9.2 格林公式
格林公式
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y
格林公式
综上所述，格林公式成立。
(注意格林公式成立的条件)
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例 1：计算 F ( x , y ) dr ，其中 L （1） F ( x, y ) yi xj ， L 是由 x y, x 1, y 0 围
成的三角形闭路，其方向为逆时针方向； yi xj （2） F ( x , y ) 2 ， L ： x 2 y 2 a 2 , ( a 0) ，其 x y2 方向为逆时针方向。
1
2
x
则称曲线积分 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关，
否则称与路径有关。
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定理 2：设 D 是平面上的一个单连通域，函数 P ( x , y )，
Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则以下
四个条件相互等价：
（1）对 D 内的任意一条分段光滑的闭曲线 L ，
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两式相加得
（2） 若区域 D 由分段光滑的闭 曲线围成。如图，将 D 分成三个 既是 X 型又是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 。则
L3 D3
D2
L2
D1
L1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D 1 D2 3
时针方向。
解： 记 L所围成的闭区域为 D ，令
y x P 2 Q 2 2, x y x y2
则当 x y 0 时, 有
2 2
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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格林公式
L
1 ∴ ∫ − y d x + x d y 是 L 所围区域 D 的面积 . 2 L 例1 求椭圆 x = a cos θ , y = b sin θ 所围成图形的面积 A . 1 解 A = ∫ − ydx + xdy 2L 1 2π = ∫ − b sin θ ⋅ d ( a cos θ ) + a cos θ ⋅ d ( b sin θ ) 2 0 2π 1 = ab ∫ dθ = πab. 7 2 0
∂Q ∂P ∵ = ∂x ∂y
y yd x − x d y , 其中 L 为圆 课堂练习 求 ∫ 2 2 L 2( x + y ) P214.3 周 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 , L 的方向逆时针 . O l D 所围区域为 解 设 L所围区域为 D . y −x P( x, y) = , Q( x, y) = . 2 2 2 2 2( x + y ) 2( x + y ) x2 − y2 ∂P ∂Q ∵ = = 在 D 内不连续 , ( 0,0 )是奇点 . 2 2 2 ∂ y 2( x + y ) ∂x ∴ D 上不能用格林公式 (见 P 202 定理 1条件 ).
在 D 内作小圆周 l : x 2 + y 2 = r 2方向逆时针 (如图 ).
ydx − xdy 用P 205 第 8 −10 ∫ 2( x 2 + y 2 ) ======== 行的方法得 L
L
x
∫
( 小圆 )
l
y d x − x d y 曲线L上的积分可以化成同 上的积分可以化成同 上的积分. 2 ( x 2 + y 2 ) 方向的小圆周 l 上的积分.
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学领域中三个著名的公式，它们在计算曲线、曲面和体积的积分时非常有用。
下面将对这三个公式进行简要介绍。
1. 格林公式（Green's theorem）：格林公式是一个关于曲线积分和双重积分的定理。
它将曲线积分与曲面的面积积分联系起来。
根据格林公式，如果C是一个简单闭合曲线，它围绕一个平面区域D，且具有光滑的边界，如果P和Q是具有连续一阶偏导数的函数，则有以下关系式成立：∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式是一种有力的工具，用于计算曲线周围的环量和曲面上的通量。
2. 高斯公式（Gauss's theorem）：高斯公式是一个重要的曲面积分定理，也被称为高斯-斯托克斯公式的一部分。
该定理描述了通过一个连续可微的矢量场F流入或流出封闭曲面S的总量。
根据高斯公式，如果S是一个封闭曲面，其边界为曲线C，且F是一个具有连续二阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∬S F·dS = ∮C F·dr这个公式在电学、磁学和流体力学等领域中常被应用，用于计算场的通量与曲线周围的环量之间的关系。
3. 斯托克斯公式（Stokes's theorem）：斯托克斯公式是一个关于曲线积分和曲面积分的定理，也是高斯-斯托克斯公式的一部分。
根据斯托克斯公式，如果曲线C是一个光滑的边界，围绕一个光滑曲面S，且F是一个具有连续一阶偏导数的矢量场，则有以下关系式成立：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学和计算机图形学等领域中广泛应用，用于计算曲线周围的环量与曲面上的旋度之间的关系。
总之，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学中重要的积分定理，它们在各种科学和工程问题的计算中发挥着关键作用，提供了一种将曲线、曲面和体积的积分相互联系起来的方法。
格林公式知识点总结
第三节 格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green 公式单连通区域.设D 为单连通区域，若D 内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D 为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）.规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观看者沿L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1. 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=⎰-L Qdy Pdx .L 为D 的取正向的边界曲线.即格林公式既为x - 型又为y -型区域2L ：)(2x y ϕ=∵y P∂∂连续，证：对⎰⎰∂∂D dxdy y P=dyy y x P dx x x b a ⎰⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{1121⎰-ϕϕ1L ：)(1x y ϕ= 又⎰⎰⎰+=21L L L Pdx Pdx Pdx=dxx x P ba⎰)](,[11ϕ+dxx x P ba⎰)](,[21ϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{2111⎰-ϕϕ∴⎰⎰⎰=∂∂-LD Pdx dxdy y PyxlLoyxL 1L 2ab对于y -型区域，同理可证 ⎰⎰∂∂D dxdy y Q=⎰L Qdx ∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证.几何应用，在格林公式中，取x Q y P =-=,，⎰⎰Ddxdy2=⎰-Lydx xdy∴21=A ⎰-L ydx xdy说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立2）记法⎰-L ydx xdy =⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y x3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分.4）几何应用.例1． 计算⎰++-Cdy y x dx x y )3()( L ：9)4()1(22=-+-y x解： 原式=⎰⎰=-D dxdy π18)13(， 3=∂∂x Q ，1=∂∂y P例1． 计算星形线⎩⎨⎧==t a y t a x 33sin cos 围成图形面积)20(π≤≤t⎰⎰⋅+⋅=-=π202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dtt t a t a t t a t a ydx xdy A L=832a π二 平面上曲线积分与路径无关的条件1） 与路无关：是G 为一开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，若G 内任意指定两点B A ,及G 内从A 到B 的任意两条曲线21,L L⎰⎰+=+21L L Q d yP d x Q d y P d x 恒成立，则称⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关.否则与路径有关.例1．⎰-++Ldy y x dx y x )()( 1L ：从)1,1(到)3,2(的折线2L 从)1,1(到)3,2(的直线解：⎰+1L QdyPdx =25)1()2(2131=++-⎰⎰dx x dy y 32L ：)2(23-+=x y ,即 12-=x y⎰-++2)()(L dyy x dx y x =25)]1(2)12[(21=-+-+⎰dx x x x定理：设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C ，⎰+CQdy Pdx =0. （2）对内任一曲线L ，⎰+LQdyPdx 与路径无关（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立.（4）x Qy P ∂∂-∂∂，在D 内处处成立. 证明：（1）⇒（2） 在D 内任取两点B A ,，及连接B A ,的任意两条曲线⋂AEB ，⋂AGB ∴⋂⋂+=BGA AGB C 为D 内一闭曲线知⎰+CQdyPdx ， 由（1）⎰⋂+AGBQdyPdx +⎰⋂+BEAQdy Pdx =0即⎰⋂+AGBQdy Pdx =⎰⋂+BEAQdyPdx∴（2）⇒（3）若⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关.当起点固定在（0,yx ）点，终点为),(y x 后，则⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx 是y x ,的函数，记为),(y x u .下证：),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx 的全微分为),(y x du =Qdy Pdx +.∵),(y x P ，),(y x Q 连续，只需证),(y x P x u =∂∂， ),(y x Q y u =∂∂，由定义=∂∂x u x y x u x x u x ∆-∆+→∆),()(lim 0=∆+),(y x x u ⎰∆++),(),(00y x x y x QdyPdx =),(y x u +⎰∆++),(),(y x x y x QdyPdx=),(y x u +⎰∆+xx xPdx∴-∆+),(y x x u ),(y x u =⎰∆+xx xPdx =x P ∆，),(y x x P P ∆+=θ)10(≤≤θoyx(2,3)(1,1)L2L1oyxEBAGx ∆),(000y x M oyxM(x,y)N(x+,y)即),(y x P x u =∂∂， 同理),(y x Q y u =∂∂.（3）⇒（4）若),(y x du =Qdy Pdx +，往证y P ∂∂=x Q ∂∂，=P x P∂∂，=Q y Q ∂∂y x P y P ∂∂∂=∂∂，x y Qx Q ∂∂∂=∂∂， 由Q P ,具有连续的一阶偏导数=∂∂∂y x u 2x y u ∂∂∂2 故y P ∂∂=x Q ∂∂（4）⇒（1）设C 为D 内任一闭曲线，D 为C 所围成的区域.⎰+CQdyPdx =dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=0.例2．曲线积分⎰-++=Lx y dyy xe dx x e I )2()(， L 为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧.解： 令x e P y+=，y xe Q y2-=，则ye x Q=∂∂，ye y P =∂∂ ∴I 与路径无关. 取积分路径为AB OA +.=I ⎰+OAQdyPdx +⎰+ABQdyPdx=⎰⎰-++201)2()1(dy y e dx x y=272-e例2． 计算⎰+-Cy x ydxxdy 22， （1）c 为以)0,0(为心的任何圆周.（2）c 为以任何不含原点的闭曲线. 解：（1）令22y x y P +-=，22y x x Q +=，22222)(y x x y y P +-=∂∂，22222)(y x x y x Q +-=∂∂，∴在除去)0,0(处的所有点处有y P ∂∂=x Q∂∂，做以0为圆心，r为半径作足够小的圆使小圆含在C 内，∴⎰⎰++rC CQdyPdx =0，即=+⎰CQdy Pdx θθπd r r x r ⎰+202222sin cos =π2≠0（2）∵y P ∂∂=x Q∂∂ ∴=+⎰C Qdy Pdx 0 三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx∵ ⎰+C QdyPdx 与路径无关，则Qdy Pdx +为某一函数的全微分为),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx =⎰+xx QdyPdx 0+⎰+yy QdyPdx 0注：),(y x u 有无穷多个.例3． 验证：ydy x dx y x cos )sin 2(++是某一函数的全微分，并求出一个原函数.解：令y x P sin 2+=，y x Q cos =y x Q cos =∂∂，y y P cos =∂∂∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00=y x ，⎰+=),()0,0(),(y x Q d yP d x y x u =⎰⎰+x yydy x xdx 00cos 2=y x x sin 2+例5． 计算⎰-+-Cx x dym e y dy my e y )3()(23，c 为从E 到F 再到G ，⋂FG 是半圆弧解：令my e y P x-=3， m e y Q x-=23m e y y P x -=∂∂23，x e y y Q23=∂∂，m y Px Q =∂∂-∂∂添加直线GE，则，原式+⎰+GEQdy pdx =⎰⎰-Dmdxdy=])22(211221[2π⋅+⋅⋅-m =)41(π+-m ∴原式=m )41(π+-⎰-310dx =)41(π+-m 例6．设)(x f 在),(+∞-∞上连续可导，求dy y x f y y x dx y y x f y L L ⎰⎰++)],([),(1222，其中为从点)32,3(A 到)2,1(B 的直线段. ),(00y x ),(y x oyx),(y x )0.(x oyxo yxF (2,1)E (1,0)G (3,0)oy xB A C解；令y y x f y P ),(12+=， ]1),([22-=y x f y y x Q222),(1)],(),(2[y y x f y y y x f xy y x yf y P --'+=∂∂=2321),(),(y y x f xy y x f y -+=∂∂x Q ='+-)],([]1),([13222y x f y y x y x f y y 2321),(),(y y x f xy y x f y -+x Q y P ∂∂=∂∂，故原积分与路径无关，添CB AC +构成闭路，∴原式+0=+⎰⎰AC BC∴原式=⎰⎰+AC CB =dx x f dy y f y y )]32(941[23]1)([11322322++-⎰⎰ dy y y f dx x f ⎰⎰-++=132322]1)([)]32(3223[u x =3241)()(2323223223213-=+++⎰⎰y dy y f du u f x练习：1.证明：若)(u f 为连续函数，而C 为无重点的按段光滑的闭曲线，则)()(22=++⎰ydy xdx y xf c.2.确定的n 值，使在不经过直线0=y 的区域上，dy y y x x dx y y x x I c nc n ⎰⎰+-+=222222)()(与路径无关，并求当C 为从点)1,1(到点)2,0(B 的路径时I 的值.21-=n ，21-=I3．设),(y x f ，),(y x g 为L 上的连续函数，证明dsg f gdy fdx L L ⎰⎰+≤+22小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积.2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可.作业：P153 2，3，5。
高等数学：格林公式
D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
格林公式及其应用【高等数学PPT课件】
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
它与L 所 围
原式
例5. 验证 数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则 由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一. Green公式 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.
(Green公式)
格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.
高等数学格林公式课件
他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的 边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向： 复合 闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向； 内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式 定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段 光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)
D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分
D
P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解 令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
格林公式
C 不定积分法: u x2 x3 y, x
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y),
34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, 原方程的通解为 y xy x3 x4 C .
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0.
证明: 由格林公式得
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
0
其中D是L所围平面区域.
（4）对G内的任意一条分段光滑的闭曲线 L,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0. (1) 曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G内与路径
无关.
证明: 在G内任取两点M0, M1, y 设L1和L2是G内从M0到M1的任 意两条定向曲线, 现要证
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
o
L1
M1
G
M0
L2
x
已知条件是什么?
Pdx Qdy 0
L1 L2
有关定理的说明： (1) 开区域 G 是一个单连通域.
(2) 函数P( x, y), Q( x, y)在 G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可 以上四个等价命题最好用的是
曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路
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D
A
B
P( x, y ) d x Q( x, y )d y d u u
A
B A
u ( B) u ( A)
注: 此式称为曲线积分的基本公式. 它类似于微积分基本公式:
18
定理2
例5 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
x u u( x x, y) u ( x, y )
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
Pd x
L lim P ( x x , y ) 与路径无关 lim , x P( x , y ) 只与起止点有关 . x x 0 x x 0 (3) 的全微分, 在 D 内是某一函数 u 同理可证 d () x ,P yd ),x 因此有 x, y Q d y d u P dx Q d y 即 y u( Q
由定理 2 可知存在原函数
0 x
y
0
dy x2 y 2
21
或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2
y
O (1,0)
( x,0 )
x
π x arctan 2 y
22
例8. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A( 0, ) 2
14
定理2
(2) L, 曲线积分 Pd x Qd y u 对 u D 中任一分段光滑曲线
P( x x, y)x
证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !
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内容小结
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三、全微分方程
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y) P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ③
为全微分方程.
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 2 0 d xd y 0 2 L l D1 x y
l
O D1
L
x
2π 0
r cos r sin r
2
2
2
2
2
d 2 π
11
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
在 D 内是某一函数 PQ d y Q d u( x, y) P d x 即 从而在D内每一点都有 P Q x y . (4) 在 D 内每一点都有 y x
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,
(3)
的全微分,
15
定理2
证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
即
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证明 (1) (2) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 B 线, 则 L
L
1
Pd x Qd y
L2
Pd x Qd y
2
A
L1 L 2
L1
Pd x Qd y
(根据条件(1))
L2
Pd x Qd y
(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 . 说明 : 积分与路径无关时 , 曲线积分可记为
P Q y x
利用格林公式 , 得
D D
L
证毕
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y 0
P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
L Pd x Qd y 0 .
Q( x, y )d y
或 u ( x, y )
Q( x0 , y )d y P( x, y)d x
定理2
y0 O x0
x x
17
4) 若已知 d u = P dx + Q dy , 则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有
AB
B A
B
P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3) 在 D 内是某一函数 的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
16
定理2
P Q 说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 , 则 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
定理1
6
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
D
7
例2
L
x 2 D: y 1, L是椭圆的逆时针方向 , 4
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A xd y y d x 2 L
x a cos (0 2π) 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2π (ab cos 2 ab sin 2 ) d π ab 2 0
B L, 曲线积分 Pd x Qd y (2) 对D 中任一分段光滑曲线 Pd x Qd y Pd x Qd y L AB 与路径无关 , 只与起止点有关 A .
13
定理2
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
P Q 2x y 证: 设 P x y , Q x y, 则 y x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du x y 2 d x x 2 yd y
(0,0)
( x, y )
0 0
y
x2 y d y
( x,0)
y 2 x y 0
dy
20
xd y yd x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例7. 验证 2 2 x y y ( x, y ) 数 , 并求出它. y x , Q 2 证: 令 P 2 2 x y x y2 P y 2 x2 Q O (1,0) ( x,0 ) x 2 ( x 0) 则 2 2 y (x y ) x
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
③为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
解: W F d s
L
y
L
k ( y dx x d y) 2 r
A L
O令Leabharlann 2则有B x
P k ( x y ) Q 4 x y r
2
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
23
π π π 取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0 ) 2 2 2 k W ( y dx x d y) 2 y AB r A L π O B x k 2 思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
2
求 [3 y x 2 ]dx ( 2 x sin y )dy
解 利用格林公式
L
[3 y x 2 ]dx ( 2 x sin y )dy
[2 3]dxdy dxdy 2
D D
8
例3. 计算
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
O
x
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当(0,0) D 时, 在D 内作圆周 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
9.2
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 三、全微分方程
1
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有