16.1.2二次根式的性质
2019精品教育16.1二次根式第二课时化学
a2 a (a ＜ 0)
a2 a (a≥0) a2 a (a＜0)
a2 a a (a≥0)
-a (a＜0)
例3：化简
(1) 16 (2) (5)2 (3) (5)2 (4) 52
练习： 1.计算 :
1. 0.32
3. 2
2.
1
2
7
4. 102
练习2:
1
1
2
2
2 1
2 x 12 x 1 (x>0 )
练习1:用心算一算:
1 25 5
3 3
2
2 18
练习 计算：
2
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
42 4
02 0
0.012 0.01
1 2
1
3 3
a2 a (a≥0)
(4)2 4
(0.01)2 0.01
1
2
1
3 3
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1 的值
解: 2 a 0 ， b 2 0
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c)2 (b a c)2
( 2003年·河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
已知 ：a b 6与 a b 8 x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1
16.1.2二次根式的性质1
16.1.1二次根式的性质
汉沽八中：陈玉莲
/yhwz/
学习目标：
1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次 根式的概念. 2. 掌握二次根式的性质 3.熟练应用二次根式性质求二次根式的值. 4.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里 被开方数中字母的取值范围.
2
2.化简： ( a 3 ) (3 a)
2
2
3. ( 2 ) 2, 。。。
由
2
你可以将下列多项式在实数范围
内分解吗？
(1) x 2
2
(2) 3x 4
2
(3) 2 x 5
2
(4) x x 20
4 2
/bcgs/
/bcw/
做一做
2 2 2 2 1 1 1 _____, 2 ______, 3 5 5
1 4 13
2
1 1 2 4 6 _____, 3 5 4 ____,
3 _____,
2
2
3
/amyhxsyl/
口答：
1 2 (1)( ) 3
1 3
63
. .
(2)(3 7)
2
/amyhgfwz/
8 =8
2
练习 计算：
3 =3
2
2 3 =12
2
x
xy
3
2 =6 3 3
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看, 2 2 a 先开方,后平方 a a≥0
/dbwz/
a
2
a
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
16.1.1二次根式的概念与性质
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例题学习 1
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) 3 2a a1
(4) a2 1 (5) 1 3x (6) (1 a)2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a (a 0)
a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
53 53
5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
16.1.2 二次根式的乘法
学习环节
例 2、化简 （1） 9 16 （2） 16 81
一．前置作业：
填空： （1） 4 × 9 =____
4 9 =___
4 × 9 __ 4 9
（ 2 ） 16 ×
25 =____ ， 16 25 =___ ；
（3） 81100
（4） 9 x y
2
2
16 × 25 __ 16 25
时间 ：
编号 1603
（三） 、小组交流解疑 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） (4) (9)
2 （3）二次根式 ( 2) 6 的计算结果是（ ）
4 9
A．2 6 2、化简： （1） 360 ；
B．-2 6
C．6
D．12
（2） 32 x ；
4
（2）
4
12 × 25
（3） 100 × 36 =___， 100 36 =___． （5） 54
100 × 36 __ 100 36
（二） 、探索新知 1、 请交流上面的活动并总结规律． 2、一般地，对二次根式的乘法规定为
a ·
b ＝
ab ． （a≥0，b≥0 反过来:
ab = a · b （a≥0，b≥0）
例 1、计算 （1） 5 × 7 （2）
2 3
(2) 2a
1 2a
=8
4 B． 4 a
4 a 4 2 2 ( a 2 ) 2 2a 2
2
C． 3 4
2
9 16 25 5
．
D
13 2 12 2 (13 12)(13 12) 13 12 13 12
2、 计算： （1） 6 8× （-2 6 ） ； （2） 8ab 6ab ；
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）是在学生已经掌握了二次根式的概念、性质和运算法则的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、合并同类二次根式等。
通过本节课的学习，使学生能够灵活运用二次根式的性质进行各种运算，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经对二次根式有了初步的认识和了解，能够进行一些基本的二次根式运算。
但是，对于一些复杂的二次根式运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采取有效的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的性质，提高他们的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的性质，能够熟练地进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次根式的性质，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们克服困难的勇气和自信心，培养他们的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和合并同类二次根式的方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主探索、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次根式的性质。
同时，利用多媒体教学手段，展示二次根式的运算过程，帮助学生更好地理解和掌握二次根式的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的概念和性质，为学生进入本节课的学习做好铺垫。
2.自主探索：引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质，使学生能够自主掌握二次根式的性质。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享他们在自主探索过程中得到的二次根式的性质，培养学生团队协作精神。
人教版八年级数学第十六章 二次根式课本
3、利用
成一个数或式的平方的形式．如
4、注意逆用二次根式的性质，即
得到
成立，可以把任意一个非负数或式写 ．
，
，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．
5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整 式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不 含能开得尽方的因数或因式． 三、典型例题讲解
2 / 12
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
人教版数学八年级下册16.1第2课时《 二次根式的性质》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》是初中数学的重要内容，主要让学生了解和掌握二次根式的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的性质，从而培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
同时，学生已经学习了二次根式的概念和简单的运算。
但学生在理解和运用二次根式的性质方面还存在一定的困难，因此，教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，并能熟练运用。
2.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质及其运用。
2.引导学生理解和运用二次根式的性质。
五. 教学方法1.情境导入：通过实际问题引入二次根式的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生独立思考，探究二次根式的性质。
3.合作交流：分组讨论，让学生在讨论中理解和掌握二次根式的性质。
4.巩固练习：设计有针对性的练习，让学生在实践中运用二次根式的性质。
5.总结提升：引导学生总结二次根式的性质，并展望后续学习。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT，展示二次根式的性质及相关例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过呈现一个实际问题，引导学生思考二次根式的性质。
例如：一个正方形的对角线长度为8，求正方形的边长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
例如：二次根式√a的性质有：（1）√a2=a（a≥0）；（2）√a⋅√b=√ab（a≥0,b≥0）；（3）√a√b =√ab（a≥0,b>0）。
二次根式概念和性质)说课材料
二次根式概念和性质)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2【南湖中学八年级（下）数学导学案】 江 平16.1 二次根式（1）教学目标：1、了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
2、理解二次根式的非负性并会简单运用。
3、从数的算术平方根类比学习二次根式，体会从数到式的过渡，理解知识内在的规律性。
【重、难 点】：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用学法指导： 先自学质疑，再小组互助，最后请求老师帮助课前导学（小组互助解疑） 阅读课本2—4页内容，完成下面问题。
1.复习填空：（1）平方根：如果a x =2，那么 x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）算术平方根：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根；0的算术平方根是0。
如：4的算术平方根为2，用式子表示为=____；正数a 的算术平方根为_______，式子)0(0___≥a a 。
2.自主探究：(1)面积为6的正方形的边长为________________ ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t=_______________；(3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ___ ；(4)正方形的面积为3-b ，则边长为 _________ 。
思考：6，5h，πs,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.三、课中导学：一、定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。
称为________ 。
归纳：二次根式应满足两个条件（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
例1：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？.⑸ 16， ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷34⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x4仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3二、代数式定义及有意义问题：定义：回顾学过的式子，如5，a ，a + b,ab, st,x 3,,a (a ≥0),它们都是用基本运算符号 ：加、减、乘、除、乘方、开方 ，把 和表示 连接起来的式子，称这样的式子为 代数式。
华师大版八年级16章第二节二次根式第一课时课件
( )
a
结论: 结论 问题3 问题 限制? 限制
( a)
2
2
= a(a ≥ 0)
等于什么? 的取值有没有什么 等于什么 a的取值有没有什么 a(a≥0)
= -a(a<0)
结论: 结论 a 2 = a
练习 1.计算下列各题 计算下列各题 (1) 2.若 若
( 15 )
2
(2)
2
(1 − x) = 1 − x,则x的取值范围为 则 的取值范围为
49
16.1 二次根式 定义： 叫做二次根式. 定义：式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式.
不要忽略
为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ 例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
a + 10
|a|
a
2
a2 − 1
a2 + 1
( a − 1) 2
16.1 二次根式
x是怎样的数时 是怎样的数时， 例2 x是怎样的数时，式子
1 − 5
2
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数 一切有理数
小结: 小结 1.什么是二次根式 什么是二次根式? 什么是二次根式 2.二次根式有哪些性质 二次根式有哪些性质? 二次根式有哪些性质
作业: 习题18.2第一题 作业 习题 第一题
x−3 有意义？ 有意义？
当字母取何值时，下列各式为二次根式： 例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式： （1 ） a + b
2 2
(2) − 3 x (3)
1 2x
−3 (4) 2− x
下列各式是二次根式， 例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的 条件： 条件： 1 4 （1） 2a + 3 ；（2） ； （ 3 ） | x | + 0. 1 ； （ 4 ） − b 2 3a − 1
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a . a ____
2
理性提升
一般地，二次根式又有下面的 性质:
0
2
3
2 3
a |a|
2
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看, 2 2 a 先开方,后平方 a a≥0
a
2
a
2
先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
(
A
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
做一做
3、计算：
(1) (7) ( 7 )
2
2
2
(2) ( 11 ) 2 (13) 2
2
(3) ( 5 ) 16 (2)
2 2
2 2 1 2 (4) ( ) 0.1 5 4
(5) ( a ) a (a 0) (6) ( 4 1 ) 2 ( 4 1) 2
7 2 7
(7) 3 ( 3 1) 3
例4、化简：
(1)
2
4
(2)
a
4
(3)
ab
2 2 ( a＜0,b＞0)
(4)
1 2a a
2
2 (a ＞1 )
(5)
(1 2 ) ( 2 1)
+
2
(6)
(1＜x＜3 )
二次根式的性质及它们的应用:
（1）二次根式的非负性 （ 2） a
理性提升
.
0.0001 0.01 .
.
0
0
.
二次根式的性质1：
a ≥0
(a≥0)——双重非负性
已知 2 a | 3b 1| 0, 求a 、b 的值.
解： 2 a 0， | 3b 1| 0,
且 2 a | 3b 1| 0,
∴ 2-a=0 3b-1=0 1 a 2, b . 3
13
中考链接
（2009年· 怀化）
2
| a 2 | b 3 (c 4) 0,
则a b c
解：由题意得： a-2=0 b-3=0 ∴ c-4=0
3
.
a=2 b=3 c=4
创设情境
2
2
(
4)
4
( 0.01 ) 0.01
2
1 1 2 ( ) 3
3
理性提升
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
做一做
2 2 2 2 1 1 1 _____, 2 ______, 3 5 5
1 1 4 3
2
1 1 2 4 _____, 5 4 ____, 6 3
a , ( a 0)
2 2
a ( a >0 ) 2 （ 3） a 2 a 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
创设情境
2
3
2 2 ___,
2 | 2 | ___;
5
2
2
5 ___,
| 5 | ___; 5 | 0 | ___ 0 .
请比较左右两边的式子,想一想: | a | 2 1、 a 与 有什么关系?
2 a a ____; 2、当 a 0 时,
0 ___, 0
当 a 0 时,
( 0) 0
2
二次根式性质2：
a a
2
(a≥0)
3 2 3 解：（1）（ ）= ； 2 2
3 2 2 计算：（1）（ ） ；（2）（3 5） . 2
2 2 （2）（3 5） =32 （ 5） =9 5=45.
方法构想
直接利用性质2计算即可，但是要注 意第二小题要先使用积的乘方法则 再使用性质2.
计算：
(1)( 1.5 )
解：(1)(
2
( 2)( 2 5 )
2
2
1.5 ) 1.5
2 2 2
( 2)( 2 5 ) 2 ( 5 )
4 5 20
口答：
1 2 (1)( ) 3
(2)(3 7)
2
1 3
63
. .
8 =8
2
练习 计算：
3 =3
3 _____,
2
2
3
2
3
8 ____ .
做一做
(7) 数
a
-2
a
-1
在数轴上的位置如图,则
0 1
a . a _____
2
做一做
1.计算下列各题: (1)
15
2
(2)
2
1 5
2
2.若
(1 x) 1 x,则x的取值范围为
16.1.1二次根式的性质
新村中学数学组 李爱庭
学习目标：
1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二 次根式的概念. 2. 掌握二次根式的性质 3.熟练应用二次根式性质求二次根式的值. 4.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里 被开方数中字母的取值范围.
创设情境
1
4 2 1 1 3 9
2
2 3 =12
2
x
xy
3
2 =6 3 3
2
2
x y
5 2
5 2
=3
计算： ( 10 ) ( 3 3 )
2
2
解： (
10 ) ( 3 3 )
2 2
2 2
10 ( 3) ( 3 )
10 27 17
方法构想
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非 7 x 9
2 的算术平方根。
x7 0 7x 0
求
( xy 64)
解：由题意可知： 解得x=7, y=9
xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1