计算方法课后题
D. aij(k)= aij(k-1)-lik×akj(k-1)(i=1,……，n; j=k+1,……，n)
C
3
Gauss消去法第k次消元，是用（）
A.第k列元素去消后面的n-k列元素B.第k列元素去消后面的n-k行元素
称为（）不等式。
A. Banach B. Hilbert C. Cauchy-Schwarz D. Euler -Schwarz
C
4
在Cm×n中,对任一个矩阵A，实数‖A‖是矩阵A的范数的四个条件如下，表达不正确的是( )
A. ‖A‖≥0，且‖A‖=0A=0 B. ‖kA‖=|k|.‖A‖
C. ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖ D. ‖A.B‖=‖A‖.‖B‖
CD
9
A.系数矩阵A一定可以进行LU分解
B.如果系数矩阵A可以进行LU分解，则分解是唯一的
C.如果Gauss消去法有解，则A可以进行LU分解
D.如果Gauss列主元法有解，则A可以进行LU分解
BC
8
与Gauss消去法比较，列主元素法的优点：( )
A.速度快B.如果方程有解，则算法一定有解。
C.算法稳定性好D.如果系数矩阵A非奇异，则算法一定有解。
F
12
把无限的计算过程用有限的计算过程代替，这样产生的误差叫截断误差。（）
T
13
计算过程中，误差的指数增长，这时认为算法是数值是数值稳定的，从而计算的结果是可以接受的。
F
14
相对误差，通常写成百分数的形式，所以又称百分误差。
T
15
为简单计，人们常把绝对误差限说成是绝对误差。
T
答案
测试1-2
No
题目
答案
C.第k行元素去消后面的n-k列元素D.第k行元素去消后面的n-k行元素
D
4
Gaห้องสมุดไป่ตู้ss列主元素法第k次消元，列主元素，是( )：
A.第k行中绝对值最大的元素。B.第k行，从第k列到第n列中绝对值最大的元素。
C.第k列中绝对值最大的元素。D.第k列，从第k行到第n行中绝对值最大的元素。
D
5
Gauss消去法失败，则（）
C.不影响相对误差，但影响绝对误差；D.不影响相对误差，也不影响绝对误差。
B
3
在四位十进制的限制下，计算A=2000+δ1+δ2+……+δ1000，在0.1≤δi≤0.4时，其中i=1,2,3,……，1000,下列哪种计算的次序是数值稳定的？（）
A．从左至右B.从右至左C.都一样稳定D.都不稳定
B
4
9
取x=1.4142，具有三位有效数字的近似值为（）
1.42
10
已知近似数285.35,186.87,58.43,4.96都准确到末位数字
,求这些近似数之和
若舍入成535.6，则绝对误差的保守估计为( )
0.03
11
四舍五入得到的近似数999.8,其绝对误差为0.5×10-1，相对误差为0.5001×10-5,所以有效数字为五位。( )，
A.系数矩阵A能进行三角分解B.系数矩阵A不能进行三角分解
C.如果系数矩阵A非奇异，能进行三角分解D.如果系数矩阵A奇异，能进行三角分解
B
6
三角分解法算法优点（）
A.比Gauss消去法误差小B.适用于系数矩阵A是大型稀疏矩阵
C.比Gauss消去法速度快D.当Gauss消去法失败时，仍然有解
AB
7
对于n元线性方程组Ax=b，LU分解表示：（）
计算方法测试第1章.预篇
测试1-1
No
题目
答案
1
近似数左边第一非零数字左边的零（）
A.影响相对误差，但不影响绝对误差；B.影响相对误差，也影响绝对误差；
C.不影响相对误差，但影响绝对误差；D.不影响相对误差，也不影响绝对误差。
C
2
近似数右边第一非零数字右边的零（）
A.影响相对误差，但不影响绝对误差；B.影响相对误差，也影响绝对误差；
1
完备的内积空间叫做（）空间。
A. Banach B. Hilbert C. Cauchy-Schwarz D. Euler -Schwarz
B
2
完备的线性赋范空间叫做（）空间。
A. Banach B. Hilbert C. Cauchy-Schwarz D. Euler -Schwarz
A
3
设（x，y）为实线性空间V上内积，x，y∈V，则有（x，y）2≤（x，x）（y，y）
C.强调离散性D.强调无限性
AC
7
误差的来源与分类主要可分为（）
A．系统误差B.观测误差C.截断误差D.舍入误差
BCD
8
近似数的四则运算法则有（）
A．ε(x+y)=ε(x)+ε(y) B.ε(x×y)=ε(x) +ε(y)
C.δ(x+y)=δ(x)+δ(y) D.δ(x×y)=δ(x) +δ(y)
AD
使用Gauss消去法求解一个n元线性方程组Ax=b所需乘（除法）运算次数约为：（）
A. ln(n)/3B. n/3C. n3/3D.10n/3
C
2
Gauss消去法第k次消元（）
A. aij(k)= aij(k-1)-lik×akj(k-1)(i=k+1,……，n; j=i,……，n)
B. aij(k)= aij(k-1)-lik×akj(k-1)(j=k+1,……，n; i=j,……，n)
D.如果A是实对称阵，则存在正交阵P，使
P-1AP=PTAP为对角阵
ABCD
7
X=(1,-2,3,-4),则x的1-范数‖x‖1=（）；2-范数为（）；∞-范数为（）；
8
如果 ，则A的1-范数为（）；2-范数为（）；∞-范数为（）；
9
如果
则B的F-范数为（）；
10
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
测试2-1
1
D
5
下列命题正确的有：
A．两个上三角阵的积为上三角阵。
B.下三角阵的逆为上三角阵
C. λ是A的特征值，则λ是A T的特征值
D. A为对称正定阵,当满足xT Ax> 0，x≠0
ACD
6
下列命题正确的有：
A．实对称阵A的特征值都是实数
B.对应于实对称阵A不同特征值的特征向量必正交
C. n阶实对称阵A有n个线性无关的特征向量
已知e=2.71828182….，其近似值a=2.718，相对误差限为
A．0.0003B.0.0002C.0.0001D.0.00001
B
5
设x*为准确数,x为近似数，
通常我们称（）为相对误差
A．x*-xB.x-x*C. (x*-x)/x D. (x*-x)/x*
D
6
数值分析的基本特点为（）
A．强调算法的计算机上的可行性B.强调非构造性
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
计算方法各习题及参考答案
计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法_华东交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
计算方法_华东交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.拉格朗日插值多项式格式规范整齐，且具有承袭性。
（）参考答案:错误2.当n为奇数时，n阶牛顿-柯特斯公式至少具有n+1次代数精度。
（）参考答案:错误3.分段线性插值的缺点是会出现Runge 现象，即n 越大，端点附近抖动越大。
（）参考答案:错误4.以下哪些公式是牛顿-柯特斯求积公式（）。
参考答案:_5.只要函数f(x,y)适当光滑连续，则常微分方程的初值问题必有唯一解。
（）参考答案:错误6.最佳逼近问题要求在被插函数的定义区间上，所选近似函数都能与被插函数有较好的近似。
（）参考答案:正确7.数值计算方法的计算对象是（）参考答案:有精确计算公式而无法用手工计算的数学问题_理论上有解而无计算公式的数学问题8.若f(a)f(b)<0 ，则f(x)在(a,b)内一定有根。
参考答案:错误9.若|A|≠0，则高斯消元法无需换行即可进行到底，且得到唯一解。
（）参考答案:错误10.若A的所有顺序主子式均不为0，则A的LU分解存在且唯一。
参考答案:正确11.设【图片】，则【图片】参考答案:1212.【图片】（请填写阿拉伯数字）参考答案:113.以下哪些公式是插值型的积分公式（）。
参考答案:3/8辛普森公式_梯形公式_辛普森公式_科特斯公式14.以下常微分方程数值解法，哪些方法的精度是一阶的（）。
参考答案:显示欧拉法_隐式欧拉法15.采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（）参考答案:错误16.梯形公式是一个显示公式。
（）参考答案:错误17.用【图片】近似表示sin(x)所产生的误差是( )误差。
参考答案:截断误差18.4个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度参考答案:319.以下对非线性方程的求根方法的描述，哪些是不正确的（）参考答案:不动点迭代法收敛速度快，是超线性收敛_二分法简单和易操作，收敛性有保证，收敛速度快20.用迭代法解线性方程组时，迭代法是否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
计算方法习题集及答案第四版
解：
y次迭代公式
k
0
1
2
3
3.5
3.64
3.63
3.63
6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。 解：
令
y次迭代公式 故
从而 ，时， 故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的 7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为 迭代函数，， 则，
习题1.1
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2. 试证明 及
证明： （1）令
即 又 即 ⑵ 设，不妨设， 令 即对任意非零，有 下面证明存在向量，使得， 设，取向量。其中。 显然且任意分量为， 故有即证。 3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
解： （1）迭代公式，公式收敛
k
0
1
2
3
0
（2），， 局部收敛 k0 1 2 3
0.25
0.25098 0.25098
456789
1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386
2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
9
10
11
12
13
14
15
16
1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595
迭代公式（2）：
k
0
1
2
3
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
计算方法第二版课后练习题含答案
计算方法第二版课后练习题含答案前言本文将为大家提供计算方法第二版课后练习题的答案，旨在帮助读者更好地学习和掌握计算方法的知识。
本文全部内容均为作者整理，尽可能保证每一题的答案正确性。
读者可以借助本文的答案，检验自己的练习成果，加强对计算方法知识的理解和掌握程度。
同时，读者也应该注意切勿直接复制答案，本文的答案仅供参考，希望读者能够通过自己的思考和探索，获得更深层次的学习感悟。
第一章引论1.1 计算方法的基本概念和思想练习题 1写出计算方法的三要素，并分别简要解释。
答案计算方法的三要素为：模型、算法、误差分析。
•模型：计算方法所涉及的实际问题所对应的数学模型，是解决问题的基础；•算法：根据模型，构造相应的计算程序，即算法；•误差分析：计算结果与实际应用中所需的精度之间的差异，称为误差。
误差分析是对计算结果质量的保障。
1.2 算法的误差练习题 2写出二分法算法，并解释其误差。
答案算法：function binarySearch(a, target) {let low = 0;let high = a.length - 1;while (low <= high) {let midIndex = Math.floor((low + high) / 2);let midValue = a[midIndex];if (midValue === target) {return midIndex;} else if (midValue < target) {low = midIndex + 1;} else {high = midIndex - 1;}}return -1;}误差:二分法算法的误差上界为O(2−k)，其中k为迭代次数。
在二分法被成功应用时，k取决于与目标值x的距离，即 $k=\\log _{2}(\\frac{b-a}{\\epsilon})$，其中[a,b]是区间，$\\epsilon$ 是目标值的精度。
计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101101|*||)(|1211*=⨯≤⨯≤-=+-+-n rx x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10110113%3.0)(--⨯≤⨯=<=x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
5 计算76017591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕
习题二包括题目：P36页5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1)1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。
解：已知 (1)(4,6)T x=-，由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫∇= ⎪+++-----⎝⎭∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭(1)11/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15（1）解如下15. 用DFP 方法求下列问题的极小点（1）22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x xδ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭0110111011101T T T TH H H H H γγδδδγγγ=+-其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===11 1.1621 1.39451.3945 1.6734T δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)(1)1 1.4901()0.9776d H f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ， 利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599xx δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=220.72830.47780.47780.3135T δδ-⎛⎫=⎪-⎝⎭1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T T H H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫=-∇= ⎪-⎝⎭令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ， 利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭， 因为 (3)()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。