平面格林公式证明
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格林公式
2
分析:曲线L围成圆环区域.函数在圆环区域有连续偏导. 且定向曲线是围成区域的负向.
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例3. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y, Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
xd y y d x y 2 x2 y 2 x2 L x2 y 2 ( ( x2 y 2 )2 ( x2 y 2 )2 )d D 0 d xd y 0 D
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1 ( x) y 2 ( x) y E D: d a xb
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
2)若闭区域的边界曲线是负向则
Q P Pd x Qd y d xd y
分析:曲线L围成圆环区域.函数在圆环区域有连续偏导. 且定向曲线是围成区域的负向.
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例3. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y, Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
xd y y d x y 2 x2 y 2 x2 L x2 y 2 ( ( x2 y 2 )2 ( x2 y 2 )2 )d D 0 d xd y 0 D
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1 ( x) y 2 ( x) y E D: d a xb
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
2)若闭区域的边界曲线是负向则
Q P Pd x Qd y d xd y
9-3(1)格林公式
D D
单连通区域
复连通区域
二、格林公式
定理1 定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围 成,函数 P ( x , y )及Q( x , y ) 在 D 上具有一阶连 续偏导数, 续偏导数, 则有
∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D 的取正向的边界曲线, 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,
第九章 曲线积分与曲面积分
9.3
格林公式及其应用
一、区域连通性的分类 二、Green公式 Green公式 Green公式的简单应用 三、 Green公式的简单应用 四、平面曲线积分与路径无关的条件
一、区域连通性的分类
为平面区域, 设D为平面区域, 如果 内任一闭曲线所 为平面区域 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 围成的部分都属于 , 则称 为平面单连通区 否则称为复连通区域. 域, 否则称为复连通区域.
应用格林公式, 应用格林公式
P = 0, Q = x 有
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
格林公式及其应用
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q (ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
y
d
d
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy d
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用
o
Dn x
n
Pd界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
dx
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1
2
0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
格林公式及其应用
P dxdy
b
dx
2 ( x) P dy
D y
a
1( x) y
y
b
a{P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
L2 : y 2( x)
D
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
L1 : y 1( x)
Oa
bx
b
a
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2( x)]dx
L l
xdy ydx 4x2 y2
0,
于是I
L
xdy ydx 4x2 y2
l
xdy ydx 4x2 y2
1 a2
xdy ydx
l
2 a2
(l所围的椭圆区域的面积)
2 a2
a2π 2
π.
感谢下 载
I1 I2
由格林公式
I1
D
Q x
P y
dxdy
D
(b
a)dxdy
(b
a)
πa 2 2
由于OA在x轴上, y 0, dy 0,
故I2
2a
(bx)dx
2a 2b,
0
于是
I
I1
I2
π 2
2 a 2b
πa3. 2
(2)简化二重积分
例4 计算 e y2dxdy, D :以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
线y 2ax x2到点O(0,0)的有向弧段.
解 Q e x cos y a, x P ex cos y b, y
y
D
O
Ax
Q x
P y
b
a,
添加辅助线OA,
格林公式
由格林公式得
C
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)d
0
定理2的应用
(1)求 Pdx Qdy
L
若积分与路径无关，可选取简单路径计算.
2
(
x
)
L
L3
L4
L1
L2
L3
L4
L1
L2
x
b
a
a P( x,1( x)) dx b P( x,2( x))dx b [P( x,1( x)) P( x,2( x))] dx
a
b
L1 y 1( x)
a P d P( x, y)dx
I
Q
D
(
x
P )d
y
0
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q x
(0,0) D 在D内不能用格林公式
在D内取一圆周l x2 y2 r 2 , r 0
记L及l所围成的复连通区域为D1
在D1 应用格林公式得
Ll
xdy x2
L1
（三）应用
Q
D
(
x
P )d
y
L
Pdx
Qdy
1.求 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
例1.(1)求 y4dx 4xy3dy，L : x2 y2 4, 取正向
解
L
设L所围闭区域D : x2 y2 4
微积分格林公式
例6、设曲线积分 xy2dx y( x)dy与路径无关,其中具 L 有连 续导 数, 且(0) 0,计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
已知du P( x, y)dx Q( x, y)dy,如何求u( x, y)?
(x, y) (x0 , y)
全微分方程：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ( Q P ) x y
例8、 解全微分方程 : ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy 0. 作业 习题8-4：3、4（1）（3）
B
L2
A
L3
定理：设G是平面单连通区域, P( x, y),Q( x, y) C (1) (G), 则以下四个条件等价: (1)对G内任一分段光滑闭曲线C ,
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0;
C
(2) P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路径无关; L
例4、设D是包含原点的有界闭区域,求 xdy ydx. D x 2 y 2
二、曲线积分与路径无关的条件
P( x, y)dx Q( x, y)dy只与L的两个端点有关而与
L
积 分 路 径 无 关, 则 称 之 为 积 分 与 路 径 无关, 否 则 称
与 路 径 有 关.
L1
D1
L
（2）
B
A （3）
面积公式：A dxdy 1 xdy ydx (P y,Q x)
D
2 D
例1、求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
例2、证明 : 2xydx x 2dy 0, D 分段光滑. D
例3、求 e y2 dxdy, D是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 D 的三角形闭区域.
已知du P( x, y)dx Q( x, y)dy,如何求u( x, y)?
(x, y) (x0 , y)
全微分方程：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ( Q P ) x y
例8、 解全微分方程 : ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy 0. 作业 习题8-4：3、4（1）（3）
B
L2
A
L3
定理：设G是平面单连通区域, P( x, y),Q( x, y) C (1) (G), 则以下四个条件等价: (1)对G内任一分段光滑闭曲线C ,
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0;
C
(2) P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路径无关; L
例4、设D是包含原点的有界闭区域,求 xdy ydx. D x 2 y 2
二、曲线积分与路径无关的条件
P( x, y)dx Q( x, y)dy只与L的两个端点有关而与
L
积 分 路 径 无 关, 则 称 之 为 积 分 与 路 径 无关, 否 则 称
与 路 径 有 关.
L1
D1
L
（2）
B
A （3）
面积公式：A dxdy 1 xdy ydx (P y,Q x)
D
2 D
例1、求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
例2、证明 : 2xydx x 2dy 0, D 分段光滑. D
例3、求 e y2 dxdy, D是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 D 的三角形闭区域.
高等数学：格林公式
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy
L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
说明：
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注意：当f ( x, y)较繁，L较复杂，而Q P 较简单， x y
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 3 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x) DB
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫[f(x)]^2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
写成和式极限的形式，应用柯西不等式
从向量a往单位向量b做垂直投影，投影长度小于斜边 （就是向量a）的长度。
三、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
应用格林公式,有 e y2dxdy
格林公式的推导
格林公式的推导
格林公式是一个重要的数学定理，它建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线的曲线积分之间的关系。
以下是格林公式的推导过程：
第一步，设D是一个简单封闭曲线围成的平面区域，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在
D上具有一阶连续偏导数。
第二步，根据曲线积分和路径无关的条件，我们知道，如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，其中$ds$是曲线D上的弧长，则曲线积分$\int_{L} Pdx + Qdy$与路径无关。
第三步，根据二重积分的性质，我们知道如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，则$\int_{D} (Pdx + Qdy) = \int_{D} f(x,y)dxdy$。
第四步，根据第一步和第二步，我们可以得到$\int_{L} Pdx + Qdy = \int_{D} f(x,y)dxdy$。
这就是格林公式的推导过程。
需要注意的是，格林公式只适用于封闭曲线围成的区域。
如果区域不是封闭的，需要添加额外的边界条件或者采用其他方法进行处理。
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则
G u M 0 u dS . n
称 G M , M0 为拉普拉斯方程格林函数。
则平面上狄氏问题 解的表达式为
2u 0, 在 内， G u( M 0 ) ds u | ( M ), M . n
求球域(ρ<R )的Green函数及Laplace方程的Dirichlet
, 0 是 OM， OM0 与x轴的夹角的夹角。
1 2 2 v( M , M 0 ) ln[ 0 2 0 cos( 0 )] 4 q 2 2 ln[ 0 2 0 cos( 0 )] C 4
由条件 v R 0
v 2 (Grad u Grad v u v )d D u n ds D u 2 (Grad u Grad v v u)d D v n ds D
3：建立二维情况下调和函数的积分表达式。
1 1 q 1 v( M , M 0 ) ln ln C 2 rMM0 2 rMM1
由余弦定理，在极坐标下
2 rMM0 0 2 2 0 cos( 0 ),r
MM1
M
O
M0
M1
0
12 2 2 1 cos( 0 )
其中 OM , 0 OM 0 , 1 OM1 ,
D
D
dx
dy
n
x
π ( n, x ) ( , x ) 2 ( n, y ) π ( , x )
P Q ( x y )d D P cos(n, x ) Q cos(n, y ) ds 两式相减得 D v v Pu , Qu x y 2 uuv u 2v )2d u v u 2v v ds v (v u v u u)d 左 ( D 2 D x x x y n y 2 n y D v v 右= u cos( n, x ) u cos( n, y ) ds D y x
y
格林公式一般表示为：
Q P ( x y ) dxdy D P dx Q dy D P Q ( x y )d D P dy Q dx D P sin( , x ) Q cos( , x ) ds D P cos( n, x ) Q cos( n, y ) ds D
0
2 rMM0 G ( ,0 2 2 01 , ; , ) cos
1 rMM1 12 2 2 1 cos
M1
β 是 OM0与 OM 的夹角。
1 1 R G( M , M 0 ) 2 4 0 2 2 0 cos 0 12 2 2 1 cos
1 u ln n
1 u ds 0 ln n
D
M0
在圆周 上，
( x x0 )2 ( y y0 )2
1 1 1 1 ln ln n
1 代入到等式： u n ln 1 u ds 0 ln n
1 1 u 1 u u n ln ln n ds 2 u ln 2 n 0
问题的解. 解：1) 设M0为球内任一点， p o M0
M1
rOM 0 r0 , 连接OM2 ,
M1 是 M0 关于球面 Σ 的反 演点，
P 为球面上一点。 1 q 4 rM0 P 4 rM1P
q
rPM1 rPM 0
由 OM0 P ∽ OM1 P
2 u( M0 )
0
令 0, 则
1 1 1 u u( M 0 ) u n (ln ) ln n ds 2
4. 平面上狄氏问题解的表达式
1 1 G M , M0 ln v , 2
2v 0 1 1 v ln 2
6 用二维问题的格林函数法求下列上半平面 狄氏问题的解：
2u 2u 2 2 0, x , y 0 y x u | ( x ), x y0
G u( M 0 ) ds n
解之
q 1, 1
R2
0
代入 v ( M , M 0 ) 1 ln 1 q ln 1 C 2 rMM0 2 rMM1 1 R ln 解得 C 2 0
所以极坐标下圆域的Green函数为：
1 1 ln G ( , ; 0 , 0 ) 2 02 2 2 0 cos( 0 ) R 1 ln 0 12 2 2 1 cos( 0 )
cos cos cos 0 sin sin 0 cos( 0 )
G 2) 计算 n
R
G G n R R 1 1 R [ 2 2 4 0 2 0 cos R 4 2 02 2 R 2 0 cos R 2 02 1 2 4 R [ R 02 2 R 0 cos ]3 / 2 R 2 02 1 2 4 R [ R 02 2 R 0 (cos 0 cos sin 0 sin cos( 0 ))]3 / 2
1 证明平面上的格林公式：
v u (v u u v )d C v n u n ds D
2 2
其中 C 是区域 D 的边界曲线，ds 是弧微分. 首先证明第一格林公式
P Q ( x y )d C P cos(n, x ) Q cos(n, y ) ds D
又
0 1 R 2 ,
1 G ( , ; 0 , 0 ) 2 1 ln 02 2 2 0 cos( 0 ) R ln 4 2 2 2 R 0 2 R 0 cos( 0 )
1 ln ds 1 uds 1 u 2 2 u u n
其中 u 是 u 在圆周 上的平均值. 同理
1 u 1 u 1 u ln ds ln ds ln 2 n n n
1 2 ln a 2 0 2a 0 cos( 0 ) 4 q ln a 2 12 2a 1 cos( 0 ) 0 4
上式对任意θ 都成立，故 即
G
0
R
2 R 0 sin( 0 ) q 2 R1 sin( 0 ) 2 0 2 2 2 a 0 2 R 0 cos( 0 ) R 1 2 R 1 cos( 0 )
化简可得
2 2(1 q ) R0 1 cos( 0 ) q1( R2 0 ) 0 ( R2 12 ) 0
cos( 0 ),1 线性无关，故得
2(1 q ) R 0 1 0 2 q 1 ( R 2 0 ) 0 ( R 2 12 ) 0
P
M0
M1
rPM1 rPM 0
rOP R rOM 0 0
O
M0
q
R
0
1 G( M , M 0 ) 4
O
1 R rMM 0 0 rMM1
P
则Green函数为
又 R2 , 由余弦定理，在极坐标下 0 1
2 4 0 2 2 0 cos 其中 M OM , 0 OM 0 , 1 R 1 , OM M 2 0 R 4 2 0 2 R 2 0 cos O 0 0
取 v ln
1
(基本解, 见第二题),
利用第二格林公式 (见第一题)
取 u 为调和函数，
D
M0
1 ln 2 1 1 2 u ln 1 u ds D u ln ln u d n n =0
M0点处电荷密度为q的线电荷产生的场的大小为 q 1 ln C 2 rMM0
设M0为圆域 (ρ<R)内的一点， rOM 0 r0 , 在M0点放一单位正电荷
M 1 ( r1 ) 在OM0的延长线上某点
P O M 0
M1
处放一电量为q负电荷，则这两个线电荷在圆内点
M (r )
所产生的电势为
R
所以球坐标下Laplace方程Dirichlet问题的解为：
G ( , , ; 0 , 0 , 0 ) u( 0 , 0 , 0 ) f ( , )dS n R 4
0
2
0
( R 2 02 ) f ( , ) sin d d 2 2 3/ 2 [ R 0 2 R 0 (cos 0 cos sin 0 sin cos( 0 ))]
球的Piosson公式
5 求证圆域 x y R 的格林函数为
2 2 2
1 G( M , M 0 ) 2
1 R 1 ln ln 0 rMM1 rMM 0
其中 0 rOM 0 .
二维平面上基本解为
1 1 G(M , M 0 ) ln 2 rMM 0 物理意义：平面上M0点处单位正线电荷在介电常数 为1的介质中产生的场。