现代控制理论习题

§2 线性系统的运动分析对系统进行分析的目的，是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。

通过定量分析，对系统的运动规律进行精确的研究，即定量的确定系统由外部激励作用所引起的响应。

通过定性分析，则着重对系统行为和综合系统结构的关键性质：能控性、能观性、稳定性等进行研究。

§2.1 基本概念 一、基本概念1、运动分析的实质xAx Bu =+ ，000(),[,]x t x t t t α=∈ 从数学上看，运动分析的实质是：相对于给定的初始状态0x 和外部输入作用u ，求解状态方程的解()x t 。

2、解的存在唯一性定理：对于线性时变系统，“如果系统矩阵()A t 和()B t 的所有元在时间定义区间0[,]t t α上均为t 的实值连续函数，而输入()u t 的元在时间定义区间0[,]t t α上是连续实值函数，则状态方程的解()x t 存在且唯一”。

定理：对于线性时变系统，状态方程的解()x t 存在且唯一的条件是：1）()A t 的各元()ij a t 在0[,]t t α上绝对可积：()t ij t a t dt α<∞⎰2）()B t 的的各元()ik b t 在0[,]t t α上绝对可积：02[()]t ik t b t dt α<∞⎰3）()u t 的各元()k u t 在0[,]t t α上绝对可积：02[()]t k t u t dt α<∞⎰说明：2）、3）可表示为：01()()pt ik k t k b t u t dt α=<∞∑⎰。

即()()B t u t 在0[,]t t α上绝对可积。

二、系统的响应线性定常系统的运动分析说明：1）对于非零初始时刻0t ，则系统响应为：()()0000(;;;)(),tA t t A t t t t x u e x e Bu d t t τφττ--=+≥⎰三、矩阵指数函数1、性质：1）()A s tAt st ee e +=2）0A eI =3）1()At At e e --=4）(),A B tAt Bt e e e AB BA +≠≠5）AtAtAt d e Aee A dt==2、矩阵指数函数的计算： 1）定义计算；22331112!3!!Atn n eI At A t A t A t n =++++++ 2）对角计算：单根：已知 1T AT -=Λ，1Att eTe T Λ-= 重根：已知 1T AT J -=，1AtJt e Te T -=3）多项计算： 4）预解计算：11[()]AteL sI A --=-四、状态转移矩阵系统的运动均可理解为一种状态的转移：利用这个概念容易建立起运动规律的统一表达形式。

１、状态转移矩阵对于xAx Bu =+ ，000(),x t x t t =≥，称满足如下矩阵方程： 000()(),(0),t t A t t I t t Φ-=Φ-Φ=≥的n n ⨯解阵0()t t Φ-为系统的状态转移矩阵。

2、性质：1）不变性：()(0)t t I Φ-=Φ=2）传递性：211020()()()t t t t t t Φ-Φ-=Φ- 3）可逆性：1()()t t -Φ=Φ-100()()t t t t -Φ-=Φ- 4）分解性：121221()()()()()t t t t t t Φ+=ΦΦ=ΦΦ 5）倍时性：()()k t kt Φ=Φ6）微分性：()()()t A t t A Φ=Φ=Φ ２、基本解阵定义：任意选取x Ax = 的ｎ个线性无关的解，并以它们为列构成的n n ⨯矩阵函数()t ψ，则称()t ψ为系统xAx = 的基本解阵。

§2.2基本要求１．了解线性系统的自由运及状态转移矩阵。

２．掌握线性时不变状态转移矩阵的基本性质及常用计算方法。

§2.3典型例题分析一、矩阵指数函数的计算【例题2.1.1】试用矩阵指数函数的级数展开法和拉氏变换法求下列矩阵的矩阵指数函数Ate：1）0100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 2）0110A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦解：1）级数展开法：2233223322331112!3!!01010110000002!01000110000002!000Atn n eI At A t A t A t n I t t t I t t t t =++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦拉氏变换法：1111112112011[()][()]()00011111()()01010Ats eL sI A L sI L s s t s s L L s s s ---------⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦2）级数展开法：22332233442344241112!3!!01010101111101010102!3!4!01100110111100110012!3!4!1111...2!4!3!Atn n eI At A t A t A t n I t t t t I t t t t t t t t =++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-++-= 3324...cos sin 111sin cos ....1...3!2!4!t t t t t t t t ⎡⎤+⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦拉氏变换法：1111112211222011[()][()]()10111cos sin 111()()11sin cos 111Ats eL sI A L sI L s s s t t s s L L s s t t s s s ---------⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤++===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥++⎣⎦【例题2.1.2】试用对角线化或约当化法计算下列矩阵的矩阵指数函数Ate：1）110110001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 2）221030013A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 解：1）矩阵A 的特征方程为：32110110|110|110001001(1)(1)(2)(1)0I A I λλλλλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=---=--=解之得，1230,1,2λλλ=== 对于1()0A I x λ-=，得 答案：2222(1)/2(1)/20(1)/2(1)/2000t t At t tt e e e e e e ⎡⎤+-+⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，223333333333200tt t tt t Att tt tt t e e e te e te e e te te te e te ------------⎡⎤+++⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥+⎣⎦【例题2.1.3】试用凯莱定理计算下列矩阵的指数函数Ate：1）010001010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 2）100010012A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦答案：1()/2()/210()/2()/20()/2()/2t t t t At t tt t t t t t e e e e e e e e e e e e e ------⎡⎤-+-⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，2200010tAtt t tt e e e e e e -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【例题2.1.4】试用共轭模态形计算下列矩阵的指数函数Ate：1）21174A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦， 2）010001573A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦答案：333333cos 41/4sin 41/4sin 4sin 4cos 41/4sin 4t t t Att t te t e t e t ee t e t e t ------⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦【例题2.1.5】计算下列矩阵的指数函数Ate0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦。

解：1）按定义进行计算：223322221112!3!!0123123672!3122313Atn n eI At A t A t A t n I t t t t t t t t =++++++--⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+⎢⎥=⎢⎥-++-+⎣⎦2）按预解矩阵进行计算：1111221221[()]()2331(1)(2)(1)(2)2()2222(1)(2)(1)(2)Att t t tt tt t s eL sI A L s s s s s s e e e eL s e e e e s s s s --------------⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤⎢⎥++++⎡⎤--⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥-+-+⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦【例题2.1.6】已知：010001230A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，使用约当标准形计算Ate 。

解：1）矩阵A 的特征方程为：2232(1)(2)0I A λλλλλ-=-+=+-=解之得，1232,1,λλλ===-11111211210,2529411633T T -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦21222222221110012112100252941100633(86)2(23)(13)2(26)4(53)2(23)4(46)8(83)4tAt Jt t t tt t t t t tt t t t t t t t t t ee Te T e te e e t e e t e e t e e t e e t e e t e e t e e t e ------------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++-+-+=-++-+-++-++-+2(53)t t e t e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦2）对于12λ=，1201121()()()tt t t eλααλαλ++=对于21λ=-，2201222()()()tt t t eλααλαλ++=对于31λ=-，2122()2()t t t te λααλ+=求解012(),(),()t t t ααα，2201121222222()1()1()02t t t t e t e t te αλλαλλαλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1122220112212222222()1124861()11112239()020123t t t t t t t t t t t t t t t t e e e e te t e e e e te t te te e e te αλλαλλαλλ------------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2222222012222(86)2(23)(13)()()()2(26)4(53)2(23)4(46)8(83)4(53)t tt t t t At t tt t t t t t t tt t e t e e t e e t e e t I t A t A e t e e t e e t e e t e e t e e t e ααα---------⎡⎤+++-+-+⎢⎥=++==-++-+-+⎢⎥⎢⎥+-++-++-⎣⎦二、系统状态转移矩阵计算 三、系统的状态响应计算【例题 2.1.2】已知线性系统状态空间表达式为：[]600()070,101005x t x y x -⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，当系统的初始状态为：[](0)111T x =，求系统的状态响应和输出响应。