16，23，24，25， 26，34，35，36，45，46，56 21. 因为n边形的每个顶点有n-3条对角线，要使另一边也是对角线，则选中的两条对角线不能相邻，于是相当于在n-4条对角线中选2条对角线作三角形的两边，另一条边即为此二对角线顶点的连线。所以共有C(n-4,2)个这样的三角形，有n 个顶点，共有n·c(n-4,2)个三角形。但这里有重复，因为每一个满足条件的三角形在三个顶点处重复了3次，所以真正不同的三角形只有n·c(n-4,2)/3.例如，6边形中可以找出 6·c(2,2)/3=2个这样的三角形。 22. 共有C（3+6-1,6）=C(8,6)=C(8,2)=28项。 23. 因为可以在{1,2,…,18}中任取3个的组合同在{1,2,…,20}中任取3个没有相邻的数组成的集合之间建立起一一对应关系,所以答案是C(18,3)=816 24. {c,c,c},{b,c,c},{a,c,c},{a,b,c},{a,a,c},{a,a,b}，共6个3组合， {a,c ,c,c},{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c}共5个4组合。 25. F1 = 1, F 5 = 5 26. 因为能被4整除的有10000/4=2500，能被5整除的有1000/5=2000，能被6整除的有10000/6=1666，能同时被4，5整除的有10000/20=500，能同时被4，6整除的有 10000/24=416，能同时被5，6整除的有10000/30=333，能同时被4，5，6整除的有10000/120=83，所以符合要求的有10000-（2500+2000+1666）+（500+416+333）-83=5000（个） 27. 因为k2=2C(k,2)+C(k,1)=2×k(k－1)/2+k= k2 所以12+22+……+n2=2(C(1,2)+C(2,2)+…… +C(n,2))+C(1,1)+C(2,1)+……+C(n,1) =2×C(n+1,3)+C(n+1,2) =2×(n+1)n(n－1)/(3×2)+(n+1)n/2 =n(n+1)(2n+1)/6 28. N=C(7+5,7)=C(7+5,5)=C(12,5)=792 一般情况 N=C(m+n,n) 29. N=(1+5)(1+2)(1+3)(1+4)=360 30.令x4=y, 则x8=y2, x20=y5,于是（1+y+y2）10中y5项的系数N 即为(1+x4+x8)10中x20项的系数，而y5=y?y·y·y·y=y·y·y·y2=y·y2·y2，于是 N=C(10,5)+c(10,3)c(7,1)+c(10,1)·c(9,2)=1326 31S3={(1)(2)(3),(23),(12),(13),(123),(132)} (1)(2)(3)的格式是(1)3 (23),(12),(13)的格式是(1)1(2)2 (123),(132)的格式是(3)1 32因为bk=vr , r(k-1)=λ(v-1),已知 b=14,k=3,λ=2所以 14×3=vr 即时 vr=42 求得v=7 r(3-1)=2(v-1) 2r=2(v-1) r=6 33. 39=4!+2?3!+2!+1!=24+12+2+1 34.N=7!=5040 35.因为C(n,1)+2C(n,2)+…+nC(n,n)=n?2n-1 所以C(10,1)+2C(10,2)+…+10C(10,10)=10?210-1=5120 36. ??????????? ??654321754321764321765321765421765431765432 7654321和??????????? ??5432176321765417654326543217432176521765437654321 37. N=C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,2)+…+C(2n+1,n) =2(C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,n))/2 =(C(2n+1,0)+C(2n+1,2n+1)+C(2n+1,1)+C(2n+1,2n)+… +C(2n+1,n)+C(2n+1,n+1))/2 =22n+1/2=22n =4n 38. N=(23+2??????21+3???22)/6=4 39. 解：N=2?7！=10080 40. 解：∵M=gcd(1040,2030)=240?530,∴N=(40+1)(30+1)=1271 41. 解：N=int(1000/3)-int(1000/15)-int(1000/21)+int(1000/105)=333-66-47+9=229 42. 解：∵△S n =S n+1-S n =(n+1)4 ∴可设S n =A ?C(n,0)+B ?C(n,1)+C ?C(n,2)+D ? C(n,3)+E ?C(n,4)+F ???C(n,5),于是可知： A=0 解得： A=0 A+B=1 B=1 A+2B+C=17 c=15 A+3B+3C+D=98 D=50 A+4B+6C+4D+E=354 E=60 A+5B+10C+10D+5E+F=979 F=24 所以 S n =C(n,1)+15C(n,2)+50C(n,3)+60C(n,4)+24C(n,5) =(n(n+1)(2n+1)(3n 2+3n-1))/30 43．解：特征函数为x 2-6x+8=0,x 1=2,x 2=4,所以可设 a n =A ?2n +B ?4n ,于是 a 0=0=A+B 解得 A=-1/2 a 1=1=2A+4B B=1/2 即a n =(4n -2n )/2 44．解：设a n 为n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的个数， 则a n =2a n-1+2a n-2,即 a n －2a n-1－2a n-2＝０，a 1=3,a 2=8，由此知 a 0=1。 特征方程为x2-2x-2=0, x1=1+√3 , x2=1-√3 ，可设 a n=A(1+√3)n+B(1-√3)n,于是有 a0 =1=Ａ＋Ｂ a1 = 3 = (1+√3)A+ (1-√3)B 解此方程组得Ａ=(３＋2√3)/6 B=(３-2√3)/6 a n=[(３＋2√3)(1+√3)n+(３-2√3)(1-√3)n]/6 45．解：M=2?20!?5!?C(24,5)=40?24! 46.解：如图_0_0_0_0_0_ ,3个空盒可插在两个球之间,共有 C(6,3)=20种方案,5个有标志的球共有5!种排序,所以总计有M=20?5!=2400种排列方案。 47.解：母函数为G(x)= (1+x+x2)4(1+x+x2+x3)3,其中x6的系数 为 M=1?10+4?12+10?12+16?10+19?6+16?3+10?1=510,因为 G(x)= (1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8)× 48. 解：运动群G={(1)(2)(3)(4)(5),(1 2 3 4 5),(1 3 5 2 4),(1 4 2 5 3), (1 5 4 3 2 ), (1)(25)(34), (2)(13)(45), (3)(24)(15), (4)(35)(12), (5)(14)(23)}={ p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10} c( p1)=5, c(p2)=c(p3)= c(p4)=c(p5)=1, c(p6)=c(p7)= c(p8)= c(p9)= c(p10)=3, m=3, |G|=10,据P?lya定理,M=(1/|G|)?(m c(p1)+ m c(p2)+ m c(p3)+。。。+ m c(p10))=(1/10)（35+4?31+5?33） =(1/10)（243+12+45）=30。 49．Ｃ（ｎ－１，ｒ－１） 将ｎ个球排成一行，两球之间有一间隔，共有ｎ－１个间隔。在此ｎ－１个间隔中任取ｒ－１个，将ｎ个球分成ｒ段，将第ｉ段的球（其中至少有１球）放入第ｉ个盒子，所以共有Ｃ（ｎ－１，ｒ－１）种方案。 50.Ｃ（ｎ，４） 凸ｎ边形有ｎ个顶点，任取其中４个顶点可以组成一个凸４边形，该４边形的两条对角线有一个交点，所以凸ｎ边形的对角线交于Ｃ（ｎ，４）个交点（根据假设，没有３条对角线相交于一点）。 51.Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／４ Ｓｎ＝１·２·３＋２·３·４＋．．．＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） ＝３！（１·２·３／３！＋２·３·４／３！ ＋．．．＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／３！） ＝３！（Ｃ（３，３）＋Ｃ（４，３）＋．．．＋Ｃ（ｎ＋２，３）） ＝３！（Ｃ（３，０）＋Ｃ（４，１）＋．．．＋Ｃ（ｎ＋２，ｎ－１）） ＝３！Ｃ（ｎ＋３，ｎ－１） ＝３！Ｃ（ｎ＋３，４） ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／４ 52.ａｎ＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２·ｓｑｒｔ （（ｋ－１）（ｋ＋３）））· （（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ ＋（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））· （（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ 假设从ｋ（ｋ＞１）个不同文字取出ｎ个（可以重复）作排列，但不允许一个文字连续出现３次的排列所组成的集合为Ａｎ，则所求排列数ａｎ＝｜Ａｎ｜。将Ａｎ中的字符串按最后一个文字可以分成两类：一类是最后一个文字同其前一个文字不相同的那些字符串，共有（ｋ－１）ａｎ－１个（最后一位有ｋ－１种选择，而前ｎ－１位是没有一个文字连续出现３次的字符串），另一类是最后两个文字相同，但与倒数第３个文字不相同的字符串，共有（ｋ－１）ａｎ－２个，所以有递推关系 ａｎ＝（ｋ－１）ａｎ－１＋（ｋ－１）ａｎ－２（而ａ１＝ｋ，ａ２＝ｋ２，ａ３＝ｋ３－ｋ＝ｋ（ｋ－１）（ｋ＋１ 递推关系的特征方程为 ｘ２－（ｋ－１）ｘ－（ｋ－１）＝０ 其根为： α１＝（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ α２＝（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ 于是知ａｎ＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ 由于ａ１＝ｋ，ａ２＝ｋ２，由递推关系知ａ０＝ｋ／（ｋ－１），所以 ａ０＝ｋ／（ｋ－１）＝Ａ１α１０＋Ａ２α２０Ａ＝Ａ１＋Ａ２ａ１＝ｋ＝Ａ１α１１＋Ａ２α２１＝Ａ１（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ ＋Ａ２（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ 解得 Ａ１＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３））） Ａ２＝（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３））） 所以 ａｎ＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））· （（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ ＋（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））· （（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ 53.f（n）＝（（（１＋√５）／２）n＋1－（（１－√５）／ ２）n＋1）／√５ 假设从A（编号为０）到编号为i的顶点有f（i）条路径，则f（１）＝１，f（２）＝２，当i＞2时，f（i）＝f（i-1）＋f（i－2），由此知f（０）＝f（A）＝１。当i＝n时，f（n）＝f（n-1）＋f（n－2）,即f（n）－f （n-1）－f（n－2）＝０。其特征方程为： x2－x－1=0，它的两个根分别为：α１＝（１＋√５）／２，α２＝（１－√５）／２。 于是知f（n）＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ，根据 f（０）＝１＝A1＋A2 f（１）＝１＝A1（１＋√５）／２＋A2（１－√５）／２， 解得